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1. Voltaje de Nodos
1. Objetivos.
1.1. Objetivo General.
Al finalizar la presente práctica, estaremos en condiciones técnicas para identificar,
analizar, evaluar, concluir y encarar redes eléctricas de configuración sencilla o compleja
por el método de voltaje de nodos, basándonos siempre en la Leyes de Ohm y Kirchoff.
1.2. Objetivos Específicos.
Para alcanzar el objetivo general, tenemos que usar conocimientos adecuados de los
siguientes parámetros eléctricos:
- Transformación de fuentes
- Traslación de fuentes
- Nodo de referencia
- Nodo de aterramiento
- Ecuación matricial
- Fuente de corriente
- Fuente de tensión
- Fuente dependiente
- Elemento extraño
2. Fundamento teórico.
1.1Fuentes Eléctricas.
Antes de utilizar las fuentes ideales de voltaje y de corriente, tenemos que considerar la
naturaleza general de las fuentes eléctricas. El término fuente se aplica a un dispositivo que
es capaz de convertir energía no eléctrica en eléctrica, y viceversa.
Ejemplos: Una batería que se descarga convierte en energía química en energía eléctrica,
mientras que una batería que se carga convierte energía eléctrica en energía química. Un
dinamo es una máquina que puede convertir energía mecánica en eléctrica, y viceversa.
Si opera el modo mecánico al eléctrico, se denomina generador, si transforma energía
eléctrica en mecánica, se llama motor.
El aspecto importante que hay que recordar acerca de estas fuentes es que son capaces de
una transformación reversible, ya que pueden suministrar o absorber energía eléctrica.
Estas fuentes prácticas generalmente son dispositivos que tienden a mantener el voltaje o la
corriente. Este comportamiento general de los dispositivos prácticos condujo a la creación
de la fuente ideal de voltaje y la fuente ideal de corriente como elementos básicos ideales
de circuito.
Las fuentes ideales de voltaje y corriente se pueden dividir en dos categorías generales:
Fuentes independientes: Una fuente independiente es aquella que es independiente de
cualquier otro voltaje o corriente que exista en el circuito al cual esta conectado la fuente.
Fuentes dependientes: Una fuente dependiente, por el contrario, depende del voltaje o de la
corriente en otra parte del circuito.
1.2Fuentes Independientes.
1.2.1. Fuente de Voltaje.

2. La fuente ideal de voltaje independiente es un elemento de circuito que mantiene un voltaje
determinado entre sus terminales sin importar la corriente en el dispositivo. Esta fuente de
voltaje es capaz de generar el voltaje terminal prefijado independiente de que la corriente
de la fuente sea cero o finita. Como el voltaje terminal no es una función de la corriente, la
fuente ideal de voltaje independiente está totalmente definida por el voltaje prefijado.
También hay que indicar la polaridad de referencia para el voltaje prefijado. Y por otro lado
este dispositivo es considerado como un elemento activo, puesto que suministran o generan
la energía eléctrica.
Símbolo gráfico, o de circuito:
V (t)
+ -
v(t)
+ -
Símbolo de una fuente ideal de voltaje independiente
que varía con el tiempo.
v
+ -
Símbolo de una fuente de voltaje independiente
que no varía en el tiempo
v
v
i
Característica

3. Muchas veces se requiere una representación real de una fuente de voltaje que consiste en
una resistencia en serie con una fuente ideal.
R
+
v v1
-
Fuente real de tensión
v1
v
i
Característica
1.2.2. Fuente de Corriente.
La fuente ideal de corriente independiente es un elemento de circuito que mantiene la
corriente determinada en sus terminales, sin importar el voltaje entre ellas. Esta fuente de
corriente es capaz de generar la corriente terminal prefijada independientemente de que el
voltaje terminal sea cero o finito. Como la corriente no es función del voltaje entre los
terminales, la fuente ideal de corriente independiente está exclusivamente definida por la
corriente prefijada y la dirección de referencia. Y por otro lado este dispositivo es
considerado como un elemento activo, puesto que suministran o generan la energía
eléctrica.
Símbolo gráfico o de circuito:
i
Símbolo de una fuente de voltaje independiente
que no varía en el tiempo

4. i
i
v
Característica
Muchas veces se requiere una representación real de una fuente de corriente que consiste en
una resistencia en paralelo con una fuente ideal.
i0
i R
Fuente real de corriente
i0
i
V
Característica
1.3. Fuentes Dependientes.
1.2.1. Fuente de voltaje.
Una fuente ideal de voltaje dependiente, o controlada, es una fuente en la cual el voltaje o
la corriente en algún otro punto del circuito determinan el voltaje entre sus terminales. Por
lo tanto, una fuente de voltaje dependiente puede ser controlada por un voltaje o por la
corriente.
Símbolo gráfico:

5. + -
Hacemos el análisis para fuentes de voltaje controladas por voltaje y por corriente:
- Fuente de voltaje controlada por voltaje:
+
v1 μv1 v2
-
- Fuente de voltaje controlada por voltaje:
i1
ρi1 v2
Si v1 y i1 simboliza la variable controlada, se obtiene:
v2 = μ v1
v2 = ρ i1
Donde μ y ρ son constantes multiplicadoras. Observe que μ no tiene dimensiones, mientras
que ρ tiene las dimensiones de volts por ampere.

