PLC y Electroneumática: Automatismos industriales

Automatismos Industriales
Álvaro Ángel Orozco Gutiérrez
Universidad Tecnológica de Pereira
Cristian Guarnizo Lemus
Mauricio Holguín Londoño
2008
Taller de Publicaciones- Universidad Tecnológica de Pereira
camare@utp.edu.co
*Realizado bajo el auspicio de COLCIENCIAS, Proyectos:
1110-14-17905: Sistema automatizado efectivo y apropiado de caracterización y clasificación de señales
electromiográficas para el control de prótesis y brazos robóticos
1110-405-20247: Identificación en línea de modos tempranos de fallas dinámicas en máquinas rotativas

ISBN: 978-958-8272-99-3
Este libro está hecho con la ayuda de LYX 1.4.5

PREFACIO
La industrialización rápida y continua que vive la sociedad ha llevado a un
nuevo nivel la automatización de sistemas productivos. Se emplea cada vez
más los Controladores de Lógica Programable, o PLCs, y existe una tenden-
cia hacia la incursión en sistemas de automatización basados enteramente en
PC. Nuevos desafíos relacionados con la automatización tratan cada vez con
sistemas más difíciles de simular, implementar y validar por lo que además
se hace necesario emplear técnicas de mayor generalidad y poder que permi-
tan una posterior implementación en los sistemas tradicionales o actuales. El
objetivo de este libro es presentar las principales técnicas de análisis e imple-
mentación de sistemas para su automatización y ahondar en los estándares
actuales que permiten portabilidad y flexibilidad en los sistemas diseñados.
El material encontrado en este libro presenta una breve introducción a la
evolución de los automatismos, pasando por los fundamentos básicos sobre los
cuales se desarrolla como lo son la lógica de predicados, el álgebra de Boole,
las funciones de conmutación y los sistemas secuenciales; también se encuentra
las metodologías clásicas y modernas de diseño que permiten su mutua inte-
gración a la hora de implementar un sistema global. Se hace énfasis final en las
técnicas de programación enmarcadas dentro del Estándar IEC 61131-3 con el
objeto de facilitar la integración de varios sistemas de diferente procedencia o
de permitir la implementación de sistemas complejos.
El Capítulo 1 presenta una breve introducción al origen y motivación de
los automatismos, mientras en el Capítulo 2 se hace énfasis en la evolución de
los mismos y se centra en la descripción de los componentes generales de un
automatismo así como en las metodologías de lógica cableada y programada.
El fundamento básico de los automatismos está en la lógica de predicados
y el álgebra de Boole, los cuales se presentan en el Capítulo 3, donde además
se encuentra contenido todo lo relacionado con la síntesis de sistemas com-
binacionales y la presentación de los sistemas secuenciales y dispositivos de
memoria, los cuales complementan la base general para el diseño de todo au-
tomatismo. La lógica cableada, como método clásico de diseño, se presenta en
III

el Capítulo 4, mientras otra técnica con mayor alcance se presenta en el Capí-
tulo 5, donde está todo lo relacionado con las redes de Petri y su orientación al
modelamiento, diseño y validación de automatismos.
Finalmente, en el Capítulo 6, se trata el Estándar IEC 61131-3 el cual presen-
ta las diversas técnicas de programación más usadas para la implementación
de automatismos con la motivación de brindar una metodología que permita
la portabilidad e interoperabilidad de los diversos sistemas existentes.
IV

Notaciones
Notación Significado
Texto en cursiva Resalta palabras claves
a, b, c, di Constantes
w, x, y, z, xi, αi, ε, ζ Variables
J, K, L Relatores
f, g, h Denotan una función
| Descriptor
{e1, e2, · · · , en} Conjunto en notación por extensión
∪ Unión de conjuntos
∩ Intersección de conjuntos
∅ Conjunto vacío
H Función Booleana
∧ Conectiva lógica AND
∨ Conectiva lógica OR
¬ Conectiva lógica NOT
⊕ Conectiva lógica XOR
Conectiva lógica NXOR
→ Conectiva lógica de implicación
↔ Conectiva lógica de coimplicación
L Lenguaje formal de primer orden
L Lenguaje formal sin descriptor

Cuantificador existencial

Cuantificador universal
∈ Pertenencia
F Expresión Booleana
Fd Expresión Booleana Dual

m Sumatoria de mintérminos

M Productoria de maxtérminos
d Términos Don’t Care o no importa
Q(t) Estado presente en una memoria
Q(t + 1) Estado siguiente en una memoria
V

NA Contacto normalmente abierto
NC Contacto normalmente cerrado
A, B, M, N Contactor
CR, CR, CRB Relé
TR Relé de temporización
TR ON Relé de temporización al trabajo
TR OFF Relé de temporización al reposo
TA Contacto temporizado a la apertura
TC Contacto temporizado al cierre
CRc Relé de campo
CRsc Relé de sobrecarga
RdP Red de Petri
P Conjunto de lugares de una RdP
pi i-ésimo lugar de una RdP
T Conjunto de Transiciones de una RdP
tj j-ésima transición de una RdP
F ⊆ (P x T ) ∪ (T x P) Conjunto de arcos de una RdP
W: F → {1, 2, 3, ...} Función de peso en los arcos de una RdP
M0 Marcado inicial de una RdP
Mn n-ésimo marcado alcanzable de una RdP
M(pi) Valor del marcado en el i-ésimo lugar
N = {P, T, F, W} RdP sin marcado inicial
PN = {N, M0} RdP con marcado inicial
α (pi, tj) = w (pi, tj) Función de incidencia previa
β (tj, pi) = w (tj, pi) Función de incidencia posterior
σ Vector secuencia de disparo
NG = {P, T, α, β} RdP generalizada
Número arbitrariamente grande de marcas
G = {V, E} Gráfico de cobertura
PN∗ Subred de Petri
C+
Matriz de incidencia posterior
C−
Matriz de incidencia previa
C Matriz de incidencia
c+
ij Elemento ij de C+
c−
ij Elemento ij de C−
cij Elemento ij de C
•
tj Lugares de entrada de la transición tj
t•
j Lugares de salida de la transición tj
•
pi Transiciones de entrada del lugar pi
p•
i Transiciones de salida del lugar pi
ME Máquina de estados
GM Gráfico marcado
LE Red de libre elección
µk Vector de disparo
MT
Matriz transpuesta de M
VI

Γ Vector anulador derecho de C
∆ Vector anulador izquierdo de C
γi i-ésimo elemento de Γ
δi i-ésimo elemento de ∆
NGd RdP dual de NG
Cd Matriz de incidencia de una RdP dual

Γ
Soporte del T-invariante

∆
Soporte del P-invariante
CONSTRUCTOR Palabra reservada IEC 61131-3
IF · · · THEN Palabra reservada resaltada
Texto a ingresar Texto código IEC 61131-3
VII

Índice General
1. INTRODUCCIÓN 1
2. FUNDAMENTOS DE LOS AUTOMATISMOS 5
2.1. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Evolución de los Automatismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Componentes de los Automatismos . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Lógica Programada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE AUTOMATISMOS 15
3.1. Lógica de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Presentación del Lenguaje Formal . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2. Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3. Definición del Lenguaje Formal . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.4. Expresiones, Términos y Fórmulas . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1. Principio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2. Teoremas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3. Funciones de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4. Funciones Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.4.1. Universalidad de la NAND y la NOR . . . . . . 29
3.2.5. Formas Algebraicas Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.5.1. Formas SOP y POS . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.5.2. Formas Canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.5.3. Formas Canónicas Equivalentes . . . . . . . . . 33
3.2.6. Términos “Don’t Care” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Simplificación de Funciones de Conmutación . . . . . . . . . . . 34
3.3.1. Mapas de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2. Simplificación por Mapas de Karnaugh . . . . . . . . . . 37
3.3.3. Simplificación por Quine-McCluskey . . . . . . . . . . . 41
3.4. Automatismos Secuenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1. Clasificación de los Sistemas Secuenciales . . . . . . . . . 45
3.4.1.1. Máquinas de Mealy y de Moore . . . . . . . . . 45
3.4.1.2. Sistemas Síncronos y Asíncronos . . . . . . . . 46
IX

3.4.2. Diagrama de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3. Dispositivos de Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3.1. Latch Set-Reset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3.2. Latch SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.3.3. Latch D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3.4. Flip-Flop SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.3.5. Flip-Flop D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.3.6. Flip-Flop JK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.3.7. Flip-Flop T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.4. Implementación de Automatismos Secuenciales . . . . . 56
3.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4. LÓGICA CABLEADA 67
4.1. Dispositivos de Mando y Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1. El Contactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1.1. Categorías Según el Empleo . . . . . . . . . . . 70
4.1.2. El Relé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3. Relé de Enclavamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.4. Contactor con Bobina de Autorretención . . . . . . . . . 71
4.1.5. Relé de Temporización al Trabajo (Relé Tipo ON) . . . . 71
4.1.6. Relé de Temporización al Reposo (Relé Tipo OFF) . . . . 72
4.1.7. Relé de Temporización al Trabajo y al Reposo . . . . . . . 73
4.1.8. Elementos de Mando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Funciones Básicas de Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1. Función Interruptor y Función Sello . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2. Función Detector de Flancos . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3. Función Toggle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.4. Función Memoria Biestable . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.5. Función Tren de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.6. Función Refresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.7. Función Simulación de Relé Tipo OFF con ON . . . . . . 80
4.2.8. Función Simulación de Relé Tipo ON con OFF . . . . . . 80
4.2.9. Función Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3. Lógica de Conmutación con Lógica Cableada . . . . . . . . . . . 81
4.4. Diseños Básicos en Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.1. Activación Alternada de Cargas . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.2. Encendido Secuencial de Cargas . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.3. Arranque de Motor DC en Derivación . . . . . . . . . . . 88
4.4.4. Arranque de Motores Trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.4.1. Arranque Estrella-Delta con Transición Abierta 90
4.4.4.2. Arranque Estrella-Delta con Transición Cerrada 91
4.4.5. Inversión de Giro en Motores . . . . . . . . . . . . . . . . 92
X

5. Redes de Petri 99
5.1. Marco Introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2. Definición y Presentación de las RdP . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3. Tipos de Transiciones y Lugares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4. Alcanzabilidad y Secuencia de Disparo . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5. Propiedades de las RdP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5.1. RdP Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5.2. RdP Viva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5.3. RdP Reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.4. RdP Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.5. RdP Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.6. RdP Persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5.7. RdP Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.6. RdP Interpretada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7. RdP Autónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7.1. RdP Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7.2. RdP Ordinaria y Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8. RdP Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.9. Modelamiento de Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.9.1. Arquitectura Secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.9.2. Arquitectura de Decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.9.3. Arquitectura Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.9.4. Arquitectura de Confusión . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.9.5. Arquitecturas de Sincronización . . . . . . . . . . . . . . 112
5.9.6. Arquitectura para Recurso Compartido . . . . . . . . . . 113
5.9.7. Arquitectura Lectura-Escritura . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.9.8. Arquitectura Productor-Consumidor . . . . . . . . . . . 115
5.9.9. Arquitectura Productor-Consumidor con Prioridad . . . 116
5.9.10. Arquitectura para Capacidad Limitada . . . . . . . . . . 116
5.9.11. Arquitectura de Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.9.12. Arquitectura para Colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.10. Simplificación de una RdP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11. Análisis de las Redes de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.11.1. Análisis por Árbol de Cobertura . . . . . . . . . . . . . . 121
5.11.2. Análisis por Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.11.2.1. Reducción de una Subred de Petri a un Lugar . 125
5.11.3. Análisis por Representación Estructural . . . . . . . . . . 126
5.11.3.1. Matrices de Incidencia Previa y Posterior . . . . 127
5.11.3.2. Subconjuntos y Subclases de una RdP . . . . . 127
5.11.3.3. Matriz de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.11.3.4. Ecuación de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.11.3.5. Determinación de la Reversibilidad . . . . . . . 131
5.11.3.6. Determinación de la Conservatividad . . . . . . 132
5.11.3.7. Determinación de la Limitación . . . . . . . . . 133
5.11.3.8. Determinación de la Vivacidad . . . . . . . . . 133
5.12. Análisis Local de Redes de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
XI

