El documento describe diferentes métodos para representar superficies geométricas, incluyendo la representación implícita, explícita y paramétrica. Explica que la representación paramétrica expresa las coordenadas x, y, z en función de dos parámetros u y v, lo que resulta útil para estudiar las superficies. A continuación, proporciona ejemplos de representaciones paramétricas para superficies como la esfera, el cono, el cilindro, el paraboloide, el plano y el elipsoide.

1. Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Nicolás
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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Representación paramétrica de una superficie
La representación implícita de una superficie es el conjunto de puntos ),,( zyx que satisfacen
una ecuación de la forma 0),,( zyxF .
Cuando es posible despejar en la ecuación una de las coordenadas en función de las otras dos,
por ejemplo z en función de x e y , se obtiene una representación explícita de la forma
),( yxfz  .
Existe un tercer método de representación de superficies que es más útil en el estudio de las
mismas; es la representación paramétrica o vectorial por medio de tres ecuaciones que
expresan zyx ,, en función de dos parámetros u y v .
),(),(),( vuZzvuYyvuXx  [1]
Si introducimos el radio vector r que une el origen a un punto genérico ),,( zyx de la superficie,
es posible combinar las tres ecuaciones paramétricas [1] en una ecuación vectorial de la forma
kyxZjyxYiyxXvur

),(),(),(),(  . Esta es la ecuación vectorial de la superficie.
Existen, naturalmente, muchas representaciones paramétricas de las superficies. A continuación
se propone una de ellas para cada superficie.
Superficie Ecuación cartesiana Representación paramétrica
ESFERA
2222
azyx 
)cos(
)()(
)()cos(
vaz
vsenusenay
vsenuax



  vu 020
CONO
222
zyx 
uz
vsenuy
vux



)(
)cos(
2021  vrur

2. Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Nicolás
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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CILINDRO
222
ayx  zz
vsenay
vax



)(
)cos(
2120 zzzv  
PARABOLOIDE
22
yxz 
2
)(
)cos(
uz
vsenuy
vux



2021  vrur
PLANO
1 zyx vuz
vy
ux



1
uvxu  100 1
ELIPSOIDE
12
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
)cos(
)()(
)()cos(
vcz
vsenusenby
vsenuax



  vu 020
Bibliografía sugerida
Superficies paramétricas: LARSON- HOSTETLER- EDWARD (1995): “Cálculo y Geometría
analítica”. Tomo 2. Quinta edición. Pág. 1208-1212