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INECUACIONES CUADRÁTICAS
Las inecuaciones cuadráticas presentan o se pueden reducir a las formas:
2
2
0
0
ax bx c
ax bx c
  
  
2
2
0
0
ax bx c
ax bx c
  
  
Para resolver una inecuación cuadrática hay que analizar el discriminante:
2
4b ac  
CASO I: Si 0  , el polinomio 2
( )P x ax bx c   es un trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo 1: Sea 2
( ) 4 4P x x x   , hallar el conjunto solución de:
a) P(x) ≥ 0 b) P(x) > 0 c) P(x) ≤ 0 d) P(x)< 0
Solución 1: Como  
2
4 4(1)(4) 0     , entonces P(x) es un cuadrado perfecto, es decir:
2
( ) 4 4P x x x   = 2
( 2)x 
a) 2
( 2) 0x    C.S.= ℝ
b) 2
( 2) 0x    C.S.= ℝ {2}
c) 2
( 2) 0x    C.S.= {2}
d) 2
( 2) 0x    C.S.= 
Ejemplo 2: Sea 2
( ) 9 12 4P x x x   , hallar el conjunto solución de:
a) P(x) ≥ 0 b) P(x) > 0 c) P(x) ≤ 0 d)P(x) < 0
Solución: Como 2
12 4(9)(4) 0    , entonces P(x) es un cuadrado perfecto, es decir:
2
( ) 9 12 4P x x x   = 2
(3 2)x  , tenemos:
a) 2
(3 2) 0x    C.S.= ℝ
b) 2
(3 2) 0x    C.S.= ℝ { 2/3}
c) 2
(3 2) 0x    C.S.= { 2/3}

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d) 2
(3 2) 0x    C.S.= 
Caso II: Si 0  , entonces hay dos valores reales diferentes 1 2r r que anula al trinomio
2
( )P x ax bx c   , es decir el polinomio es factorizable.
2
1 2( )( )ax bx c a x r x r    
Para factorizar se puede utilizar el aspa simple ó la fórmula general. La fórmula general es:
2
4
2
b b ac
x
a
  

Luego se resuelve las desigualdades aplicando el criterio de los puntos críticos, el cual lo
detallaremos con un ejemplo:
Ejemplo: Resolver
2
15 8x x 
Método de los puntos críticos:
1) Transponemos todos los términos de la inecuación al primer miembro. El coeficiente de la
variable con mayor exponente tiene que ser positivo.
2 2
15 8 8 15 0x x x x     
2) Se factoriza totalmente la expresión obtenida en el primer miembro.
  2
8 15 0 3 5 0x x x x      
3) Se calculan los puntos críticos, los cuales son los valores que asume la incógnita al igualar
a cero cada factor lineal.
  3 5 0 3 0 5 0x x x x       
Los puntos críticos serán: x = 3 y x = 5
4) Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
5) Cada intervalo determinado por los puntos críticos consecutivos, se señalan
alternadamente de derecha a izquierda con signos (+) y (-). Se iniciará con el signo (+).
3 5
3 5
++ _

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6) Si la inecuación admite como signo de la relación: >0 ó 0 se escogen los intervalos
que tengan el signo (+)
- Si la inecuación admite como signo de la relación: <0 ó 0 se escogen los intervalos
que tengan el signo (-)
7) - Si la inecuación es < ó > en los puntos críticos serán abiertos.
- Si la inecuación es ó  en los puntos críticos serán cerrados.
El conjunto solución del ejercicio mostrado es [3;5]
Ejemplos:
1. Resolver:
2
2 10 0x x  
Solución:
Como     
2
1 4 2 10 81 0       , entonces factorizamos el polinomio
2
2 10 0x x  
( 2)(2 5) 0x x  
Puntos críticos: 2 0x   ; 2 5 0x  
2x   ;
5
2
x 
Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real
Se eligen los intervalos donde están los signos (+) y los intervalos son abiertos. Entonces el
C.S =
5
, 2 ,
2
   