5.12.1. Red de Petri Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.12.2. Invariantes de Marcado y de Disparo . . . . . . . . . . . 135
5.12.2.1. Obtención de los P-Invariantes . . . . . . . . . . 136
5.13. Portabilidad entre Redes de Petri y Lógica Cableada . . . . . . . 138
6. ESTÁNDAR IEC 61131-3 149
6.1. Marco Introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1.1. Deficiencias de la Programación Escalera . . . . . . . . . 150
6.2. Marco Conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2.1. Elementos del Modelo de Software . . . . . . . . . . . . . 151
6.2.2. Partes de una POU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3. Elementos Comunes a los Lenguajes del Estándar . . . . . . . . 157
6.3.1. Conjunto de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2. Identificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.3. Palabras Reservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.3.5. Delimitadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.3.6. Tipos de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.6.1. Tipos de Datos Elementales . . . . . . . . . . . 160
6.3.6.2. Datos Genéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.6.3. Propiedades de Tipos de Datos Elementales . . 162
6.3.6.4. Tipos de Datos Derivados . . . . . . . . . . . . 163
6.3.7. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.7.1. Tipos de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.7.2. Atributos de las Variables . . . . . . . . . . . . . 167
6.3.7.3. Inicialización de Variables . . . . . . . . . . . . 169
6.3.8. Tipos de Unidades de Organización de Programa . . . . 169
6.3.8.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.8.2. Bloques de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.8.3. Programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4. Texto Estructurado (ST) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4.1. Sentencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4.2. Asignaciones, Operandos y Operadores . . . . . . . . . . 181
6.4.3. Sentencias para Control de Flujo . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5. Listado de Instrucciones (IL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5.1. Estructura Básica del Listado de Instrucciones . . . . . . 187
6.5.2. El Acumulador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.5.3. Los Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.5.4. Llamados a POUs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.6. Diagrama de Bloques de Funciones (FBD) . . . . . . . . . . . . . 191
6.6.1. Elementos Gráficos de una Red FBD . . . . . . . . . . . . 192
6.6.2. Elementos para Control de Flujo . . . . . . . . . . . . . . 193
6.6.3. Reglas de la Evolución en una Red FBD . . . . . . . . . . 193
6.7. Diagrama Escalera (LD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.7.1. Elementos Gráficos de una Red LD . . . . . . . . . . . . . 196
XII

6.7.2. Elementos Para Control de Flujo . . . . . . . . . . . . . . 197
6.7.3. Llamados a Funciones y Bloques de Funciones . . . . . . 197
6.7.4. Reglas de la Evolución en una Red LD . . . . . . . . . . . 198
6.8. Diagrama Funcional Secuencial (SFC) . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.8.1. Elementos Gráficos y Descripción de una Red SFC . . . . 200
6.8.1.1. Las Etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.8.1.2. Las Transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8.2. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.8.2.1. Secuencias Divergentes . . . . . . . . . . . . . . 205
6.8.2.2. Secuencias Simultáneas . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8.2.3. Redes Inseguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8.3. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.8.3.1. Bloques de Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.8.3.2. Calificadores de las Acciones . . . . . . . . . . . 209
6.8.3.3. Control de Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.8.4. Reglas de la Evaluación en una Red SFC . . . . . . . . . 214
6.8.5. Reglas de la Evolución en una Red SFC . . . . . . . . . . 216
6.8.6. Otras Características No Definidas en el Estándar . . . . 216
6.9. Portabilidad entre los Diferentes Lenguajes . . . . . . . . . . . . 218
6.10. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
XIII

Índice de Tablas
3.1. Tabla de Verdad para la Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Tabla de Verdad para la Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Tabla de Verdad para la Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Tabla de Verdad para la Implicación. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5. Tabla de Verdad para la Coimplicación . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6. Posibles Combinaciones para Función de Aridad 1. . . . . . . . 24
3.7. Posibles Combinaciones para Función de Aridad 2. . . . . . . . 25
3.9. Notación Simplificada de Mintérminos . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10. Notación Simplificada de Maxtérminos . . . . . . . . . . . . . . 32
3.11. Formas Canónicas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.12. Términos Don’t Care . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.13. Lista de Mintérminos Ordenados por Vecindad . . . . . . . . . . 42
3.14. Primera Búsqueda de Términos Adyacentes . . . . . . . . . . . . 42
3.15. Segunda Búsqueda de Términos Adyacentes . . . . . . . . . . . 43
3.16. Listado de Términos No Agrupados y Mintérminos . . . . . . . 43
3.17. Identificación de Términos que Cubren Todos los Mintérminos . 44
3.18. Ejemplo de Tabla de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.19. Secuencia de Excitación en una Latch SR. . . . . . . . . . . . . . 50
3.20. Tabla de Excitación para el Latch SR. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.21. Tabla de Excitación para el Latch SCR. . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.22. Tabla de Excitación para el Latch D. . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.23. Tabla de Excitación para el Flip-Flop SR. . . . . . . . . . . . . . . 54
3.24. Tabla de Excitación para el Flip-Flop D. . . . . . . . . . . . . . . 54
3.25. Tabla de Excitación para el Flip-Flop JK. . . . . . . . . . . . . . . 55
3.26. Tabla de Excitación para el Flip-Flop T. . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.27. Tabla de Transiciones Automatismo Secuencial 1 . . . . . . . . . 57
3.28. Excitación de Flip-Flops Automatismo 1 . . . . . . . . . . . . . . 58
3.29. Tabla de Transiciones Automatismo Secuencial 2 . . . . . . . . . 60
3.30. Excitación de Flip-Flops Automatismo 2 . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1. Tipos de POUs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2. Tipos de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3. Palabras Reservadas IEC 61131-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4. Tipos de Datos Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.5. Calificadores de Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
XV

Índice de Figuras
2.1. Alarma de Platón Basada en Clepsydra . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Odómetro de Herón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Modelo de Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1. Representación de la AND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Representación de la OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Representación de la NOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Representación de la NAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5. Representación de la NOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6. Representación de la XOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7. Representación de la NXOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.8. Universalidad de la NAND y la NOR . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.9. Mapa de Karnaugh para Función de Aridad 2 . . . . . . . . . . 35
3.10. Mapa de Karnaugh para Función de Aridad 3 . . . . . . . . . . 35
3.11. Otra Representación del Mapa de Karnaugh . . . . . . . . . . . 36
3.12. Mapas de Karnaugh para Función de Aridad 4 . . . . . . . . . . 36
3.13. Mapa de Karnaugh para Simplificar Mintérminos . . . . . . . . 37
3.14. Agrupaciones para Simplificar Mintérminos . . . . . . . . . . . 38
3.15. Mapa de Karnaugh para Simplificar Maxtérminos . . . . . . . . 39
3.16. Agrupaciones para Simplificar Maxtérminos . . . . . . . . . . . 39
3.17. Simplificación con Términos “Don’t Care” . . . . . . . . . . . . . 40
3.18. Máquina de Estados Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.19. Máquina de Mealy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.20. Máquina de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.21. Ejemplo de Diagrama de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.22. Latch Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.23. Latch Reset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.24. Latch Set-Reset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.25. Latch SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.26. Latch D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.27. Flip-Flop SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.28. Flip-Flop D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.29. Flip-Flop JK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.30. Flip-Flop T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
XVII

3.31. Diagrama de Estados Automatismo Secuencial 1 . . . . . . . . . 57
3.32. Funciones Para el Flip-Flop A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.33. Funciones Para el Flip-Flop B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.34. Diagrama Lógico Automatismo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.35. Diagrama de Estados Automatismo Secuencial 2 . . . . . . . . . 60
3.36. Funciones Para los Flip-flops del Automatismo 2 . . . . . . . . . 61
3.37. Funciones Para los Flip-flops del Automatismo 2 . . . . . . . . . 62
3.38. Diagrama Lógico Automatismo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1. Componentes de un Contactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Representación y Numeración de Contactos . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Representación y Operación de Relé Tipo ON . . . . . . . . . . . 72
4.4. Representación y Operación de Relé Tipo OFF . . . . . . . . . . 73
4.5. Simbología Elementos de Mando y Protección . . . . . . . . . . 74
4.6. Función Interruptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7. Función Flanco de Subida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8. Función Flanco de Bajada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9. Función Toggle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.10. Función Memoria Biestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.11. Función Tren de Pulsos con 2 Relés ON . . . . . . . . . . . . . . 78
4.12. Función Tren de Pulsos con 2 Relés OFF y con Un solo ON. . . . 79
4.13. Función Refresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.14. Función Simulación de Relé OFF con Relé ON . . . . . . . . . . 80
4.15. Función Simulación de Relé ON con Relé OFF . . . . . . . . . . 80
4.16. Función Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.17. Control de Alarma Visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.18. Lógica Cableada para Control de Alarma Visual . . . . . . . . . 82
4.19. Ejemplo de Lógica Cableada con Temporización . . . . . . . . . 84
4.20. Secuencia de Cargas A→B→C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.21. Secuencia de Cargas A→B→C→D→C→B y A→B→C→D→B→C 86
4.22. Encendido en Secuencia M1↑, M2↑, M3↑, M3↓, M2↓, M1↓ . . . . 87
4.25. Arranque de Motor DC Utilizando Relés ON . . . . . . . . . . . 89
4.26. Arranque de Motor DC Utilizando Relés OFF . . . . . . . . . . . 89
4.27. Arranque de Motor Trifásico con Transición Abierta . . . . . . . 90
4.28. Arranque con Transición Abierta Usando Relé OFF . . . . . . . 91
4.29. Arranque de Motor con Transición Cerrada . . . . . . . . . . . . 91
4.30. Circuitos de Potencia para Inversión de Giro . . . . . . . . . . . 92
4.31. Circuito de Control para Inversión de Giro . . . . . . . . . . . . 93
5.1. Elementos de una Red de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2. Transiciones Fuente y Sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3. Tipos de Nodos OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4. Tipos de Nodos AND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5. RdP No Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
XVIII