 [Adimensional]














A
V
ampere
volts

Con una fuente de voltaje dependiente o independiente no se puede expresar la corriente de
la fuente como función de su voltaje terminal. En otras palabras si sólo se conoce el voltaje
+
-
+
-

6. terminal de una fuente de voltaje, ya sea dependiente o independiente, no se cuenta con la
información suficiente para determinar la corriente de la fuente.
1.2.2. Fuente de corriente.
Una fuente ideal de corriente dependiente, o controlada, es una fuente en la cual el voltaje o
la corriente en algún otro punto del circuito determina el voltaje entre sus terminales. Por lo
tanto, una fuente de corriente dependiente puede ser controlada por un voltaje o por la
corriente.
Símbolo gráfico:
Hacemos el análisis para fuentes de corriente controladas por voltaje y por corriente:
Fuente de corriente controlada por voltaje:
i2
+
v1 αv1
-
- Fuente de corriente controlada por voltaje:
i1 i2
βi1
Si v1 y i1 simboliza la variable controlada, se obtiene:
i2 = α v1
i2 = β i1
+
-

7. Donde α y β son constantes multiplicadoras. Observe que β no tiene dimensiones, mientras
que α tiene las dimensiones de volts por ampere.

 [Adimensional]














V
A
volts
ampere

Con una fuente de corriente dependiente o independiente no se puede expresar el voltaje de
la fuente como función de su corriente terminal. Por tanto, si sólo se conoce la corriente de
la fuente, ya sea dependiente o independiente, no se dispone con la información suficiente
para determinar el voltaje terminal de la fuente. Las fuentes dependientes o controladas son
especialmente útiles para construir modelos de circuitos de dispositivos electrónicos.
1.3. Leyes de Kirchhoff.
La conexión de elementos de circuito impone restricciones en las relaciones entre los
voltajes y las corrientes terminales. Estas restricciones se conocen como leyes de Kirchhoff,
en honor a Gustav Kirchhoff, quien las propuso por primera vez en un artículo publicado en
1848. Las dos leyes que establecen las restricciones en forma matemática se conocen como
ley de Kirchhoff para la corriente y ley de Kirchhoff para el voltaje.
2.4.1.Primera Ley de Kirchhoff para la corriente.
Antes de utilizar la ley de Krichhoff para la corriente, es necesario definir que es un nodo.
Un nodo no es más que un punto en un circuito donde se unen dos o más elementos.
Basada en la Ley de la conservación de la carga, establece:
“La suma algebraica de las corrientes de todas las ramas que salen o entran a un
nodo es igual a cero en todo instante del tiempo”.
Debe asignarse un signo algebraico a cada corriente en el nodo. Si se asigna un signo
positivo a una corriente que sale de un nodo, es necesario asignar un signo negativo a una
corriente que entra a un nodo. A la inversa si se asigna un signo negativo a una corriente
que sale de un nodo, es necesario asignar un signo positivo a una corriente que entra a un
nodo.
i1 in
i2
0
1



n
k
k
i
i3 i4
Entonces:

 
 0
salen
entran i
i

  salen
entran i
i
2.4.2.Segunda Ley de Kirchhoff para el voltaje.

8. Antes de utilizar la ley de Krichhoff para el voltaje, hay que definir lo que es un camino
cerrado, o lazo. Comenzando en un nodo cualquiera, se establece un camino cerrado en un
circuito pasando por los elementos básicos de circuito seleccionados, hasta regresar al nodo
original, sin pasar más de una vez por cualquier nodo intermedio.
Basada en la Ley de la conservación de energía, establece:
“La suma algebraica de todos los voltajes de rama que forman un camino
cerrado (malla) cualquiera es nula en todo instante del tiempo”.
La frase suma algebraica implica que se debe asignar un signo algebraico a los voltajes a lo
largo del lazo. Al trazar un camino cerrado, un voltaje aparecerá como un aumento o como
una disminución en la dirección del recorrido. Si se asigna un signo positivo a un aumento
de voltaje, hay que asignar un signo negativo a una caída de voltaje. A la inversa, si se
asigna un signo negativo a un aumento de voltaje, hay que asignar un signo positivo a una
caída de voltaje.
v3
v2
vj
0
1



n
k
k
v
v1
vk
vn
Normalmente las elevaciones de potencial corresponden a las fuentes de tensión, cuyo valor
de voltaje se representa con la letra e.
2.5.La ecuación matricial.
En un circuito eléctrico existen varias formas sistemáticas de combinar las Leyes de
Kirchhoff con la Ley de Ohm u otras relaciones entre voltaje-corriente. Aquí se estudiará
brevemente el método de los voltajes de nodo. Utilizaremos como ejemplo el puente de la
siguiente figura:
R2
R3
R4
B C
Vg
R1
A
D
C