2. Resolver:
2
3 4 0x x  
Solución:
+ +
3 5
_
-2
++
5/2

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Como     
2
3 4 1 4 25 0       , entonces factorizamos el polinomio:
2
3 4 0x x  
 4 ( 1) 0x x  
Puntos críticos: 4 0x   ; 1 0x  
4x  ; 1x  
Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real:
Se eligen los intervalos donde están los signos ( ) y los intervalos son cerrados. Entonces:
C.S. =  1,4
3. Resolver:
2
3 2 0x x   
Solución:
Como 0  , entonces factorizamos el polinomio
2
3 2 0x x   
2
3 2 0x x  
(3 2)( 1) 0x x  
Puntos críticos: 3 2 0x   ; 1 0x  
2
3
x

 1x 
Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real
Por tanto: C.S =
2
,1
3

4. Resolver:
2
4 2 0x x  
4
+
_+
-1
1
+
_+

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Solución:
El 0  , pero no se puede factorizar utilizando el aspa simple, entonces usaremos la fórmula
general:
2
4
2
b b ac
x
a
  

Luego
 
2
( 4) 4 4(1)(2)
2(1)
x
    
 =
4 16 8
2
 
=
4 8 4 2 2
2 2
2 2
 
  
Por tanto los puntos críticos son: 2 2x   y 2 2x  
Entonces el C.S.  ,2 2 2 2,      
Caso III: Si 0  , entonces el polinomio 2
( )P x ax bx c   no es factorizable.
i. Si entonces para todo luego el
ii. Si 0a  entonces
2
0ax bx c   para todo x R luego el .C S R
Ejemplo 1: Sea 2
( ) 2 2P x x x   , hallar el conjunto solución de:
a) P(x) ≥ 0 b) P(x) > 0 c) P(x) ≤ 0 d) P(x)< 0
Solución: Como el discriminante es: ( )( ) , es negativo:
a) 2
( ) 2 2 0P x x x    CS = ℝ
b) 2
( ) 2 2P x x x   > 0 CS = ℝ
c) 2
( ) 2 2 0P x x x    CS = 
d) 2
( ) 2 2P x x x   < 0 CS = 
0a  2
0ax bx c   x R .C S R
+-+

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Ejercicios Propuestos
Nivel I:
Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2
2 9 5 0x x  
2.
2
3 11 6x x  
3.
2
4 4 3 0x x  
4.
2
4 9 9 0x x  
5.
2
4 4 7 0x x  
6.
2
5 14x x  
7.  2 3x x  
8.
2
3 3 5x x 
9. 093 2
x
10.  1 2x x  
11.   2 5 3 0x x  
12.
2
4 8 12x x 
13. ≤ 0
14. ≥
15.
16. ( )( ) 0
Nivel II:
17. 2 3 9
0
5 100
x x  
18.
2
4 3 5 0x x   
19.
2
9 0x x 
20.
2
18 2 0x x 
21.
2
9 16x 
22.
2
1 0x x   
23.
2
10 3 4 0x x  
24.
2
2 9 6x x  
25.
2
4 8 1 0x x  
26.
2
4 8 12x x   
27. 2
2 3 2 0x x  
28. 2
3 8 11 4( 1)x x x   
29. 2
(3 2) ( 2)x x x  
30.  2 1 ( 3) 9 ( 1)( 4)x x x x     
31.  2 3 ( 3) ( 1)(3 2)x x x x    
32.  1 3 ( 2) (3 2 )( 3)x x x x    
33. 2
3 2( 1) 3x x  
34. ( 3) ( 1)(2 3) 2x x x x    
35.  
2 2 2
1 ( 2) 3 7 1x x x x      
APLICACIÓN DE LAS INECUACIONES CUADRÁTICAS
Veamos algunos problemas de aplicación de las inecuaciones cuadráticas:
Ejemplo: Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están dados por
200 3p x  . El costo de producir x unidades al mes del artículo es (650 5 )C x  dólares.
¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual
sea por lo menos de 2200 dólares?

