El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo el producto cartesiano, funciones constantes, lineales, polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También explica conceptos como dominio, rango e inversa de una función.

1. FUNCIONES
Febrero 2012

2. Una operación de gran importancia para el estudio de
las relaciones matemáticas es “El Producto
Cartesiano” entre dos conjuntos.
Suponga un conjunto A= {a1, a2, a3, …, an} y un
conjunto B= {b1, b2, b3, …, bn}. Su producto cartesiano
se define como:
A x B= {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3), … , (a1, bn),
(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3), … , (a2, bn),
(a3, b1), (a3, b2), (a3, b3), … , (a3, bn),
(an, b1), (an, b2), (an, b3), … , (an, bn)}

3. B
A
a1
a2
a3
…
an
b1
b2
b3
…
bn

4. Una relación matemática será entonces una regla de
correspondencia entre los elementos de dos
conjuntos, es decir, un subconjunto del producto
cartesiano.
B
A
a1
a2
a3
…
an
b1
b2
b3
…
bn

5. Al conjunto ordenado de parejas de la forma (x,y) de
las variables X y Y, en el cual dos parejas distintas no
pueden tener el mismo primer elemento es a lo que
llamaremos: “Función”.
En esta relación ningún mismo primer
elemento se repite, por lo tanto es una
función…
R= {(x1, y1), (x2, y1), (x3, y2), (x4, y3),
(x5, y3), (x6, y5), …}

6. En esta relación se repite el mismo primer
elemento, por lo tanto no es una función…
R= {(x1, y1), (x1, y2), (x1, y3), (x2, y2), (x2, y3),
(x2, yn), (x3, y1), (x3, y3)}

7. Al primer elemento de cada pareja (abscisa) se
le llama “variable independiente x” y al
segundo elemento (ordenada) se le llama
“variable dependiente y”
A todos los valores que puede tomar x se le
llama “Dominio (Dom)” y a los valores que
puede tomar y se le conoce como “Rango
(Ran)”.

8. Con base en lo anterior, una función también
puede ser una regla de correspondencia que
asocia a los valores del dominio (x), con uno y
sólo uno valores del rango (y).
La notación de una función es:
y= f(x)
Es decir, el valor de la variable dependiente y
esta en función (depende) del valor de la
variable independiente x.

9. En este caso y no es
función de x.
En este caso y es función
de x.

10. Tipos de Funciones
Algebraicas
Constante, Lineal,
Polinomiales, Raíz
Cuadrada
Trascendentales
Exponencial,
logarítmica,
Trigonométrica:
sen, cos, tan
FUNCIONES
Especiales
Valor Absoluto, Racionales

11. Función Constante
Sea un valor “c” ϵ R, definiendo a 𝑓 𝑥 = 𝑐,
∀ 𝑥∈R
Ejemplo:
Dom f= R
Ran f= {4}
𝑓 𝑥 =4

12. Ejemplo de función escalonada constante :
−2,
𝑠𝑖 𝑥 < 0
2,
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑓 𝑥 =
4,
𝑠𝑖 𝑥 > 2
Dom f= R
Ran f= {-2, 2, 4}

13. Función Lineal
La función lineal definida como 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, es una recta
con pendiente a y ordenada al origen b, cuyo dominio y rango
son todos los reales.
Ejemplo:
Dom f = R
Ran f = R
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑

14. Función Lineal
Ejemplo:
Dom f = R
Ran f = R
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1

15. Función Polinomial
La forma general de la función polinomial de grado n, con n
entero positivo, definida ∀𝑥, es: 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 +
𝑎3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , con dominio en todos los reales.
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
Dom f = R
Ran f = [0, ∞)

16. Función Polinomial
Actividad: Graficar en Geogebra y discutir
los resultados de las siguientes funciones:
Potencias impares: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 𝑥 5 , 𝑦 = 𝑥 7
Potencias pares: 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 4 , 𝑦 = 𝑥 6 , 𝑦 = 𝑥 8
Curvas similares: 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑦 = 4𝑥 2
Curvas similares: 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 3𝑥 3 , 𝑦 = 6𝑥 3
Coeficiente negativo: 𝑦 = −𝑥 2 , 𝑦 = −2𝑥 2
Exponente Negativo: y = 𝑥 −2 , 𝑦 = 𝑥 −3

17. Función Raíz Cuadrada
Aquellas que contienen raíces cuadradas √ que pueden
expresarse con exponente a la ½ y que existen como tales para
valores positivos.
Ejemplo:
𝑓 𝑥 =
𝑥= 𝑥
1
2
Dom f = [0, +∞)
Ran f = [0, +∞)

18. FUNCIONES
TRASCENDENTALES

19. Función Exponencial
Son de la forma general 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , en donde a ϵ R, para
valores de a mayores que cero y diferentes de 1, esto es: a>0 y
a ≠1.
Ejemplo:
𝑓 𝑥 =2𝑥
Dom f = R
Ran f = (0, +∞)