9. En las ramas se suponen las referencias que se indican por las fechas. El tiempo inicial que
consideraremos en esta red se toma t = 0 y suponemos que existe una tensión inicial vc(0) =
V0 ene l condensador y la corriente por la bobina de intensidad inicial i1(0) = I0.
Aplicando la LCK a los nudos A, C y D y sustituyendo directamente las relaciones v-i se
tiene:
Para el nodo A:
0
1
2
2
0
1
1 

  R
t
L
R v
G
dt
v
L
v
G
Para el nodo C:
0
1
4
4
3
3
0
0




 R
R
t
L v
G
v
G
I
dt
v
L
Para el nodo D:
0
4
4
1
1 

 R
c
R v
G
dt
dv
C
v
G
Son estas tres ecuaciones con seis variables, que son las tensiones en las ramas. Al escribir
las ecuaciones deducidas de la primera ley de Kirchhoff se suprimió el nudo B.
Supongamos que se toma B como dato respecto al cual se refiere las tensiones de los demás
nudos en la red. Estas tensiones son denominadas tensiones de los nudos. En la figura las
tensiones de los nudos son AB
v , CB
v y DB
v . Todas las tensiones de las ramas pueden
expresarse en funciones de las tensiones de los nudos aplicando la segunda ley de
Kirchhoff. Así:
- g
AB
DB
R v
v
v
v 


1
- CB
AB
L v
v
v 

- AB
R v
v 

2
- CB
R v
v 

3
- DB
C v
v 
- DB
CB
R v
v
v 

4
Cuando se sustituyen estas expresiones en el anterior sistema de tres ecuaciones, resulta
otro sistema de tres ecuaciones que expresándolo en forma matricial toma la forma:

























































g
g
DB
CB
AB
t
t
t
t
v
G
I
I
v
G
v
v
v
G
G
dt
d
C
G
G
G
dt
L
G
G
dt
L
G
dt
L
dt
L
G
G
1
0
0
1
4
1
4
1
4
0
4
3
0
1
0
0
2
1
1
1
1
1
Estas ecuaciones son las llamadas ecuaciones de los nudos. Al igual que las ecuaciones de
los bucles, son ecuaciones integrodiferenciales. Una vez despejadas las tensiones de nudos
AB
v , CB
v y DB
v de estas ecuaciones, podrán conocerse las tensiones de ramas de las
relaciones de tensiones de rama en función de las de las tensiones de nudos.

10. Repasando, lo primero que se ha hecho para escribir las ecuaciones de los nudos es escribir
las ecuaciones deducidas de la primera ley de Kirchhoff para todos los nudos de la red
menos uno. Este se toma como dato y las tensiones de los nudos se definen como las
tensiones de los demás nudos relativas a este nudo de referencia. Se sustituyen las
relaciones v-i en las ecuaciones deducidas de la primera ley de Kiirchhoff, pasando a ser las
variables de tensiones de las ramas. Estas se expresan entonces en función de las tensiones
de los nudos.
2.6.Traslación de fuentes.
Consideraremos la red (b) de la siguiente figura:
Rc
Ra Rb
Cc
Cb
La
Ca
Vg
ig
Rc
Rb
Cc
Cb
La
Ca
Vg
Vg
Vg
ig
ig
(b)
El generador vg se ha trasladado a través de uno de sus terminales a cada arco incidente en
este, manteniendo su propia referencia y dejando cortocircuitada si posición original. La
aplicación de la segunda ley de Kirchhoff a un bucle cualquiera muestra que estas
ecuaciones no han variado.
En el caso del generador de intensidad, se ha trasladado y colocado en paralelo con cada
arco de un bucle que contenía al generador original, manteniendo la referencia y dejando en
corto circuito su posición original. La aplicación de la primera ley de Kirchhoff a todos los
nudos mostrará que estas ecuaciones han permanecido invariantes.
Así pues, puede esperarse que las soluciones de las otras variables de arco sean las mismas
en esta nueva red que en la primitiva (a). A estas dos equivalencias se las conoce con los
nombres de traslación de tensión y traslación de intensidad, respectivamente.
2.7.Transformación de fuentes.
Otra forma de simplificar una red es transformando la Fuentes de voltaje en fuentes de corriente
equivalentes o viceversa. Por ejemplo, una fuente de tensión ideal en serie con una resistencia
puede representarse, con respecto a sus terminales de salida, como una combinación en paralelo de
una fuente ideal de corriente y la resistencia en cuestión.
Este razonamiento se puede aplicar a un inductor o a un capacitor en vez de la resistencia. Una
aplicación de esta transformación se muestra en el siguiente gráfico donde ambos circuitos simples
son equivalentes:
R1
V
I
V1
R1
V/R1
V1

11. 2.8.Elemento extraño.
- -
e e
+ +
i i
Un elemento pasivo no tiene efecto alguno sobre el resto del circuito, por tanto puede
omitirse sin que esto influya en las respuestas de la red, así la corriente por el elemento en
paralelo queda determinada únicamente por la fuente e, de la misma manera la caída de
voltaje en el elemento en serie queda determinada únicamente por la fuente de corriente i.
3.Materiales y Equipo.
- Reóstato de alambre nicromel como divisor de tensión 220 1 A
- Resistencias (lámparas incandescentes) 220 V, 200 W
- Transformador de 220V – 120V
- Fuente de alimentación regulable en corriente continua.
- Cables de conexión con terminales tipo banana y tenaza con derivación
- Pinza amperimétrica digital
- Amperímetros analógico-digitales
- Multímetros analógico-digitales
4.Montaje del experimento.
4.1.Para poder empezar a efectuar el montaje, definimos que circuito vamos a analizar,
donde decidimos analizar el siguiente circuito:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V B

