Como hacer un ejercicio de binomio de newton

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BINOMIO DE NEWTON

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Sobre una mesa hay 2 bandejas en cada una hay una carta con la letra X
y la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada bandeja.
X A X A
X X
X A
A X
A A
X2
XA
AX
A2
X2
+ 2XA + A2
3 TERMIMOS
(X + A)2
cuadrado de la suma

3. 3
Sobre una mesa hay 3 bandejas y en cada uno hay una tarjeta con la letra
X y en la otra con la letra A. Un niño debe elegir una carta de cada
bandeja.
X A X A X A
X X X
X A A
X X A
X A X
A A X
A X X
A X A
X3
XA2
X2
A
X2
A
XA2
X2
A
XA2
A3
X3
+ 3X2
A + 3XA2
+ A3
4 TERMIMOS
(X + A)3

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El producto notable , sabemos que(a+b)² = a² + 2ab + b².
Si quisieramos calcular (a + b)³, podemos escribir:
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Si quisieramos calcular (a + b)4
, podemos seguir el mismo procedimiento :
(a + b)4
= (a + b)3
.(a+b) = (a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
).(a+b)=
a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
Del mismo modo, podemos calcular la quinta y sexta potencia y, en general ,
para obtener el desarrollo de: (a+b)n
a partir del anterior, o sea, de (a+b) n - 1
.
Sin embargo, cuando el valor de n es grande, este proceso de cálculo gradual
es muy laborioso.
Hay un método para desarrollar la enésima potencia de un binomio , conocido
como binomio de Newton (Isaac Newton, matemático y físico inglês, 1642 -
1727). Para este método que usted necesita saber cuáles son los coeficientes
binomiales , algunas de sus propiedades y el triángulo de Pascal.

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La disposición ordenada de los
números binomiales , como se muestra
al lado, que se llama el Triângulo de
Pascal
Substituyendo cada número
binomial por su respectivo
valor, tenemos:

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Como vimos, la potência de forma , en que a, , é llamada
binômio de Newton. :
•cuando n = 0 tenemos
•cuando n = 1 tenemos
•cuando n = 2 tenemos
•cuando n = 3 tenemos

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De modo general, cuando un exponente n, podemos escribir
la fórmula de desenvolvimento de binómio de Newton:
Tenga en cuenta que los exponentes dex va disminuyendo la unidad , que van desde n hasta 0,
Los exponnentes de a van aumentando de unidade en unidad, variando de 0 hasta
n.
El desarrollo de (x + a)n
tiene n + 1 terminos.
Ejemplo: (2x – 3y)10
tiene 11 termimos

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En el desarrollo del binomio (x – a) n
, Los signos de cada término del
desarrollo se alternan , es decir, los términos de orden incluso (2o
, 4o
, 6o
…) son negativos , y el orden impar(1o
, 3o
, 5o
…) son positivos.

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Si se requiere la suma de coeficientes numéricos el desarrollo de un binómio, no
es necesario hacer todo el desarrollo por Newton binomial, el hecho de saber el
siguiente tip :
-cambiar cualquier letra del binomio por 1
- calcular la cantidad que será dentro de los paréntesis , y listo , simplemente
elevarla a n .
Obtenemos la expresión:
1.16x4
.1 + 4.8x3
.1 + 6.4x2
.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1
16x4
+ 32x3
+ 24x2
+ 8x + 1
En el desarrollo anterior, la suma de los coeficientes es 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1),
ahora usando la sugerencia dada :
(2x+1)4
(2.1 + 1)4
= 34
= 81

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Es necesario desarrollar todos los términos de un binomio para
encontrar un término en particular
La formación de cada término obedece a una ley.
T 1 = C n,0 . a0
. x n-0
T 2 = C n,1 . a1
. x n-1
T 3 = C n,2 . a2
. x n-2
T 4 = C n,3 . a3
. x n-3
T p+1 = C n,p . ap
. x n-p
T n + 1 = C n,n . an
. x n-n
En cada termino de (x + a) n
, o
coeficiente de Cn,p, o exponente de a
en p o exponente de x en n-p

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Termino general de desarrollo de:

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Determine el 7.° termino del binómio (2x + 1)9
Vamos aplicar la fórmula del término general
de (x + a)n
, donde x = 2x , a = 1 y n = 9. Como
queremos el séptimo término, hacemos p = 6, la fórmula
del término general, efetuamos los cálculos indicados.
Entonces tenemos :
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6
. (1)6
=
9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3
. 1 =
9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3
=
84.8x3
=
672x3
.
Por tanto el séptimo término buscado es 672x3
.

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Calcule el coeficiente del termino en x9
en el desarrollo de de (x2
– 2x)6
.
Tp+1 = C6,p . (x2
)6–p
. (-2x)p
=
C6,p .x12-2p
. (-2x) p
=
C6,p .x12-2p
. (-2) p
.x p
=
Agrupando las potências de x, tenemos:
Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p
. (-2)p
Tp+1= C 6,p . x 12-p
. (-2)p
Para que el exponente de x sea igual a 9, debemos tener 12 – p =9, o sea, p
=3P = 3  T3+1= C6,3. x 12 -3
. (-2)3
T4= 20. x9
.(-8) T4 = -160x9

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Determine el sexto termino de desarrollo de (x + 2)6
.
T5+1 = C 6,5 . x6-5
. 25
T6 = 6 . x. 32
T6 = 192x

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¿Cuál es el plazo promedio de desarrollo(2x + 3y)8
?
Tenemos que = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que el desarrollo del
binómio tendrá 9 términos, porque n = 8.
Ahora siendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 los términos de desarrollo de
binómio, el término medio será o T5 (quinto termo). Por lo tanto, nuestro
problema se reduce Si el calculo de T5 .
Para esto, basta hacer p = 4 en la fórmula del término general y no surjan
los cálculos. Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4
. (3y)4
= 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4
. (3y)4
= 8.7.6.5.4! /
(4! . 4.3.2.1) . 16x4
.81y4
Haciendo:
T5 = 70.16.81.x4
. y4
= 90720x4
y4
, que él termino médio buscado.