20. Función Exponencial
El caso de la función Exponencial Natural 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 .
Dom f = R
Ran f = [0, +∞)

21. Función Logaritmo Natural
Son de la forma general 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , definida para los
números reales positivos, ya que para los valores de x menores
o iguales a cero no esta definida.
Ejemplo:
Dom f = (0, +∞)
Ran f = R

22. Propiedades de la función Logaritmo
Natural
1. ln 𝑎●𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏
2. ln(𝑎/𝑏) = ln 𝑎 – ln 𝑏, 𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0
𝑝
3. ln 𝑎 = 𝑝 ln 𝑎
𝑥
4. ln 𝑒 = 𝑥
𝑙𝑛𝑥
5. 𝑒 = 𝑥

23. Funciones Periódicas o Cíclicas.
Dentro de las funciones cíclicas se encuentran las funciones
trigonométricas, para las cuales se dice que si T es el período,
la función estará definida por 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑇 .
La relación existente entre radianes y grados esta dada por:
2𝜋 = 360°

24. Función Seno
La función 𝑓 𝑥 = sen 𝑥, es una función periódica en la cual
T = 2𝜋, es decir: 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 2𝜋).
Dom f = R
Ran f = [-1,1]

25. Función Coseno
La función 𝑓 𝑥 = cos 𝑥, es una función periódica defasada
90° respecto a la del seno, con T = 2𝜋, es decir: 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 +
2𝜋).
Dom f = R
Ran f = [-1,1]

26. Función Tangente
La función 𝑓 𝑥 = tan 𝑥, es una función periódica, con T = 𝜋,
es decir: 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝜋).

27. Otras trigonométricas
Cotangente f(x) = tan(x)^-1
Secante f(x) = cos(x)^-1
Cosecante f(x) = sin(x)^-1

28. FUNCIONES
ESPECIALES

29. Función Valor Absoluto
Definidas como: 𝑓 𝑥 =
− 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Dom f = R
Ran f = [0,+∞)

30. Función Racionales
Son cocientes de polinomios 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
,
𝑄(𝑥)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄(𝑥) ≠ 0
Las funciones racionales pueden ser:
a) Propias: si el grado del numerador es menor que el grado
del denominador.
b) Impropias: si el grado del numerador es mayor que el
grado del denominador.
Nota: El domino serán todos los reales exceptuando aquellos
números que le den el valor de cero al denominador.

31. Función Racional
Ejemplo: Sea la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥+4
Dom f = (-4, +∞)
Ran f = (0, +∞)

32. Función Racional
Ejemplo 2: Sea la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥 2 −1
Dom f = R - { -1, 1 }
Ran f = R

33. OPERACIONES CON
FUNCIONES

34. Operaciones
La operaciones más comunes entre funciones son:
1. Suma 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
2. Diferencia 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
3. Producto 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
El dominio de estas tres operaciones estará dado por la
intersección entre los dominios de cada función, esto es:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔(𝑥)

35. Operaciones
4. Cociente
𝑓/𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑓 𝑥
𝐷𝑜𝑚
= 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔(𝑥) − 𝐻
𝑔 𝑥
Donde H= 𝑥𝜖𝑅| 𝑔 𝑥 = 0
5. Función composición 𝑓 𝑜 𝑔 = 𝑓 𝑔(𝑥 )
El dominio de la función composición está dado or el dominio
de la segunda función, siempre y cuando el rango de ésta
función esté contenido en el dominio de la primera.

36. FUNCIÓN INVERSA
Se dice que g es una función inversa de f si 𝑔 = 𝑓 −1 , de la
misma forma f será una función inversa de g si 𝑓 = 𝑔−1 .
La función f es una función opuesta a g si el dominio es B y el
rango es A.
f(x)
Dominio de f
x
Rango de g
Rango de f
𝑔 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑥)
g(x)
y
Dominio de g

37. FUNCIÓN INVERSA
Procedimiento para detectar si una función tiene inversa.
1.- Asignar valores para ver si es inyectiva (relación uno a uno).
2.- Despejar a x.
3.- Intercambiar a x por y y despejar y.
4.- Verificar que el dominio de x es el rango de y.
5.- Verificar que 𝑓 𝑓 −1 𝑥 = x = 𝑓 −1 𝑓 𝑥 .
Ejemplo. Dado 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 8, 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎:
Despejar x.
𝑦 = 2𝑥 + 8,
𝑥=
Intercambiar x por y. 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑦 . 𝑦 =
𝑦−8
2
𝑥−8
2
= 𝑓 −1 (𝑦)
= 𝑓 −1 (𝑥)
Dado que el dominio de x es el rango de y, es decir los reales, se verifica el paso 5:
𝑥−8
𝑥−8
𝑓 𝑓 −1 𝑥 = 𝑓
=2
+8= 𝑥
2
2
𝑓 −1 𝑓 𝑥 .= 𝑓 −1 2𝑥 + 8 =
2𝑥+8 −8
2
= 𝑥