12. 4.2.Entonces observamos que el circuito esta formado por un Puente de Wheatstone y una
fuente de voltaje en paralelo con una resistencia doble unida. Por tanto realizamos el
armado con los cables de conexión y los focos que en este caso llegan a ser las resistencias:
primero para el Puente de Wheatstone.
4.3.La resistencia doble (reóstatos) con la fuente de tensión en paralelo, se representa como
se muestra en el siguiente circuito:
Al puente de
Wheatstone
B
C A la
fuente
En realidad esta resistencia larga en el circuito, representa a dos resistencias (reóstatos), que
están conectadas en serie. También podemos señalar que las fechas indican a los cables de
conexión del circuito y sus direcciones de estos.
4.4.Una vez terminado y el revisado serio y correcto, del montaje del experimento
proseguimos con el procedimiento de y ejecución del experimento.
5.Procedimiento y ejecución.
5.1. Probar el tablero de trabajo en el que se conectará el circuito puente, es decir,
probar continuidad de cada receptor.
5.2. Conectar el circuito puente de la forma más simple, empezando por seriar los
cuatro receptores y derivar frente a frente con os cables unidos en el seriado, dos para el
receptor R5 y dos para la alimentación a la fuente.
5.3. Seleccionar los reóstatos que se usarán como divisores de tensión, es decir,
conectar en serie los reóstatos y alimentar estos a la fuente, y con un punto común y una
derivación del arreglo de reóstatos alimentar al puente.
5.4. Seleccionar un nodo de referencia el cual debe ser aterrado y a partir de este nodo
medir con un voltímetro los voltajes de nodo respectivos. Anotar los valores en la tabla de
lectura de datos.
5.5. Medir paralelamente corriente en cada receptor y calcular la resistencia en línea de
cada uno de los receptores unidos en el circuito. Anote en la tabla respectiva de lectura de
datos.

13. 5.6. Realizar las respectivas transformaciones para directamente aplicar el método de
voltaje de nodos.
5.7. Aplique el método matricial de voltaje de nodos según el circuito 1 y transforme
previamente en forma analítica la fuente de tensión en fuente de corriente.
5.8. Siguiendo los mismo pasos anteriores en el circuito 2, antes de aplicar el método
matricial de voltaje de nodos. Apelamos previamente a la traslación de fuentes y a partir de
ello transformamos las fuentes de tensión en fuentes de corriente y procedemos a aplicar el
método de voltaje de nodos.
5.9. Una vez calculado los diferentes voltajes de nodos, circuito 1 y circuito 2, verificar
con los datos obtenidos a través de la medición y calcular el error relativo con la siguiente
fórmula:
100



m
c
m
r
e
e
e
e
6. Circuitos de análisis.
Circuito propuesto N° 1:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V B
Lectura de corriente:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V
A
A
A
A
A
A
A
B
Lectura de voltaje:

14. R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V B
V
V V
V V
V
Circuito propuesto N° 2:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V
Lectura de corriente:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V
A
A
A
A
A
A
Lectura de voltaje:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V V
V V
V V
V
7. Lectura de datos.

15. Circuito 1:
V [V] I [A] R [] R0 [] Nodos
R1 67.3 0.462 18 16.93 A – X
R2 73.3 0.358 36 33.87 Y – A
R3 25.7 0.297 20 18.81 B – X
R4 19.4 0.521 11 10.34 Y – B
R5 6.2 0.165 19 17.87 X – Y
RAB 93 0.895 92 92 A – B
RCA 67.3 0.820 9 9 C – A
Donde:
VALIM = 109.1[V]
IALIM = 1.8 [A]
Circuito 2:
V [V] I [A] R [] R0 [] Nodos
R1 110 0.35 314.3 30.0 B – X
R2 94.0 0.57 164.9 17.4 X – C
R3 101 0.57 177.2 17.0 B – Y
R4 116 0.34 341.2 32.4 Y – C
R5 15.0 0.24 62.5 16.6 X – Y
RCD 0 - - 19.0 C – D
RDB’ 212 3.58 59.2 58.7 D – B’
Donde:
VALIM = 212 [V]
IALIM = 4.49 [A]
IP =0.91 [A]
8. Cuestionario.
8.1.-Demuestre que: [R] [I] = [V], puede también representarse por:
[I] = [G] [V].
Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas pueden
realizarse, entonces son válidos los siguientes teoremas de aritmética matricial, además,
tomando en cuenta que los axiomas de los números reales son válidos para cualquier
aplicación de dichos números.

