Este documento presenta varios problemas resueltos relacionados con binomios de Newton, factoriales y radicación. Los problemas incluyen hallar valores de "n" que satisfagan igualdades, reducir expresiones y calcular sumas. Las respuestas a los problemas van de la A a la E.

1. SEMANA 16
BINOMIO DE NEWTON Y
RADICACIÓN
1.
Halle la suma de valores de “n”
que satisfagan la igualdad
n! 3 n! 2  3
n! 6
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
n  3!  n2  3n  2n2  3n
n  3!  n  1n  2 n n  3
n  3!  n n  1n  2n  3
n  1!n n  1n  2n  3  n n  1n  2n  3
n  1!  1
C) 3
n=1
n=2
 3
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
Sea n! = z
z2  z  6  3z  18
z2  2z  24  0
z  6z  4  0
z=6
n=3
n=3
ó

4.
720!119! 


z = -4
n  4 no existe
D)
K
K
720! 
119!
720!
n!!
C) 5
5!
 719!
n!!
6!
n!!


  719! 6! 
720 

720! 120! 720!
n!!
14
3
7
E)
3
n!!=120!
n!=5! n= 5
C) 14
RPTA.: C
5.
Simplificar:
8
9
P  C3  C8  C5  C10  C11  C12
4
6
7
4
12! 13! 14!
12! 13! 12! 7
12!1  13  13  14 
A) C12
8
B) 2 C12
8
D) C13
4
E) C12
5
14  14 28

3 7
3
RESOLUCIÓN
12!1  13  7
RPTA.: D
3.
6!
n!!
RESOLUCIÓN
K
n!!
B) 4
E) 7
119!x120
B)
28
3
 719!
RESOLUCIÓN
Reducir:
12! 13! 14!
K
12! 13! 12!x7
A) 28
5!
A) 3
D) 6
RPTA.: C
2.
Halle el valor de “n” en:
Calcule la suma de valores de “n”
n  3 !  n2  3n  2 n2  3n

A) 3
D) - 8

B) -3
E) 9

C) 8
C) C13
5
8
9
P  C3  C8  C5  C10  C11  C12
4
6
7
4
9
P  C9  C5  C10  C11  C12
4
6
7
4
P  C10  C10  C11  C12
5
6
7
4
P  C11  C11  C12  C12  C12
6
7
4
7
8
P  C13  C13
8
5
RPTA.: C

2. 6.
C26.3C19
6
9
C19 .C26
9
6
E= 3
E
Resolver:
C18  C18  C19  C20
6
7
8
E 5
21
C13  C21
8
A) 2
B) 4
1
4
1
2
E) 6
D)
C)
RPTA.: C
9.
A) 2
D) 5
RESOLUCIÓN
E
E
C18  C18  C19  C20
5
6
7
8
21
C13  C21
8
C19  C19  C20
6
7
8
C21  C21
8
8

2 C21
8
1

2
1.
2C15  C15  C15  C16
8
8
7
8
2.
C16  C16  C16  C16  C17
7
8
9
8
9
3.
18
C17  C17  C10
10
9
4.
C18  C18  C18  C18  C19
7
10
11
10
11
4C19  C19  nC20
11
11
8
20
5C19  nC12
11
5C19  n
11
Halle x + y
B) 15
E) 18
2)
10.
i)
y -1 = 6  y = 7
x + 2 = y + 5  x = 10
ii)
y - 1 = 6  y-1+6 = x+2 = y+5
y=7
 12 = x + 2 = 12
 x = 10
X +y = 17
iii)
C
C
26
20
19
9
C
C
A) 1
D) 4
19
9
25
6
C
C
C
C
n
1
1
 
n1 n n1
; n
12!
1 3 5 7 9 11 
64 6!


