1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente. 2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto. 3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de

1. 1
1.3 Planos tangentes y rectas normales a las superficies
Se llama plano tangente a una superficie (S) en un punto P de la misma, al plano que contiene
todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al
plano tangente.
Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación, entonces
la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por
la ecuación:
y la recta normal por:
Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita
entonces: La ecuación del plano tangente en el punto viene definida
por
Y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función.
Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la
superficie.

2. 2
Ejemplo 1
Determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación
en el punto .
Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
En el punto las derivadas parciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto es:
O bien, simplificando
y la ecuación de la recta normal es:
Ejemplo 2
Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto
Comenzamos calculando las derivadas parciales
En el punto las derivadas parciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto es:
Al simplificar
Ejercicios propuestos
En los siguientes problemas determine una ecuación del plano tangente y de la recta normal a la
superficie dada en el punto indicado P

3. 3
11) Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto
12) Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide en el punto
1.4 Máximos y mínimos de las funciones de dos variables
Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R del
plano xy.
Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor mínimo.
Al menos hay un punto en R en el que f adquiere se valor máximo.
Definición:
Una función de dos variables tiene un máximo
local en si cuando está cerca
de (esto significa que para todos los
puntos en algún disco con centro en ). El
número se llama máximo local.
Si cuando está cerca de
entonces es un mínimo local.
Si f tiene un máximo o un mínimo local en y hay
derivadas parciales de primer orden de f, entonces
. El punto se denomina un
punto crítico de f.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

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Ejemplo
Hallar los máximos y mínimos de
Solución:
Las derivadas parciales son
Cuando
Como
Luego Por tanto, para (punto crítico). Es evidente que
es un mínimo de la función.
Geométricamente, es el mínimo de la superficie
Ejercicios propuestos
Hallar los máximos y mínimos de las funciones:
Cálculo de extremos relativos.
Teorema Criterio de la segunda derivada y Criterio del Hessiano
Función de dos variables
Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco con centro en
y que (es decir es un punto crítico de f).
Sea donde D es el determinante
de su matriz Hessiano, entonces:
Si
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)

5. 5
Si
Si
Si
Punto silla
Definición: Los puntos silla son puntos que de acuerdo como
se mire la grafica es máximo y mínimo al mismo tiempo.
Un buen ejemplo se da en el paraboloide hiperbólico
justamente su gráfica es de forma de
una silla de montar de ahí viene el nombre de punto silla.
En la función el punto silla es el .
Ejemplo
Encuentre el máximo o mínimo local y los puntos sillas de
Solución:
Al sustituir de (3) en (4), tenemos:
La expresión solo aporta raíces o ceros complejos.
Como en los reales , concluimos que
Más en los reales . Concluimos que .
De donde salen las raíces
Como de (3) , encontramos que los puntos son los puntos críticos.
Ahora Luego
Lo que sucede es que cuando las segundas derivadas parciales son continuas, como en este
caso, entonces
En

6. 6
En
En
El valor mínimo local en , que por coincidencia es el mismo valor local .
Funciones de tres o más variables
Calculamos los siguientes determinantes:
Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en
Si los determinantes tienen signo alterno, comenzando con un valor negativo ,
entonces la función tiene un máximo en
En cualquier otro caso hay duda.
Ejemplo 1
Hallar los extremos de la función
Solución:
Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
Resolviendo el sistema obtenemos

7. 7
Luego es el único punto crítico de la función.
Hallamos la matriz Hessiano de f en
Con lo cual tenemos luego hay extremo y como entonces se trata de
un mínimo. El valor de la función en el mínimo es
Ejemplo 2
Hallar los extremos de la función
Solución:
Calculamos las derivadas parciales de primer orden
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.
Resolviendo el sistema obtenemos
Luego es el único punto crítico de la función.
Hallamos la matriz Hessiano de f en
Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:

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Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.
Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta
observar la función para ver que se trata de un punto silla
Para los puntos del tipo y
para los puntos del tipo
Observación: Un punto silla no significa que la gráfica
tenga necesariamente la forma de una “silla de montar”, sino simplemente que cerca del punto
crítico la función toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho punto.
Ejercicios propuestos
Calcular los valores máximos y mínimos locales, así como los puntos de silla de la función
1)
2)
3)
4)
5)
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10)
11)
12)