16. [R] [I] = [v]
:
Expresión original
[R] [I] [R]-1
= [V][R]-1
Axioma 7
:
Existencia del inverso
multiplicativo
[R]-1
[R] [I] = [R]-1
[V]
Axioma 6
:
Conmutatividad del
producto
([R]-1
[R]) [I] = [R]-
1
[V]
Teorema 2
:
Asociatividad del producto
[I][I] = [R]-1
[V]
Teorema 1.4.5
:
El producto de una matriz
por su inversa, es igual a la
matriz identidad
[ I ] =[R]-1
[V]
Teorema 1.4.3
:
El producto de la matriz
identidad por si misma es
igual a la misma matriz
[I] =[G][V]
:
De la condición del
problema
Los teoremas utilizados para la demostración anterior serán demostrados en la parte del
anexo; los axiomas no se pueden demostrar ya que se consideran como verdades
incuestionables.
8.2.-Explique el método de transformación de fuentes.
R1
V
I(t)
V1(t)
Sea v(t) el voltaje de la fuente y v(t) el voltaje en el nodo ubicado entre el resistor R y el
resto de la red. La ley de voltajes de Kirchhoff para el circuito es:
v(t) = R1 i (t) + v1 (t)
R1
v(t)/R1
v1(t)
i(t)

17. 1
1
1
)
(
)
(
)
(
R
t
v
R
t
v
t
i 

En esta ecuación de corriente se identificará cada uno de los términos individuales en
relación con la red de la figura. El término v(t)/R1 representa la corriente de la fuente, el
término v(t)/R1 representa la corriente en el resistor r, conectado en paralelo con la fuente
de corriente; este resistor se conecta en paralelo, porque si estuviese en serie se formaría un
elemento extraño cuya corriente ya esta definida y saldría de la red; y para que la corriente
i(t) que alimenta a la red no varié, ya que se divide en dos partes una por el resistor R, y
otra a la red. La diferencia de estas dos corrientes es la corriente que va a al red externa,
i(t). Se observará que i(t) y v(t) son iguales para as dos redes. Respecto al resto de la red, las
combinaciones-resistor de la figura se describen por medio de las mismas ecuaciones, de
manera que también son equivalentes.
8.3.-Demuestre el método de transformaciones de fuentes.
Para realizar la demostración vamos a suponer que el dipolo de la figura (a) conectado a los
terminales de a-b de la fuente resistiva de tensión, esta formado por una combinación
arbitraria de elemento. El mismo dipolo se conecta entre terminales a’-b’ de la fuente
resistiva de corriente como s observa en la figura (b). Si la respuesta de los elementos
representados por el dipolo a las dos fuentes a de ser la misma (para que las fuentes sean
equivalentes con respecto a sus terminales de salida), habrán de cumplirse las condiciones
siguientes.
Rs
v(t)
i(t)
ab carga
a
b
R's
i(t)
a
b
carga
i'(t)
Va’b’ (t) = vab (t) ............................. (1)
i’ (t) = vab (t) .............................(2)
Dadas estas condiciones, necesitamos hallar la relación entre U(t), i(t), R y R’, No
pode3mos hallar los valores de la corrientes i o i’ que circulan por las cargas pues la
naturaleza y valor4 de los elementos que las componen no son conocidos y además, son
arbitrarias.
De la figura (a) tenemos:
s
ab
s
ab
R
t
V
R
t
V
t
i
)
(
)
(
)
( 
 (5)
De la figura (b) tenemos:
s
b
a
R
t
V
t
i
t
i
'
)
(
)
(
)
(
' '
'

 (4)

18. Las condiciones planteadas al inicio han de cumplirse para cualquier función arbitraria v(t)
por (2) y (4)
s
ab
s
s
b
a
R
t
V
R
t
V
R
t
V
t
i
)
(
)
(
'
)
(
)
( '
'


 (5)
Si la equivalencia ha de ser válida Va’b’ = Vab y la ecuación puede ponerse en la forma:
)
(
)
(
'
1
1
)
( t
i
R
t
V
R
R
t
V
s
s
s
ab 









 (6)
Ahora bien, v(t) es una función del tiempo no especificada V(t) es arbitraria nada más que
en el sentido de que depende de los elementos de la carga y además de V(t). La Ec. (6)
establece que la función arbitraria V(t)/RS – i(t) ha de ser igual también a la función
arbitraria Vab(t)(1/RS -1/R’S). Ello es posible si cada uno de los miembros de la ecuación (6)
son iguales a cero.
Las condiciones para la equivalencia (con respecto a sus terminales de salida) de las dos
fuentes de la figura (a) y (b) son:
RS = R’S
)
(
)
(
t
i
R
t
V
s
 (7)
De donde obtenemos:
i(t) RS = V(t)
que es la tensión en los terminales de cualquiera de las fuentes si no hay elemento alguno
conectado a los mismo (circuitos abiertos).
s
R
t
V
t
i
)
(
)
( 
es la corriente que circula de a-b en cualquiera de los circuitos al poner en corto circuito
ambos terminales.
Observamos que al transformar una fuente resistiva de tensión, la fuente de corriente
correspondiente i(t) tiene la misma onda que la corriente que circula por Rs, si los
terminales de la fuente de tensión se cortocircuitan,. A esta corriente se le denomina la
corriente de cortocircuito de las fuentes reales. De modo semejante, si una fuente de
corriente se transforma en fuente de tensión que aparece en R’s si no se conecta elemento
alguno en los terminales de la fuente de corriente, a esta tensión se la denomina tensión a
circuito abierto de las fuentes resistivas.
8.4.-Explique a que se denomina aterramiento.