B) VVF
E) FFF
C) VFV
Para el caso (i)
(n+1) n - n
C) 3
*
RESOLUCIÓN
20
C26 C10  C19 
6
9 
E  19  25
25
C9 C5  C6 


n+1 - n = n n ; n 
RESOLUCIÓN
26
6
19
10
B) 2
E) 5
Respecto a las proposiciones
A) VVV
D) VFF
Reduzca
20
10
25
5
RPTA.: B
Indique la razón de verdad
RPTA.: D
8.
20 11
C19  n  3
12
C) 16
RESOLUCIÓN
1)
C) 4
5.
C21
8
Si se cumple que
2
y
Cx1  C65
y
A) 13
D) 17
B) 3
E) 6
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
7.
Determine el valor de “n” , si
cumple 4C19  C18  C17  C16  2C15  n C20
11
7
10
7
8
8
*
=n
n  1  1  n(n)
Para el caso (ii)
n
1
1
 
n  1 n n n  1 n
n
n2

n n2
n1 n1
0 = 2 ( falso)
Para el caso (iii)

3. Operando el segundo miembro
12!
12  11  10  9  8  7  6

64 6
64 6
a'  720
a''  1
Regresando el cambio

n! = 720
n!=1
11.
n2
1 1
n2
El equivalente de:
A) n  1
En consecuencia: n1  n2  n3  7
D) n +1
2
RPTA.: C
E) n
13.
RESOLUCIÓN
n  2 n  1 n n  1  1  1 
….
….



 n n  2  n4  2n3  n2  2n  1
3
2
2
n
2n2
n2
n
n
n
n2
n
 n  1  1  n2  n  1  1  n2  n
2

2
Ahora reemplazando en:

2

RPTA.: B
Determine la suma de todos
aquellos valores de “n” que
verifiquen la igualdad:
n! n! 321
 80
5n! 9
A) 5
D) 8
B) 6
E) 9
C) 7
C) 512
Exponentes:
4  5 4  6 5 4  4 1  5  30  36 4
n 1 1  n  n11  n  n
2
B) 256
E) 64
Procesando por partes para el
radicando:
9
9 8 7
9 8 7


8
7  8 7  8 7 7 1  8
-1
-1
n
2
2 3
RESOLUCIÓN
Luego:
2
4  5  6

9
4

7  8

A) 8
D) 1 024
n n2  1
n
El valor de:




Procesando el radicando
12.
n3  0
n1  6
B) n n  1
C) n n  1
n2  1
n! = 6!
RPTA.: C
2 6
4
8

4
36
 83  512
RPTA.: C
14.
Halle el valor del termino central
10
x y
del desarrollo de   
y x
A) 64
D) 512
B) 128
E)1 024
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Hagamos que: a = n!
a  a  321  80 5a  9
C) 265
tcentral = t  111 
a2  721a  720  0
a
- 720
a
-1
#t =10+1=11

 2


tk 1  Cn  a
k
nk
5
T51
b
k
;k  0,1,2,.....n
5
x y
C    
y x
10
5

4. 10  9  8  7  6
12 3 4 5
T51  4  9  7
14

1 
 x    T1  T2  .....T9  T10  T11........T15
x

Séptimo lugar
T51
T6  256
RPTA.: C
RPTA.: C
15.
Halle el grado absoluto del
término 16 en la expansión de

P  x, y   x3  2y2
A) 20
D) 45
n
17.

25
B) 25
E) 60
C) 35
A) 49
D) 45
RESOLUCIÓN
n
Tk 1  Ck  a
b
nk
k
   2y 
10
25
T151  C15 x3
G.A = 30+30=60
n
RPTA.: E
14

1 
x 
 ; existe un termino que
x

contiene a x 2 . El termino que
ocupa este termino contado a
partir del extremo final es:
B) 8
E) 5
C) 7
n7
Analicemos un término genérico
(Lugar K+1), en:
14

1 
x 
 = T1  T2  .....  TK1  .......T15
x

7n  8 n  6  48  n # términos = 49
k
TK 1  C
14k
x
TK 1   1
k
 1 
 x 2 




14
k
C
14k 
x
k
2
Por condición:
3
3k
14  k  2  12 
2
2
k=8
En consecuencia:
n7
n
n
n   n 
n 

