2010 i semana 16

UNMSM - CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2010 – I
SOLUCIONARIO GENERAL (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
Semana Nº 16
Habilidad Lógico Matemática
SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CLASE Nº 16
1. En la figura, recorriendo solamente por los segmentos, hacia la derecha o hacia
abajo, ¿cuántas rutas distintas existen para ir desde el punto A al punto P, pasando
por los puntos R y S?
A) 1020
B) 1320
C) 1400
D) 1520
E) 2100
Solución:
A→R
5!
10
3! 2!
⇒ = ; R→S
8!
28
6! 2!
⇒ = ; S→P
5!
5
1!4!
⇒ = .
Total .10 28 5 1400= × × =
Clave: C
2. La figura muestra una circunferencia secante a las dos circunferencias tangentes.
Recorriendo por los arcos de las circunferencias, sin pasar dos veces por el mismo
punto, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto P al punto Q?
A) 36
B) 32
C) 34
D) 40
E) 38
Solución:
1) Veamos:
A
R
S
P
Abajo
Derecha
P Q
P Q
M A
N
B
C

2) Número de rutas de P pasando por M hasta Q: 4+6+7=17
Rutas pasando por A: PMAQ; PMACQ; PMABCQ; PMABNCQ ⇒ 4 rutas
Rutas pasando por B: PMBAQ; PMBCAQ; PMBCQ; PMBACQ; PMBNCAQ;
PMBNCQ ⇒ 6 rutas
Rutas pasando por N: PMNCQ; PMNCAQ; PMNCBAQ; PMNBCQ; PMNBAQ;
PMNBACQ; PMNBCAQ ⇒ 7 rutas
3) Por analogía, se tiene que:
Número de rutas de P pasando por N hasta Q: 17
4) Por tanto, el total de rutas de P a Q: 17+17 = 34.
Clave: C
3. La figura muestra un octaedro construido con 12 segmentos de igual longitud.
Recorriendo solamente por los segmentos de las aristas del octaedro y sin pasar dos
veces por el mismo punto, ¿cuántas rutas distintas existen desde el punto P al punto
Q?
P
Q
A) 24
B) 20
C) 28
D) 32
E) 36
Solución:
1) Veamos:
P
Q
BA
D C
2) Número de rutas de P pasando por A hasta Q: 1+3+3=7
Rutas: PAQ ; PABQ ; PABCQ; PABCDQ; PADQ; PADCQ; PADCBQ.
3) Por analogía, se tiene que:
Rutas de P pasando por B hasta Q: 7
Rutas de P pasando por C hasta Q: 7
Rutas de P pasando por D hasta Q: 7
4) Por tanto, el total de rutas de P a Q: 7 4 28× =
Clave: C
Semana Nº 16

Semana Nº 16
4. En la figura las líneas representan caminos .Calcular de cuantas maneras diferentes
se puede ir de A hasta B sin retroceder en ningún momento y luego volver hasta A
por un camino que no repita ningún tramo del camino de ida.
A) 114
B) 118
C) 115
D) 116
E) 117
Solución:
Analizando las distintas formas de ir y volver se tiene:
Ida: Regreso:× × =2 4 2 16 × + × × =2 1 1 3 1 5 Entonces × =16 5 80
Ida: Regreso:× =2 2 4 × + × × =1 1 2 4 1 9 Entonces × =4 9 36
TOTAL= 80+36 = 116.
Clave: D
5. En la figura las líneas representa caminos. Si solo se puede ir hacia la derecha o
hacia abajo, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de A hasta B?
A) 6400
B) 6641
C) 6541
D) 6401
E) 5055
A B

Solución:
FORMA1:
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
2 3 4 5
3 6 10 15
4 10 20 35
5
6
7
8
9
15
21
28
36
45
35 70
56 126 196 266 336
120
165
84 210
330
495
406
736
1231
672
1408
2639
1008
2416
5055
A
B
FORMA 2: Analizando las distintas rutas que se pierden por no tener la parte superior de la
figura
En X: 126-70 = 56
Y: 210-70 = 140
Z: 330-70 = 260
Entonces calculamos cuantas rutas se pierden en total
56 196 456
56
56
56
252
308
364
708
1016
1380
X Y Z
56 140 260
LUEGO TOTAL DE RUTAS:
15!
1380 5055
8!7!
− =
Clave: D
6. Se reparte una cierta cantidad de dinero entre tres amigos en forma proporcional a 3,
5 y 7. Si el reparto se hubiese efectuado en forma proporcional a 1, 2 y 3, uno de los
amigos hubiese recibido S/. 90 más. ¿Cuánto es la cantidad total repartida?
A) S/. 2700 B) S/. 3200 C) S/. 2500 D) S/. 2300 E) S/. 3000
Solución:
Sea el monto a repartir: M
1ra forma cada uno recibe: A, B y C
⎧
= = = ⇒ = = = =⎨
⎩
3 , 5 , 7 y 15
3 5 7
A B C
k A k B k C k M k
Semana Nº 16

Semana Nº 16
2da forma cada uno recibe: P, Q y R
⎧
= = = ⇒ = = = =⎨
⎩
⇒ = = =
, 2 , 3 y 6
1 2 3
5 15
, 5 ,
2 2
P Q R
r P r Q r R r M
k k
P Q k R
r
El que recibe más será: − = ⇒ =
15
7 90 18
2
k
k k 0
∴M = S/. 2700.
Clave: A
7. Un padre reparte S/. 18 000 entre sus 6 hijos en forma directamente proporcional a
sus edades. Si las edades de los hijos son números impares consecutivos y al mayor
de ellos le toca el triple del menor, ¿cuánto le toca al tercer hijo en edad?
A) S/. 2100 B) S/. 2700 C) S/. 2400 D) S/. 2600 E) S/. 2900
Solución:
A + B + C + D + E +F= 18 000
Por dato : A = n k , B = ( n + 2 ) k , C = ( n + 4 ) k , D = ( n + 6 )k , E = ( n + 8 )k ,
F = ( n + 10 )k , donde n es un número impar.
Por dato : ( n + 10 )k = 3nk, entonces n = 5.
18000 = 5k + 7k + 9k +11k + 13k + 15k, entonces k = 300 .
Al tercer hijo en edad le toca C = 9 ( 300) = 2700.
Clave: B
8. Las edades de 4 hermanos son números impares consecutivos. Si se reparte una
suma de dinero entre ellos en forma directamente proporcional a sus edades, al
menor le toca el 60% de lo que le toca al mayor. Si el segundo en edad recibió
S/. 2860, ¿cuánto es la suma repartida?
A) S/. 9600 B) S/. 11200 C) S/. 10560 D) S/. 10080 E) S/. 11400
Solución:
Edades : n , n + 2, n + 4 , n + 6, n es impar.
S : suma a repartir
A = n k , B = ( n + 2 )k , C = ( n + 4 )k , D = ( n + 6 )k
Por dato : n k = 60 % ( n + 6 )k → n = 9
2860 = ( n + 4 )k → k = 220
S = ( 9 + 11 +13 + 15 ) 220 = 10560
Clave: C
9. Halle la suma de los valores de x que satisfacen la siguiente igualdad:
42
264
642
2x
5x2 −=
−
log
log
log
log
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

Semana Nº 16
Solución:
− −
= − ⇒ = − = −
−
− = − ⇒ − =
− + = ⇒ − − = ⇒ = ∨ =
2 2 2
64
2 2
2
2
2 2 2 2
log 5 log 64 log 5 6
42 42 6
1log 2 log 2 log 2
6
6
log 5 6log 2 log 5
log
(log ) 5log 6 0 (log 3)(log 2) 0 8 4 .
x x
x
x x
x x
x
x x x x x x
Suma de valores de x = 8+4=12.
Clave: B
10. Si y , halle7aabc =log 4babc =log
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
c
3 ba
abclog .
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12
Solución:
Como , resulta1abcabc =log
+ + = ⇒ + +
⇒ = −
log log log 1 7 4 log 1
log 10
abc abc abc abc
abc
a b c c
c
=
Entonces
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤
= + − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
3
1 1 1
log log log log
3 2 2
1 1 1
7 (4) ( 10) 8
3 2 2
abc abc abc abc
a b
a b
c
c
11. Resolver la ecuación: , e indicar el menor valor de 1/x.− + − − =2
2 2log ( 3 6) log ( 1) 2x x x
A) B) 1 C)1
5− 1
2−
D) 1
4−
E) 1
9−
Solución:
Se sabe que: = −log log logb b
A
A
B
b B , entonces
− + − +
= ⇒ =
− −
2 2
2 2
3 6 3 6
log ( ) log 4 4
1 1
x x x x
x x
− + = − ⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ = ∨ =2 2
3 6 4 4 7 10 0 ( 5)( 2) 0 5 2x x x x x x x x x
1 1
min
5x
⎛ ⎞
∴ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Clave: A

Semana Nº 16
12. En la figura se muestra un cubo. Si la suma de las distancias de los vértices A, B y C
a la diagonal DF es 4 6 m, halle el área total del cubo.
A) 54 m²
B) 90 m²
C) 96 m²
D) 72 m²
E) 84 m²
Solución:
( ) ( ) ( )d , d , d ,A DF B DF C DF x= = =
⇒
= = ⇒ =
= 2
t
6
x(a 3) = a(a 2) x=a
3
Dato : 3x a 6 4 6 a 4
A 96 m
Clave: C
13. En la figura se muestra un cubo de madera de 6 cm de arista. Si el cubo rueda (Gira
apoyada sobre una arista) sobre la superficie una vuelta siguiendo el sentido
indicado, halle el área de la superficie generada por la arista AB .
A) 18π (1+ 2 ) cm
B) 18π (3+ 2 ) cm
C) 18π (2+ 2 ) cm
D) 32π (1+ 2 ) cm
E) 72π cm
Solución:
( )Area Generado por 6(3 3 2 3 ) 18 (2 2)AB π π π π= + + = + .
Clave: C
A
CB
F
Da
a 2
a 3
x
B
A
A
CB
F
D
A

B

Semana Nº 16
14. Carla, pegando siete cubitos idénticos de madera a través de sus caras, ha
construido el sólido que se indica en la figura. Si el perímetro de la base mide 24 cm,
calcule el área total del sólido.
A) 140 cm2
B) 120 cm2
C) 150 cm2
D) 108 cm2
E) 121 cm2
Solución:
1) Arista de un cubito: a cm .
2) 1) 12 .24 2a a= ⇒ =
3) Area total m= = .2 2
30 30 4 120a c× =
Clave: B
SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE EVALUACÓN Nº 16
1. La figura mostrada es una estructura construida de alambre. Recorriendo solamente
por los alambres, hacia la derecha, hacia abajo ó hacia el frente, ¿cuántas rutas
distintas existen desde el punto P al punto R, pasando por los puntos A y B?
A) 520
B) 700
C) 1400
D) 2850
E) 3120
Solución:
Número de rutas de P hasta A:
6!
20
3! 3!
=
Número de rutas de A hasta B:
7!
35
4! 3!
=
Número de rutas de B hasta R: 1
Número total de rutas de P hasta R 20 35 1 700= × × =
Clave: B
3a
P
A
B
R
Abajo
Derecha
Frente

Semana Nº 16
2 La figura mostrada es un cubo y una diagonal MN . Recorriendo solamente por las
aristas del cubo o la diagonal MN , sin pasar dos veces por el mismo punto,
¿cuántas rutas distintas existen desde el punto P al punto Q, pasando siempre por la
diagonal MN ?
A) 13
B) 10
C) 12
D) 14
E) 11
Solución:
1) Tomemos los vértices M, R y S para el conteo:
N
Q
P
M
R
S
E
D
2) # rutas de P pasando por R hasta Q = 4.
Rutas: PRNMEQ; PRNMDQ; PRDMNQ; PRDMNSEQ.
# rutas de P pasando por S hasta Q = 4.
Rutas: PSNMEQ; PSNMDQ; PSEMNQ; PSEMNRDQ.
# rutas de P pasando por M hasta Q = 3.
Rutas: PMNQ; PMNRDQ; PMNSEQ.
3) # total de rutas de P a Q = 4+4+3=11.
Clave: E
3. En la figura las líneas representan caminos. ¿De cuántas maneras diferentes se
puede ir de A hasta B sin pasar en ningún momento dos veces por un mismo punto?
A) 246
B) 243
C) 363
D) 324
E) 366
N
Q
P
M
A B

Semana Nº 16
Solución:
Para ir de M a N
2 Lado: 1
4 Lados: 6
6 Lados: 2
Total de M a N = 9
Para ir de N a P: 3
Para ir de N a P: 9
Luego número de maneras para ir de A hasta B: 1 9 3 9 1 243× × × × = .
Clave: B
4. Un abuelo al morir deja una herencia a sus tres nietos para ser repartido entre ellos
en forma proporcional a sus edades que son 3, 5 y 7 años, pero el reparto deciden
hacerlo el primer día en que todos sean mayores de edad. ¿Qué porcentaje de lo
que correspondía al morir el abuelo gana el que recibe más?
A) 48% B) 50% C) 46% D) 52% E) 54%
Solución:
Sea la herencia a repartir: H
Cuando muere el abuelo cada uno recibe: A, B y C
⎧
= = = ⇒ = = = =⎨
⎩
3 , 5 , 7 y H 15
3 5 7
A B C
k A k B k C k k
Cuando son mayores cada uno recibe: P, Q y R
⎧
= = = ⇒ = = = =⎨
⎩
⇒ = = = =
18 , 20 , 22 y H 60
18 20 22
9 11
y , 5 ,
4 2 2
P Q R
r P r Q r R r r
k
r P k Q k R k
El quien gana es el nieto menor: − =
9 3
3
2 2
k k k
Para el que recibe más: ( ) = ⇒ =
3
% 3 % 50%
2
a k k a
Clave: B
5. Dos socios aportan S/. 2 500 y S/. 4 000 en una empresa durante un año. A los 8
meses se retira el primero y el segundo continua. Al terminar el año, la ganancia del
primero es de S/. 300. Halle la ganancia del segundo sócio.
A) S/. 820 B) S/. 650 C) S/. 960 D) S/. 720 E) S/. 780
Solución:
1º G 1 = 2500 ( 8 )K ⇒ 300 = 2500 ( 8K ) K = 3 / 200.⇒
2º G 2 = 4000 ( 12)K G 2 = 4000 ( 12 ) ( 3 / 200 ) = 720 .⇒
Clave: D
A BM N P Q