19. Se denomina aterramiento a proveer un camino de descarga para las corrientes de corto
circuito y descargas atmosféricas, mantener un potencial referencia para la seguridad de los
instrumentos, proteger la operación de procesos de electrónicos de control y comunicación.
Una tierra esta compuesta por una varilla metálica conductora, una placa, una grilla o
tubería enterrados en el suelo usados para mantener el potencial de tierra en las conductores
a los que se conecta y para disipar el suelo, cualquier corriente que se dirige a ellos. En la
fig. (a) se muestra el esquema de un aterramiento. Cuando es necesario se colocan mallas
de aterramiento como se muestra en la figura (b).
Una tierra esta medida por su resistencia en ohmios de la allá de tierra y de la resistividad
en ohmios de la malla de tierra y del a resistividad en ohmios – centímetro del terreno, nos
permitirá obtener un parámetro del control a través del cual se pueda ver el estado de
comportamiento eléctrico de la puesta a tierra en diferentes épocas del año y sobre una base
si se encuentran valores de resistencia fuera de lugar (muy altos), y tratar de llevar estos
valores óptimos (más bajos).
En la figura se presenta un sistema aterrado donde la resistencia a tierra es bastante alta (15
). Si ocurre un corto circuito debido a una falla d asilamiento entre 2500 volts de la línea
a ala torre metálica aterrada, esto producirá una corriente de falla de valor:
]
[
100
15
10
2500
A
R
Z
E
I 




la persona que toca la torre sufrirá una descarga de:
V = R * I = 15 x 100 =1500 [v]
Este voltaje podría ser fatal (solo 100 mA por seg. Pueden causar la muerte).

20. Se dice que un equipo o instalación esta puesta a tierra cuando existe una conexión eléctrica
entre este y una malla o un electrodo de tierra.
MEJORAMIENTO DE LA TIERRA
Para mejorar la tierra se coloca a la tierra capas de carbón, brava y bentonita (fig. 3) con lo
que se logra rebajar la resistencia ohmica de la tierra que tiene que ser menos o igual a 5
ohm, otra forma de mejorar es colocar mallas conexiones a tierra como se muestra en la
Fig. 2, b) con lo que se logra rebajar mucho más la resistencia de la tierra.
Figura 3.- Esquema para el mejoramiento de la tierra
8.5.-A que se denomina elemento extraño en circuitos con fuente de corriente y fuente
de tensión.
Se define como elemento extraña de una red a un resistor que se encuentre en paléelo con
una fuente de voltaje, como se muestra en la figura (1), se le llama así ya que la corriente
que pasa por este resistor esta determinada por la fuente de voltaje, por l cual al momento
de realizar los cálculos se omite dicho resistor, e inclusive se lo puede eliminar de la
representación gráfica de la red.
V V
En el caso de que se tenga un resistor conectado en serie con una fuente de corriente, figura
(2), se procede a eliminarlo como en el anterior caso, esta ausencia si se controla en los
circuitos no nos causara errores posteriores.
I I
8.6.-Si el circuito se aterra en el nodo “B” y la fuente, ¿Qué ocurre topológicamente y
operacionalmente?
Soldadura de plata
Bentonita
Grava
Carbón

21. Cortocircuitando el nodo B y la fuente, el circuito resultante estará compuesto solamente de
una resistencia conectada en serie a la fuente, por lo que la corriente crecerá
apreciablemente. El circuito equivalente se muestra en la siguiente figura:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R3
R2
A
C
V B
I
V
A
B
Si se cortocircuita el nodo Y y la fuente, el circuito resultante es casi el mismo con la
diferencia de que R5 y R3 se encuentran en paralelo y R4 desaparece. La corriente de
alimentación crece con respecto a la corriente del cir4cuito original.
R1
R5
R4
X Y
B
C
R3
R2
A
C
V B
R1
R5
X Y
B
C
R3
R2
A
C
V B
8.7.-¿Qué ventajas se encuentra entre el método de voltaje de nodos y el de corriente
de mallas en los circuitos de ensayados?
En el circuito estudiado, se aprecia que es más ventajoso usar el método de voltaje de nodos
al momento de realizar los cálculos, ya que el número de ecuaciones es menor en una
unidad al número de ecuaciones que se obtiene al resolver el mismo circuito por el método
de corrientes de mallas.
Gráficamente tenemos el circuito estudiado:
a) Por el método de voltaje de nodos:
1
2
3
4
Aterrando el nodo se tiene las siguientes tres ecuaciones:
Nodo 1: (V1 - V3)/R3 + (V1 – V2)/R5 + V1/R4= 0 (1)
Nodo 2: (V2 -V1)/R5 + (V2 – V3)/R1 + V2/R2 = 0 (2)

