Este documento describe operaciones básicas con funciones matemáticas como suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. Explica cómo se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas mediante estas operaciones y cuáles son sus dominios de definición. También presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de funciones resultantes.

1. OPERACIONES CON
FUNCIONES
MATEMÁTICA 1

2. OPERACIONES CON FUNCIONES
Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones
dadas, mediante la adición, sustracción, multiplicación y
división de sus valores. Las nuevas funciones se conocen
como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones
originales.
Igualdad de funciones:
Las funciones f y g son iguales si y sólo si:
i) Df = Dg
ii) f(x) = g(x)  x Df = Dg
Las funciones f(x) = x3 – 1, g(x) = x3 – 1; son iguales, porque
Df = Dg = R

3. OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas las funciones f y g, tenemos:
i) La suma, denotada por f + g, es la función definida por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
ii) La diferencia, denotada por f - g, es la función definida por:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
iii) El producto, denotada por f . g, es la función definida por:
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
iv) El cociente, denotada por f / g, es la función definida por:
(f / g)(x) = f(x) / g(x); g(x)  0
En cada caso, el dominio de la función resultante consta de
aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g, pero para
el caso iv) g(x)  0

4. Aplicaciones:
1. Dadas las funciones:
f = (1; 4), (2; 5), (3; 6), (4; -6), (5; -5) y
g = (0; 8), (1; 3), (2; 0), (3; 7), (4; 0), (5; 10).
Hallar: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g
Solución:
Df =
Dg =
a). Adición de funciones: f + g
Df  Dg =
f + g =

5. 2. Dadas las funciones:
f(x) = x - 5 y g(x) = x2 - 1.
Determine el dominio de la función resultante:
a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g
Solución:

6. Dadas las funciones:
f(x) =
x + 1
1
3).
g(x) =
x - 2
x
Determine el dominio de la función resultante:
a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

7. Dadas las funciones, hallar: a) (f + g)(x);
b) (f - g)(x); c) (f . g)(x); d) (f / g)(x); si:
f(x) =
g(x) =
x2 – 1; si |x | ≤ 2
x; si x > 2
x + 1; si x < 0
x – 1; si 0 ≤ x ≤ 3


4).

8. Hallar: a) (f + g)(x); b) (f - g)(x); c) (f . g)(x);
d) (f / g)(x); si:
f(x) =
g(x) =
|x |; x  [-1; 3
3 - 2x; x  [3; 6]
[|x|] ; x  5; 7]
x – 1; x  [1; 4


5).

9. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta,
denotada por f  g, está definida por
(f  g)(x) = f(g(x))
El dominio de f  g, es el conjunto de todos los números x del
dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.
f  g
f
g

10. A B Cf g
g o f
Dgof
Df Rf Dg
Rf Dg  
Rgof
Rg
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

11. a.
b.
c.
d.
n.
m.
p.
q.
r.
s.
t.
v.
A B C
f  g
fg
(f  g)(a) = f(g(a)) = f(m) = t
(f  g)(d) = f(g(d)) = f(p) = r
f  g = (a, t); (d, r)
Ejemplo

12. PROPIEDADES DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Consideremos las funciones f, g, h y la “I” (identidad):
i) (f  g)(x)  (g  f )(x) no es conmutativa
iii) (f + g)  h = (f  h) + (g  h) distributiva
ii) (f  g)  h = f  (g  h) es asociativa
v) f  I = I  f = f, f
iv) (f . g)  h = (f  h) . (g  h)

13. Sea f = (2; 5), (3; 4), (6; 2), (5; 0), (1; 7) y
g = (4; 8), (5; 3), (0; 9), (2; 2), (7; 4)
Hallar f  g
1).

14. 2. Sea f, g: R R tal que: f(x) = x2 + 2x + 3, g (x) = x - 5
Hallar:
(g o f)(1) + (f o g) (2).(f o g) (3) - (g o g) (2)
(f o g) (2)

15. 3. Sean: f(x) = g (x) = 2x + 1
x - 2
5 y
Obtenga (f o g)(3) de dos maneras.

16. 4. Si f y g están definidas por:
Determine el dominio de la función compuesta definida por:
a) (f o g)(x) b) (g o f)(x)
f (x) = x - 2 y g(x) = x2 - 2

17. 5. Sea:
Hallar:
(gog)(1) + 2.g(-1)
g(x) =
x - 1, si x < 1
-3x2 + 1, si x ≥ 1

g2(1) + (gog)(-1)

18. 6. Si f (x - 1) = x - 2 y (g o f)(x + 2) = 2x2 - x
Hallar g(x)

19. Taller 5
2. Si (f . g)(x - 1) = x2 – 2x y g(x) = x + 3, determinar f(x).
1. Dadas las funciones: Calcular (f . g)(x) si:
f(x) = g(x) =
7, si x  10
x - 1, si x > 11 x, si x > 3
3x – 1; si 0 < x < 2
 
Calcular: a) (f + g)(x), b) (f . g)(x)

20. FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS
1. La nómina de pago diario de una cuadrilla es directamente
proporcional al número de trabajadores, y una cuadrilla de 12 tiene
una nómina de $.810. a) Encuentre un modelo matemático que exprese
la nómina de pago diario como una función del número de
trabajadores. b) ¿Cuál es la nómina de pago diario para una cuadrilla
de 15 trabajadores?

21. 2. A un campo de forma rectangular se le colocaron 240 m de cerca. a)
Encuentre un modelo matemático que exprese el área del terreno como
una función de su longitud. b) ¿Cuál es el dominio de la función? c)
¿Cuáles son las dimensiones del campo rectangular de mayor área que
pueda cercarse con 240 m?

22. 3. Realice el ejercicio anterior (2) considerando ahora que un lado del
terreno está sobre la orilla de un río, por lo que tiene un límite natural,
y el material para cercar se empleará en los otros tres lados.