Semana Nº 16
6. Si × × × × ×
× × × × × − =
×
24 30 56 90 ... 380
1 3 5 7 ... (2 1)
2! n
n
n
, halle la suma de las cifras de n.
A) 1 B) 2 C) 90 3 D) 4 E) 5
Solución:
× × × × × × × × − × − × × × × × × × × × × ×
=
× × × × × − ×
1 2 3 4 5 6 7 ... (2 2) (2 1) (1 2 3)4 5 6 7 8 9 10 ... 19 20
2 4 6 8 ... (2 2) ! 2n
n n
n n
× × × × × × × × − × −
=
× × × × × − ×
1 2 3 4 5 6 7 ... (2 2) (2 1) 20!
2 4 6 8 ... (2 2) ! 2n
n n
n n
−
−
=
− −1
(2 1)! 20!
2 ( 1)! ( 1)! 2n n
n
n n n ×
− = ⇒ = ⇒ =(2 )(2 1)! 20! (2 )! 20! 10n n n n
Clave: A
7. Halle = + + + +
0,5 0,50,5 0,5
3 202 4log 4 log 21log 3 log 5
4 9 16 ... 400M
A) 228 B) 220 C) 226 D) 219 E) 230
Solución:
Se sabe que: log logn
a b n b= a , y también =logb N
b N
Aplicando en cada término, resulta 3 4 5 6 ... 21S = + + + + +
Entonces
(1 2 3 4 5 6 ... 21) (1 2)
21 22
3 228
2
S = + + + + + + + − +
×
= − =
Clave: A
8. Juanito ha recuperado una pieza de su cubo mágico, de las dos que había perdido
(ver figura). Al intentar colocar la pieza, que ha recuperado, en uno de los lugares
que están vacíos observa que la diferencia del área total de los sólidos, que obtiene
en cada caso, es de 8 cm2
. Determine el área total del cubo mágico cuando estaba
completo.
A) 108 cm2
B) 196 cm2
C) 256 cm2
D) 216 cm2
E) 220 cm2

Semana Nº 16
Solución:
1) Arista del cubito : a cm .
2) Si el cubito se coloca en el vértice
resulta el sólido A. Entonces
= + =2 2
( ) 6(3 ) 4 58A totalS a a 2
a
a
2 2
( ) ( ) 4 8A total B totalS S a
Area total del cubo 6(3 ) 54 216a a
3) Si el cubito se coloca en el centro
de la cara superior resulta el sólido B. Entonces
= =2 2
( ) 6(3 ) 54B totalS a
4) = 2a− = = ⇒
5) 2
cm= = =2 2
Clave: D
9. Los lados de la base y la altura de un paralelepípedo rectangular son proporcionales
a 1, 2 y 3, respectivamente. Si la diagonal del paralelepípedo mide 2 14 m, hallar el
área total.
A) 66 B) 88 C) 72 D) 96 E) 1082
m 2
m 2
m 2
m 2
m
Solución:
De la figura resulta: EC2
= ( ) =
2
2 14
2
( ) ( ) ( )2 2
a 2a 3a+ +
⇒ 56 = 14a ⇒ a = 22
Luego Área total = (12)(6) + (2)(8) = 88 m2
Clave: B
Habilidad Verbal
SEMANA 16 A
TEXTO CIENTÍFICO
El texto científico da a conocer información o resultados asociados con la práctica de
la investigación científica. Algunos textos muestran un hecho basado en una descripción
objetiva y rigurosa que, en principio, es susceptible de confirmación. Otros describen un
experimento que permitió establecer un resultado. Cuando de resultados se trata, estos
pueden ser positivos, como la corroboración de una hipótesis o un descubrimiento de
impacto; o negativos, como la refutación o rechazo de una hipótesis.
No pocos textos científicos explican una teoría o un aspecto involucrado en ella,
fundamentada en una profunda elucidación conceptual. Pero en su mayoría son textos de
divulgación científica, en los cuales, sin perder su exactitud, se pone al alcance de la
comprensión de los lectores no especializados información de alto nivel académico.
a
Sólido A Sólido B
A
C
E
F
D
G
H
2a
a
3a

Texto de ejemplo
Un buen día de 1895, un físico prusiano de 40 años investiga acerca de los llamados
rayos catódicos. Su indagación no es de índole teórica, sino de la más estricta vena
experimental. ¿Qué quiere saber? La manera de evitar la fluorescencia violeta de los
rayos catódicos en un tubo de Crookes (una suerte de tubo vacío con electrodos para
generar corrientes de alto voltaje). El físico se llama Wilhelm Roentgen, nacido en 1845
(Alemania), y ha estudiado en la Universidad de Würzburg. En su calidad de jefe del
departamento de física de la Universidad de München, lleva a cabo cuidadosos
experimentos. Es un hombre metódico y su aguzada capacidad de observación ya ha
tenido resultados impactantes.
Roentgen se encuentra en un laboratorio cerrado. Para generar un ambiente de
oscuridad, apaga las luces y cubre el tubo de Crookes con una funda de cartón negro. Se
encuentra algo cansado y decide continuar a la mañana siguiente. Para cerciorarse de
que todo va a quedar en perfectas condiciones para el próximo día, antes de irse a sus
aposentos, conecta su equipo por última vez. ¿Sucede algo extraño? Sí. Visualiza un
débil resplandor en un pequeño objeto que contiene una solución de cristales de platino-
cianuro de bario. Cuando apagaba el tubo de Crookes, el resplandor desaparecía.
Cuando prendía el tubo, volvía la fulguración. Entusiasmado, repite la operación una
cantidad ingente de veces y variando las circunstancias (la distancia, la densidad del
material, etc). No es un juego; o, en todo caso, es el juego de la ciencia. El físico quiere
estar seguro de que ha encontrado algo objetivo y que responde a la más estricta
causalidad científica. No hay ninguna duda. El resplandor que se observa en el objeto con
cristales de platino-cianuro de bario procede del tubo de Crookes: son rayos misteriosos
que pueden atravesar una cartulina negra e, incluso, metales menos densos que el
plomo. En virtud del misterio, el físico decide llamarlos rayos X, pero alguien se le ocurrió
que también podrían ser denominados rayos Roentgen.
¿Qué descubrió exactamente Roentgen? Una forma de radiación electromagnética
producida, fundamentalmente, por la desaceleración de los electrones. Los rayos X son
una radiación ionizante porque, al interactuar con la materia, se origina partículas con
carga, esto es, iones. ¿Por qué son importantes los rayos X? Fundamentalmente, porque
nos dan una nueva visión: hacen que lo invisible sea algo visible. Así, podemos ver qué
es lo que pasa dentro del cuerpo humano, sin necesidad de abrirlo. Se cuenta que, una
vez anunciado el gran descubrimiento de Roentgen, se pudo utilizar la técnica de los
rayos X para saber exactamente dónde estaba una bala en el cuerpo de una mujer
americana que había sufrido un ataque armado. La operación fue un éxito y la fémina
quedó eternamente agradecida.
Gracias al descubrimiento de Roentgen, la medicina adquirió una nueva disciplina
fundamental para las terapias: la radiología. Aunque los rayos X tienen bastantes
aplicaciones (por ejemplo, en cristalografía), su utilización en el diagnóstico de dolencias
profundas implicó una verdadera revolución en la ciencia médica. Con todo, actualmente,
sabemos que no se debe abusar de esta técnica porque implica riesgos para la salud
humana.
En virtud del reconocimiento de los extraordinarios servicios prestados por el
descubrimiento de los notables rayos que llevan su nombre, Roentgen recibió el primer
premio Nobel de Física en 1901. En un acto humano que lo pinta de cuerpo entero, donó
el premio pecuniario a su universidad y se mostró reacio a registrar una patente vinculada
con su nombre. Aunque él descubrió los rayos X, su utilidad –argumentaba él con una
pulcra moral– era totalmente para la humanidad.
Semana Nº 16

1. El texto anterior gira en torno
A) a la corroboración de una teoría científica.
B) a la interpretación de lo casual en la ciencia.
C) a un descubrimiento científico de impacto.
D) al surgimiento de una nueva disciplina.
E) al valor social de los saberes científicos.
Solución:
El tema central del texto es el descubrimiento de los rayos X logrado por Roentgen.
Clave: C
2. El sentido contextual de AGUZADA es
A) lábil. B) bizantina. C) capciosa. D) abstrusa. E) fina.
Solución:
Aguzada capacidad alude a la sutileza del gran científico.
Clave: E
3. ¿Cuál es el mejor resumen del texto?
A) El físico alemán Wilhelm Roentgen quiere investigar la manera de evitar la
fluorescencia violeta de los rayos catódicos en un tubo de Crookes (un tubo vacío
con electrodos para generar corrientes de alto voltaje) y así logra el Nobel de
Física en 1901.
B) La desaceleración de electrones produce una extraña forma de radiación
electromagnética, lo que recién se pudo comprobar a fines del siglo XIX, debido a
que en esa época se logró inventar el procedimiento físico conocido como tubo
de Crookes.
C) Wilhelm Roentgen se caracterizó por un espíritu metódico y un elevado rigor
teórico, capacidades que lo llevaron a descubrir, fundamentalmente por
casualidad, la verdadera naturaleza de los rayos que él denominó X por tratarse
de rayos totalmente ignotos.
D) Gracias a una investigación sobre rayos catódicos en el tubo de Crookes,
Roentgen llegó a conocer la realidad de unos misteriosos rayos con los cuales se
puede ver lo invisible. El hallazgo es tan gravitante que obtiene el premio Nobel
de Física en 1901.
E) Debido a que la indagación de Roentgen era de índole experimental, usó el tubo
de Crookes para descubrir la naturaleza electromagnética de los rayos catódicos.
Así logro fundar la técnica de la radiología, lo que significó un gran avance para la
medicina.
Solución:
El resumen debe incidir en el impactante descubrimiento y en la consecuencia: la
obtención del Nobel.
Clave: D
Semana Nº 16

4. ¿Cuál es el enunciado incompatible con el texto?
A) El descubrimiento de W. Roentgen revela un elemento fortuito en las
investigaciones.
B) Roentgen hizo el descubrimiento de los rayos X cuando frisaba los 56 años de
edad.
C) La radiología médica es una aplicación impactante del descubrimiento de
Roentgen.
D) Hacia los 50 años, Wilhelm Roentgen es ya un científico con una buena
trayectoria.
E) Las investigaciones de Wilhelm Roentgen distaban de ser meramente
especulativas.
Solución:
El descubrimiento data de 1895, cuando cuenta con 50 años.
Clave: B
5. De la referencia al juego de la ciencia se puede inferir un rasgo esencial de la
ciencia, a saber, su carácter
A) tecnológico. B) aporético. C) metódico.
D) abstracto. E) idealizador.
Solución:
Con esa frase se alude al rigor en la lógica de la confirmación, esto es, se apunta a
un criterio metódico.
Clave: C
6. Se deduce del texto que un descubrimiento científico amerita el premio Nobel si a la
calidad científica aúna
A) modestia intelectual. B) espíritu filosófico.
C) supremacía racial. D) trascendencia social.
E) rentabilidad financiera.
Solución:
El ejemplo de los rayos X de Roentgen revela una de las condiciones esenciales
para recibir el premio Nobel: descubrimiento científico con gran impacto de utilidad
social.
Clave: D
7. Si alguien propugnara el uso irrestricto e hiperbólico de los rayos X,
A) podría ser tildado de irresponsable. B) revelaría una actitud procientífica.
C) refrendaría la actitud de Roentgen. D) cuestionaría la técnica de Crookes.
E) podría patentar una teoría científica.
Solución:
El uso de los rayos X debe ser cauteloso, por cuanto es potencialmente pernicioso.
Por ejemplo, a una mujer embarazada no debería aplicarse una radiografía.
Clave: A
Semana Nº 16

8. Se colige del texto que un rasgo notable de Roentgen es su
A) ferviente deseo de inmortalidad.
B) espíritu signado por la filantropía.
C) carácter cansino y muy aprensivo.
D) búsqueda de riquezas personales.
E) precipitación en la busca de la verdad.
Solución:
Al donar el monto económico y al rehusar a solicitar una patente por algún invento
relacionado con el descubrimiento, se puede colegir un espíritu filantrópico.
Clave: B
COMPRENSIÓN DE TEXTOS
TEXTO 1
En las matemáticas del siglo XIX el infinito aparece por lo general sólo en su forma
“potencial”. Basándose en esta forma, A. L. Cauchy y sus sucesores establecieron los
rigurosos fundamentos del cálculo en la primera mitad de ese siglo. Durante la segunda
mitad, K. Weierstrass, G. Cantor, H. Méray y otros usaron esta forma para desarrollar
teorías aritméticas sobre los números irracionales, teorías que luego utilizaron para
construir la teoría de las funciones. El infinito potencial puede ilustrarse mediante un
ejemplo muy sencillo: la expresión ( ) 01 =∞→ nLímn [(léase: el límite de 1/n, cuando n
tiende al infinito, es cero (o infinitamente pequeño)] no es más que una abreviatura de la
afirmación “puede hacerse que el cociente 1/n se aproxime a 0 con cualquier precisión
deseada si el entero positivo n se considera suficientemente grande” (el que tan grande
deba considerarse n, entonces, depende de la precisión deseada en la aproximación a 0
por 1/n). En esta afirmación no se plantea lo “infinitamente grande” o “lo infinitamente
pequeño”, y el símbolo ∞ sirve tan sólo como una notación concisa.
Esta es la situación a la que Gauss hacía referencia cuando escribió su famosa carta
a Schumacher en 1831: “en las matemáticas las magnitudes infinitas nunca pueden
tomarse como algo final; el infinito es sólo una façon de parler, que significa un límite al
cual ciertas proporciones pueden aproximarse tan cercanamente como se desee cuando
se permite que otras se incrementen indefinidamente”.
1. Medularmente, el texto hace referencia
A) al infinito potencial en matemática.
B) a Cantor y los números irracionales.
C) a A. L. Cauchy y el infinito potencial.
D) al modo de referir los números infinitos.
E) al ∞ como una notación de lo infinito.
Solución:
El tema central gira en referencia al infinito potencial la fuente del cálculo, los
números irracionales, teoría de funciones y como una faÇon de parler.
Clave: A
2. El término MAGNITUDES tiene el significado contextual de
A) medidas. B) dimensiones. C) cantidades.
D) extensiones. E) proporciones.
Semana Nº 16

Solución:
El enunciado no cambia de significado al cambiarse por ‘cantidades’.
Clave: C
3. De acuerdo con el autor, no es coherente afirmar que
A) la expresión del cociente 1/n es igual a cero.
B) el infinito potencial se da en el siglo XIX.
C) el infinito potencial es ( ) 01 =∞→ nLímn .
D) en las matemáticas el infinito es sólo un límite.
E) el símbolo ∞ sólo sirve como notación breve.
Solución:
1/n es sólo una aproximación o tiende a cero.
Clave: A
4. Se puede inferir del texto que los números infinitos para Gauss son
A) racionales. B) inexistentes. C) reales. D) enteros. E) naturales.
Solución:
De acuerdo a la cita de Gauss “…el infinito es sólo una faÇon de parler” como se
habla de objetos irreales.
Clave: B
5. Si se pudiera demostrar la ecuación 1/n = 0,
A) el número n sería lo suficientemente grande.
B) tendría sentido hablar de lo infinitamente pequeño.
C) el símbolo ∞ seguiría siendo una notación concisa.
D) sería irrelevante en matemática el infinito potencial.
E) el infinito seguiría siendo solo un modo de hablar.
Solución:
El infinito potencial tiende a cero cuando n es lo suficientemente grande, y si 1/n = 0
sería irrelevante este concepto.
Clave: D
TEXTO 2
Los átomos se combinan, afirmó Bohr, de forma que tienden a conseguir una capa
exterior completa. A veces, como en el caso de la molécula de hidrógeno, ello se
consigue gracias a que dos núcleos comparten un par de electrones; en otras ocasiones,
una imagen más apropiada puede consistir en imaginar que un átomo con un electrón
únicamente en la capa exterior (el sodio, por ejemplo) se lo cede a otro átomo que en la
capa externa contenga siete electrones y una vacante (en este caso el cloro, por ejemplo).
Así, cada átomo queda completo: el sodio por perder el electrón y quedar con una capa
externa completa, aunque más profunda; el cloro por ganar el electrón que le permite
completar la capa externa. El resultado neto, no obstante, es que el átomo de sodio se ha
convertido en un ion cargado positivamente al perder una unidad de carga negativa,
mientras que el átomo de cloro ha pasado a ser un ion negativo. Como las cargas
opuestas se atraen, los dos permanecen ligados formando una molécula eléctricamente
neutra de cloruro sódico o sal común.
Semana Nº 16

Todas las reacciones químicas se pueden explicar como un comportamiento o
intercambio de electrones entre átomos a base de una tendencia a la estabilidad que
proporciona el tener completas las capas de electrones.
1. El texto se refiere centralmente
A) a la combinación de electrones y núcleos.
B) a la molécula de hidrógeno y su núcleo.
C) al intercambio de electrones entre átomos.
D) a la pérdida de electrones en unos átomos.
E) a la reacción química del núcleo atómico.
Solución:
Al inicio del texto se afirma la combinación de átomos para completar sus capas
exteriores mostrando un ejemplo con el cloruro sódico, y concluye que las
reacciones químicas son un intercambio de electrones entre átomos.
Clave: C
2. En el texto, IMAGEN se entiende como
A) problema. B) invento. C) reflejo.
D) abstracción. E) modelo.
Solución:
El término ‘imagen’ se entiende como ‘modelo’, pues se refiere a la imaginación de
un caso.
Clave: E
3. Es incompatible con lo sostenido por el autor afirmar que
A) los átomos se combinan para completar su capa exterior.
B) la sal común es una molécula eléctricamente neutra.
C) el sodio cede un electrón y se convierte en ion negativo.
D) el cloro gana un electrón y se convierte en ion negativo.
E) el cloruro sódico es una molécula eléctricamente neutra.
Solución:
El sodio se convierte en ion positivo.
Clave: C
4. Del texto se infiere que el cloruro de sodio es una molécula
A) eterna. B) estable. C) efímera.
D) positiva. E) negativa.
Solución:
El cloruro sódico se estabiliza al ligar un ion negativo con un ion positivo.
Clave: B
Semana Nº 16

5. Si las capas de los electrones no se completaran,
A) se convertirían en iones de carga positiva.
B) habría una propensión a la inestabilidad.
C) se convertirían en iones de carga negativa.
D) seguiría existiendo el intercambio de electrones.
E) las moléculas habrían conservado su neutralidad.
Solución:
Sólo al llenar sus capas externas los átomos permanecen ligados formando una
molécula.
Clave: B
SEMANA 16 B
TEXTO 1
Siempre que los legisladores destruyen o se adueñan de la propiedad del pueblo, o
lo esclavizan bajo un poder arbitrario, se ponen a sí mismos en un estado de guerra con
respecto a su pueblo, el cual queda, por ello, libre de seguir obedeciendo y se puede
acoger al refugio común con que Dios ha dotado a todos los hombres frente a la guerra y
la violencia.
Así y todo, puede que quienes sostienen que esta doctrina mía supone un
fundamento para la rebelión se refieran a que puede dar lugar a guerras civiles, o luchas
intestinas, por decir al pueblo que, ante un atentado ilegal contra sus libertades o
propiedades, quedan libres de obedecer e incluso que pueden enfrentarse violentamente
con los que fueron sus magistrados e hicieron un uso ilegítimo de la fuerza para invadir
sus propiedades, traicionando la confianza que se puso en ellos; y que, por tanto, esta
doctrina no ha de ser permitida porque resulta absolutamente perjudicial para la paz del
mundo.
En tal caso, y por las mismas razones, habría que decir que un ciudadano honrado
no debe oponerse a los ladrones ni a los piratas, porque esto puede ocasionar
desórdenes y derramamientos de sangre. Ahora bien, los daños que se pudieran producir
en casos de este tipo no habría que atribuirlos a aquel que defiende sus derechos, sino a
quien invade el de sus vecinos.
1. Medularmente, el texto trata sobre
A) la ambigüedad existente en los gobiernos democráticos.
B) la enérgica represión de la tiranía de los magistrados.
C) el derecho del pueblo a desobedecer a sus autoridades.
D) la justificación de la rebelión en una situación pacífica.
E) la sociedad como garante de las cruentas guerras civiles.
Solución:
El texto señala la situación en la que está justificada la desobediencia civil.
Clave: C
2. Se puede apreciar que, a lo largo del texto, el autor intenta defender la
A) libertad de los ciudadanos. B) arbitrariedad de la política.
C) violencia en la sociedad. D) insubordinación militar.
E) intolerancia religiosa.
Semana Nº 16

Solución:
El derecho de resistencia está bien fundado cuando los gobernantes esclavizan al
pueblo. Por ende, la libertad se defiende a como dé lugar.
Clave: A
3. En el texto, la expresión PODER ARBITRARIO alude
A) al despotismo. B) a la aleatoriedad.
C) a la causalidad. D) a la divinidad.
E) a lo consuetudinario.
Solución:
“Siempre que los legisladores destruyen o se adueñan de la propiedad del pueblo, o
los esclavizan bajo un poder arbitrario, se ponen a sí mismos en un estado de guerra
respecto a su pueblo”, ponerse en este “estado de guerra” implica un gobierno
despótico o de abuso de poder.
Clave: A
4. Resulta incompatible señalar que el autor del texto
A) defiende únicamente la propiedad colectiva.
B) es una persona que apela a su creencia en Dios.
C) conoce y emplea el concepto de guerra civil.
D) considera la paz mundial en su argumentación.
E) estima justo defender los derechos civiles.
Solución:
Por ejemplo, en la referencia a los ladrones o piratas se encuentra implícita la noción
de propiedad privada.
Clave: A
5. Si un pueblo sojuzgado se levantara en contra de un tirano y ocurrieran hechos
cruentos,
A) la desobediencia estaría injustificada.
B) la responsabilidad recaería en el tirano.
C) Dios se opondría a la cruenta rebelión.
D) la paz ecuménica nunca podría lograrse.
E) el tirano debería ser recompensado.
Solución:
Se razona en base al posible contraargumento que el autor considera: “los daños
que se pudieran producir en casos de este tipo no habría que atribuirlos a aquel que
defiende sus derechos, sino a quien invade el de sus vecinos”.
Clave: B
TEXTO 2
Ya en la Ilíada, Odiseo destaca por su inteligencia y espíritu práctico, como un
consejero hábil y oportuno, astuto, audaz para las emboscadas y las embajadas arduas.
También es un magnífico estratega en su momento. Por eso sabemos que, después de la
Semana Nº 16

muerte de Aquiles, es él quien hereda sus armas espléndidas: el elegido es Odiseo y no
Áyax que encarnaba el tipo de guerrero más antiguo, harto fiado en su coraje y su enorme
vigor bélico. Tal decisión acredita a Odiseo como el sucesor del gran héroe, de tan distinto
carácter.
Es Odiseo quien, con la ayuda de Atenea, sugirió la construcción del caballo de
madera con el que se tomó al fin Troya. Con todo es en la Odisea, en el poema que lleva su
nombre, donde advertimos todo el complejo valor de Odiseo. Ya los epítetos formularios
tradicionales nos indican que es un héroe especial. De otros se destacaban aspectos
físicos: Aquiles, el de los pies ligeros; Menelao, eximio en el grito de guerra; Héctor, el de
tremolante penacho; Áyax, el de escudo de torre; Agamenón, el poderoso señor de las
tropas. Pero a Odiseo los epítetos lo califican de acuerdo con su fisonomía interior: como
polytas, polytropos, polymetis, polymechanos (muy sufrido, muy artero, muy sagaz, de
muchos artificios o trucos). Así destaca entre los jefes griegos por su carácter, no por su
apariencia física. Es un héroe de la metis, de la astucia y de la habilidad con la palabra.
Es un navegante mediterráneo que, gracias a su ingenio, atraviesa un mundo mítico,
venciendo las seducciones y peligros inmensos de la travesía, escapando de monstruos y
encantamientos, visitando el mundo de los muertos, dejando ciego al cíclope Polifemo. Es
más, escapa de las aterradoras sirenas sin dejar de oír su canto. Regresa así, más
experimentado, más magnánimo, a su añorada, austera y pedregosa isla de Ítaca, la pobre
patria, donde le aguardan, desde hace 20 años, su fiel esposa, su hijo, su oikos y reino.
1. Analizando los mecanismos de coherencia, se puede establecer que Odiseo es
sucesor de
A) Menelao. B) Aquiles. C) Áyax.
D) un dios. E) una diosa.
Solución:
Las referencias apuntan a Aquiles, el héroe de pies ligeros.
Clave: B
2. La construcción del caballo de Troya sirve para ilustrar un rasgo de Odiseo, a saber,
A) la astucia. B) la audacia. C) el carácter.
D) el coraje. E) la fidelidad.
Solución:
Gracias al caballo, pueden ingresar a Troya y ganar la batalla. Es un acto de astucia.
Clave: A
3. Cabe inferir que Odiseo logró escapar de las sirenas
A) debido a que decidió no escuchar su canto.
B) porque supo como causarles la ceguera.
C) con la ayuda invalorable de la sabia Atenea.
D) en virtud de un eficaz acto de prevención.
E) gracias a su vehemencia y fuerza imbatibles.
Solución:
Se deduce que la huida se logró porque no fue seducido por el canto y, para ello,
utilizó la precaución.
Clave: D
Semana Nº 16

4. En contraste con las características de los otros héroes helenos, los rasgos de
Odiseo se destacan por su índole
A) física. B) dinámica. C) muscular.
D) mental. E) ostensible.
Solución:
En agudo contraste con los rasgos físicos de los héroes helenos, Odiseo destaca
por la agilidad mental.
Clave: D
5. Se infiere que para Odiseo el retorno a Ítaca fue un viaje
A) intempestivo y raudo. B) totalmente austero.
C) regido por el olvido. D) lleno de avatares.
E) exento de peligros.
Solución:
Duró veinte años y tuvo que sortear terribles peligros.
Clave: D
6. Resulta incompatible con el texto señalar que Odiseo sobresale por su
A) pragmatismo. B) inteligencia. C) garrulería.
D) impulsividad. E) estrategia.
Solución:
Debido a su astucia, Odiseo no puede ser impulsivo, es decir, actuar de manera
irreflexiva.
Clave: D
7. ¿Cuál es la idea principal del texto?
A) Los epítetos aplicados a Odiseo buscan destacar su heroicidad.
B) La habilidad de la palabra define a los principales héroes griegos.
C) Odiseo es un héroe sui géneris, caracterizado por su sagacidad.
D) El Odiseo de la obra Odisea es radicalmente distinto al de la Ilíada.
E) En la Ilíada, es esencial la figura protagónica del héroe Aquiles.
Solución:
Odiseo es un héroe sui géneris y la astucia es su valor esencial.
Clave: C
8. Odiseo no hubiese podido vencer a Polifemo sin una dosis de
A) azar. B) riqueza. C) valentía.
D) estulticia. E) magnanimidad.
Solución:
Para dejar ciego a un cíclope se requiere de valentía.
Clave: C
Semana Nº 16

9. La especial heroicidad de Odiseo radica en sus virtudes
A) magnánimas. B) estratégicas. C) oratorias.
D) físicas. E) austeras.
Solución:
La capacidad de planificar para engañar, la polymetis, es esencial en el carácter
heroico de Odiseo.
Clave: B
10. Si hubiese sido esencial la fuerza bélica para elegir al sucesor de Aquiles,
A) de todos modos Odiseo habría sido el elegido.
B) la diosa Atenea se habría inclinado por un dios.
C) el elegido habría sido Áyax, el de escudo de torre.
D) el héroe de los pies ligeros no habría tenido sucesor.
E) se habría optado por el héroe de tremolante penacho.
Solución:
En efecto, Áyax destaca por su inusual fuerza para el combate.
Clave: C
ELIMINACIÓN DE ORACIONES
1. I) Una personalidad psicopática no se restringe al asesino en serie, tal y como
sugiere el estereotipo más extendido en nuestra sociedad. II) Un psicópata puede
ser una persona aparentemente simpática y de expresiones sensatas que, sin
embargo, no duda en cometer un delito cuando le conviene y lo hace sin sentir
remordimientos por ello. III) La falta de contrición radica en la cosificación que hace
el psicópata del otro. IV) Los psicópatas no pueden construir empatía ni sentir
remordimientos, por eso interactúan con las demás personas como si estas fuesen
objetos. V) La mayor parte de los psicópatas no cometen delitos, pero no dudan en
mentir, manipular, engañar y hacer daño para conseguir sus objetivos.
A) IV B) III C) V D) II E) I
Solución:
La oración III es redundante porque está incluida en IV.
Clave: B
2. I) Edmund Husserl (1859-1938) fue el fundador de la escuela fenomenológica y del
método fenomenológico de filosofar. II) Se puede decir que Platón, Leibniz y
Brentano también hicieron análisis fenomenológicos. III) El programa teórico de
Husserl se centra en la transformación de la filosofía en una ciencia estricta. IV) La
filosofía de Husserl busca la creación de una lógica pura del conocimiento científico.
V) Husserl introduce el método de reducción fenomenológica para concentrarse en
la pura conciencia.
A) I B) II C) III D) IV E) V
Semana Nº 16

Solución:
Se aborda la filosofía de Husserl, la oración II es impertinente porque se refiere a sus
antecedentes.
Clave: B
3. I) El positivismo se apoya en una filosofía realista defensora de que el mundo se
puede captar tal como es. II) El positivismo mantiene la idea de que el conocimiento
de la realidad solo es posible a través del método científico. III) En el enfoque
positivista predominan el método deductivo y las técnicas cuantitativas. IV) Según el
positivismo la indagación científica consiste en contrastar empíricamente las teorías
al comparar sus consecuencias deductivas con los resultados de las observaciones
y de la experimentación. V) La concepción del positivismo fue recusada por los
modernos filósofos de la ciencia.
Solución:
Se aborda el enfoque positivista, la oración V es impertinente porque es una crítica a
este enfoque.
Clave: E
4. I) Para algunos, las disciplinas epistemología y gnoseología son conceptualmente
indiscernibles. II) Algunos identifican ‘epistemología’ y ‘gnoseología’, pues las
definen como teoría del conocimiento; no obstante, la primera se restringe al
conocimiento científico. III) La epistemología también se suele identificar con la
filosofía de la ciencia, pero se puede considerar a esta última como más amplia que
la epistemología. IV) Se puede diferenciar a la epistemología de la metodología: el
metodólogo no pone en tela de juicio el conocimiento ya aceptado; en cambio, el
epistemólogo podría cuestionarlo. V) La epistemología se ocupa de problemas como
las circunstancias que llevan a la obtención del conocimiento científico, y los criterios
por los cuales se lo justifica.
Solución:
Se elimina la primera oración por redundancia respecto a la segunda y tercera
oración.
Clave: A
5. I) El holismo es la idea de que las propiedades de un sistema no pueden ser
explicados por las partes que los componen por sí solas. II) Un sistema es un
conjunto de elementos organizados que interactúan entre sí para lograr un objetivo.
III) El holismo sostiene que el sistema como un todo determina cómo se comportan
las partes. IV) El principio general del holismo fue resumido por Aristóteles así: “El
todo es más que la suma de sus partes”. V) El holismo desarrolla sus tesis en
diversos ámbitos epistemológicos como la biología, la economía y la sociología.
Solución:
Se elimina la segunda oración por inatingencia. Tema: El holismo.
Clave: B
Semana Nº 16

SEMANA 16 C
TEXTO 1
Algunos meses después de la publicación del Diálogo de los dos Máximos Sistemas
del Mundo, el editor recibió un mandato de Roma obligándole a suspender la venta del
libro, y pocos meses después Galileo recibía la orden de presentarse en Roma ante el
Tribunal de la Inquisición.
Galileo se quedó perplejo. Había cumplido todas las instrucciones que se le habían
dado, había hecho todas las modificaciones que las autoridades le habían pedido. El libro
había sido cuidadosamente analizado, primero en Roma y luego en Florencia, obteniendo
el permiso en ambas ciudades. Nadie tenía idea de lo que estaba pasando; e incluso hoy,
tres siglos después, y una vez conocidos y estudiados una serie de documentos de la
Inquisición, secretos en aquella época, nos llena de asombro y perplejidad aquella
decisión.
Una cosa es cierta: el Papa Urbano VIII estaba profundamente irritado y había
pasado de ser amigo de Galileo a convertirse en su más acérrimo enemigo.
Probablemente creía que Galileo se había burlado de él. El último párrafo del Diálogo
reproducía una declaración que él mismo había sugerido: La doctrina copernicana no es
“veraz ni concluyente” y “sería demasiada osadía el que alguien quisiera limitar y coartar
el divino poder y sabiduría a una fantasía suya particular”. Pero Galileo había puesto
estas palabras en boca de Simplicio, el hombre de inteligencia limitada, que a lo largo de
todo el Diálogo es la figura más mezquina desde el punto de vista intelectual. Galileo no
había podido hacer otra cosa, porque era precisamente Simplicio quien defendía la
postura anticopernicana. Pero al parecer hubo alguien que insinuó que Galileo
representaba al Papa en la figura de Simplicio.
En verdad es poco probable que Galileo quisiera realmente burlarse del Papa,
puesto que siempre había demostrado gran respeto para con la autoridad; a menudo
había buscado el apoyo de los poderosos y a veces se había incluso esforzado para
conseguirlo. Por otra parte parece también bastante difícil creer que mientras escribía o
revisaba el Diálogo no se hubiera dado cuenta de que obedecía tan sólo formalmente,
pero no al espíritu, de la petición de los revisores. Que en realidad presentaba la
concepción copernicana como un hecho probado y no como una hipótesis.
De todas formas, los censores, que no eran astrónomos, no se percataron del fuerte
carácter copernicano del libro de Galileo. Y sin duda hubo algunas personas que al darse
posteriormente cuenta se dedicaron a planteárselo así al Papa. Una vez nacida la
sospecha en su mente, Urbano VIII se dejó convencer de que el Diálogo era “más
execrando y pernicioso para la Santa Iglesia que las Escrituras de Lutero y de Calvino”, tal
como dijo el propio Galileo. Muchos pensaron que esta opinión que expresó respondía a
una sugerencia de determinados círculos jesuitas. Galileo había ofendido al padre
Scheiner y al Padre Grassi con sus polémicas, y a muchos otros jesuitas también, en
algunos párrafos del Diálogo; quizá ahora quisieran vengarse. Así pues, vemos que
existen muchas posibles razones por las que Galileo podía ser reclamado a comparecer
ante la Inquisición: por una parte, el orgullo herido, las ambiciones personales y la vanidad
de sus enemigos; por otra, la ambición y la ingenuidad del mismo Galileo, que no se había
conformado con ver aceptadas sus ideas por los científicos, sino que buscó la aprobación
y gratitud de la Iglesia, confiando en que podría derribar con la fuerza de sus palabras
unas tradiciones que reinaban desde hacía miles de años.
Semana Nº 16

1. Fundamentalmente, el texto
A) presenta la inclinación que tenía Galileo hacia la verdad del copernicanismo.
B) especula sobre los motivos por los cuales Galileo fue citado por la Inquisición.
C) evidencia la sumisión de Galileo ante las autoridades de la Santa Inquisición.
D) explica la arrogancia de Galileo manifiesta en el estilo de su obra científica.
E) barrunta sobre los ínsitos motivos que llevaron a Galileo a escribir el Diálogo.
Solución:
Fundamentalmente el texto especula sobre los motivos por los cuales la Santa
Inquisición citó a Galileo.
Clave: B
2. En el texto, MEZQUINA se entiende como
A) cicatero. B) proterva. C) austera.
D) estólida. E) testaruda.
Solución:
Simplicio era la persona más mezquina desde el punto de vista intelectual, es decir
de poca inteligencia, comprensión o cultura.
Clave: D
3. Es incompatible con el texto afirmar que Galileo
A) se burló adrede del Papa en el Diálogo.
B) se granjeó la animadversión del Papa.
C) no comprendió la decisión de la Inquisición.
D) ofendió a algunos jesuitas en sus debates.
E) buscaba el apoyo de los poderosos.
Solución:
Galileo no escribió íntegramente el Diálogo porque introdujo varias correcciones de
los censores de la Inquisición.
Clave: A
4. Con respecto al contenido del Diálogo de los dos Máximos Sistemas del Mundo, se
colige del texto que este
A) cuestiona la visión del mundo de Copérnico.
B) propugna una concepción atea de la ciencia.
C) defiende a rajatabla la concepción tradicional.
D) proponía una visión científica revolucionaria.
E) no es un diálogo de índole científico ni filosófico.
Solución:
En el Diálogo, Galileo mostraba su inclinación por una concepción que iba en contra
de las creencias tradicionales.
Clave: D
Semana Nº 16

5. En la mente de Galileo, el sistema copernicano era
A) verdadero. B) enigmático. C) aporético.
D) herético. E) conjetural.
Solución:
Galileo se inclino por Copérnico, en el Diálogo presentó la concepción de Copérnico
como un hecho probado y no como una hipótesis.
Clave: B
6. Si el personaje Simplicio del Diálogo hubiera sido un personaje con muchas luces,
entonces
A) Galileo se habría inclinado hacia el anticopernicanismo.
B) el Papa no habría tenido motivos para sentirse ofendido.
C) Galileo no habría sido cuestionado por los jesuitas.
D) el Diálogo no habría recibido ningún tipo de censura.
E) Galileo habría demostrado la teoría copernicana.
Solución:
Supuestamente el Papa se sintió ofendido porque Galileo lo representó en la
persona de Simplicio personaje poco inteligente. Si el Simplicio del Diálogo hubiera
sido un personaje muy inteligente el Papa no se hubiera ofendido.
Clave: B
TEXTO 2
La frontera entre erotismo y pornografía sólo se puede definir en términos estéticos.
Toda literatura que se refiere al placer sexual y que alcanza un determinado coeficiente
estético puede ser llamada literatura erótica. Si se queda por debajo de ese mínimo que
da categoría de obra artística a un texto, es pornografía. Si la materia importa más que la
expresión, un texto podrá ser clínico o sociológico, pero no tendrá valor literario. El
erotismo es un enriquecimiento del acto sexual y de todo lo que lo rodea gracias a la
cultura, gracias a la forma estética. Lo erótico consiste en dotar al acto sexual de un
decorado, de una teatralidad para, sin escamotear el placer y el sexo, añadirle una
dimensión artística.
Ese tipo de literatura alcanzó su apogeo en el siglo XVIII. Los de ese siglo son
grandes textos eróticos que a la vez son grandes textos artísticos. A esto habría que
añadirle que en ellos hay una carga crítica que hoy se ha perdido. Los autores de esa
época creían que escribir de esa manera, reivindicar el placer sexual y darle al cuerpo ese
tratamiento reverente era un acto de rebeldía, un desafío a lo establecido, al poder. Los
escritores eróticos eran, pues, pensadores revolucionarios. Diderot, por ejemplo. O
Mirabeau, que desde la prisión escribe a Sofía de Monnier cartas de un contenido sexual
muy fuerte. Para él esos escritos forman parte de una lucha por la transformación
humana, por la reforma social. El caso más extremo sería el marqués de Sade, aunque no
creo que de los textos de Sade pueda decirse que son de exaltación del placer erótico.
Hay algo intelectual, obsesivo, casi fanático en sus demostraciones sexuales.
Sea como fuere, el reconocimiento del derecho al placer es en el siglo XVIII un
instrumento para conseguir un mundo mejor, más libre, más auténtico, menos hipócrita,
un medio para liberar al individuo de las iglesias, de las convenciones. Eso no se vuelve a
alcanzar. El erotismo en el siglo XIX se convierte en un juego muy refinado. Y en el XX se
Semana Nº 16

banaliza, se vuelve superficial y previsible, se comercializa, en el peor sentido de la
palabra. Ya no genera experimentación formal y pierde su carga crítica, salvo en casos
excepcionales, como el de Bataille. Los escritos de Georges Bataille son profundamente
revulsivos, muy desafiantes con las últimas convenciones. A la vez son más lúgubres y
siniestros. Los suyos son más textos de perversión que de asunción del placer, pero es
uno de los escritores modernos en los que el erotismo va acompañado de una gran
audacia artística.
1. En el texto, el autor dilucida, fundamentalmente,
A) la pornografía y el modo como fue utilizada por los grandes escritores
decimonónicos.
B) la perversión, el erotismo y lo siniestro en los textos del gran Georges Bataille.
C) la pornografía y el erotismo como categorías indiscernibles en la literatura
moderna.
D) el desacuerdo entre los más ínclitos escritores para determinar el concepto de
lo erótico.
E) el erotismo desde el punto de vista artístico y su diferencia con la mera
pornografía.
Solución:
Desde el inicio del texto, es lo que se propone el autor: “La frontera entre erotismo y
pornografía sólo se puede definir en términos estéticos”.
Clave: E
2. En el texto, el término ESCAMOTEAR significa
A) ignorar. B) acechar. C) despojar.
D) birlar. E) tergiversar.
Solución:
El autor dice: “Lo erótico consiste en dotar al acto sexual de un decorado, de una
teatralidad para, sin escamotear el placer y el sexo, añadirle una dimensión
artística”. En ese contexto, escamotear equivale a ignorar.
Clave: A
3. Se deduce del texto que el erotismo
A) es un instrumento procaz en literatura.
B) presupone un elevado nivel de cultura.
C) puede identificarse con la pornografía.
D) llegó a su cúspide en pleno siglo XX.
E) se compone de dosis de obscenidad.
Solución:
El erotismo es un enriquecimiento del acto sexual y de todo lo que lo rodea gracias a
la cultura, gracias a la forma estética.
Clave: B
Semana Nº 16