22. Nodo 3: V3/R + (V3 – V1)/R3 + (V3 – V2)/R1 = 0 (3)
Matricialmente se tiene:














































































0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
1
3
1
3
1
2
1
5
5
3
5
4
5
3
V
V
V
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
b) Por el método de corrientes de malla:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R
R3
R2
A
C
V
Malla 1: RI1 - RI2 - RI3 = V (1)
Malla 2: -RI1 + (R + R1 + R2)I2 + (R + R2)I3 + R2I4 = 0 (2)
Malla 3: -RI1 + (R + R2)I2 + (R + R3 +R5+R2)I3 + (R2 +R5)I4 =0 (3)
Malla 4: R2I2 + (R5 + R2)I3 + (R2+R4+R5)I4 = 0 (4)
Se obtienen cuatro ecuaciones.
Matricialmente tenemos:





















































0
0
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
4
3
2
1
5
4
2
2
5
2
5
2
2
5
3
2
2
2
2
1
V
I
I
I
I
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
8.8.-Realice un análisis justificado y compare con los valores lecturados.
R1
R5
R4
X Y
B
C
R1
R3
R2
A
C
V B
Circuito 1

23. R1
R5
R4
X Y
B
C
R
R3
R2
A
C
V
Circuito 2
Por el método de voltaje de nodos:
V1 (1/R1 + 1/R2) - V2 (1/R1) - V3 (1/R2) = I alimen-puente
- V1 (1/R1) + V2 (1/R1 + 1/R3 + 1/R5) - V3 (1/R5) = 0
- V1 (1/R2) - V2 (1/R5) + V3 (1/R2 + 1/R4+1/R5) = 0
Para el circuito 1 tenemos:
R1 = 18 

R2 = 36 

R3 = 20 

R4 = 11 

R5 = 19 

I alimen-puente = 1.8 [A]
Reemplazando valores y resolviendo el sistema se tiene:
V1 = 36.06 [V]; V2 = 16.27 [V]; V3 = 10.84 [V]
Para el circuito 2 tenemos:
R1 = 314.3
R2 = 164.9
R3 = 177.2
R4 = 341.2
R5 = 62.5
I BC = 4.49 A
Reemplazando valores y resolviendo el sistema tenemos:
V1 = [V]; V2 = [V]; V3 = [V]
Tabla comparativa:

24. CIRCUITO 1 CIRCUITO 2
Experimental
(V)
Teórico
(V)
Er (%) Experimental
(V)
Teórico
(V)
Er (%)
R1 76 110
R2 67 94
R3 72 101
R4 81 116
R5 9 15
8.-9¿El segundo circuito estudiado, se puede representar por dos circuitos
equivalentes ?. Indique cuales son y como trabajan.
El segundo circuito estudiado es:
R1
R5
R4
X Y
B
C
R
R3
R2
A
C
V
Como se ve, las resistencias R1, R2 y R5 presentan la forma DELTA, por lo cual
transformamos a la forma ESTRELLA:
R1= R2 +R3 +R5
Rb = R1R2/Rh
Rb = R1R5/Rh
Rc = R2R5/Rh
Rb
R4
B
C
R
Rc
R2
A
C
V
Ra
Luego Rb y R3 están en serie, lo propio con Rc y R4 por lo que:

25. Rd = Rb + R3
Re = Rc + R4
Rd
B
C
R Re
A
C
V
Ra
Seguidamente, vemos que Rd y Re están en paralelo:
Rf=Rd * Rc/(Rd+Re)
Rf
B
C
R
A
C
V
Ra
Finalmente Ra y Rf están en serie por lo que:
Rf
B
C
R
A
C
V
Rg = (Ra+ Rf) ; Rg = Req
8.10.-Elabore un programa en un programa para resolver circuitos puente.

26. Programa elaborado en PASCAL
PROGRAM PUENTE;
USES CRT;
CONST N=10;
VAR A, B, C, D, G, F, I, VA, VX, VY, VR1, VR2, VR3, VR4,
VR5:REAL;
R1, R2, R3, R4, R5, B1, C1, F1, H, J:REAL;
BEGIN
CLRSCR;
WRITELN;
WRITELN;
WRITELN;
WRITELN (' VOLTAJE DE NODOS');
WRITELN;
WRITELN (' INTRODUZCA LOS VALORES DE LAS RESISTENCIAS
Y CORRIENTES');
WRITELN (' DE ALIMENTACION O LA FUENTE DE ACUERDO AL
CIRCUITO PUENTE');
WRITELN (' DEL INFORME.');
WRITELN;
WRITE (' R1 ');READLN (R1);
WRITE (' R2 ');READLN (R2);
WRITE (' R3 ');READLN (R3);
WRITE (' R4 ');READLN (R4);
WRITE (' R5 ');READLN (R5);
WRITE (' i ');READLN (I);
A:=1/R1+1/R3;
B:=1/R1;
B1:=B;
C:=1/R3;
C1:=C;
D:=1/R1+1/R2+1/R5;
F:=1/R5;
F1:=F;
G:=1/R3+1/R4+1/R5;
H:=0;
J:=0;
WRITELN;
WRITELN ('LAS ECUACIONES SON: ');
WRITELN;
WRITELN ('Va',A:2:3,' - Vx',B1:2:3,'- Vy',C:2:3,' =
',I:2:3);
WRITELN ('- Va',B:2:3,' + Vx',D:2:3,'- Vy',F1:2:3,' =
',H:2:3);
WRITELN ('- Va',C:2:3,' - Vx',F:2:3,'+ Vy',G:2:3,' =
',J:2:3);
READLN;
WRITELN;
WRITELN ('REDUCIENDO EL SISTEMA: ');
B:=A*B1/A-B; D:=-B1*B1/A+D; F1:=-C*B1/A-F; H:=I*B1/A;
WRITELN ('Va',A:2:3,' - Vx',B1:2:3,'- Vy',C:2:3,' =
',I:2:3);
WRITELN ('- Va',B:2:3,' + Vx',D:2:3,'- Vy',F1:2:3,' =
',H:2:3);
WRITELN ('- Va',C1:2:3,' - Vx',F:2:3,'+ Vy',G:2:3,' =
',J:2:3);

