es algebra lineal

1. PROGRAMACIÓN
DINÁMICA
DETERMINÍSTICA

2. Supongamos que usted vive en la cuidad “T”, y decide
ir de vacaciones a la ciudad “O”; y desea seleccionar la
ruta más corta entre dichas ciudades.
La red a continuación muestra las rutas posibles entre
ambas ciudades las cuáles cruzan por las ciudades
intermedias A-E.
EJEMPLO 01: DETERMINACIÓN DE
RUTA MÍNIMA

3. ETAPA
03
ETAPA
02
ETAPA 01

4. F3 F3*
A 7 O
B 8 O
C 5 O
F2*(S2) X2*
D 12 C
E 17 B
F1*(S1) X1*
T 21 D
Recorrido: T a D D a C C a O
S2
S3
X1 = D
F1(S1) = C(S1,X2) + F2*(X1) SOLUCIÓN ÓPTIMA
S2
SOLUCIÓN ÓPTIMA
F2(S2) = C(S2,X3) + F3*(X2)
9 + 12 = 21 6 + 17 = 23
X1 = E
7 + 5 = 12
13 + 5 = 18
12 + 7 = 19
-
X2 = A X2 = B
8 + 8 = 16
9 + 8 = 17
5
X2 = C
F3(S3) = C(S3,X3)
X3 = O
SOLUCIÓN ÓPTIMA
7
8

5. El gerente de ventas de una editorial de libros universitarios tiene seis agentes de ventas que
puede asignar a tres regiones distintas del país. Ha decidido que cada región debe tener por lo
menos un agente y que cada uno de éstos debe quedar restringido a una de estas regiones, pero
ahora quiere determinar cuántos agentes debe asignar a las respectivas regiones con el fin de
maximizar las ventas.
La tabla adjunta da el incremento estimado de las ventas en cada región (en las unidades
apropiadas) si se le asignan diferentes cantidades de agentes:
Utilice la programación dinámica para resolver este problema. Utilizar todos los estados posibles para
observar al final cuáles fueron los necesarios.
EJEMPLO 02

6. SOLUCIÓN:
•Variables:
f: max venta n: 3
Xn: cantidad de agentes asignados a la región n
Sn: cantidad de agentes disponibles para asignar a la región
n

7. Asignación de agentes
REGION 1: 2
REGION 2: 1
REGION 3: 3
ESTIMADO DE VENTAS: 47

8. EJEMPLO 03:
Distribución de brigadas médicas El WORLD HEALTH COUNCIL, se dedica
a mejorar la atención médica en los países
subdesarrollados del mundo. Dispone de 5
brigadas médicas para asignarlas a tres de
estos países.
El consejo necesita determinar cuántas
brigadas debe asignar a cada país (si lo
hace) para ello utiliza como indicador de la
eficiencia el número de años de vida
adicionales por persona en función del
número de brigadas enviadas a cada país,
que se encuentra en la tabla adjunta
(cantidades divididas por mil). ¿Cual es la
asignación que maximiza las medidas de
eficiencia?.
Resolver utilizando la programación
dinámica

9. Paises a los cuales se les debe asignar las
brigadas.(n=1 País 1, n=2 País 2, n=3 País 3)
Etapas
Número de brigadas asignadas al país n.
Variables de decisión(Xn)
Número de brigadas médicas disponibles para
asignarse a los países restantes
Estado(Sn)
01
02
03
Sea Pi (Xi) la medida del desempeño por asignar Xi
brigadas médicas al país i, entonces.
fn(Sn, Xn) = max(Pn(Xn) + fn+1 *(Sn- Xn))
Ecuación de recursividad
04

10. N=3 País 3
F3(s3,x3)=p3(x3)
S3 X3
0 1 2 3 4 5
f3*(s3) x3*
0 0 0 0
1 50 50 1
2 70 70 2
3 80 80 3
4 100 100 4
5 130 130 5
S2 X2
0 1 2 3 4 5
f2*(s2) x2*
0 0 0 0
1 50 20 50 0
2 70 50+20=70 45 70 0-1
3 80 70+20=90 50+45=95 75 95 2
4 100 80+20=100 70+45=115 50+75=125 110 125 3
5 130 100+20=120 80+45=125 70+75=145 50+110=160 150 160 4
N=2 País 2 f2(s2,x2)=p2(x2)+f3*(s2-
x2)
N=1 País 1
f1(s1,x1)=p1(x1)+f2*(s1-x1)
S2 X2
0 1 2 3 4 5
f1*(s1)
x1*
5 160 125+45=170 95+70=165 70+90=160 50+105=155 120 170 1
Así la asignación óptima será:
País 1 1
País 2 3
País 3 1
RESPUESTA:
Fn(Sn,Xn) = max{P(Xn)+Fn+1(Sn-Xn)}

11. EJEMPLO 04: Carga del contenedor
ARTICULO n Pn in
1 2 31
2 3 47
3 1 14

12. • Etapa: Cada tipo de artículo hace
referencia a una etapa(n).
• Estado: La disponibilidad respecto a la
capacidad del barco(Sn).
• Decisión: Cuántas unidades de cada tipo
de artículo llevar(Xn).
• Función recursiva: Representa el total de
ingreso que se quiere maximizar.

13. ETAPA
3

14. ETAPA
2

15. ETAPA
1
 PARA MAXIMIZAR LOS INGRESOS, OBSERVAMOS LA SOLUCIÓN OPTIMA ES CARGAR 2
UNIDADES DEL ARTICULO 1, QUE GENERA UNA GANANCIA DE $62 MIL.
 MEDIANTE LA FUNCION:
fn*(Sn,Xn)= Max[in(Xn) + fn+1*(Sn - pn(Xn))]

16. Una empresa requiere tener una máquina que trabaje durante los 5 años siguientes. En la actualidad tiene una
máquina nueva. La compañía podría conservar la máquina o venderla al empezar cada año y comprar una nueva.
Una máquina nueva cuesta 5000 dólares.
Los ingresos obtenidos con la máquina, el costo de mantenimiento y el valor de salvamento que se puede obtener
al venderla al final del año, dependen de la edad de la máquina (véase tabla). Puede utilizarse una máquina hasta
un máximo de tres años de antigüedad.
Utilice la programación dinámica para maximizar la utilidad neta ganada durante los seis años siguientes
EJEMPLO 05: CONSERVACIÓN O REEMPLAZO
DE MAQUINARIAS

18. Como esta es la última etapa, la maquina debe venderse, y no hay
contribuciones posteriores. El estado de la etapa n es la antigüedad
t de la máquina al inicio del año n, entonces: