1. El documento presenta varios problemas de cálculo integral relacionados con aplicaciones en economía, finanzas, ciencia y medicina. 2. Los problemas incluyen calcular el efecto multiplicador de una reducción de impuestos, el valor presente de pagos anuales perpetuos, la acumulación de medicamentos en el cuerpo, y estimar poblaciones usando funciones de densidad. 3. También se presentan problemas sobre análisis marginal de costos, distancias recorridas por bolas que rebotan, y modelos genéticos y de

1. Facultad de Ingenier´ıa
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
C´alculo integral
Taller de aplicaciones. Corte 3
1 EL EFECTO MULTIPLICADOR
Suponga que a nivel nacional, se gasta aproximadamente el 92 % de todo el ingreso y el se
ahorra 8 %. ¿Cu´al es la cantidad total de gasto generado por una reducci´on de impuestos de
$50 mil millones si no cambia los h´abitos de ahorro?
2 VALOR PRESENTE
Una inversi´on garantiza pagos anuales de $1000 a perpetuidad, iniciando los pagos de in-
mediato. Encuentre el valor presente de esta inversi´on, si la tasa de inter´es predominante
permanece fija al 4 % anual, capitalizada continuamente. (Sugerencia: El valor presente de
la inversi´on es la suma de los valores presentes de los pagos individuales.)
3 ACUMULACI´ON DE MEDICAMENTO
Un paciente recibe una inyecci´on de 20 unidades de cierto medicamento cada 24 horas. El
medicamento se elimina exponencialmente, de modo que la fracci´on que queda en le cuerpo
del paciente despu´es de t d´ıas es f(t) = e−t/2
. Si el tratamiento contin´ua de forma indefinida,
¿aproximadamente cu´antas unidades del medicamento habr´a en el cuerpo del paciente, a
largo plazo, justo antes de una inyecci´on?
4 ACUMULACI´ON DE MEDICAMENTO
Un problema de salud, especialmente en pa´ıses en desarrollo, es que los alimentos de que el
pueblo puede disponer con frecuencia contiene toxinas y venenos. Suponga que una persona
consume una dosis d de cierta toxina diariamente y que la proporci´on de toxina acumulada
eliminada por el cuerpo de la persona cada d´ıa es q. (Por ejemplo, si q = 0,7, entonces cada
d´ıa se elimina el 70 % de la toxina acumulada.) Encuentre una expresi´on para cantidad total
de toxina que se acumular´a en el cuerpo de la persona a largo plazo.

2. C´alculo Integral P´agina 2 de 4
5 DISTANCIA RECORRIDA POR UNA PELOTA QUE REBOTA
Una pelota tiene la propiedad de que, cada vez que cae desde una altura h a una superficie
r´ıgida, nivelada, rebota a una altura rh, donde 0 < r < 1 es el n´umero llamado coeficiente
de restituci´on.
1. Una pelota con r = 0,8 se deja caer desde una altura de 5 m. Demuestre que si la
pelota contin´ua rebotando indefinidamente, recorrer´a una distancia total de 45 m.
2. Encuentre una f´ormula para la distancia total recorrida por una pelota con coeficiente
de restituci´on r que se deje caer desde una altura H.
6 AN´ALISIS MARGINAL
El costo marginal de producir x unidades de una mercanc´ıa particular es C (x) mil d´olares
por unidad, donde
C (x) = ln(1 + 0,01x2
).
El costo neto de producir las primeras 8 unidades de la mercanc´ıa est´a dado por la integral
C(8) − C(0) =
8
0
C (x) dx =
8
0
ln(1 + 0,01x2
) dx.
1. Encuentre el polinomio de Taylor de grado 6 para ln(1 + 0,01x2
) en x = 0
2. Integre el polinomio de Taylor hallado en el punto 1. para estimar el cambio neto
C(8) − C(0). (Nota:El costo neto real es alrededor de 1452, es decir, $1452.)
7 AN´ALISIS MARGINAL
El costo marginal de producir x unidades de una mercanc´ıa particular es P (x) mil d´olares
por unidad, donde
P (x) = 10x2
e−x2
.
Encuentre el polinomio de Taylor de grado 7 para P (x) en x = 0, e integre para obtener
una estimaci´on de la utilidad neta P(1) − P(0) obtenida al producir la primera unidad.
8 DENSIDAD DE LA POBLACI´ON
Si la densidad de poblaci´on a x millas del centro de cierta ciudad es D(x), entonces es posible
demostrar que la poblaci´on total P(M) que vive dentro de un radio de M millas del centro
de la ciudad est´a dada por la integral
P(M) =
M
0
2πxD(x) dx
1. Suponga que la densidad de poblaci´on es
D(x) =
5000
1 + 0,5x2

3. C´alculo Integral P´agina 3 de 4
a) Encuentre el polinomio de Taylor de grado 6 para 2πxD(x) en x = 0 e integre
para obtener una estimaci´on del n´umero total de personas P(1) que viven dentro
de 1 milla al centro de la ciudad.
b) Evalue la integral para P(1) directamente utilizando la sustituci´on u = 1 + 0,5x2
.
Compare este valor exacto de P(1) con su estimaci´on del inciso a).
c) Repita los incisos a) y b) para P(10).
d) Las respuestas del inciso c) ¿est´an cerca una de la otra?. Realice un an´alisis
determinando qu´e sali´o mal.
2. Suponga que la densidad de poblaci´on es
D(x) =
5000
1 + 0,5x2
Encuentre el polinomio de Taylor de grado 8 para estimar P(1), la poblaci´on dentro
de 1 milla del centro de la ciudad.
9 GEN´ETICA
El modelo de Jukes-Cantor en gen´etica se usa para estudiar mutaciones desde una secuencia
original de ADN. La distancia de Jukes-Cantor entre secuencias S0 y S1 de ADN es la
cantidad
d = −
3
4
ln 1 −
4
3
p
donde p es la fracci´on de sitios que est´an en desacuerdo entre las dos secuencias. Esto es una
medida del n´umero total de sustituciones por sitio que ocurren cuando S0 evoluciona a S1.
1. Aproxime d por un polinomio de Taylor de grado 2 en x = 0.
2. Un investigador encuentra que, de 43 sitios en una secuencia S0 particular de ADN, 17
ha experimentado sustituci´on cuando la secuencia evoluciona hacia S1. Use el polinomio
de Taylor del punto 1. para estimar la distancia de Jukes-Cantor para esta mutaci´on.
10 EMIGRACI´ON DE MANO DE OBRA
Los economistas se refieren al proceso de cambiarse de trabajo a otro como emigraci´on de
mano de obra. Por lo general, este movimiento es realizado como un medio de mejorar social
y econ´omicamente, pero tambi´en implica costos como lo es la perdida de antig¨uedad en el
trabajo anterior y el costo psicol´ogico de romper relaciones. Considere la funci´on
V =
N
n=1
E2(n) − E1(n)
(1 + i)n
−
N
n=1
Cm(n)
(1 + i)n
− Cp,
donde E2(n) y E1(n) denotan las ganancias de los trabajos nuevo y anterior, respectivamente,
en el a˜no n despu´es de hacer el cambio; i es la tasa prevaleciente de inter´es anual (en forma

4. C´alculo Integral P´agina 4 de 4
decimal); N es el n´umero de a˜nos que se espera que la persona est´e en el nuevo trabajo; y Cm
y Cp son los costos esperados monetario y psicol´ogico del movimiento (ganancia psicol´ogica
menos perdida psicol´ogica).
1. ¿Qu´e representa V ?, ¿por qu´e es deseable el cambio de trabajo si V > 0 e indeseable
si V < 0?
2. Para mayor sencillez, suponga que E2, E1 y Cm son constantes para toda n y que la
persona espera permanecer en el nuevo trabajo, “para siempre”, una vez que se cambie
(esto es, N → ∞). Encuentre una f´ormula para V y ´usela para obtener un criterio para
saber si hacer o no el cambio. (El criterio debe ser una desigualdad que contenga E1,
E2, Cm, Cp e i.)