4. Si la literatura erótica del siglo XX tuviese el carácter crítico de antaño,
probablemente
A) el valor literario de los textos sería soslayado totalmente.
B) entrañaría, sin duda, una notable capacidad estética.
C) la exaltación del placer quedaría en un segundo plano.
D) las obras estarían plagadas de una serie de objeciones.
E) los hombres se verían liberados del yugo de la iglesia.
Solución:
Esa carga crítica viene acompañada de una gran audacia artística.
Clave: B
5. De acuerdo con el autor es incompatible sostener que
A) la liberalidad de las costumbres ha jugado en contra de la literatura erótica.
B) hoy el erotismo se torna muy banal y predecible, un mero producto comercial.
C) los escritos de Georges Bataille son muy estéticos, pero muy convencionales.
D) una obra se considera pornográfica si carece de un adecuado nivel estético.
E) el erotismo enriquece el acto sexual, dado que le imprime un sello artístico.
Solución:
Bataille es un inconforme, atenta contra las convenciones.
Clave: C
TEXTO 3
En un extraño curso denominado «Física digital», Edward Fredkin expuso la más
excéntrica de sus teorías: el universo es una computadora. Fredkin trabaja en una región
nebulosa de la ciencia moderna: en la zona interfacial de la ciencia de la computación y la
física. Aquí, dos conceptos que han figurado como fundamentales de la ciencia –la
materia y la energía– se funden en un tercero: la información. Según la teoría de Fredkin,
la información es más fundamental que la materia y la energía. Piensa que los átomos,
electrones y quarks están constituidos primordialmente de bits, como los que
comúnmente se utilizan en las computadoras personales. Cree, además, que el
comportamiento de estos bits está gobernado por una sola regla de programación. Según
Fredkin, esta regla es muy simple, aunque definitivamente más arcana que los
constructos matemáticos que los físicos convencionales usan para explicar las fuerzas de
la realidad física. Mediante una incesante repetición –al tomar, incansablemente,
información que ha sido transformada y que a su vez se transforma en una nueva– se ha
generado una complejidad universal.
Según Fredkin, la regla fundamental de programación describirá el mundo físico con
precisión perfecta, dado que el universo es literalmente una computadora en tres
dimensiones: una retícula cristalina de unidades lógicas interactuantes, cada una
decidiendo un número astronómico de veces por segundo si estará prendida o apagada el
siguiente punto en el tiempo. La información que se produce en consecuencia es el tejido
de la realidad, la sustancia a partir de la cual se crea la materia y la energía.
Semana Nº 16

1. ¿Cuál es la mejor síntesis del texto?
A) Según Fredkin el universo es una computadora dado que funciona obedeciendo a
una regla fundamental de programación.
B) En el curso de “Física digital” Fredkin examinó computacionalmente las leyes
básicas de la materia y la energía.
C) El concepto capital de la ciencia física es la información con la que se pueden
entender las fuerzas de la naturaleza.
D) Para entender bien el universo se requiere idear la metáfora de la computadora
con sus reglas y bits de información.
E) Edward Fredkin ha desarrollado una idea novedosa al unir los campos separados
de la física y la ciencia de la computación.
Solución:
El texto nos informa de la tesis central de Fredkin (el universo es literalmente una
computadora) y, luego, trata de explicar los términos básicos de la teoría (la arcana
pero simple regla de programación).
2. En el texto, EXTRAÑO significa
A) ajeno. B) súbito. C) frenético.
D) absurdo. E) extravagante.
Solución:
Extraño curso se refiere a una asignatura desacostumbrada o extravagante.
Clave: E
3. Señale el enunciado incompatible con el texto.
A) La información es una categoría que subsume tanto la materia como la energía.
B) El universo como computadora es una red de cristales de unidades lógicas.
C) Según Fredkin, los átomos, electrones y quarks están compuestos de bits.
D) En términos computacionales, la información se organiza en forma de bits.
E) En la concepción de Fredkin, el universo se considera como bidimensional.
Solución:
Se dice en el texto que, para Fredkin, el universo es tridimensional.
Clave: E
4. Si los quarks no se pudiesen explicar con la regla fundamental de programación,
A) la idea de Fredkin se vería refutada.
B) los átomos serían los bits informáticos.
C) Fredkin seguiría teniendo la razón.
D) el universo sería como una computadora.
E) la física como ciencia sería imposible.
Semana Nº 16

Solución:
Dado que es fundamental para el modelo de Fredkin dar cuenta del comportamiento
de las distintas formas de materia, sería un fuerte contraejemplo que entrañaría la
refutación del modelo.
Clave: A
5. Para Fredkin la explicación de la complejidad del universo se hace en términos de
una operación
A) aritmética. B) intuitiva. C) inductiva.
D) recursiva. E) filosófica.
Solución:
La regla es muy simple, pero al aplicarse una y otra vez va transformando la
información, en un proceso recursivo.
Clave: D
SERIES VERBALES
1. Irrefragable, indudable, apodíctico,
A) asertivo. B) inconcuso. C) inope.
D) insigne. E) deleznable.
Solución:
Serie verbal sinonímica que se proyecta coherentemente en ‘inconcuso’.
Clave: B
2. Loa, vituperio; nobleza, vileza; plétora, exigüidad;
A) abulia, taciturnidad. B) murria, melancolía
C) puerilidad, nimiedad. D) elocuencia, insolencia.
E) probidad, deshonestidad.
Solución:
Serie verbal fundada en la antonimia.
Clave: E
3. Bisoño, novel, inexperto,
A) ávido. B) desmañado. C) melifluo. D) insipiente. E) tozudo.
Solución:
Serie verbal sinonímica que se proyecta en ‘bisoño’.
Clave: B
4. Determine la serie compuesta por tres sinónimos
A) domeñar, cooptar, abreviar B) separar, transigir, ceder.
C) luchar, bregar, forcejear. D) inquirir, impostar, escrutar.
E) incordiar, odiar, amistar
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Solución:
Por cuanto remiten a la acción de pelear.
Clave: C
5. Escoja el vocablo que no corresponde al campo semántico de los restantes.
A) cejar B) pergeñar C) realizar D) hacer E) ejecutar
Solución:
Cuatro palabras están relacionadas entre sí (la acción de hacer), excepto ‘cejar’.
Clave: A
6. Inconquistable, imbatible, invencible,
A) ineluctable. B) imperdible. C) inescrutable.
D) ininteligible. E) inexpugnable.
Solución:
La serie hace referencia a lo que no se puede vencer o batir.
Clave: E
7. Prontitud, rapidez, presteza,
A) celeridad. B) coherencia. C) actividad.
D) reputación. E) ignición.
Solución:
Serie de sinónimos referida a la rapidez, continúa celeridad.
Clave: A
8. Presumido, arrogante, ufano,
A) lujoso. B) insulso. C) orondo.
D) fastuoso. E) circunspecto.
Solución:
Serie de sinónimos continúa orondo, que está satisfecho de sí mismo.
Clave: C
9. Párvulo, infante; austeridad, derroche; tunante, taimado;
A) negligencia, desidia B) nefasto, ominoso
C) barullo, confusión D) sicalíptico, lascivo
E) orden, behetría
Solución:
Serie de sinónimos, antónimos, sinónimos, continúa un par de antónimos, orden y
caos.
Clave: E
Semana Nº 16

10. SEDICIOSO, INSURRECTO; ESTOICO, IMPASIBLE; ECUÁNIME, EQUITATIVO;
A) procaz, pertinaz. B) intransigente, intolerante.
C) azorado, ensimismado. D) vesánico, sensato.
E) voluble, ignaro.
Solución:
Serie compuesta por pares de sinónimos.
Clave: B
11. ALTRUISTA, BENEFACTOR, HUMANITARIO,
A) filántropo. B) misántropo. C) misógino.
D) visionario. E) licántropo.
Solución:
La serie se completa con el sinónimo filántropo: “Persona que se distingue por el
amor a sus semejantes y por sus obras en bien de la comunidad.”
Clave: A
12. Señale el término que no corresponde a la serie verbal.
A) Ínclito B) Ilustre C) conspicuo
D) perspicuo. E) insigne.
Solución:
Perspicuo significa “claro, transparente y terso”.
Clave: D
Aritmética
FACTORIAL DE UN NÚMERO
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos
los números naturales anteriores o iguales a él. Si “n” es un entero positivo, el
factorial de “n” se denota por n! , es decir:
n! = 1x2x3x…x(n-1)xn
Observación
0! = 1
n! = nx(n-1)!
Semana Nº 16

ANALISIS COMBINATORIO
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
A) Principio de Multiplicación
Si un suceso A se puede realizar de n1 maneras diferentes y por cada una de
estas un segundo suceso B se puede realizar de n2 maneras diferentes,
entonces los eventos A y B se pueden realizar simultáneamente de n1n2 maneras
diferentes.
B) Principio de Adición
Si un suceso A se puede realizar de n1 maneras diferentes y otro suceso B se
puede realizar de n2 maneras diferentes, y además ambos sucesos no pueden
ocurrir a la vez, entonces el suceso A o el suceso B se realizará de n1 + n2
maneras diferentes.
1.- VARIACIONES
● Variaciones simples
Se denominan variaciones simples o sin repetición o simplemente variaciones
de k objetos tomados de n objetos distintos, a cada uno de los arreglos u
órdenes que se hagan con los k objetos, de manera, que estos arreglos
difieran en algún elemento o en el orden de colocación.
El número de variaciones diferentes está dado por:
n
k
n!
V = n(n- 1)(n- 2)...(n- k +1) =
(n- k)!
● Variaciones con repetición
Son todas las agrupaciones de k objetos, dispuestos linealmente, que se
pueden formar a partir de n objetos distintos, donde cada uno de los
elementos puede formar parte de la agrupación, tantas veces como sea
posible.
El número de variaciones con repetición de k objetos a partir de n objetos
distintos, es:
14243
k
k veces
n
kVR = (n)(n)...(n) = n
2.- PERMUTACIONES
● Permutaciones simples
Se denominan permutaciones de n objetos a cada una de las variaciones de
los n objetos distintos.
El número de permutaciones de n objetos distintos, denotado por Pn
o Pn, es
pues igual al número de variaciones de n objetos tomados de n objetos
distintos y está dado por:
n n
nV = P = n×(n-1)×(n- 2)×...×2×1= n!
Semana Nº 16

Semana Nº 16
● Permutaciones circulares
Son las diferentes permutaciones que pueden formarse con n objetos
distintos, donde no hay ni primero ni último objeto, ya que todos forman un
“círculo” (o cualquier otra figura geométrica plana cerrada).
El total de permutaciones “circulares” diferentes que pueden formarse con n
objetos distintos, es:
C
nP = (n – 1)!
● Permutaciones con objetos repetidos
El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales entre sí,
n2 son iguales entre sí, … nk son iguales entre sí, está dado por la expresión:
=; donde n
1 2 k
n
n ,n ,...,n 1 2 k
1 2 k
n!
P = n + n + ...n
n !n !...n !
3. COMBINACIONES
● Combinaciones simples
Se denominan combinaciones de k objetos tomados de n objetos distintos a
cada selección que podamos hacer de k objetos de los n dados, sin tener en
cuenta el orden de los mismos y de manera que no pueden haber dos
combinaciones con los mismos elementos.
El número de combinaciones de orden k que se pueden formar a partir de n
elementos distintos, denotado por ó
⎛
es:n
kC
⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
k
n
k
n!
C =
k!(n - k)!
Propiedades
1) 2)n n
0 nC = C = 1
n n
k n-C = C k
+1
3) 4)n n n
k 1 k k-C +C = C n n
k k-
n- k +1
C = C
k
1
n
5) 6) ∑∑
n
n
k
k=0
C =2
t
m n n+m
k t k t
k=0
-C C = C
● Combinaciones con repetición
El número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, de manera
que dos, tres, …, k objetos pueden ser uno mismo y que denotaremos por
, está dado por la expresiónn
kCR
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
k
n +k - 1 (n +k - 1)!
CR = =
k k!(n- 1)!