  
 
n  6 6 8   8 
n  7 7 8 
1
1
n 
 
n  6 n  7 6 8  n  7 7 6

RESOLUCIÓN
14
K
C)47
n

Si:  x  y   T1  T2  .....T7  T8  .....Tn1
8

Averigüemos
a
los
términos
deseados
n6
n 6
n 
n 
T7  T6  1  Cn  x 
y6  Cn   xexp y6
6
8 
8 
Coef.
n7
n7
n 
n 
T8  T71  Cn  x 
y7  CN   xexp y7
7
7
8 
8 
Por condición:
n6
n7
n 
n 
Cn  
 Cn  
6
7
8 
8 
En el desarrollo de la expresión
A) 9
D) 6
B) 48
E) 44
RESOLUCIÓN
15
2
25
T16  215 C15 x30 y30
16.
n

En el desarrollo de  x  y  los
8

coeficientes de los términos de
lugar séptimo y octavo son
iguales. Entonces el número de
términos que presentará será:
RPTA.: A
18.
Averigüe al termino central central
8
x 8
al expansionar:   
8 x
A) 80
D) 60
B) 70
E) 50
C) 60

5. van disminuyendo de 6 en 6
unidades y el décimo tercero
resulta independiente de x.
Indique al término independiente.
RESOLUCIÓN
En el desarrollo de esta expresión
existen 9 términos entonces el
central estará ocupado por el
quinto.
8 4
4
 8
8 x
TCnetral  T5  T4  1  C4     
8  x
A) 10  9  8
C) 10  13  14
E) 10  11  12
8 7 6
5  70
4 3 2
TCentralC8 
4
RESOLUCIÓN
Por condición:
RPTA.: B
19.
En el desarrollo de
1  x 
43
n
12
TIndependiente  T121  C
x 
m
T13  C x
Será Independiente  mn-16m=0
 m(n-16)=0
De donde: m=0 v n = 16
16
n
16
Luego: TIndependiente  C12  C12 
12 4
16 15 14 13 12
 14 13 10
12 4 3 2 1
RESOLUCIÓN
43
2r
2r
43
r 1
T2r 1  C r ; Tr 2  Tr 1 1  C
r
r 1
Según condición
43
43
43
43
C2r  Cr 1  C2r  Cr 1(r 1)
2r=r+1
r= 1
En base es esto los términos
ocupan los lugares:
Cuando r  1  T3  T3
Para
r  14  T29  T16 (esto
permite
decir
que
21.
Extrae la raíz cuadrada de:
4x6  13x4  22x3  12x5  8x  25x2  16
3x3  2x2  x  4
5x2  7x  2
2x3  3x2  x  4
4x2  8x  2
x4  2x3  x2  x  1
RESOLUCIÓN
4x6  13x4  22x3  12x5  8x  25x2  16
nos
T2  2 )
es
primero.
RPTA.: C
20.
RPTA.: C
A)
B)
C)
D)
E)
2r=42-r
3r=42
r=14
12
 m 
 3
x 




n
12
B) 16 y28
D) 16 y 27
Admitimos que en:
43
1  k   T1  T2  ....  T2r 1  ....Tr 2  ....  t44
n12
mn - 16m
los
coeficientes de los términos de los
lugares “2x+1” y “r+2” son
iguales ¿De qué términos estamos
hablando?
A) 14 y 29
C) 16 y 26
E) 18 y 30
B) 10  3  2
D) 11  12  13
Si los exponentes de “x” en los

1
términos del desarrollo  xm  m

x3

n




4 -12 13 -22
-4
-12 13
12 9
4 - 22
-4 6
-16
16
25 -8 16 2 -3 1 -4
(4 -3)(-3)
(4 -6 1)(1)
(4 -6 2 -4)(-4)
25
-1
24 -8 16
24 8 -16
2x3  3x2  x  4
RPTA.: C

6. 22.
Calcule “a x b” si el resto de
x  1
4
A)
1
Es equivalente a: (ax+b)
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
7
B)
D)
 4x  1  2 x  15x  2
3
2 1
E)
RESOLUCIÓN
C) 3
E  6  2 10  2 8  2 7