5.6. RdP No Viva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7. RdP No Viva en Punto Muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.8. RdP Reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.9. RdP No Persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.10. RdP Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.11. Arco Inhibidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.12. Arquitectura Secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.13. Arquitectura de Decisión o de Conflicto . . . . . . . . . . . . . . 110
5.14. Arquitectura Paralela o Concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.15. Arquitectura de Confusión Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.16. Arquitectura de Confusión Asimétrica . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.17. Arquitectura de Punto de Encuentro Simple . . . . . . . . . . . . 112
5.18. Arquitectura de Punto de Encuentro Simétrico . . . . . . . . . . 112
5.19. Arquitectura de Punto de Encuentro Asimétrico . . . . . . . . . 113
5.20. Arquitectura de Semáforo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.21. Arquitectura de Recurso Compartido . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.22. Arquitectura de Lectura-Escritura . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.23. Arquitectura Productor-Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.24. Arquitectura Productor-Consumidor con Prioridad . . . . . . . 116
5.25. Arquitectura para Capacidad Limitada . . . . . . . . . . . . . . 117
5.26. Arquitectura de Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.27. Arquitectura para Colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.28. Fusión de Lugares en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.29. Fusión de Transiciones en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.30. Fusión de Lugares Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.31. Fusión de Transiciones Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.32. Eliminación de Lugar Auto-lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.33. Eliminación de Transición Auto-lazo . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.34. Árbol de Cobertura para la Figura 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.35. RdP con Nodo Terminal y Nodos Infinitamente Reproducibles. 122
5.36. Árbol de Cobertura para la Figura 5.35 . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.37. Gráfico de Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.38. Subred de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.39. Subred de Petri a Macrolugar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.40. Matrices de Incidencia Previa y Posterior . . . . . . . . . . . . . 127
5.41. RdP No Pura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.42. RdP No Pura a Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.43. Gráfico Orientado Marcado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.44. Sifón y Trampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.45. Arquitectura Secuencial a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . 139
5.46. Arcos con Pesos a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.47. Arco Inhibidor a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.48. Nodo And a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.49. Arquitectura de Decisión a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . 140
5.50. Arquitectura de Decisión con Prioridad a Lógica Cableada . . . 141
5.51. Temporizador a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
XIX

5.52. Acción a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.53. Ejemplo de Red de Petri a Lógica Cableada . . . . . . . . . . . . 142
5.54. Ejercicios sobre Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.55. Ejercicio de Simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1. Modelo Definido por el Estándar IEC 61131-3 . . . . . . . . . . . 154
6.2. Partes de una POU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3. Ejemplo de Texto Estructurado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4. Ejemplo de Listado de Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.5. Ejemplo de Diagrama de Bloques Funcionales . . . . . . . . . . 156
6.6. Ejemplo de Diagrama Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.7. Ejemplo de Diagrama Funcional Secuencial . . . . . . . . . . . . 156
6.8. Ejemplo de Comentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.9. Ejemplo de Declaración de Tipo de Dato Derivado . . . . . . . . 164
6.10. Ejemplo de Declaración de Atributos a Variables . . . . . . . . . 168
6.11. Función que Evalúa Discriminante en Ecuación Cuadrática . . . 171
6.12. Ejemplo de Invocación de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.13. Uso de las Variables EN y ENO de una Función . . . . . . . . . 173
6.14. Definición de Bloque de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.15. Definición de un Bloque de Función . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.16. Característica de Tiempo del Temporizador TP . . . . . . . . . . 178
6.17. Característica de Tiempo del Temporizador TON . . . . . . . . . 178
6.18. Característica de Tiempo del Temporizador TOF . . . . . . . . . 179
6.19. Reloj de Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.20. Programa que Evalúa las Raices de la Ecuación Cuadrática . . . 180
6.21. Formas de Sintaxis para la Sentencia IF ... THEN ... ELSE . . . . 183
6.22. Sintaxis para la Sentencia CASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.23. Sentencia CASE con Variable Enumerada . . . . . . . . . . . . . 184
6.24. Sintaxis para la Sentencia FOR ... DO . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.25. Sintaxis para la Sentencia WHILE ... DO . . . . . . . . . . . . . . 185
6.26. Sintaxis para la Sentencia REPEAT ... UNTIL . . . . . . . . . . . 185
6.27. Sintaxis para la Sentencia EXIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.28. Sintaxis para Listado de Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.29. Operadores Booleanos en IL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.30. Operadores ANY en IL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.31. Operadores de Salto y Comparación en IL . . . . . . . . . . . . . 190
6.32. Llamado a Función en IL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.33. Llamado a Bloque de Función en IL . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.34. Elementos Gráficos de una Red FBD . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.35. Elementos Gráficos Para Control de Flujo en FBD . . . . . . . . 193
6.36. Ejemplo de Evolución en Red FBD . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.37. Ejemplo Red FBD con Realimentación y Salto . . . . . . . . . . . 195
6.38. Representación de Bobina y Contacto en LD . . . . . . . . . . . . 196
6.39. Ejemplo de Evolución en Red LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.40. Determinación de Secuencia en Ejecución . . . . . . . . . . . . . 199
6.41. Componentes Básicos de una Red SFC . . . . . . . . . . . . . . . 201
XX

6.42. Transiciones con Sintaxis Inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.43. Transición con Sintaxis de Conector . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.44. Transiciones con Sintaxis de Nombre de Transición . . . . . . . . 204
6.45. Secuencias Divergentes y Prioridades . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.46. Convergencia de Secuencias Divergentes . . . . . . . . . . . . . 206
6.47. Secuencias Simultáneas y su Convergencia . . . . . . . . . . . . 206
6.48. Redes Inseguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.49. Elementos de un Bloque de Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.50. Bloques de Acciones en los Lenguajes LD y FBD . . . . . . . . . 209
6.51. Acción con Calificador N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.52. Acción con Calificadores S y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.53. Acción con Calificador L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.54. Accón con Calificador D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.55. Acción con Calificador P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.56. Acción con Calificador SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.57. Acción con Calificador DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.58. Acción con Calificador LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.59. Control de Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.60. Módulo Secuenciador de Etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.61. Acción con Calificador C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.62. Partes de una Macro-Etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.63. Ejemplo en Texto Estructurado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.64. Ejemplo en Listado de Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.65. Ejemplo en Diagrama de Bloques de Funciones . . . . . . . . . . 221
6.66. Ejemplo en Diagrama Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.67. Ejemplo en Diagrama Funcional Secuencial . . . . . . . . . . . . 223
6.68. Ejercicio Propuesto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.69. Ejercicio Propuesto 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
XXI

Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
El origen de los automatismos no se encuentra definido para una fecha es-
pecífica, probablemente se puede hablar de los primeros sistemas automáticos
desde los mismos inicios de la era prehistórica de la humanidad en el Paleo-
lítico1
, cuando se realizaban trampas de caza con funcionamiento automático
consistentes básicamente en fosas cavadas y cubiertas adecuadamente para ser
activadas por el peso de la presa. Pero es desde los comienzos de la revolución
industrial, a finales del siglo XIX y principios del XX, cuando la automatización
de procesos ha cobrado un interés especial por parte de la ciencia y de los inge-
nieros, presentando la perspectiva que tenemos hoy de ellos como sistemas en
los cuales se realizan acciones sobre un sistema mediante la manipulación di-
recta de magnitudes físicas haciendo uso de otro sistema denominado de con-
trol. Los esfuerzos se han enfocado en reducir significativamente todos los cos-
tos derivados de la producción de bienes, manteniendo una calidad constante
tanto en los productos terminados como en los mismos medios de producción
y apartando al hombre de labores rutinarias, peligrosas, con gran incidencia
de error, con riesgos para la salud humana e incluso donde se involucra un
componente importante de estrés.
El uso de los sistemas de automatización se ha incrementado especialmente
durante la última mitad del siglo XX, debido principalmente a la globalización
de los mercados, lo cual ha llevado a todas las organizaciones productivas a es-
tar dentro de ámbitos competitivos y sometidos a rápidos procesos de cambios
para adecuarse a las exigencias de cada tiempo, más aún cuando este mismo
entorno pide respuestas rápidas y adecuadas con el fin de poder mantenerse
en los niveles demandados por una competencia cada vez más especializada.
Los automatismos, han sido entonces, la herramienta sobre la cual las or-
ganizaciones han basado su estrategia, desde los tiempos en los cuales sólo
se empleaban dispositivos de accionamiento y control con base en lógica “to-
do o nada”, hasta los tiempos actuales donde con base en la microelectróni-
ca y procesadores se emplean equipos mucho más sofisticados como lo son
1Probablemente desde el Paleolítico inferior y entre 600000 a 400000 A.J.
1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
los autómatas de lógica programable. Es por esta razón fundamental que los
autores han querido presentar este libro como una herramienta básica en el
aprendizaje y conocimiento de estas tecnologías, iniciando desde los concep-
tos básicos de lógica secuencial y combinacional, pasando por la lógica cablea-
da y programada enmarcadas dentro de la norma IEC 61131-3, y presentando
herramientas especializadas de diseño como lo son las redes de Petri.

Capítulo 2
FUNDAMENTOS DE LOS
AUTOMATISMOS
2.1. Reseña Histórica
Los automatismos se han observado desde los tiempos antiguos cuando se
creaban toda clase de máquinas provistas de alguna forma de fuente de energía
con el fin de imitar los movimientos de los seres vivos. Los primeros autó-
matas de los que se tenga noticia provienen de los tiempos de Dédalo donde
se crearon estatuas animadas. Luego, los griegos y más tarde los romanos ela-
boraban juguetes con accionamiento mecánico [3].
En el año de 1500 A.C. en Etiopía, Amenhotep construyó una estatua del rey
Memon la cual emitía sonidos cuando era iluminada por los primeros rayos del
sol al amanecer. En el siglo IV A.C. Ktesibios diseña un reloj de agua conocido
con el nombre de Clepsydra, el cual constaba de un mecanismo cuyo objetivo
era que el nivel de un depósito de agua subiera a velocidad constante; para
lograr este fin se empleaba un flotador que regulaba la entrada de agua a un
depósito auxiliar. En el año 378 A.C. a Platón se le ocurre crear un sistema
automático de alarma con base en una Clepsydra, ver Figura 2.1; en el vaso
de la Clepsydra se ubicó un flotador, sobre el cual se depositan unas esferas,
durante un tiempo determinado el vaso es llenado a una rata constante de agua
y al final, cuando se alcanza el nivel máximo, las esferas caen sobre un plato
de cobre lo cual es indicativo que el tiempo ha transcurrido. El uso dado por
Platón a las Clepsydras suscitó un gran interés y durante todo el siglo siguiente
se efectuaron muchos diseños basados en el reloj de agua.
En el siglo I A.C., Herón de Alejandría escribe una serie de libros reunidos
en una Enciclopedia Técnica entre los cuales se destacan los primeros docu-
mentos conocidos sobre automatismos. En ellos es de resaltar los libros sobre
“Pneumática” y “Autómata”. En estos libros de Herón se describe uno de los
primeros sistemas realimentados de los que se tenga conocimiento, el cual es
el dispensador de vino.
5

6 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LOS AUTOMATISMOS
Figura 2.1: Alarma de Platón Basada en Clepsydra
A Herón también se le debe la creación de un Odómetro, sistema empleado
para cuantificar una distancia recorrida, el cual constaba de un sistema de en-
granajes que cada vez que se producía un giro completo de la volante dejaba
caer un esfera en un contenedor, ver Figura 2.2; al final el número de esferas
permitían cuantificar la distancia recorrida.
Uno de los autómatas más reconocidos es el Gallo de Estrasburgo, el cual
formaba parte del reloj de la catedral de Estrasburgo y movía el pico y las alas
al dar las horas. Este funcionó entre los años de 1352 y 1789 y es el autómata
más antiguo que se conserva en la actualidad [6].
Pero entre los más célebres creadores de autómatas en la historia se en-
cuentra a Vaucanson, el cual creó muchas maravillas que merecen gran re-
conocimiento aún en los días actuales. Entre sus creaciones está el Flautista,
que representa un fauno según modelo de la estatua de Coysevox, que ejecuta
una docena de aires valiéndose de movimientos de la lengua, labios y dedos.
También se encuentra al Tamborilero y la Tañedora que se puede admirar en el
conservatorio de artes y oficios de París. La reputación de Vaucanson se debe
en gran medida a su obra el Pato, el cual era capaz de batir las alas, zambullir-
se, nadar, tragar grano y hasta expeler una forma de excremento. Vaucanson en
sus obras no trató de copiar vida, sino únicamente de imitar algunas funciones

2.1. RESEÑA HISTÓRICA 7
individuales.
En [6] se puede encontrar imágenes y descripciones de la mayoría de los
automatismos mencionados previamente, incluso se puede encontrar variantes
y la evolución que algunos de estos sistemas han tenido. Además, igualmente
en [6] se puede encontrar la presentación de automatismos de los siglos XVII a
XIX, como es el caso de los primeros componentes automatizados en molinos
de viento.
Figura 2.2: Odómetro de Herón
Con el advenimiento de la electricidad y de la electrónica apareció una nue-
va generación de autómatas capaces de imitar realmente algunas funciones
y reproducir comportamientos de seres vivos. En 1912, el jugador de ajedrez
eléctrico de Torres Quevedo era capaz de jugar finales de partida.1
El jugador
de Nim, construido en 1951 en la Universidad de Manchester constituye otro
ejemplo de autómata elemental, dado que existe un algoritmo que permite ga-
nar con seguridad en este juego. Para esos mismos días Strachey construyó en
1Juego rey contra rey y torre

los Estados Unidos un jugador de damas capaz de enfrentarse a un buen ju-
gador; para ello la máquina debía analizar, con varias jugadas de antelación,
todas las jugadas posibles a partir de una situación inicial [3].
2.2. Evolución de los Automatismos
Para la década de los setenta, la complejidad y servicios de los automa-
tismos se incrementó gracias al uso de los circuitos integrados y a los sistemas
basados en microprocesadores. Durante esta misma época se desarrollaba la
computadora digital, aunque con un empleo muy restrictivo en la industria
debido a sus elevados costos, requerimientos de personal altamente calificado
y poca interconectividad con otros sistemas, pero especialmente debido a sus
problemas para el control de señales en voltaje y corriente de valor elevado.
La demanda proveniente de la industria, en busca de un sistema económi-
co, robusto, flexible, de fácil modificación y con mayor tratamiento de niveles
de voltaje a los presentados por los ordenadores, provocó el desarrollo del con-
trolador de lógica programable o PLC. Este primer equipo autómata pretendía
básicamente sustituir a los sistemas básicos compuestos por relés o circuitos
lógicos con las ventajas evidentes de una plataforma estándar de hardware.
Dado lo anterior, en su nacimiento presentaron prestaciones muy similares a
las tecnologías convencionales con lenguajes de programación que emulaban
a los diagramas esquemáticos empleados por dichas tecnologías.
Los autómatas actuales han evolucionado con respecto a las prestaciones
de sus ancestros, incorporando fundamentalmente sistemas de programación
más versátiles, con mejor velocidad de procesamiento y de respuesta y con
capacidades de comunicación. En los lenguajes actuales de programación para
autómatas se incorporan, además de las instrucciones clásicas de lógica binaria,
temporizaciones y contadores, otras series de operaciones lógicas con palabras,
funciones aritméticas, procesamiento para señales análogas, funciones de co-
municación con los estándares más representativos en la industria y muchas
funciones de control [1].
Sin embargo, la principal característica que sigue distinguiendo a los con-
troladores de lógica programable es su robustez y capacidad de interconectivi-
dad con los procesos, esto sin acercarlo a las funcionalidades de una computa-
dora digital, sino potenciándolo cada vez más para comunicación entre si y
con las computadoras. Al integrar el autómata con las computadoras digitales,
se presenta lo mejor de las prestaciones de ambos sistemas en uno solo, pero
se hace entonces evidente la necesidad de replantear los métodos de diseño,
por lo cual hoy en día emergen nuevas metodologías para el modelamiento de
sistemas automáticos como es el caso de las redes de Petri.

2.3. COMPONENTES DE LOS AUTOMATISMOS 9
2.3. Componentes de los Automatismos
El objetivo de un automatismo es controlar una planta o sistema sin necesi-
dad que un operario intervenga directamente sobre los elementos de salida. El
operario solo debe intervenir sobre las variables de control y el automatismo
es el encargado de actuar sobre las salidas mediante los accionamientos con el
fin de poder llevar a efecto el control de la planta.
Entre los principales componentes de un automatismo se encuentran los
transductores y los captadores de información, los preaccionamientos y los ac-
cionadores, así como los órganos de tratamiento de la información y elementos
de interfaz entre el hombre y la máquina.
Desde un punto de vista estructural, un automatismo se compone de dos
partes claramente diferenciables, las cuales se describen a continuación.
Parte Operativa: Formada principalmente por el conjunto de dispositivos, má-
quinas y/o subprocesos diseñados para realizar determinadas funciones
de producción y corresponden en su gran mayoría a elementos de poten-
cia.
Parte de Control: Formada por los elementos de procesamiento y/o mando,
interfaz de comunicación y de diálogo con el hombre.
El sometimiento de la parte operativa se logra mediante un intercambio conti-
nuo de información entre ésta y la parte de mando o control. Este flujo de infor-
mación se establece mediante los captadores (sensores binarios, transductores
análogos y digitales) y los preaccionadores (contactores, relés). Los captadores
se encargan entonces de recoger datos de magnitudes físicas y de cambios de
estado a controlar y envían dicha información a la parte de control para su
procesamiento [4]. La parte de control envía entonces acciones de mando a
través de los preaccionadores, que son elementos que permiten el manejo de
grandes potencias a partir de señales de baja potencia. En la Figura 2.3 se ob-
serva un diagrama de bloques con los diferentes elementos constitutivos de un
automatismo [1, 3].
Los automatismos modernos constan de una gran diversidad de compo-
nentes y tecnologías, entre los cuales se puede hallar sistemas de naturaleza
eléctrica, neumática, hidráulica, mecánica, etc. Se trata entonces de la inte-
gración de elementos de variada naturaleza u origen demandando sistemas
integradores capaces de realizar la adecuada coordinación entre ellos. Debido
a esta fuerte demanda se creó y apareció una dicotomía clara entre dos formas
diferentes de afrontar la implementación de un automatismo. Esta dicotomía
da origen a la clasificación tecnológica de los sistemas de control en sistemas
de Lógica Cableada y sistemas de Lógica Programada [1].

PLANTA
Accionadores
CAPTADORES
Sensores, Transductores
PREACCIONADORES
Relés, Contactores
SISTEMA
DE
CONTROL
COMUNICACIONES INTERFAZ
HOMBRE-MÁQUINA
Señales
Físicas
Señales
de Mando
Figura 2.3: Modelo de Sistema de Control
2.4. Lógica Cableada
Toma su nombre de la naturaleza de las conexiones empleadas entre los
diferentes componentes individuales que intervienen en el sistema. Si los ele-
mentos son de origen eléctrico, entonces la conexión entre relés, interruptores,
finales de carrera, etc., se realiza mediante conductores eléctricos. Si los ele-
mentos son de origen electrónico, entonces la conexión entre las compuertas
lógicas se realiza mediante caminos conductores. En las tecnologías neumáti-
ca e hidráulica, las conexiones entre los elementos se realizan mediante ductos
por entre los cuales corre el elemento fluídico.
Todas estas tecnologías se basan en órganos de mando del tipo “Todo o
Nada” que pueden ser modelados mediante el álgebra de Boole y son común-
mente denominados como sistemas de conmutación. Según el sistema, esta con-
sideración de “todo o nada” se puede relacionar con “abierto o cerrado”, “ca-
liente o frío”, “conduce o no conduce”, “verdadero o falso”. En analogía a los
órganos de mando, los órganos receptores no pueden encontrarse más que en
dos estados posibles “alimentados o no alimentados”. La solución de un pro-
blema de conmutación radica en la disposición adecuada de órganos de mando
para lograr que los órganos receptores estén alimentados cuando se satisfacen
ciertas condiciones [2].
Este tipo de sistemas es bien aceptado entre los desarrolladores de automa-
tismos para la creación de sistemas de baja complejidad. Sin embargo, pre-
senta grandes dificultades especialmente cuando se requiere el desarrollo de
sistemas robustos, ya que no facilita la integración de funcionalidad aritméti-
ca, limita el control de la ejecución de instrucciones, reduce la creación de se-
cuencias complejas y la conducción y manipulación de estructuras de datos
y presenta una deficiencia para la realización de programas estructurados y
jerárquicos.

2.5. LÓGICA PROGRAMADA 11
2.5. Lógica Programada
Con el advenimiento de la tecnología de los microprocesadores y los sis-
temas subsiguientes desarrollados a partir de estos, como es el caso de los con-
troladores lógicos, los autómatas programables y el computador, se logró, y se
continúa mejorando constantemente, un alto nivel de integración en los com-
ponentes electrónicos, con lo cual esta tecnología allana cada día más la posibi-
lidad de integración de sistemas de diversificada naturaleza, entrega la capaci-
dad de realizar cálculos de orden científico y la implementación de complejos
algoritmos en arquitecturas de control distribuidas e inmersas en variados sis-
temas de gestión y comunicación.
Durante los últimos diez años el mercado de procesos industriales y de
control ha crecido significativamente. Los PLCs se han mostrado como la base
sobre la cual se fundamentan estos sistemas, pero además han aparecido las
computadoras digitales como competencia directa gracias a las velocidades de
procesamiento y los costos reducidos logrados y divisados hacia un futuro.
Con el desarrollo de estas tecnologías, cada uno de los proveedores trató de
ofrecer sistemas amigables de programación que en principio funcionaron bien
dentro de cada uno de sus sistemas orígenes. Pero debido a la fuerte demanda
en la industria por una integración entre sistemas de diferentes naturalezas,
fuentes y proveedores se hizo necesario la creación de un marco de referencia
dentro del cual se mueva cada uno de los lenguajes de programación.
Debido a lo anterior se produjo la publicación del estándar IEC 1131-3 en
Marzo de 1993, hoy denominado IEC 61131-3, donde se define la forma en
la cual deben ser programados los sistemas de control basados en PLCs y que
además permite que los programas y comportamientos de las plantas bajo con-
trol sean de fácil entendimiento por personal de diferentes industrias [5].

Bibliografía
[1] Balcells, Josep. Romeral, Jose Luis
Autómatas Programables
Alfaomega marcombo 1998, ISBN 970-15-0247-7
[2] Delhaye C.
Concepción Lógica de Automatismos Industriales
Marcombo 1971, ISBN 26.676-1968
[3] García Moreno, Emilio
Automatización de Procesos Industriales
Alfaomega 2001, ISBN 970-15-0658-8
[4] Pallás Areny, Ramón
Sensores y Acondicionadores de Señal 3ra Ed
Alfaomega marcombo 2001, ISBN 970-15-0577-8
[5] Lewis, R. W.
Programming Industrial Control Systems Using IEC 1131-3
Revised Edition
IEE 1998. ISBN 0-85296-950-3
[6] http://automata.cps.unizar.es/Historia/Webs.
13

Capítulo 3
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE
AUTOMATISMOS
3.1. Lógica de Predicados
3.1.1. Presentación del Lenguaje Formal
El lenguaje es la herramienta básica en la comunicación humana. La lógi-
ca, como instrumento para la formalización del conocimiento humano, no está
exenta de requerir un lenguaje que permita expresar de forma ordenada y clara
sucesiones de afirmaciones y que contenga todos los elementos necesarios de
comunicación. Las frases declarativas son el fundamento básico de la descrip-
ción del conocimiento, por tanto interesa la formalización de un lenguaje para
su estudio [4].
En la lógica de proposiciones, o lógica de enunciados, se estudia las frases
declarativas simples como elementos de una frase que pueden tomar un y solo
un valor entre dos posibles (Verdadero y Falso, 1 y 0) y constituyen por si solas
la unidad de comunicación. La lógica de predicados estudia con mayor pro-
fundidad las frases declarativas, colocando atención a sus objetos constitutivos
y las relaciones que las gobiernan.
Si la proposición está formada por una sola frase declarativa simple se dice
que posee aridad1
cero. Si la proposición en estudio consta de más de una frase
declarativa simple, entonces es necesario introducir elementos adicionales de
enlace entre los diferentes elementos simples, o argumentos, y además se dice
en este caso que posee aridad igual al número de argumentos [4, 5].
Para la conformación de los predicados se define la siguiente estructura:
Variables: Son símbolos conformados por las últimas letras del alfabeto y en
minúsculas. Se permite la adición de subíndices y el uso del alfabeto
1La aridad de una función o de un predicado se define como el número de argumentos que
tiene.
15

16 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE AUTOMATISMOS
griego, por ejemplo: w, x, y, z, y1, z2, α2.
Constantes: Primeras letras del alfabeto en minúsculas con o sin subíndices,
por ejemplo: a, b, c, d1, bj. Se emplean para designar los objetos de los
cuales se quiere hablar. Para hacer referencia a un equipo industrial cual-
quiera, por ejemplo al motor 5 o al motor 6, se pueden asignar las cons-
tantes m5 y m6 respectivamente, o para hacer referencia a la caldera sim-
plemente se puede asignar la c.
Funciones: Se emplean las letras f, g, h. Pueden igualmente llevar subíndices
y en algunos casos superíndices para indicar la aridad. Por ejemplos la
función g2
indica que la función g posee una aridad de 2.
Relatores: Se representan mediante letras en mayúsculas, por ejemplo J, K, L.
Igualmente se puede indicar la aridad de un predicado o relator median-
te un superíndice. Los relatores tienen la función de representar a los he-
chos, el equivalente de los verbos en un lenguaje natural. Si el relator J
significa “pertenecer a la fábrica 1”, entonces “Jc” significa que “la caldera
pertenece a la fábrica 1”. Si el relator K significa “estar acoplados”, en-
tonces “Km5m6” significa que “los motores 5 y 6 están acoplados”. Para
los casos anteriores, se dice que el relator J es monádico o de rango 1
y que el relator K es diádico o de rango 2. El rango de un relator es el
número de complementos que requiere para tener sentido, sin embargo
por conveniencia, se limita el rango de los relatores. Si por ejemplo K es
diádico “Km5m6m7” no tiene sentido y para expresar que los motores 5, 6
y 7 están acoplados se puede emplear a K usándolo varias veces de forma
conveniente.
Cuantificadores: Son signos que proporcionan mayor fuerza al lenguaje for-
mal. Se emplean conjuntamente con las variables y son principalmente
dos. El primero de ellos es el cuantificador particularizador o existencial
“

” el cual se lee “existe”, por ejemplo, para la variable x “

xJx” sig-
nifica “Existe un x de manera que x pertenece a la fábrica 1”. De forma
general “

x algo” significa que “algo” es cierto si la variable “x” se in-
terpreta de forma adecuada. El segundo de los cuantificadores es el uni-
versal o generalizador “

” el cual se lee “para todo”, por ejemplo, para
la variable x “

xJx” significa “Para todo x, x pertenece a la fábrica 1”.
Funtor: El funtor es un signo que complementado con nombres de objetos
nombra a otros objetos, en contraste con un relator que da lugar a una
afirmación. Ejemplo de un funtor diádico puede ser “M” que significa
“el de mayor revoluciones”, así “Mm5m6” significa “el de mayor revolu-
ciones entre m5 y m6. Se puede tener funtores de cualquier rango. En
matemáticas se tiene funtores como “

” , “+”, “−”, etc.
Descriptor: El descriptor se representa por “|” y se lee “tal que”.

3.1. LÓGICA DE PREDICADOS 17
Como ya se dijo, cuando se trata con proposiciones de orden uno o superior
se hace necesario introducir el uso de conectivos lógicos con el propósito de
enlazar las frases declarativas simples. A continuación se indica su simbología:
La Negación: Se lee como “NO” o “ES FALSO QUE” y se representa por la
conectiva ¬. En este sentido “¬Jc” significa que “la caldera NO pertenece
a la fábrica 1”.
La Conjunción: Se lee como “Y” y se representa por la conectiva ∧. En este
sentido si el relator L significa “ser motor”, entonces “Lm ∧¬Lc” significa
“m es un motor Y la caldera NO es un motor”.
La Disyunción: Se lee como “O” y se representa por la conectiva ∨. En lengua-
je natural la disyunción se puede interpretar de formas diferentes, en una
puede significar “lo uno, lo otro o ambos” y en otra “lo uno, lo otro, pero
no ambos”. De forma estricta en la lógica de predicados se emplea en el
primero de los sentidos, es decir, en una forma inclusiva y no en forma
exclusiva como en el segundo caso.
La Implicación: Se lee como “SI ... ENTONCES ...” o “ ... IMPLICA ...” y se
representa por la conectiva →.
Coimplicación o Bicondicional: Se lee como “... SI Y SOLO SI ...” y se repre-
senta por la conectiva ↔. Lo cual quiere decir que lo que es válido para
una afirmación, también lo es para otra afirmación, cuando ambas están
relacionadas mediante el bicondicional.
3.1.2. Tablas de Verdad
Toda frase declarativa puede tener uno de los dos siguientes valores posi-
bles “Verdadero o Falso”, “V o F”, “1 o 0”. Estos valores de verdad en proposi-
ciones con más de una frase declarativa están determinados por los valores
de verdad de las frases declarativas simples y los conectivos lógicos que las
relacionan [4].
En forma general, si ε y ζ son dos afirmaciones cualesquiera, si ε es ver-
dadera entonces ¬ε es falsa y si ε es falsa entonces ¬ε es verdadera. Lo anterior
se presenta de forma resumida en la Tabla 3.1, a la cual se le denomina tabla de
verdad para la conectiva de negación.
ε ¬ε
V F
F V
Tabla 3.1: Tabla de Verdad para la Negación

La tabla de verdad para dos afirmaciones relacionadas mediante la conecti-
va de conjunción se muestra en la Tabla 3.2.
ε ζ ε∧ζ
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla 3.2: Tabla de Verdad para la Conjunción
La tabla de verdad para dos afirmaciones relacionadas mediante la conecti-
va de disyunción se muestra en la Tabla 3.3.
ε ζ ε∨ζ
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla 3.3: Tabla de Verdad para la Disyunción
La tabla de verdad para la conectiva de implicación ha sido ampliamente
discutida a lo largo de la historia. Filón consideraba que el enunciado ε→ζ es
verdadero a no ser que ε fuera verdadero pero ζ falso. Por otro lado Diodoro
daba la interpretación que ε→ζ es verdadero si siempre que ε es verdadero ζ
también lo es. La interpretación de implicación en el lenguaje natural se acer-
ca más a la entregada por Diodoro [4]. Para los propósitos de la lógica, la in-
terpretación de Filón es más práctica y por tanto deberá ser interpretada de
acuerdo con la Tabla 3.4.
ε ζ ε→ζ
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla 3.4: Tabla de Verdad para la Implicación.
De la tabla anterior se puede concluir que una afirmación falsa implica
cualquier afirmación, esto es si εes falsa ε→ζ es verdadera para cualquiera que
sea ζ; y que una afirmación verdadera es implicada por cualquier afirmación,
esto es si ζ es verdadera ε→ζ es verdadera para cualquiera que sea ε.

3.1. LÓGICA DE PREDICADOS 19
La tabla de verdad para la coimplicación o bicondicional se muestra en la
Tabla 3.5, donde se puede observar que para ε↔ζ ambas son verdaderas o
ambas son falsas.
ε ζ ε↔ζ
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla 3.5: Tabla de Verdad para la Coimplicación
3.1.3. Definición del Lenguaje Formal
Definición: Un lenguaje formal de primer orden L es una colección de sig-
nos divididos en las siguientes categorías y cumpliendo las propiedades
indicadas [3, 4, 5, 8].
1. Variables: L debe tener infinitas variables, a cada una de las cuales se le
asocia un número natural distinto denominado índice, de forma tal que
todo natural es índice de una variable de L. La variable de índice i de L
será entonces xi.
2. Constantes: L puede tener desde ninguna hasta infinitas constantes. A
cada constante se le asocia un índice natural, así ci es la constante de
índice i de L.
3. Relatores: Cada relator debe tener un número natural no nulo asociado
denominado rango. Un relator n-ádico es un relator de rango n. Cada
relator n-ádico lleva asociado un índice, de tal forma que el relator Rn
i es
el relator n-ádico de índice i, en caso de existir en L. Cómo mínimo debe
existir un relator diádico R2
0, al que se le da el nombre de igualador o
“=”.
4. Funtores: Cada funtor debe tener asociado un rango e índice en las mis-
mas condiciones mencionadas para los relatores. Fn
i es el funtor n-ádico
de índice i, en caso de existir en L.
5. Negador: ¬ es el negador de L.
6. Implicador: → es el implicador de L.
7. Cuantificador Existencial:

es el cuantificador existencial o particulari-
zador de L.
8. Cuantificador Universal:

es el cuantificador universal o generalizador
de L.

9. Descriptor: | es el descriptor, el cual puede o no existir en L. En general L
puede ser un lenguaje con o sin descriptor.
Cada signo de L debe pertenecer a una y solo una de las anteriores categorías.
Si L es un lenguaje formal con descriptor, entonces L es el lenguaje resultante
al retirar el descriptor.
3.1.4. Expresiones, Términos y Fórmulas
La utilidad del lenguaje formal que se ha presentado tiene que ver princi-
palmente con la necesidad de construir afirmaciones con sus signos. Se define
un término como una cadena de símbolos utilizada para representar objetos
cumpliendo las siguientes reglas [4, 5, 8]:
Toda variable o constante individual es un término.
Si se tienen los términos t1, t2, ... ,tj, ..., tn y fn
es una función de aridad
n entonces fn
(t1, t2, .., tj, ..., tn) es un término.
Todos los términos posibles se obtienen aplicando únicamente las dos
reglas anteriores.
Una fórmula es una cadena de símbolos que toma un valor de Verdadero o
Falso y posee la forma Pn
(t1, t2, .., tj, ..., tn) donde Pn
es un relator de aridad
n y t1, t2, ... ,tj, ..., tn son términos.
Una cadena de signos en el lenguaje se denominará expresión si es un tér-
mino o una fórmula dentro del lenguaje.
Ejemplo: La frase “Todos los motores de la fábrica 1 están operables” se puede
formalizar de la siguiente forma: Empleando el relator “J” que significa
“pertenecer a la fábrica 1”, el relator “O” que significa “estar operable” y
definiendo la variable “x” como “motor” entonces se puede escribir:

x

Jx → Ox

Ejemplo: Encontrar la función que describe el siguiente enunciado: El flujo de
agua que llega a una solución salina para ser empleada en un proceso in-
dustrial será suspendido si se cumple una de las siguientes condiciones:
Si el tanque se llena o si la salida del tanque permanece abierta, el nivel
de agua no está bajo el nivel mínimo y la concentración de la solución no
excede el 3 %.
En este caso, se designa a f como la función que describe el enunciado.
Las variables serán: l que se lee como “Tanque lleno”, v que se lee “tanque
vacío, o bajo nivel mínimo”, s que se lee “salida del tanque abierta” y c
que se lee “concentración de solución excede el 3 %”. Bajo las anteriores
asignaciones se observa que la función posee una aridad de 4, lo cual

3.2. ÁLGEBRA DE BOOLE 21
se indica como f4

l, v, s, c

. La función se verifica si se cumple una de
las dos condiciones, a su vez la condición 2 se verifica si se cumplen si-
multáneamente las tres condiciones que la forman, por tanto se puede
escribir:
f4

l, v, s, c

= l ∨

s ∧ ¬v ∧ ¬c

3.2. Álgebra de Boole
George Boole, presentó en 1949 un sistema algebraico basado en dos valo-
res, el cual se convirtió en la base fundamental para el desarrollo de las ciencias
de la computación, programación y control industrial. Con base en el uso de
este sistema, se puede formular proposiciones que toman uno de dos valores
posibles (verdadero o falso, 1 o 0) y combinarlas para formas nuevas proposi-
ciones y determinar su verdad o falsedad.
El álgebra booleana se puede presentar mediante unos postulados que re-
sumen sus elementos y propiedades básicas, los cuales se muestran a continua-
ción [6, 10]:
Postulado 1. Definición de Álgebra Booleana: Sistema algebraico cerrado, dis-
tributivo y complementado formado por un conjunto H de dos o más
elementos y los dos funtores “∧” y “∨” tal que si ε y ζ pertenecen a H
entonces ε∧ ζ pertenece a H y ε∨ζ también pertenece a H . De manera
formal:

ε, ζ

∈ H

ε ∧ ζ ∈ H y ε ∨ ζ ∈ H

Postulado 2. Existencia de los Elementos 1 y 0: En el conjunto H existen los
elementos 1(uno) y 0(cero), únicos, denominados elementos neutros, tal
que se cumple:

ε ∈ H

ε ∨ 0 = ε

ε ∈ H

ε ∧ 1 = ε

Postulado 3. Conmutatividad

ε, ζ

∈ H

ε ∧ ζ = ζ ∧ ε

ε, ζ

∈ H

ε ∨ ζ = ζ ∨ ε

Postulado 4. Asociatividad

ε, ζ, ψ

∈ H

ε ∧ (ζ ∧ ψ) = (ε ∧ ζ) ∧ ψ

ε, ζ, ψ

∈ H

ε ∨ (ζ ∨ ψ) = (ε ∨ ζ) ∨ ψ

Postulado 5. Distributividad

ε, ζ, ψ

∈ H

ε ∨ (ζ ∧ ψ) = (ε ∨ ζ) ∧ (ε ∨ ψ)

ε, ζ, ψ

∈ H

ε ∧ (ζ ∨ ψ) = (ε ∧ ζ) ∨ (ε ∧ ψ)

Postulado 6. Complemento: Para todo ε ∈ H existe un único elemento ¬ε en
H denominado complemento de ε, de forma que:

ε ∈ H

¬ε ∈ H

ε ∨ ¬ε = 1

ε ∈ H

¬ε ∈ H

ε ∧ ¬ε = 0

3.2.1. Principio de Dualidad
Establece que si una expresión F es válida en el álgebra booleana, entonces
su expresión dual, la que se denomina Fd también lo es. La expresión dual se
obtiene el reemplazar el operador ∨ por ∧, el operador ∧ por ∨, los 1 por 0 y
los 0 por 1. Se debe seguir manteniendo las precedencias relacionadas por los
paréntesis. Con este principio se verifica la validez de la expresión dual, más
no su equivalencia con la expresión original. De manera formal este principio
establece:

F∈ H

Fd

Fd ∈ H

Ejemplo: Encontrar la expresión dual para:
F

ε, ζ, ψ

:

(¬ε ∨ ¬ζ) ∧

(ε ∧ ζ) ∨ ψ

= ψ ∧ (¬ε ∨ ¬ζ)

si F

ε, ζ, ψ

:

(¬ε ∨ ¬ζ) ∧

(ε ∧ ζ) ∨ ψ

= ψ ∧ (¬ε ∨ ¬ζ)

ahora Fd

ε, ζ, ψ

:

(¬ε ∧ ¬ζ) ∨

(ε ∨ ζ) ∧ ψ

= ψ ∨ (¬ε ∧ ¬ζ)

El principio de dualidad se puede verificar en las expresiones de los postulados
2 hasta 6. Se presenta a continuación los teoremas fundamentales del álgebra
booleana [6, 10].

3.2.2. Teoremas Fundamentales
Teorema 1: Idempotencia

ε ∈ H

ε ∨ ε = ε

ε ∈ H

ε ∧ ε = ε

Teorema 2: Elementos neutros

ε ∈ H

ε ∨ 1 = 1

ε ∈ H

ε ∧ 0 = 0

Teorema 3: Involución

ε ∈ H

¬(¬ε) = ε

Teorema 4: Absorción

ε, ζ

∈ H

ε ∨ (ε ∧ ζ) = ε

ε, ζ

∈ H

ε ∧ (ε ∨ ζ) = ε

Teorema 5: Segundo Teorema de Absorción

ε, ζ

∈ H

ε ∨ (¬ε ∧ ζ) = ε ∨ ζ

ε, ζ

∈ H

ε ∧ (¬ε ∨ ζ) = ε ∧ ζ

Teorema 6: Tercer Teorema de Absorción

ε, ζ

∈ H

(ε ∧ ζ) ∨ (ε ∧ ¬ζ) = ε

ε, ζ

∈ H

(ε ∨ ζ) ∧ (ε ∨ ¬ζ) = ε

Teorema 7: Cuarto Teorema de Absorción

ε, ζ, ψ

∈ H

(ε ∧ ζ) ∨ (ε ∧ ¬ζ ∧ ψ) = (ε ∧ ζ) ∨ (ε ∧ ψ)

ε, ζ, ψ

∈ H

(ε ∨ ζ) ∧ (ε ∨ ¬ζ ∨ ψ) = (ε ∨ ζ) ∧ (ε ∨ ψ)

Teorema 8: Teorema de DeMorgan

ε, ζ

∈ H

¬(ε ∨ ζ) = ¬ε ∧ ¬ζ

ε, ζ

∈ H

¬(ε ∧ ζ) = ¬ε ∨ ¬ζ

Este teorema se puede generalizar para n variables de la siguiente forma:

ε, ζ, ..., ψ

∈ H

¬(ε ∨ ζ ∨ ... ∨ ψ) = ¬ε ∧ ¬ζ ∧ ... ∧ ¬ψ

ε, ζ, ..., ψ

∈ H

¬(ε ∧ ζ ∧ ... ∧ ψ) = ¬ε ∨ ¬ζ ∨ ... ∨ ¬ψ

Teorema 9: Teorema de Consenso

ε, ζ, ψ

∈ H

(ε ∧ ζ) ∨ (¬ε ∧ ψ) ∨ (ζ ∧ ψ) = (ε ∧ ζ) ∨ (¬ε ∧ ψ)

ε, ζ, ψ

∈ H

(ε ∨ ζ) ∧ (¬ε ∨ ψ) ∧ (ζ ∨ ψ) = (ε ∨ ζ) ∧ (¬ε ∨ ψ)

3.2.3. Funciones de Conmutación
El concepto de función de conmutación se puede definir como sigue:
Sean α0, α1, ... , αn−1 variables, cada una de las cuales representa el elemen-
to 0 o 1, es decir al conjunto de los posibles valores que toma la variable, y sea
fn
(α0, α1, ... , αn−1) la función de aridad n para las variables α0, α1, ... , αn−1.
La función fn
puede tomar los valores 0 o 1 según el conjunto de valores de-
finidos por las variables. Como se tienen n variables y cada variable puede
tomar uno de dos posibles valores se tendrán 2n
posibles combinaciones de
asignación de valores para las n variables y 22n
posibles combinaciones para la
función de aridad n.
Para una función de aridad cero los posibles valores son f0
0 = 0 y f0
1 = 1. A
continuación se muestra en las Tablas 3.6 y 3.7 las posibles combinaciones para
funciones de aridad 1 y 2.
α0 f1
0 f1
1 f1
2 f1
3
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
Tabla 3.6: Posibles Combinaciones para Función de Aridad 1.

α0 α1 f2
0 f2
1 f2
2 f2
3 f2
4 f2
5 f2
6 f2
7 f2
8 f2
9 f2
10 f2
11 f2
12 f2
13 f2
14 f2
15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Tabla 3.7: Posibles Combinaciones para Función de Aridad 2.
En las tablas anteriores se puede observar que f1
2 = α0, mientras f1
1 = ¬α0
es la negación de la variable, además f 2
14 = α0 ∨ α1 y f2
8 = α0 ∧ α1. Lo anterior
indica que aún no se han presentado todas las posibles funciones, aunque en
gran parte unas se pueden obtener a partir de la combinación de las otras [6].
3.2.4. Funciones Lógicas
Existen tres funciones básicas: la conjunción, la disyunción y la negación,
a partir de las cuales por combinación se puede obtener otras 4 que por su
amplia utilización se definen de forma independiente.
AND: Representa la conjunción y se define como:

α0, ... , αn−1

∈ H

fn
(α0, ... , αn−1) = α0 ∧ ... ∧ αn−1 = β | β ∈ H

Cumple las propiedades de asociatividad y conmutatividad, específica-
mente para el caso de tres variables:
β = f3
(α0, α1, α2) = α0 ∧ α1 ∧ α2
= (α0 ∧ α1) ∧ α2
= α0 ∧ (α1 ∧ α2)
β = f3
(α0, α1, α2) = α0 ∧ (α1 ∧ α2)
= α0 ∧ (α2 ∧ α1)
= (α0 ∧ α2) ∧ α1
= α2 ∧ α0 ∧ α1
En la Figura 3.1 se muestra el símbolo de esta función según la norma
ANSI/IEEE St 91-1984 junto con la representación para lógica cableada y
su tabla de verdad.

a0
a1
b
a0 a1
b
α0 α1 α0 ∧ α1
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Símbolo ANSI/IEEE Lógica Cableada Tabla de Verdad
Figura 3.1: Representación de la AND
OR: Representa la disyunción y se define como:

α0, ... , αn−1

∈ H

fn
(α0, ... , αn−1) = α0 ∨ ... ∨ αn−1 = β | β ∈ H

Cumple las propiedades de asociatividad y conmutatividad, específica-
mente para el caso de tres variables:
β = f3
(α0, α1, α2) = α0 ∨ α1 ∨ α2
= (α0 ∨ α1) ∨ α2
= α0 ∨ (α1 ∨ α2)
β = f3
(α0, α1, α2) = α0 ∨ (α1 ∨ α2)
= α0 ∨ (α2 ∨ α1)
= (α0 ∨ α2) ∨ α1
= α2 ∨ α0 ∨ α1
En la Figura 3.2 se muestra el símbolo de esta función junto con la repre-
sentación para lógica cableada y su tabla de verdad.
a0
a1
b
³1 a0
a1
b
α0 α1 α0 ∨ α1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Figura 3.2: Representación de la OR

NOT: Representa la negación y se define como:

α0

∈ H

f1
(α0) = ¬α0 = β | β ∈ H

En la Figura 3.3 se muestra el símbolo de esta función junto con la repre-
1
a0 b 0
a
b
α0 ¬α0
0 1
1 0
Figura 3.3: Representación de la NOT
A partir de las tres funciones anteriores se puede obtener las siguientes cuatro,
aunque debido a su amplia utilización se han definido independientemente y
se les ha asignado un símbolo.
NAND: Se obtiene al implementar la conjunción y al resultado aplicarle la
negación, se define como:

α0, ... , αn−1

∈ H

fn
(α0, ... , αn−1) = ¬(α0∧...∧αn−1) = β | β ∈ H

Cumple la propiedad de conmutatividad más no la de asociatividad. En
la Figura 3.4 se muestra el símbolo de esta función junto con la repre-
a0
a1
b
a0
a1
b
α0 α1 ¬(α0 ∧ α1)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Figura 3.4: Representación de la NAND

NOR: Se obtiene al implementar la disyunción y al resultado aplicarle la ne-
gación, se define como:

α0, ... , αn−1

∈ H

fn
(α0, ... , αn−1) = ¬(α0∨...∨αn−1) = β | β ∈ H

a0
a1
b
³1 a0 a1
b
α0 α1 ¬(α0 ∨ α1)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Figura 3.5: Representación de la NOR
XOR: También denominada OR exclusiva, se define como:
y = f2
(α0, α1) = α0 ⊕ α1
= (α0 ∧ ¬α1) ∨ (¬α0 ∧ α1)
Cumple las propiedades de asociatividad y conmutatividad. En la Figu-
ra 3.6 se muestra el símbolo de esta función junto con la representación
para lógica cableada y su tabla de verdad.
a0
a1
b
=1 a1
a1
b
a0
a0
α0 α1 α0⊕α1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Figura 3.6: Representación de la XOR

NXOR: Se obtiene al implementar la XOR y al resultado aplicarle la negación,
se define como:
β = f2
(α0, α1) = ¬(α0 ⊕ α1)
= α0 α1
= ¬

(α0 ∧ ¬α1) ∨ (¬α0 ∧ α1)

a0
a1
b
=1 a1
a1
b
a0
a0
α0 α1 α0 α1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Figura 3.7: Representación de la NXOR
3.2.4.1. Universalidad de la NAND y la NOR
Toda función de conmutación se puede representar usando solo compuer-
tas NAND o NOR, lo cual se deduce de las siguientes propiedades, donde g es
una función NAND y h es una función NOR:
g1
1 (α0) = ¬(α0 ∧ α0) = ¬α0
g2
2 (α0, α1) = ¬

¬(α0 ∧ α1)

= α0 ∧ α1
g2
3 (α0, α1) = ¬

¬α0 ∧ ¬α1

= α0 ∨ α1
h1
1 (α0) = ¬(α0 ∨ α0) = ¬α0
h2
2 (α0, α1) = ¬

¬(α0 ∨ α1)

= α0 ∨ α1
h2
3 (α0, α1) = ¬

¬α0 ∨ ¬α1

= α0 ∧ α1
En la Figura 3.8 se puede observar la universalidad de estas dos funciones.

Función NAND NOR
NOT
a0
Øa0
a0 ³1
Øa0
g1
1 h1
1
AND
a0
a1

a0
a1
³1
³1
³1
g2
2 h2
2
OR
a0
a1

a0
a1
³1 ³1
g2
3 h2
3
Figura 3.8: Universalidad de la NAND y la NOR
3.2.5. Formas Algebraicas Estándar
3.2.5.1. Formas SOP y POS
Las funciones de conmutación se pueden representar de muchas formas,
pero particularmente son de interés las dos siguientes [6, 9].

La primera de ellas es la forma SOP (suma de productos) la cual se cons-
truye al realizar la disyunción, es decir función OR, de términos en conjunción,
donde cada término conjunción se obtiene mediante la función AND de varias
variables, las cuales pueden estar complementadas o sin complementar (con
negación o sin ella). A continuación se presenta un ejemplo para una función
de tres variables la cual está en forma SOP:
f3
(α0, α1, α2) = (α0 ∧ ¬α1 ∧ ¬α2) ∨ (¬α1 ∧ α2) ∨ (¬α0 ∧ α2)
La segunda forma es la POS (producto de sumas) la cual se construye al
realizar la conjunción, es decir la función AND, de términos en disyunción,
donde cada término en disyunción se obtiene mediante la función OR de varias
variables, las cuales pueden estar complementadas o sin complementar. Un
ejemplo de una función de tres variables en forma POS se muestra a continua-
ción:
f3
(α0, α1, α2) = (¬α0 ∨ α1 ∨ ¬α2) ∧ (α0 ∨ ¬α1 ∨ ¬α2) ∧ (α0 ∨ ¬α2)
3.2.5.2. Formas Canónicas
Mintérmino Es un término en conjunción el cual contiene exactamente una
vez a cada una de las variables de la función, ya sea complementadas o
sin complementar. En el ejemplo anterior de una función en forma SOP,
el término (α0 ∧ ¬α1 ∧ ¬α2) es un mintérmino ya que cumple con la
definición dada.
Si una función se expresa en forma SOP y además todos sus términos son
mintérminos, entonces se dice que la función posee la forma Canónica de
Suma de Productos, o simplemente la forma SOP Canónica. A continuación
se presenta un ejemplo de forma SOP canónica.
f3
(α0, α1, α2) = (α0 ∧ ¬α1 ∧ ¬α2) ∨ (¬α0 ∧ ¬α1 ∧ α2) ∨ (¬α0 ∧ α1 ∧ α2)
Como para que un mintérmino tome un valor lógico de 1 se necesita que
cada variable no complementada tome un valor de 1 y cada variable com-
plementada tome un valor de 0, se aprovecha este valor de cada variable
para hacer un código binario con tantos bits como variables en la fun-
ción, con el cual se podrá simplificar la escritura del mintérmino en una
función de forma SOP canónica. En la Tabla 3.9 se muestra esta simplifi-
cación para los mintérminos de la función anterior.
Mintérmino Código Simplificación
(α0 ∧ ¬α1 ∧ ¬α2) 100 m4
(¬α0 ∧ ¬α1 ∧ α2) 001 m1
(¬α0 ∧ α1 ∧ α2) 011 m3
Tabla 3.9: Notación Simplificada de Mintérminos

Se observa que se ha simplificado la escritura de cada mintérmino me-
diante mi, donde i es el entero decimal correspondiente al código bina-
rio del mintérmino. Así la función se puede escribir de cualquiera de las
siguientes formas:
f3
(α0, α1, α2) = (¬α0 ∧ ¬α1 ∧ α2) ∨ (¬α0 ∧ α1 ∧ α2)
∨ (α0 ∧ ¬α1 ∧ ¬α2) =

m(1, 3, 4)
Maxtérmino Es un término en disyunción el cual contiene exactamente una
vez a cada una de las variables de la función, ya sea complementadas o
sin complementar. En el ejemplo anterior de una función en forma POS
los términos (¬α0 ∨ α1 ∨ ¬α2) y (α0 ∨ ¬α1 ∨ ¬α2) son maxtérminos al
cumplir ambos con la definición dada.
Si una función se expresa en forma POS y además todos sus términos son
maxtérminos, entonces se dice que la función posee la forma Canónica de
Producto de Sumas, o simplemente la forma POS Canónica. A continuación
se presenta un ejemplo de forma POS canónica.
f3
(α0, α1, α2) = (¬α0 ∨ α1 ∨ ¬α2) ∧ (α0 ∨ ¬α1 ∨ α2) ∧ (α0 ∨ ¬α1 ∨ ¬α2)
Como para que un maxtérmino tome un valor lógico de 0 se necesita
que cada variable no complementada tome un valor de 0 y cada varia-
ble complementada tome un valor de 1, se aprovecha este valor de cada
variable para hacer un código binario con tantos bits como variables en
la función, con el cual se podrá simplificar la escritura del maxtérmino
en una función de forma POS canónica. En la Tabla 3.10 se muestra esta
simplificación para los maxtérminos de la función anterior.
Maxtérminos Código Simplificación
(¬α0 ∨ α1 ∨ ¬α2) 101 M5
(α0 ∨ ¬α1 ∨ α2) 010 M2
(α0 ∨ ¬α1 ∨ ¬α2) 011 M3
Tabla 3.10: Notación Simplificada de Maxtérminos
Se observa que se ha simplificado la escritura de cada maxtérmino me-
diante Mi, donde i es el entero decimal correspondiente al código binario
del maxtérmino. Así la función se puede escribir de cualquiera de las
siguientes formas:
f3
(α0, α1, α2) = (α0 ∨ ¬α1 ∨ α2) ∧ (α0 ∨ ¬α1 ∨ ¬α2)
∧ (¬α0 ∨ α1 ∨ ¬α2) =

M(2, 3, 5)

3.2.5.3. Formas Canónicas Equivalentes
Cada forma SOP canónica tiene una forma POS canónica equivalente dando
una representación única para cada función [6]. Lo anterior se puede observar
al examinar la Tabla 3.11 de verdad siguiente para una función dada.
α0 α1 α2 f3 (α0, α1, α2)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
Tabla 3.11: Formas Canónicas Equivalentes
Las posiciones donde la función toma un valor de 1 deben corresponder
a los mintérminos que la componen, de igual forma las posiciones donde la
función toma un valor de 0 deben corresponder con los maxtérminos. Por tanto
cada función se puede representar de forma equivalente ya sea mediante sus
mintérminos o sus maxtérminos. Para el caso de la función de la Tabla 3.11,
ésta se puede representar de cualquiera de las siguientes formas:
f3
(α0, α1, α2) =

m(0, 2, 3, 6)
=

M(1, 4, 5, 7)
3.2.6. Términos “Don’t Care”
Los términos “Don’t Care” o “No Importa” son aquellos que dentro de una
función se derivan de combinaciones de las variables de entrada que se sabe
nunca se presentarán, por tanto se pueden considerar indistintamente como
mintérminos o maxtérminos sin afectar el comportamiento, es más, a conve-
niencia se pueden incluir o excluir. A estos términos, debido a su inclusión
opcional en las formas canónicas, se les denomina frecuentemente como pres-
cindibles [6, 10].
Ejemplo: Encontrar las formas canónicas para una función que indica con un
valor lógico de 1 si un número de entrada en código BCD es mayor a 3 y
menor o igual a 7.
Para este caso, la entrada posee cuatro variables con las cuales se repre-
sentan los números enteros del 0 al 15, pero un código BCD solo codifica
los números del 0 al 9, por tanto las posiciones 10 a 15 son “Don’t Care”

y se podrán de forma indistinta incluir en la representación por mintér-
minos o maxtérminos. A continuación se muestra la tabla de verdad para
este ejemplo.
Código α0 α1 α2 α3 f4 (α0, α1, α2, α3)
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 d
11 1 0 1 1 d
12 1 1 0 0 d
13 1 1 0 1 d
14 1 1 1 0 d
15 1 1 1 1 d
Tabla 3.12: Términos Don’t Care
En la Tabla 3.12, mediante una d se ha notado los términos que son “Don’t
Care” y que corresponden a aquellas entradas que se sabe nunca se presentarán
para este ejemplo. La función se podrá representar de las siguientes formas:
f4
(α0, α1, α2, α3) =

m {(4, 5, 6, 7) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15)}
=

M {(0, 1, 2, 3, 8, 9) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15)}
3.3. Simplificación de Funciones de Conmutación
3.3.1. Mapas de Karnaugh
El objetivo de la simplificación de las funciones de conmutación radica en
la minimización de costos, ya sea de realización o de implementación. Uno de
los métodos más ampliamente empleados para la simplificación son los de-
nominados Mapas de Karnaugh, los cuales están basados en los principios del
álgebra de conjuntos, álgebra de Boole, tablas de verdad y mintérminos o max-
términos [1, 6].