Semana Nº 16
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS DE CLASE Nº 16
1.
parejas
istintas arrojaran como suma de sus inscripciones un número impar?
B) 80 C) 144 D) 63 E) 712
RESOLUCION:
3
2.
der los cuyes sabiendo que
unca coinciden ambos en un mismo escondite.
B) 45 C) 44 D) 42 E) 36
cuy tiene 7 formas de elegir un escondite
⇒ =
RTA: D
3.
s maneras puede efectuar una compra y gastar todo su
inero, el comprador?
A) 4092 B) 9032 C) 4290 D) 4042 E) 9042
LUCION:
RTA: E
4.
rmas se pueden distribuir
s cuatro computadoras entre los tres ganadores?
B) 14 C) 15 D) 18 E) 24
RESOLUCION:
En un ánfora se tienen fichas enumeradas, siete con números pares y nueve
con números impares. Si se extraen dos fichas a la vez y se tiene que la suma
de los números inscritos es un número impar, ¿cuántas posibles
d
A) 196
{ {9 7 6
impar par
CANTIDAD DE MANERAS = × =
RTA: D
En un corral de cuyes se tiene dos cuyes y siete orificios (escondites). Indique
de cuantas maneras distintas se pueden escon
n
A) 49
RESOLUCION:
Cada
77 7
42
x
CANTIDAD DE MANERAS NOCOINCIDEN COINCIDEN x
×
= + 14424431444442444443 144424443
En un establo se tiene 6 vacas y 12 carneros; un comprador de ganado
observa que solo tiene dinero para comprar 10 carneros y 3 vacas o 5 vacas y
4 carneros. ¿De cuánta
d
RESO
10 3 5 4 3C V V C V C+ = + ⇒ =
6 12 6 12 6 12
3 10 5 7 5 4(3 10 ) (5 7 ) (5 4 ) 9042V y C ó V y C ó V y C Total C C C C C C⇒ = × + × + × =
En un juego de bingo tres personas ganan el apagón, que consiste en cuatro
computadoras de última generación. ¿De cuántas fo
la
A) 12

Semana Nº 16
15OTAL CR= = RTA: C
5.
premiadas las tres
nce?
6 C) 2150 D) 1440 E) 724
RESOLUCION:
8 7 6 336OTAL P= = × × = RTA: B
6.
s códigos de barras,
s, se p enerar o este a?
90 C) 1609 D) 1906 E) 6901
RESOLUCION:
3
4
En el último mundial de fútbol Sudáfrica 2010 en los cuartos de final se tuvo a
las selecciones nacionales de Alemania, Argentina, Brasil, España, Ghana,
Holanda, Paraguay y Uruguay luchando por ocupar los tres primeros puestos
del mundial. ¿De cuántas formas distintas pudieron ser
T
primeras selecciones con medallas de oro, plata y bro
A) 212 B) 33
8
3
Un código de barras se puede generar imprimiendo 4 líneas de tamaño grueso,
3 líneas de tamaño medio y 2 líneas de tamaño fino. Si cada ordenación de las
ueve líneas representa un código diferente, ¿cuánto
T
n
diferente ueden g utilizand esquem
A) 1260 B) 16
9
4,3,2
9!
1260
4! 3! 2!× ×
¿De cuántas formas se pueden ubicar a Cesar, David, Mauro, Dora, Esther y
elly en una m
TOTAL PR= = = RTA: A
7.
esa circular de modo que las tres mujeres, a la vez, no se
C) 104 D) 108 E) 144
RESOLUCION:
OTAL PC PC P= − × = TOTAL: A
8.
embros de esta familia; si
0 C) 180 D) 144 E) 96
LUCION:
OTAL P P= × = RTA: D
N
sienten juntas?
A) 84 B) 96
6 4 3
En una de las tribunas levantadas para presenciar el desfile militar de este año
se observo que en una fila de siete asientos estaban sentados los miembros
de una familia que consta de tres varones y cuatro mujeres. ¿De cuántas
aneras distintas pudieron sentarse todos los mi
84T
m
siempre un varón estaba al medio de dos mujeres?
A) 720 B) 78
RESO
4 3
4 3 144T

Semana Nº 16
De un grupo de 2 perros, 3 gatos y 4 canarios, se desea comprar tres mascotas
donde por lo menos debe habe
9.
r un gato. ¿De cuántas maneras distintas se
uede elegir las tres mascotas?
B) 24 C) 32 D) 64 E) 72
LUCION:
OTAL C C C C C C C C C C C C= × × + × + × + × + × + = RTA: D
10.
ta fila. ¿De cuántas maneras
iferentes se podrán estacionar según su color?
A) 630 B) 1260 C) 540 D) 810 E) 720
RESOLUCION:
p
A) 12
RESO
3 2 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3
1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 3 64T
En una playa de estacionamiento se tiene una fila que consta de 9 espacios
para estacionar; si llegan a la vez 4 autos de color rojo, 2 autos de color azul y
3 autos de color plomo para estacionarse en es
d
9
4,3,2
9!
1260
4! 3! 2!
TOTAL PR= = =
× ×
RTA: B
11.
y 2 varones. ¿De cuántas
rmas distintas se puede formar la junta directiva?
B) 24 C) 36 D) 60 E) 72
RESOLUCION:
C× = RTA: D
12.
Álgebra uno sobre otro, de modo que los libros de
lgebra no estén juntos?
B) 24 C) 32 D) 64 E) 72
ESOLUCION:
7
A una reunión asisten 6 varones y 4 mujeres, se desea formar una junta
directiva en donde siempre intervengan 3 mujeres
fo
A) 18
6 4
2 3 60TOTAL C=
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar sobre un escritorio 3 libros
de Aritmética y 2 libros de
A
A) 12
R
5! 4! 2!
5 2 2 2
x
LIBROS LIBROS DE ALGEBRAJUNTOS LIBROS DE ALGEBRANO ESTAN JUNTOS x
×
= + ⇒ =
4243 144444424444443 144444444424444444443
RTA: E
1

Semana Nº 16
SOLUCIONARIO DE LA EVALUACION DE CLASE Nº 16
1.
número 6 debe ir en
ualquier lugar que este posterior al lugar del número 3?
B) 143 C) 144 D) 145 E) 146
RESOLUCION:
¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con los números 0, 1, 3, 5, 6 y 9, si
el número 3 está después de la segunda posición y el
c
A) 142
1° 3 6
2° 3 6
3° 3 6
4° 3 6
5° 3 6
6° 3 6
OTAL = = RTA: C
2.
ta, ¿de cuántas manera diferentes podrán
omer helados todas ellas juntas?
) 25 B) 10 C) 100 D) 50 E) 5
RESOLUCION:
6(4!) 144T
Una heladería tiene helados de piña, mango, fresa, lúcuma y coco; los cuales
se venden en copas, pero de un solo sabor. Cuatro hermanas llegan y piden
una copa cada una. Si Bárbara solo come de coco; Sofía de lúcuma o fresa;
Rosario y Keymi de cualquier fru
c
A
B S R K
c l p P
f m m
f f
l l
c c
OTAL = × × × = RTA: D
3. labra
ENSEÑANZA”, si las letras “E, S, E” deben ir juntas en cualquier orden?
A) 2870 B) 3780 C) 3870 D) 3070 E) 2780
RESOLUCION:
E S E
1 2 5 5 50T
¿Cuántas anagramas se pueden hacer con las letras de la pa
“

Semana Nº 16
3780TOTAL PR PR= × = RTA: B
4.
den formarse sabiendo que un
) 125 C) 100 D) 115 E) 95
ESOLUCION:
OTAL C C= × = RTA: A
5.
io. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerse
s
so iguales
C) 720 y 720
E) 720 y 100
ON:
OTALCASO II C= = RTA: A
6.
contestar, si de las cinco primeras debe
) 35 C) 45 D) 55 E) 65
ON:
OTAL C C= × = RTA: A
7.
6 mujeres, además en dicha comisión
) 2500 C) 2600 D) 2480 E) 2580
ON:
C C C C C× + × + × = RTA: A
7 3
2,2 2
En un grupo de 10 amigos que juegan fútbol sala. Hay 3 que pueden jugar sólo
de porteros y los 7 restantes pueden jugar en cualquier puesto menos de
orteros. ¿Cuántos equipos de fútbol sala puep
equipo lo integran 4 jugadores mas el portero?
A) 105 B
R
3 7
1 4 105T
En un aula donde hay 10 alumnos se van a distribuir 3 premios, ningún alumno
debe recibir más de un prem
la distribución?. Si:
os premios son diferenteL
Los premios n
) 720 y 120 B) 120 y 720A
D) 120 y 120
RESOLUCI
10
3 720TOTALCASO I V= =
10
3 120T
Un estudiante debe contestar 8 de las 10 preguntas de un examen. ¿De
uántas maneras diferentes podrác
necesariamente contestar cuatro?
A) 25 B
RESOLUCI
5 5
4 4 25T
¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una comisión mixta de 6
iembros, si participan 8 hombres ym
debe haber por lo menos 3 hombres?
A) 2506 B
RESOLUCI
TOTAL C= 8 6 8 6 8 6
3 3 4 2 5 1 2506

Semana Nº 16
A un congre8. so asisten 60 personas, de las cuales, 40 solo hablan ingles y 20
olo hablan alemán. ¿Cuántos diálogos diferentes pueden establecerse, sin
te?
0 C) 907 D) 709 E) 972
RESOLUCION:
RTA: A
9. o dos coches. Si deciden ir 4 en
ada coche y solo tres de ellos tienen licencia de conducir, ¿de cuántas
difere rán re iaje?
) 4203 C) 4302 D) 4320 E) 2430
RESOLUCION:
RTA: A
10.
ano, suponiendo que cada uno de los participantes es cortes con cada uno
demás, ine el nú de perso e asistieron al cumpleaños.
) 30 C) 32 D) 21 E) 27
ESOLUCION:
n RTA: A
s
intérpre
A) 970 B) 79
8 6 8 6 20 10
3 3 4 2 2 2 970TOTAL C C C C C C= × + × + + =
Ocho amigos van de viaje llevando para ell
c
maneras ntes pod alizar el v
A) 4230 B
3 6
2 3 3 3 4320TOTAL V C P P= × × × =
Al final de una fiesta de cumpleaños se efectuaron en total 378 estrechadas de
m
de los determ mero nas qu
A) 28 B
R
2 378 28 27 28n
C = = × ⇒ =
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Al resolver la ecuación ,1
xlog1
xlog1
3
1
2
3
1
=
+
+−
hallar la suma de sus soluciones.
A)
9
13
B)
9
16
C)
9
28
D)
9
29
E)
9
31

Semana Nº 16
Solución:
De la ecuación se tiene: 02xlogxlog
3
1
2
3
1 =−−
.
9
28
soluciones
3x
9
1
x
3
1
x
3
1
x
0xlog1xlog2
12
3
1
3
1
=∑∴
=∨=⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=∨⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⇒
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−⇒
−
Clave: C
2. Hallar el complemento del conjunto solución de la ecuación
( )( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝ +
+=−+
log131
24xlog
32
1x
⎜
⎛
+ 2
1
log
12
.
B) R C) RA) R { }3− { }4,3− D) φ E) R
Solución
{ }5−
:
( ) ( )
( ) ( )
( ) .S.C
S.C
01x:verificano;
2
5
x1x4x
04x,0x,01x;24xlog)ii
16log3log2log
3log2log
1
2log3log
1
12log
1
13log
1
)i
'
22
22
1x
666
332232
R=∴
φ=⇒
>+−=⇒+=−⇒
>−≠>+=−
==+=
+
+
+
=
+
+
+
+
Clave: A
3. Hallar la suma de los cuadrados de los valores de x que verifican la ecuación
)
(
(
)
( )
9
81log
2729
x
7x
7
−
+
= .
log 5
x+ +log

Semana Nº 16
A) 35 B) 20 C) 29 D) 25 E) 32
Solución:
De la ecuación se tiene:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )
.20solucionesdecuadrados
scondicionelasverifican2x4x
08x2x
x57x27
x57xlogx5log13log3
x5log3log223log6
4x,0x5,6x,07x;
3log2
3log4
23log6
2
7x7x7x
37x7x
x5
7x
7x
=∑∴
=∨−=⇒
=−+⇒
−+=⇒
−+=−+=⇒
−+=⇒
≠>−−≠>++=
+++
++
−
+
+
Clave: B
. se obtiene al resolver la inecuación4 Si a es el menor valor entero que
( ) ,14log4log2 < hallax9x7
2
2
++ r ( )( )[ ]3aalog5 +− .
A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9
Solución
a6 2
+
:
( )
( )( )
( )( )[ ] .225log3aa6alog
1a
7
5
,2S.C
02x5x7
0109x7x
x,04x9x7;14log4x9x7log:tieneSe)i
5
2
5
2
2
2
2
2
==+−+∴
−=⇒−=⇒
<+−⇒
<−+⇒
∈∀>++<++ R
Clave: A
5. Si b,a es el conjunto solución de la inecuación
.1allarx 3
log
abh,
27
x4
x
+−<
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

Semana Nº 16
Solución:
De la inecuación: ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
27
x
logxlog
4
3
x3log
3
( ) ( )
( )( )
.51ab
27b,3a;27,3S.C
27x3
27logxlog3log3xlog1
0xlog3xlog1
3xlog4xlog
3333
33
3
2
3
=+−∴
===⇒
<<⇒
<<⇒<<⇒
<+−+−⇒
−<⇒
Clave: B
. Al resolver la ecuación6 ( ) ( ) 1832296 xlnxlnxln
−=− , hallar el producto de sus
es.
A) e6
B) e5
C) e4
D) e3
E) e2
ión
solucion
Soluc :
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
.esolucionesdeductooPr
exex
1xln2xln
02293
0932932
018322923
3
2
xlnxln
xlnxlnxln
xlnxlnxlnxln
=∴
=∨=⇒
=∨=⇒
=−−⇒
=−−−
=+−−
Clave: D
7. Si 3x2
2
log 40x =
⎟
⎠
⎜
⎝
, hallar el valor de
4x 396x4
−⎟
⎞
⎜
⎛ +−
2
x
x ⎟
⎠
⎜
⎝
.
2
⎟
⎞
⎜
⎛
A) 2– 16
B) 2– 8
C) 2– 6
D) 2– 4
E) 2

