Operaciones Vectoriales, tales como adición, sustracción, gráficos y propiedades de los mismos.

1. OPERACIONES
VECTORIALES
ADICION, SUSTRACCION Y SUS
PROPIEDADES

2. ADICION ENTRE VECTORES
■ Para sumar dos vectores se suman las coordenadas x por un lado y las coordenadas «y» por otro.
■ Por tanto, si tenemos los vectores:
■ La suma de vectores será:

3. VAMOS A VER UN EJEMPLO:
SUMAR LOS VECTORES U Y V SIGUIENTES:
Sumamos la coordenada x del vector v con la coordenada x del vector u y también la
coordenada «y» del vector v con la coordenada «y» del vector u:
Quedando, como vector resultante:

4. ADICIÓN DE VECTORES POR EL
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
■ Una suma de vectores por este método se realiza trazando los dos vectores desde el mismo origen y formar un
paralelogramo trazando líneas paralelas a los vectores, la resultante es la diagonal que se traza desde el origen.
Ejemplo:
■ Tenemos los siguientes dos vectores:
■ Trazamos el vector “a” y el vector “b” desde el mismo origen
y hacemos una línea paralela a cada vector para formar un
paralelogramo y unimos la diagonal que va desde el origen,
ese vector será la resultante:

5. ADICIÓN DE VECTORES POR EL MÉTODO
DEL TRIÁNGULO O CABEZA-COLA
Para hacer una suma de vectores por este método se utilizan la regla y el transportador, existe una
regla general y es la siguiente:
■ Usar la misma escala para todos los vectores
■ Trazar un vector (el orden no es importante)
■ Trazar el segundo vector, empezando desde el final del primer vector (la punta de la flecha),
hay que dibujar correctamente el vector cuidando el ángulo, longitud y sentido.
■ La suma de los dos vectores es la flecha que se traza desde el principio del primer vector
hasta la punta del segundo.
NOTA: este método se puede usar con más vectores.

6. Ejemplo:
■ Tenemos los siguientes dos vectores:
■ Ahora trazamos el vector “a” y en la punta de la flecha trazamos el vector “b”, unimos el inicio de a con
la punta de b y tendremos nuestro vector resultante:

7. SUSTRACCION ENTRE VECTORES
■ La resta de vectores se realiza de forma análoga a la suma de vectores.
■ Para restar dos vectores se restan las coordenadas x por un lado y las coordenadas «y» por
otro.
■ Si tenemos los vectores:
■ La resta de los vectores v-u será:

8. VAMOS A VERLO CON UN EJEMPLO:
■ RESTAR LA RESTA V-U, SIENDO V Y U LOS SIGUIENTES VECTORES:
■ Para hallar la resta de los vectores v-u restamos por un lado, a la coordenada x de v la coordenada x
de u y por otro lado, a la coordenada «y» de v le restamos la coordenada «y» de u:
■ Operamos dentro de cada coordenada, teniendo mucho cuidado con los signos y el vector resultante
v-u queda:
■ La resta de vectores también se puede realizar gráficamente. Te lo explico en el siguiente apartado.

9. SUSTRACCION GRÁFICA DE VECTORES
■ La resta gráfica de vectores puede realizarse de dos maneras. Verás que es muy similar a la suma pero
teniendo en cuenta un detalle muy importante.
■ Método del triángulo o cabeza-cola
Sean los vectores v y u siguientes:
■ Como queremos realizar la resta v-u, el primer paso es cambiar el sentido del vector u:
Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la suma gráfica de vectores, con la diferencia de que el
sentido del vector u es contrario a su sentido original. Es lo mismo que sumar (-u). Colocamos el origen del
vector u con el sentido contrario en el extremo del vector v:
Unimos el origen del vector v con el extremo del vector u
con el sentido contrario y obtenemos el vector resultante v-u:

10. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
■ Tenemos los vectores v y u:
■ Igual que antes, como queremos realizar la resta v menos u (v-u), al vector u le cambiamos el sentido:
■ Ahora colocamos el vector v y el vector u con el sentido contrario en el mismo origen:

11. ■ Formamos un paralelogramo, con estos dos vectores y trazando una línea paralela al
nuevo vector u, en el extremo del vector v y una línea paralela al vector v en el extremo
de este vector u, quedando de la siguiente forma:
■ La unión del origen de ambos vectores con la intersección de las líneas dibujadas, será el
vector resultante de restar u-v:
■ Tanto con una forma como con la otra, ten en cuenta que debes cambiar el sentido del
vector que quieres restar (no olvides nunca esto) y luego el procedimiento es el mismo
que con la suma.

12. PROPIEDADES DE ADICION Y SUSTRACCION
DE VECTORES
■ Propiedad conmutativa:
Indica que no importa el orden en que los vectores se sumen su resultado es el mismo, o sea, que la suma
de un vector u con un vector v, será igual que la suma del vector c con el vector u.
u + v = v + u
■ Propiedad asociativa:
Establece que no importa la forma en que se agrupen los vectores a la hora de sumar.
u + (v + w) = (u + v) + w
■ Propiedad de identidad:
Indica que hay un vector que llega a funcionar como un elemento neutro al momento en que un vector
cualquiera se le sume a él, donde el resultado siempre será el mismo vector original. En pocas
palabras esta propiedad establece que la suma de todo vector con 0 siempre dará el vector original.
u + 0 = u u + (-u) = 0

13. PROPIEDADES DE VECTORES
■ ORIGEN
También se le conoce como punto de aplicación. Se trata del punto con exactitud en donde el vector
llega a actuar.
■ DIRECCIÓN
Representa la orientación en el espacio de la recta que lo posee.
■ MÓDULO
Representa el tamaño o la longitud del vector. Para calcularlo se ha de tener el conocimiento sobre el
origen o su punto de aplicación y del extremo del vector, luego se deberá de medir este origen hasta su
extremo.
■ SENTIDO
Este llega a indicar a través de una punta de flecha que se coloca en el extremo del vector, la dirección
hacia donde el vector se dirige con relación a la línea de acción.

14. TAREA
■ Adición
■ U= (5,10) ; V= (3,13)
■ U= (15,7) ; V= (-9,2)
■ U= (3,5) ; V=(4, 6)
■ Sustracción
■ U= (4,-2) ; V=(-6,8)
■ U= (1,-12) ; V=(-3,2)