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Solución:
El ingreso I (en dólares) obtenido por x unidades al precio de p dólares por unidad es
( ) ( )I unidades vendidas Precio por unidad 
( ) ( 00 )
( ) 00
La utilidad mensual U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por
cosUtilidad Ingresos tos 
( ) ( 00 ) ( 0 )
( ) 0
Dado que la utilidad U debe ser al menos $2200, tenemos que 2200U  .Entonces:
2
195 3 650 2200x x  
2
65 9500 0x x  
Las raíces se determinarán por medio de la fórmula cuadrática
2
4
2
b b ac
x
a
  
 . Luego
      
 
2
65 65 4 1 950
2 1
x
    

65 4225 3800
2
x
 

65 425
2


65 5 17
2
x


de donde:
65 5 17
22.2
2
x

  ó
65 5 17
42.8
2
x

 
++

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El conjunto solución es  22.2, 42.8 . Luego para alcanzar la meta requerida, el número de
unidades producidas y vendidas por mes debe estar entre 22.2 y 42.8 inclusive (dependiendo del
artículo)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si x unidades pueden venderse diariamente al precio de $ p cada una, donde 60p x  ,
¿cuántas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de al menos $ 800? Si
260 12x dólares cuesta producir x unidades. ¿Cuántas unidades deben producirse y
venderse diariamente para obtener una utilidad de al menos $300?
2. El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el
alquiler es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del
alquiler, un apartamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler
máximo deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al menos $8000?
3. Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y la vende a p dólares por botella.
El volumen de ventas x (En cientos de miles de botellas a la semana) está dado por
36 2x p  cuando el precio es p . ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $9 millones
por semana? ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8
millones por semana?
4. Si x unidades pueden venderse al precio de $ p cada una, en donde 2 3 200p x  , ¿Qué
precio por unidad debe fijarse con el propósito de obtener un ingreso de al menos $1600?Si
producir las x unidades tiene un costo de 800 7x dólares. ¿Cuántas unidades deben
producirse y venderse con el fin de obtener una utilidad de al menos $640?
5. Si x unidades pueden venderse diariamente al precio de $ p cada una, donde 60p x  ; y
tiene un costo de 260 12x dólares producir x unidades. ¿Cuántas unidades deben
venderse para obtener un ingreso diario de al menos $ 800? ¿Qué precio p por unidad debe
fijarse para obtener una utilidad de al menos 300 dólares?
6. Una empresa puede vender a un precio de $100 la unidad, todas las piezas que pueda
producir. Si x unidades es la producción diaria, el importe del costo total de la producción
de un día es
2
20 700x x  , ¿Cuántas unidades deben producirse diariamente para que la
empresa obtenga utilidades?
7. Una compañía que fabrica y vende escritorios puede venderlos a $400 cada uno y le es
posible vender toda la producción. Si cada semana se fabrican y se venden x escritorios,

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entonces el importe del costo semanal total de la producción es 2
2 80 3000x x  .
¿Cuántos escritorios debe fabricar semanalmente para tener garantizada una utilidad?
8. La ecuación de demanda para el fabricante de un producto es 200 5p q  , donde p es el
precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el
nivel de producción que permite un ingreso positivo.
9. La ecuación de demanda para la línea de reglas de plástico de una compañía de artículos de
oficina es 0.85 0.00045p q  , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los
consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción de tal
manera que el ingreso sea positivo.
10. En cierto estanque se crían peces. Si se introducen n de ellos allí, se sabe que la ganancia de
peso de peso promedio de cada pez es de (600 – 3n) gramos. Determine las restricciones de
n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28800 gramos.
11. Un accionista invierte $100 a un interés anual del R por ciento y otros al $ 2R por ciento
anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $ 224,80 después de dos años.
¿Qué restricciones debe establecerse sobre R?
12. Un supermercado posee grandes cantidades de manzanas que debe vender rápidamente. El
gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra venderá x libras, con
x = 1000 – 20p. ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de
$120?
13. Un peluquero atiende en promedio a 150 clientes a la semana cobrándoles $6 por corte. Por
cada incremento de 40 centavos en el precio, el peluquero pierde 9 clientes. ¿Qué precio
máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $620?
14. El área de un triángulo es menor que 30 m2
, si su altura mide 3 metros más que su base
correspondiente. ¿Encontrar el intervalo en qué se encontrará la altura?