Semana Nº 16
Solución:
De la ecuación: 1x,0x;
2
4x
x 40
396x4
3x2
≠>
+
=
−
−
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
.2
4
1
x
2
8x822x
02x
2x22x
8
4
2
x
382
13
3393x2
2393x2
2
393x239
2
3x2
−
−−
−
−−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∴
=⇒===⇒
=−⇒
+−⇒
Clave: B
8. Si ]d,c]b, ∪∞− es el conjunto solución que se obtiene al resolver la
acióninecu
x
5
x
125
8
4
≥ , halla b.
25
5
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
r c + d –
B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Solución
A) 4
:
( )( )
] ]
.8bdc
3,05,S.C
0
x
3x5x
0
x
15x2x
x
15
2x
5
2
5
2
5
2
2
x
15
2x
=−+∴
∪−∞−=⇒
≤
−+
⇒
≤
−+
⇒
+−≤⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≥⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Clave: E
–

Semana Nº 16
9 Resolver. 3x
369 +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ .4xx2x
32 +
+≤
B)A) [ 0, 3 ] ]6,0 C) [ 0, 9 ] D) 3,0 E) 9,0
Solución:
De la inecuación:
( )( )
[ ] .9,0S.C
9x0
3x0
01x3x
03x2x
33
0333273
03273263
3x2x
0
x2xx2x
2
x2xx2x2
=∴
≤≤⇒
≤≤⇒
≤+−⇒
≤−−⇒
≤⇒
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⇒
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
>
+
43421
Clave: C
DE EVALUACIÓNEJERCICIOS
1. solución de la e aciónSi m es cu ( ) 0x...xx1log 82
2xx23
=++++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
, hallar el
de 9lo5m
++ .
B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Solución
valor ( )m5g3
A) 5
:
( )
( )( )( )
{ }
( ) .39m5log5
0m;0S.C
1x0x
1x1x1xx0
1x
1x
x0
1x;x...x1x0
x...xx11
:tieneseecuaciónlaDe)ii
0x...xx1;1xx23;0xx23)i
3
m
24
8
7
82
8222
=++∴
==⇒
−=∨=⇒
+++=⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=⇒
≠+++=⇒
++++=
>++++≠−+>−+

Semana Nº 16
Clave: C
. x que verifica la ecuación2 Hallar el mayor valor de
( )
.
64
x
x
42x2log2x2log
=
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
A) 20 B) 18 C) 16 D) 8 E) 4
Solución:
( ) ( ) ( )
( )( )
06xlog5xx 23
22
log2log
06xlogxlog4xlog2xlog
6xlog
64
x
logxlog
222
22
2
22
4x2log2
2
x
2
log
2
=+−−⇒
=+−−−⇒
−==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
Por Ruffini, se tiene:
( )( )( )
.8esxdevalormayor
2x8x
4
1
x
01xlog3xlog2xlog 222
∴
=∨=∨=⇒
=−−+
Clave: D
3. Hallar el menor valor entero positivo que se obtiene al resolver la inecuación
( ) ( )1x2log5log
5
1 xx3x2 2
5
1
2
++<+− .
B) 9 C) 8 D) 7 E) 5
Solución
A) 11
:
01xx
01x2x05x3x2)i
2
2
0;0a
2
>+−⇒
++>+−
−−∈⇒
>+∧∈⇒
>++∧>+−
<Δ>
R
R
44 344 21
( )
{ }
( )( ) 04x1x
04x5x
1x2x5x3x2)ii
1x
2
22
>−−⇒
–

Semana Nº 16
.5esmenor +
,41,11,S.C
∴
∞+∪−∪−∞−=⇒
Clave: E
Z
4. Si b,a l conju lución obtien olveres e nto so que se e al res la inecuación
)5 −>+ , hallar(log2 5+− ) ( x82log2x4 ( ) 1
ab −
.
A) 19 B) 17 C) 15 D) 13 E) 11
Solución:
( )
( ) ( )
0
1x4
25
x4
1
25log
x82
2x4
log
2x82log2x4log)ii
...
4
1
,
2
1
x0x8202x4)i
55
55
<
−
⇒>
>⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
⇒
>−−+
α−∈⇒>−∧>+
24x102
1−
⇒
x2
−
+
( )
( ) ( )
( )ab∴ .17
4
1
b,
17
4
a,
4
1
,
17
4
CS:yDe
...
4
1
,
17
4
x
1
=
===βα⇒
β∈⇒
−
Clave: B
. Resolver5 ( ) 16xlog 2
x <− .
A) 3,2 B) 4,6 C) 3,6 D) 4,2 E) 5,6
Solución:
De la inecuación, se tiene: ( ) 06x;xlog6xlog 2
x
2
x >−<−
17
4
4
1

Semana Nº 16
( )( ) ( )
( )
.3,6S.C
6x6x3,2x
06x;x6xx1Si)ii
.C
06x1x0Si)i
22
2
=⇒
−<∨>∧−∈⇒
>−<−⇒<
⇒
<−⇒<<
Clave: C
6. Si
6x6x02x3x −<∨>∧<+−⇒
S φ=
( ) 2332 1xx2
+= +
, hallar
2log
x
9log
3
x
8 + .
A)
3
5
B)
2
3
C)
3
2
D)
3
1
E)
5
3
Solución:
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
.
3
5
1
3
2
2log
x
3
log
3
2
log9
2logx23
023332)i
3
2
2
32
x
8
3
xx
xx2
=+=9log x
8 +
2
23log)ii x
013223
x
∴
===
=⇒=⇒
=−−
Clave: A
7. Al resolver la ecuación .
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 16
Solución
=+−⇒
6x10hallar,233 xlog3xlog2xlog1
+=+ +++
:
De la ecuación se tiene:

Semana Nº 16
( ) ( ) ( )
( )312 xlog
312 xlog
( )
( )
.7
10x0xlog1
28
283933
1
log
xlog
xlogxlogxlog
( )
( )
.7
10x0xlog1
28
283933
1
log
xlog
xlogxlogxlog
6x10 =+ 6x10 =+
23 xlog1x1
23 xlog1x1
∴
=⇒=+⇒
=+
−
Clave: A
. esolver
=⇒ ++
=⇒
8 R 122 x1x
≥− −
.
A) 2,0[ B) ∞+,1 C) ∞+,2[ D) ∞+,1[ E) [ 0 , 2 ]
Solución:
[ ,1CS ∞+= .
1x1x022
02212
0222
0122
x
xx
xx
xx
2
2
∴
≥⇒≥⇒≥−⇒
≥⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎛ +⇒
≥−−⎟
⎞
⎜
⎛⇒
≥−⎟
⎞
⎜
⎛− −
Clave: D
Geometría
EJER ASE N° 16
1. Dados los puntos
⎝
⎠⎝
⎠⎝
CICIOS DE CL
)5,4(Py)1,1(P,4,
2
1
P 321 −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− , hallar la suma de las
endientes de las rectas PP 21
A) 6 B) 4 C) 3 D) – 5 E) – 7
p .PPyPP, 3231

Semana Nº 16
Y
X
B
A 5
3
C
4
Y
XP
1
2
P
2
1
3
P
3
Resolución:
2
14
)1(5
m
2
2
1
4
)4(5
m
2
2
1
1
)4(1
m
3
2
1
=
−
−−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
−−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
=
+ :
Clave: A
. triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, – 1),
6mmm 321 =++
2 Hallar el ortocentro del
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+ 1
2
23
,12
2
3
B y .)122,122(C −−+
A) (1, – 1) B) (–1, 1) C) ( 2,2 − )
D) (2, – 1) E) (2, –2)
Resolución:
( ) ( )
ortocentroeles)1,1(A:ABC
5
2
23
22
2
23
22)C,B(d
4
11221122)C,A(d
11
2
11
2
)B,A(d
22
22
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
=
+−−+−+=
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
+−+⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
−+=
Clave: A
re L: e o Q.
Hallar las coordenadas de Q.
3=
2323
22
⎞⎛⎞⎛
3. La proyección del punto P(– 6, 4) sobre la cta 4x – 5y + 3 = 0 s el punt
A) ⎟
⎠
⎜
⎝
−−
2
,1
⎞⎛ 1
B) (–1, –1) C) (–2, –1)

Semana Nº 16
XO
A
Y
B
C
D
XO
A
Y
C
B
D
Q
E
60º
Y
X
1
P (-6,4)
D) ⎟
⎠
⎜
⎝
−− 1,
3
E)
⎞⎛ 2
⎟
⎠
⎜
⎝
−−
2
,
2
⎞⎛ 11
Resolución:
L1: )()6x(
4
5
4y −=− 1 LL+
+ 14 = 0
)
∈ L → 4 – 5 = – 3 = – 2
→
∈ L1 → 5 4 = – 14 = – 1
→ 5x + 4y
Sea Q( 00 y,x
Q 0x 0y 0x
Q 0x + 0y 0y
)1,2(Q −−∴
Clave: C
. En la figura, OABC es un rombo, A(5, 3) y el triángulo ABD es equilátero. Hallar la4
ecuación de la recta L.
A) 03yx3 =−+
B) 032 =5yx −+
C) 0353yx3 =−−−
D) 053yx3 =−−−
E) 035yx3 =−−
Resolución:
1) )OABCRombo(QCAQ,OBAC =
→ C(5 , – 3)
2) ΔDBC: 2α + 2θ + 60º = 180º
θ = 60º→ α +
3) mBED = 60º → m = tg60º = 3 es la pendiente
de L.
4) y + 3 = 3 (x – 5)

Semana Nº 16
Y
B(-3,3)
X
C(3,-3)
A(
→
-4,1)
d
3 x – y – 5 3 – 3 = 0
lave: C
5. triángulo son lo ntos A(– (3, –3). Hallar la
dista cia de A al lado
C
Los vért un s pu 4, 1), B(–3, 3) y Cices de
n BC .
A) 2
2
5
u B) 22 u C) 2
2
3
u
D) 23 E)u 2
2
7
u
Resolución:
1) L: recta que pasa por B y C
→ 1−
33
33
m =
−−
+
=
→ y – 3 = – 1(x+3)
→ x + y = 0
2) d(A, L) =
2
3
2
14
=
+−
2
23
d =
Clave: C
La recta L pasa por el punto A(3, 1) y la distancia del punto Q(–1, 1) a L es6. m22 .
Hallar la ecuación de L.
A x B) 2x + y – 4 = 0 C) + 2y – 4 = 0 ) x + y – 4 = 0
2 = 0
Resolución:
D) x – y + 2 = 0 E) x + y –
1) L: y – 1 = m(x – 3)
→ mx – y + 1 – 3m = 0

Semana Nº 16
Y
XB
45º
C
A
P
Y
M
TQ X
1
2O
O
Y
X
45º
B
C
A
G
2) d(Q, L) = 22
1m
m311)1(m
22
2
=
+
−+−−
→
1()m4(22 ±=→ m8)1m
1m
4 22
2
→+==
+
−
→
) L : y – 1 = 1( = 0
Soluciones
L1: y – 1 = –1(x – 3) → x + y – 4 = 0
Clave: C
7. En la figura, A(0, 6) y B(8, 0). Si la recta L contiene al baricentro del triángulo ABC,
hallar las coordenadas del vértice C.
A) (6, 4) B) (5, 6) C) (4, 6) D) (3, 6) E) (8, 6)
m
3 x – 3) → x – y – 2
Resolución:
1) A(0, 6) → C(a, 6)
2) L : y = x (m = tg45º)
3) G(C, C) baricentro ΔABC
)6,4(C
4a
3
066
3
8a0
c
∴
=→
++
=
++
=→
Clave: C
. En la figura, P, Q, M y T son puntos de tangencia, O1 y O2 son centros de las
circunferencias. Si O1(2, 2) y
8
22QT = , hallar las coordenadas de O2.
A) ( )1,2
B)
2
( )1,222 +
C) ( )2,2
D)
2
( )2,222 +
E) ( )1,221+

Semana Nº 16
P M
TQ X
Y
O1
2OR=2
r
2 2 2
1
r1
C
ción:Resolu
( )1,222O
1r2r2
.)op(Pr22Rr2 =
22QT
2 +
=→=
=
∴
Clave: B
. 4x2
+ 4y2
– 16x + 20y + 25 = 0, hallar la ecuación de la
ferencia c trica a C y tangente a la recta : 5x – 12y = 1.
A)
9 Dada la circunferencia C :
circun oncén L
9
2 ⎠
5
y)2x(
2
2
=⎟
⎞
⎜
⎝
⎛
++− B) 1
2
5
y)2x(
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
C) 3
2
5
y)2x(
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++− D) 9
2
5
y)2x(
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
E) 9
2
5
y)2x(
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
Resolución:
1) C : 4
2
5
y)2x(
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
2r,
2
5
,2C =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−→
2) C1: centro C ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
5
,2

Semana Nº 16
2
P
M
(-1,1)
Q(3,5)
1
C(h,k)
9
2
5
y)2x( 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−→
3r
13
39
125
1
2
5
12)2(5
),C(dr
2
22
1
=
=
=
+
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
== L
10. a ar la ecuaci de la circunfe nto Q(3, 5) y es tangente a
L: 3x + y + 2 = 0 en el punto (– 1, 1).
) x – 2)2
+ (y + 2)2
= 10 – 2)2
= 10
x – 2)2
+ (y – )2
+ (y –
E) (x + 2)2
+ (x + 2)2
= 9
Resolución:
1
Clave: A
H ll ón rencia que pasa por el pu
la recta
A ( B) (x + 2)2
+ (y
C ( 2)2
= 9 D 2)2
= 10) ) (x – 2
11) L : )()1x(
3
1
21 LL+
→ x – 3y + 4 = 0
1y =−
2) )3,1(M
2
15
,
2
13
M =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
(punto medio de PQ )
L2 : y – 3 = – 1(x – 1)
→ x + y – 4 = 0
3) C ∈ L1 ⇒ h – 3k = – 4
⇒ h = k = 2
C ∈ L2 ⇒ h + k = 4
4) C : (x – 2)2
+ (y – 2)2
= 10
Clave: D