RESOLUCIÓN
 x  1
4
 4  x  1  2x3  15x  2

7 1
E  6  2 10  2 7  2  6  2 8  2 7
3

2x2  4x  11x  2
Si: x + 1=a
2 x2  2x  1  11 x  1  1

C) 7  1
2
2 1

E  6 2 7 1  8 2 7  2 1

RPTA.: D
a4  4a3  2a2  11a  11
-1
4
-4
-2
-4
-6
6
1
2
-3) (-3)
A) 1
D) 7
11
-9
2
E  12  2 35  8  7  11  2 30  7  2 6
E 7 5
19  4 21  7  12  29  2 28
B) x+2
E) x+5
C) x+3
A) 7
D) 5
RESOLUCIÓN

7 1  6  5 


6 1
RPTA.: E
Calcule:

P


Calcule:

E=0
26.
 5  24 
6 4 3 1 8
B) 8
E) 6
1




2
C) 9
RESOLUCIÓN
19  4 21  7  12  29  2 28
19  2 84  7  12 


28  1
12+7 12x7
12  7  7  12  2 7  1  1
RPTA.: A
24.
C) 3
E  12  140  8  28  11  2 30  7  2 6
RPTA.: C
A) x+1
D) x+4
B) 2
E) 0
RESOLUCIÓN
R = a + 2 R= x + 1 + 2
R= x + 3  ax + b
A=1,b=3
23.
Reducir
12  140  8  28  11  2 30  7  2 6
(2 2) (2)
(2 4
-11
12
+1
25.
Reducir:
E  6  2 10  2 8  2 7

P



6  4 3 1 8


P


6  4  3 1 8



P


P




2
1 
 
5  24 
 


2
1 
3 2  

 


2
 52 6
6  4  3  3  2    6  4  3  6 


1
6 4 3
2




2

7. P=7
K  5 7 


7 1  2
RPTA.: A
27.
Simplificar:
29.
3x  1  3x  1
2 3x  9 x  1
2x  1  2x 1

2 2x  4x 1
2
5x

RPTA.: B

A) 0
D) 2
9x 1  4x 1
2
A) -x
D) 5x
B) 2x
E) 3x
C) x 2
2
P
2x  1  2x  1

2
2 3x  9x  1
2 2x  4x  1
3x  1  3x  1
3x  1  3x  1

3x  1  3x  1
2


5x
2
P
9x  1 4x2  1

a
b
2x  1  2x  1
 
2
2
2x  1  2x  1
P
5x  a  b 
2

2
5x

2
2x  1  2x  1
2

5 a  b
5

K

K
K
K
 13 
7  5
 13  7  3 
 3 7
4
4
32  10 7  8  2 7

3 2 6 3
3

6
3 2

8  48
4 3

6 2

4 3 6 2

6 3 2 

4
3 2
B) 2  3
C)
3 1
2 3
D)
3 1
RESOLUCIÓN
Si:
10  108  A  B
3
10  108  A  B

3
(+)
10  108  3 10  108

3
 2A 
3
20  6  2A  8A3
10  6A  4A3
10  4A3  6A  A  1
 A  3 A  3  
3 7
 5  7 3  7 
7 
6 3

3


7  3  7 

13  7  5  7 

3 2
5  24
48

A)
C) 3
RESOLUCIÓN
9  72
6

10  108
E)
B) 2
E) 5
18
Transformar a radicales simples:
3
RPTA.: D
A) 1
D) 4
9  72
5  24
8  48
B) 1
C) 3
E) 4
RPTA.: A
30.
3x  a  2x  b  a  b  5x
Efectuar:


K   13  7  5  7 


48

P  2 3  6 3 2 2 3 3 2  6  0
6x  9x2  1  2 4x  2 4x2  1

 ab
2
2
28.
6

RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3x  1  3x  1
18
P
2
2
2
Reducir:
3
10  108  3 10  108
A2  B  2
1-B=-2B=3

3
10  108  1  3
RPTA.: D