27. WRITELN;
C1:=A*C/A-C1; F:=-B1*C/A-F; G:=-C*C/A+G; J:=I*C/A;
WRITELN ('Va',A:2:3,' - Vx',B1:2:3,'- Vy',C:2:3,' =
',I:2:3);
WRITELN ('- Va',B:2:3,' + Vx',D:2:3,'- Vy',F1:2:3,' =
',H:2:3);
WRITELN ('- Va',C1:2:3,' - Vx',F:2:3,'+ Vy',G:2:3,' =
',J:2:3);
F:=D*F/D-F; G:=-F1*F/D+G; J:=H*F/D+J;
WRITELN;
WRITELN ('Va',A:2:3,' - Vx',B1:2:3,'- Vy',C:2:3,' =
',I:2:3);
WRITELN ('- Va',B:2:3,' + Vx',D:2:3,'- Vy',F1:2:3,' =
',H:2:3);
WRITELN ('- Va',C1:2:3,' - Vx',F:2:3,'+ Vy',G:2:3,' =
',J:2:3);
Vy:=J/G; Vx:=(H+F1*Vy)/D; Va:=(I+C*Vy+B1*Vx)/A;
READLN;
CLRSCR;
GOTOXY(5,10);
WRITELN (' LOS VOLTAJES EN LOS NODOS SON:');
WRITELN (' Va = ',Va:2:3,' Vx = ',Vx:2:3,' Vy =
',Vy:2:3);
READLN;
END.
9.-CONCLUSIONES.
Efectuando la práctica podemos llegar a las siguientes conclusiones del método:
 Se comprobó que el método es una alternativa interesante para el análisis de
circuitos eléctricos, pero debe tomarse solo como una herramienta en la
resolución de circuitos.
 Existen nuevos conceptos enfocados en este método, por ejemplo:
1. Aterramiento.
Observamos la importancia que tiene el aterramiento de circuitos eléctricos y más si
analizamos las partes componentes de un sistema de aterramiento, uno que tiene que ver
con el circuito activo y otro con el circuito inactivo,. Para el primero debemos llevar
adelante un análisis previo de operación y protección ya que el sistema debe estar exento de
fallas de aislamiento; el segundo siempre demos realizarlo con mucho cuidado como parte
de nuestra propia protección. Los componentes de un sistema de aterra miento son: cable de
aterramiento, grillas de sujeción, varillas metálicas y tierra de baja resistencia.
2. Transformación de fuentes.
El método nos obliga a trabajar con fuentes de corriente, para ello apelamos a la ley de
Ohm para efectuar la transformación de tensión en corriente y viceversa.
En esta práctica de laboratorio observamos y comprendimos la importancia que tiene el
sistema de aterra mient0o de un circuito o una red, por que aterrar significa mantener un
potencial cero de referencia con la que se proporciona seguridad a los instrumentos y al
personal, también aprendimos que la resistencia de puesta a tierra debe tener un valor
pequeño, por ejemplo menos o igual a 5 ohmios.
o El método de voltaje de nodos requiere un nodo de referencia por lo tanto
éste requiere un potencial cero y esto se logra aterrando éste nodo.

28. o También se pudo apreciar que los métodos de traslación y transformación de
fuentes son de gran importancia, porque con estos métodos se puede reducir
la complejidad del circuito a analizar.
o En esta práctica de laboratorio se pudo apreciar que el método de voltaje de
nodos es una alternativa conveniente por que éste método requiere de menos
ecuaciones que en el método de mallas para su resolución.
10.-BIBLIOGRAFÍA.
 Teoría de Redes eléctricas BALABANIAN
 Análisis de Redes VAN VALKENBURG
 Análisis de Circuitos Eléctricos EGON BRENNER, D.E.E.
 Circuitos Eléctricos I GUSTAVO NAVA BUSTILLO
 Introducción al Álgebra Lineal BOWARD ANTÓN
 Álgebra Lineal EDUARDO RAFFO LECCA
 Circuitos Eléctricos JAMES NILSSON