Semana Nº 16
X
Yy
1
2
A
X
Yy
1
2
A
6
b
B(0,-b)
l área de la región triangular sombreada es 12 m2
, L1 es perpendicular
a L2 y A(6, 0). Hallar la ecuación de L1.
Resolución:
11. En la figura, e
A) 2x –3y – 12 = 0
B) 3x + 2y + 18 = 0
C) 2x + 3y – 12 = 0
D) 3x + 2y – 18 = 0
E) 3x – 2y + 18 = 0
018y2 =−+x3
)6x(
2
3
y)3
2
3
mdependiente
3
pend)2
)0,6(A,)4,0(B
4b12
2
b6
)1
1
11
→
−−=
−=
−
=→=
:
:
L
L
2. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos A(– 4, 1), B(2, 3) y
C(8, 9). Hallar la suma de las coordenadas del cuarto vértice.
A) 7 B) 10 C) 8 D) 12 E) 9
2
mdeiente 22 =:L
→
Clave: D
1

Semana Nº 16
A
B
O
Y
X
Y
XO
A(-4,1)
C(8,9)D(a,b)
B(2,3)
E
Resolución:
1) E punto medio de AC
→ E(2, 5)
2) E punto medio de DB
7b
2
3b
5
2a
2
2a
2
=→
+
=
=→
+
=→
3) a + b = 9
Clave: E
13. En la figura, O es centro de la circunferencia, A(2, 4) y B(6, 10). Hallar el área del
círculo.
A) 12π u2
Resolución:
B) 13π u2
C) 14π u2
D) 15π u2
E) 10π u2

Semana Nº 16
A(2,4)
B(6,10)
O
Y
X
r
r
C(-3,-5)
r
π=π=
=→
= 132
−+−==
13rA)2
r
)410()26()B,A(dr2)1
2
2
Clave: B
14. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(– 3, – 5) y tangente
a la recta L: 12x + 5y – 4 = 0.
A) x2
+ y2
+ 6x + 10y = 0 B) x2
+ y2
+ 6x + 10y – 9 = 0
C) x2
+ y2
+ 6x + 10y + 9 = 0 D) x2
+ y2
+ 6x + 10y + 25 = 0
E) x2
+ y2
+ 6x + 10y – 25 = 0
Resolución:
13
09y10x6yx
25)5y()3x()2
5r
512
4)5(5)3(12
),C(dr)1
22
22
22
=++++→
=+++
=→
+
−−+−
==
:C
L
Clave: C

Semana Nº 16
O
B
H
A X
Y
B(x ,y )2 2
C(x ,y )3 3
A(x ,y )1 1
P(2,5)
Q(4,2)
R(1,1)
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 16
. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P(2, 5), Q(4, 2) y R(1, 1).
de los vértices del triángulo.
B) 14 C) 18 D) 10 E) 12
Resolución:
1
Hallar la suma de las coordenadas
A) 15
1) Por punto medio:
8yyy
4yy2
2
yy
32
32
⎪
⎪
⎪
⎭
+
2yy1
2
yy
10yy5
2
yy
7xxx
8xx4
2
xx
21
xx
4xx2
xx
32131
31
21
21
321
32
32
31
31
21
21
=++→
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=+→=
=+→=
+
=+→=
+
=++→
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=+→=
+
=→=
+
=+→=
+
Clave: A
. En la figura, OH = 6 m y OA = 10 m. Hallar la ecuación de la recta L.
A) 3x + 4y + 30 = 0
B) 3x + 2y + 15 = 0
C) 3x + 2y – 15 = 0
D) 4x + 3y – 30 = 0
E) 3x + 4y – 30 = 0
xx
2
+
2
2) Suma de las coordenadas de A, B y C : 7 + 8 = 15
2

Semana Nº 16
O
B(0,b)
H
A(10,0) X
Y
y
8
10
b
6
Resolución:
1) AOB: 62
= 8y (R.M)
→
2
9
y =
2) AOB: b2
= )M.R(
2
9
2
9
8 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
2
15
b =
3)
4
3
: −=mpendienteL
030y4x3
)10x(
4
3
y
=−+→
−−=→
Clave: E
. Los puntos A(2, – 5), B(1, – 2) y C(4, 7) son los vértices de un triángulo. Hallar las
l lado
3
coordenadas del punto de intersección de AC con la bisectriz interior del
A)
ángulo B.
⎟
⎠⎝ 2
⎞⎛ 5
⎜ − 2, B) ⎟
⎠
⎞⎛ 5
⎜
⎝
−1,
2
C) (3 , – 1)
D) (3, – 2) E) ⎟
⎠
⎜
⎝
−
2
,
2
⎞⎛ 35

Semana Nº 16
C(2,-3)
P(5,1)
Y
X
C(4,7)
D(x,y)
A(2,-5)
O
B(1,-2)
Resolución:Resolución:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−=
+
+−
=
=
+
+
=
==
=+=
= =+
∴ 2,
2
5
D
2
3
1
1
)7(
3
1
5
2
5
3
1
1
)4(
3
1
2
x)3
3
1
103
10
DC
AD
)2
1031)B,A(d
1033)C,
22
2
. a tangente a la circunferencia
en
C) 3x + 4y + 19 = 0
D) 3x – 4y + 19 = 0 E) 4x + 3y + 19 = 0
Resolución:
y
9B(d)1 2
Clave: A
Hallar la ecuación de la rect4
C: x2
+ y2
– 4x + 6y el P(5, 1).– 12 = 0
A) 4x + 3y – 19 = 0 B) 3x + 4y – 19 = 0
1) C : (x – 2)2
+ (y + 3)2
= 25
5r,)3,2(C =−→
2)
4
3
m
3
4
m CP
−=→= L
3) L : )5x(
4
3
1y −−=−
→ 3x + 4y – 19 = 0
Clave: B

Semana Nº 16
Y
X
B
d
d
1
2
1
C(3,-2)
5. Las rectas L1: ax + (a – 1) y + 7 = 0 son paralelas.
L1 y
A) 4 B) 5 E) 7
y – 18 = 0 y L2: 4x + 3
L2.Hallar la distancia entre
C) 6 D) 3
Resolución:
1221 ),(d)3 LL
1
2121
enestá)6,0(B,),B(d
018y3x4:)2
4a
3
4
1a
a
mm//)1
LL
L
LL
=
=−+
=→−=
−
−
=→
5
25
43
7)6(3)0(4
22
=
+
++
=
→ 5),(d =LL 21
Clave: B
. Dada la circunferencia C: x2
+ y2
– 6x + 4y – 12 = 0 y la recta L: 3y + x – 6 = 0,
uación de la recta que contiene al diámetro que biseca a la cuerda
L.
x – y + 11 = 0 C) 3x + y – 11 = 0
n:
6
hallar la ec
contenida en
A) 3x – y – 11 = 0 B) 3
D) 3x + y + 11 = 0 E) x – 3y – 11 = 0
Resolució
011yx3
)3x(3)3 L 2y
)(3m
1
m)2
5r,)2,3(C
25)2y()3x()1
1
1
22
:
=−−→
−=+
=→−=
=−→
=++−
:
LL
C
Clave: A
3 1LL

Semana Nº 16
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 16
1. Si [a, b] es el rango de l nida por f(x) =a función real f defi 1
3
xsen
3
xsen2 +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+ ,
0 ≤ 2 2
.
D) 5 E) 11
x ≤ π, calcule a + b
A) 17 B) 9 C) 10
Solución:
f(x) = 2 1
3
·cossenx2 +⎥
⎤
⎢
⎡ π
⇒ f(x) = 2senx
⎦⎣
+ 1
≤ x ≤ π ⇒ 0 ≤ senx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2senx ≤ 2
a2
+ b2
= 1 + 9 = 10
Clave: C
2. le el periodo de la = cos7x + cos3x.
A) π B) 2π C)
0
⇒ 1 ≤ 2senx + 1 ≤ 3 ⇒ Ran(f) = [1, 3] = [a, b]
∴
Hal función real f definida por f(x)
3
2π
D)
7
2π
E)
2
π
olución:S
T1 = 2 =cos7x se tiene 7 πn ⇒ T1
7
14
,
π
7
12
,
7
10
,
7
8
,
7
6
,
7
4
,
7
2 ππππππ
cos3x se tiene 3 T = 2πn ⇒ T2 2 =
3
6
,
3
4
,
3
2 πππ
⇒ T = 2π
Clave: B
3. alle el dominio de la función real f definida por f(x) =H
1xcos
1xsenxcos
2
22
+
−−
.
A)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
π
Zn/
n
8
B)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
π
+ n/ C) { }Z
π
Z
33
n
∈π n/n
D)
⎭
⎬
⎫⎧ ππn
⎩
⎨ ∈− Zn/
44
E) { }Z∈π n/n4

Semana Nº 16
Solución:
f(x) =
1x2cos +
1x2cos −
x2cos – 1 ≥ 0 ∧ cos2x + 1 ≠ 0
x2cos ≥ 1 ∧ cos2x ≠ – 1
≥ 1 ∨ ≠ – 1
⇒ cos2x = 1
2x = 2nπ, n ∈ Z ⇒ x = nπ, n ∈ Z
C
4. e rm e el dominio d la función real f definida por f(x) =
⇒ (cos2x cos2x ≤ – 1) ∧ cos2x
⇒
lave: C
D te in e 1x3sen − .
A)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨ ∈n/
2
⎧ π
Z
n
B) { }Z∈π+ n/)1n2( C)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
π
+ Zn/
6
)1n2(
D)
⎭
⎬
⎫
⎨
⎧
∈
π
+ Zn/)1n2( )
⎩ 3
E { }Z2 ∈π n/n
Solución:
x ∈ Dom(f) ⇔ x3sen – 1 ≥ 0
sen3x 1 sen3x ≤ – 1
3x = (2n + 1)
≥ ∨
2
π
, n ∈
(f) =
Z
∴ Dom
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
π
+ Zn/
6
)1n2(
Clave: C
. eal definida por f(x) =5 Sea f una función r
xcos1
xcos1
+
−
, x ∈ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ π
3
,0 . Halle el valor
máximo del rango de f.
A)
2
1
B) –
2
1
C)
3
1
D) –
3
1
E) 0
Solución:

Semana Nº 16
f(x) =
xcos1
xcos1
+
−
=
2
x
cos2
2
x
sen2 2
2
= tg2
2
x
tg es creciente en
2
,
ππ
− , en particular es creciente en
2 ⎥
⎦
⎤⎡ π
,0⎢ 6
como x ∈
⎣
⎥
⎦
⎤⎡ π
⎢ 3
,0 ⇒ 0 ≤
⎣ 2
x
≤
6
π
⇒ 0 ≤ tg
2
x
≤
3
3
⇒ 0 ≤ tg2
2
x
≤
3
1
Clave: C
6. osSea la función real f definida por f(x) = 2sen2
2x – 2c ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
4
x2 cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
4
x2 , halle
el rango de f.
C) [– 3, 3] D) [– 1, 3] E) [– 2, 3]
Solución:
A) [2, 3] B) [1, 3]
f(x) = 1 – cos4x – 2cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
4
x2 cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
4
x2
= 1 – 2cos4x
Como – 1 ≤ cos4x ≤ 1
⇒ – 1 s4x ≤ 3
[– 1, 3]
Clave: D
7. Sea la función real h definida por h(x) =
≤ 1 – 2co
∴ Ran(f) =
senx
x2sen
, x ∈ ⎢
⎣
⎡ ππ
3
2
,
3
, halle el rango
de h.
A) [0, 1 B) ⎥
⎦2
,0 C)
⎤1
0, 2] D) [0, 1] E) ⎢
⎣
⎡
2
1
,0
Solución:
h(x) =
senx
x2sen
=
se
senx2
nx
xcos
= 2 xcos
3
π
≤ x <
3
2π
⇒ –
2
1
< cosx ≤
2
1
⇒ 0 ≤ xcos ≤
2
1

Semana Nº 16
⇒ 0 ≤ 2 xcos ≤ 1
⇒ Rang(h) = [0, 1]
Clave: D
8.
A) [– 1, 3] B)
Halle el rango de la función real f definida por f(x) = 1 + sen2xsecx.
3,1− C) [– 1, 1] D) 1− , 3] E) 1,1−
Solución:
f(x) = 1 +
xcos
x2sen
= 1 +
xcos
xcossenx2
, cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ (2n + 1)
2
π
, n ∈ Z
)
≤ ≤ 1 ∧ x ≠ (2n + 1)
f(x = 1 + 2senx
como – 1 senx
2
π
, n ∈ Z
⇒ – 1 < senx < 1
– 1 + 2senx⇒ 1 < < 3
⇒ Ran(f) = 3,1−
Clave: B
9. rango de función real f definida por f(x) =Halle el la
senx3x2sen
x2sen
+
.
A) ⎥
⎦
⎢
⎣
−−
5
,3
⎤⎡ 3
B) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
5
2
,2 C)
5
3
,3 −−
D)
5
2
,2− E) 2,2−
Solución:
y =
senx3xcossenx2
xcossenx2
+
⇒ y =
3xcos2
xcos2
+
, x ≠ nπ, n ∈ Z
⇒ y = 1 –
3xcos2 +
3
, x ≠ nπ
Como – 1 < cosx < 1 ⇒ – 2 < 2cosx < 2
⇒ 1 < 2cosx + 3 < 5
⇒ 1 >
3xcos2 +
1
>
5
1
⇒ – 3 <
3xcos2
3−
< –
+ 5
3
⇒ – 2 < y <
5
2
Clave: D

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