3.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES DE CONMUTACIÓN 35
Para una función de aridad 2, se tendrán cuatro posibles combinaciones de
las variables, las cuales se pueden representar de forma gráfica en un Diagrama
de Venn2
como se muestra en la Figura 3.9.
Cód α0 α1 min
0 0 0 m0
1 0 1 m1
2 1 0 m2
3 1 1 m3
Øa0,Øa1
a0,Øa1 Øa0, a1
a0, a1
m0
m2 m3 m1
¬α0
(0)
α0
(1)
¬α1
(0) m0 m2
α1
(1) m1 m3
0 1
0
1
a1
a0
0 2
1 3
Tabla de Verdad Diagrama de Venn Diagr. Rectangular Mapa de Karnaugh
Figura 3.9: Mapa de Karnaugh para Función de Aridad 2
Cód α0 α1 α2 min
0 0 0 0 m0
1 0 0 1 m1
2 0 1 0 m2
3 0 1 1 m3
4 1 0 0 m4
5 1 0 1 m5
6 1 1 0 m6
7 1 1 1 m7
Øa0,Øa1,Øa2
m0
a0,Øa1,Øa2
Øa0,a1,Øa2
Øa0,Øa1,a2
a0,a1,a2
a0,Øa1,a2 Øa0,a1,a2
a0,a1,Øa2
m7
m2
m4
m1
m3
m5
m6
0 1
00
a1,a2
a0
0 4
1 5
3 7
2 6
01
11
10
Tabla de Verdad Diagrama de Venn Mapa de Karnaugh
Figura 3.10: Mapa de Karnaugh para Función de Aridad 3
Para una función de aridad 3, se tendrán 8 posibles combinaciones de las
variables, las cuales se pueden observar en la Figura 3.10 representadas en un
Mapa de Karnaugh.
El mapa de Karnaugh para el caso de función de aridad 3 también puede
ser representado de forma horizontal como se muestra en la Figura 3.11.
2Un Diagrama de Venn es una representación gráfica para el álgebra de conjuntos, y como el
álgebra de conjuntos es un álgebra booleana en la que los conjuntos son los elementos del álge-
bra, esta representación es posible. La operación de intersección corresponde a la conjunción y la
operación de unión a la disyunción.

00
0
a2
a0,a1
0 2
1 3
1
6 4
7 5
01 11 10
Figura 3.11: Otra Representación del Mapa de Karnaugh
para Función de Aridad 3
Para el caso de una función de aridad 4, el mapa de Karnaugh se podría
representar en las formas indicadas en la Figura 3.12.
Cód α0 α1 α2 α3 min
0 0 0 0 0 m0
1 0 0 0 1 m1
2 0 0 1 0 m2
3 0 0 1 1 m3
4 0 1 0 0 m4
5 0 1 0 1 m5
6 0 1 1 0 m6
7 0 1 1 1 m7
8 1 0 0 0 m8
9 1 0 0 1 m9
10 1 0 1 0 m10
11 1 0 1 1 m11
13 1 1 0 0 m12
13 1 1 0 1 m13
14 1 1 1 0 m14
15 1 1 1 1 m15
00
00
a2,a3
a0,a1
01
0 4
1 5
12 8
13 9
01 11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
00
00
a0,a1
a2,a3
01
0 1
4 5
3 2
7 6
01 11 10
12 13
8 9
15 14
11 10
11
10
Tabla de Verdad Mapas de Karnaugh
Figura 3.12: Mapas de Karnaugh para Función de Aridad 4
En general, en un mapa de Karnaugh para una función de aridad n, una
celda posee n celdas adyacentes, donde las celdas son enumeradas mediante
el Código Gray3
y cada una representa a un posible mintérmino o maxtérmino
de la función. Debido a que una celda debe poseer n celdas adyacentes, en
el mapa de Karnaugh para una función de aridad 4 por ejemplo, la celda del
3El código Gray es un código no aritmético donde de una cantidad a otra solo varía un bit a la
vez.

mintérmino m0es adyacente con las celdas de los mintérminos m1, m2, m4 y
m8. Lo anterior significa que los lados derecho e izquierdo de un mapa de
Karnaugh son continuos y lo mismo sucede con los lados superior e inferior.
En otras palabras, para una celda sus adyacentes son todas aquellas en las que
solamente una variable cambia a la vez.
3.3.2. Simplificación por Mapas de Karnaugh
Para la simplificación de una función sobre un mapa de Karnaugh, se copia
el valor para cada combinación de entrada en la celda correspondiente (un 1
para los mintérminos y un 0 para los maxtérminos), aunque por simplicidad
se acostumbra colocar solo los 1 o 0, más no ambos [6, 10].
El objetivo será entonces realizar agrupaciones de celdas donde hay un 1
en grupos potencias de 2 (grupos de 2, 4, 8 etc. celdas). Cada grupo debe ser
lo más grande posible ya que ello eliminará más variables, además la cantidad
total de agrupaciones debe ser la menor posible tal que todos los mintérminos
queden incluidos como mínimo en un grupo.
Un grupo formado por 2n
celdas elimina n variables. Las variables que se
eliminan son aquellas que dentro de un grupo presentan cambio en su valor
(cambian de 1 a 0) y permanecen aquellas que dentro del grupo no presentan
cambio (permanecen en 1 o en 0). Al final la función simplificada estará for-
mada por la disyunción de términos en conjunción, donde cada término es un
grupo ya simplificado desde el mapa de Karnaugh.
Ejemplo: Mediante un mapa de Karnaugh simplificar la siguiente función.
f4
(α0, α1, α2, α3) =

m (3, 5, 7, 8, 10, 13, 15)
La función representada sobre un mapa de Karnaugh queda como se
muestra en la Figura 3.13.
00
00
a2,a3
a0,a1
01
0 4
1 5
12 8
13 9
01 11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
1 1
1
1
1
1
1
a3
a2
a0
a1
Figura 3.13: Mapa de Karnaugh para Simplificar Mintérminos

Con el objeto de poder incluir a todos los mintérminos en el menor número
de agrupaciones, pero a la vez con cada grupo lo más grande posible, se
forman las siguientes agrupaciones las cuales también se muestran en la
Figura 3.14.
Grupo 1 = m8, m10
Grupo 2 = m3, m7
Grupo 3 = m5, m7, m13, m15
00
00
a2,a3
a0,a1
01
0 4
1 5
12 8
13 9
01 11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
1 1
1
1
1
1
1
a3
a2
a0
a1
Figura 3.14: Agrupaciones para Simplificar Mintérminos
Para el Grupo 1 se puede observar que la variable α2 es la única que
cambia, igualmente es de esperarse que solo lo haga una, ya que como el
grupo está formado por 21
celdas se debe eliminar solo 1 variable.
cambia y por tanto es la variable a eliminar para este grupo.
Para el Grupo 3 se puede observar que las variables α0 y α2 son las que
cambian, igualmente es de esperarse que cambien dos, ya que como el
celdas se debe eliminar 2 variables.
Del procedimiento anterior, se puede entonces escribir la función simpli-
ficada de la siguiente forma:
f4
(α0, α1, α2, α3) = (α0 ∧ ¬α1 ∧ ¬α3) ∨ (¬α0 ∧ α2 ∧ α3) ∨ (α1 ∧ α3)
La simplificación de funciones en los mapas de Karnaugh también se puede
realizar utilizando los maxtérminos. Para ello se debe copiar un 0 en cada cel-
da correspondiente a un maxtérmino y realizar la agrupación siguiendo los
mismos criterios ya expuestos para los mintérminos. Al final la función sim-
plificada estará formada por la conjunción de términos en disyunción, donde
cada término es un grupo ya simplificado desde el mapa de Karnaugh.

Ejemplo: Simplificar la siguiente función usando un mapa de Karnaugh.
f4
(α0, α1, α2, α3) =

M (2, 9, 10, 12, 13, 14, 15)
A continuación se procede a copiar un 0 en el mapa de Karnaugh en cada
celda correspondiente a un maxtérmino, como se indica en la Figura 3.15.
00
00
a2,a3
a0,a1
01
0 4
1 5
12 8
13 9
01 11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 0
0
0
0
0
0
0
a3
a2
a0
a1
Figura 3.15: Mapa de Karnaugh para Simplificar Maxtérminos
Conservando el objetivo de incluir a todos los maxtérminos en el menor
número de agrupaciones, pero a la vez con cada grupo lo más grande
posible, se forman las siguientes agrupaciones, las cuales también se pue-
den observar en la Figura 3.16.
Grupo 1 = M9, M13
Grupo 2 = M2, M10
Grupo 3 = M12, M13, M14, M15
00
00
a2,a3
a0,a1
01
0 4
1 5
12 8
13 9
01 11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 0
0
0
0
0
0
0
a3
a2
a0
a1
Figura 3.16: Agrupaciones para Simplificar Maxtérminos

cambia, ya que como el grupo está formado por 21
celdas esta es la única
variable a eliminar.
cambia y por tanto es la variable a eliminar para este grupo.
Para el Grupo 3 se puede observar que las variables α2 y α3 son las que
cambian, igualmente es de esperarse que cambien dos, ya que como el
celdas se debe eliminar 2 variables.
Del procedimiento anterior, se puede entonces escribir la función simpli-
ficada de la siguiente forma:
f4
(α0, α1, α2, α3) = (¬α0 ∨ α2 ∨ ¬α3) ∧ (α1 ∨ ¬α2 ∨ α3) ∧ (¬α0 ∨ ¬α1)
Ejemplo: Simplificar la siguiente función la cual posee términos “Don’t Care”.
f4
(α0, α1, α2, α3) =

m {(0, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 14) + d (4, 7, 13, 15)}
La función sobre un mapa de Karnaugh, incluyendo tanto los mintérmi-
nos como los “Don’t Care” se muestran en la Figura 3.17.
00
00
a2,a3
a0,a1
01
0 4
1 5
12 8
13 9
01 11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
d
d
1
1
1
a3
a2
a0
a1
d
1
1
1
d
Figura 3.17: Simplificación con Términos “Don’t Care”
Como los términos “Don’t Care” se pueden considerar de forma indis-
tinta como mintérminos o maxtérminos, según conveniencia, en este caso
se han incluido como mintérminos, pero adicionalmente ellos pueden ser
incluidos o no en las agrupaciones. En el caso de este ejemplo el térmi-
no d15 no se ha incluido ya que con los grupos formados se han cubierto
a todos los mintérminos de la función. Los grupos formados son los si-
guientes:

Grupo 1 = m0, m2, m8, m10
Grupo 2 = m4, m5, m6, m7
Grupo 3 = m2, m6, m10, m14
Grupo 4 = m9, m13
Eliminando las variables que cambian en cada uno de los grupos, se ob-
tiene la siguiente función simplificada:
f4
(α0, α1, α2, α3) = (¬α1 ∧¬α3)∨(¬α0 ∧α1)∨(α2 ∧¬α3)∨(α0 ∧¬α2 ∧α3)
3.3.3. Simplificación por Quine-McCluskey
Este método de simplificación de funciones de conmutación es un algorit-
mo tabular con base en los mapas de Karnaugh. Permite la implementación de
una metodología sistemática para encontrar una función mínima con la ven-
taja adicional de poder manejar un gran número de variables, lo cual es de
gran ayuda ya que los mapas de Karnaugh están limitados en la practica a sólo
cuatro o máximo cinco variables [6, 9].
El método inicia con una lista enumerada de todos los mintérminos de una
función de aridad n, agrupados en forma ordenada de acuerdo al número de
unos “1” que contiene cada uno. Lo anterior con el fin de identificar todos los
posibles términos adyacentes los cuales se caracterizan por diferenciarse en
solo una variable.
Seguidamente en una nueva columna se anota el resultado de búsqueda
de mintérminos adyacentes entre grupos vecinos. En esta nueva lista se debe
indicar mediante un signo de guión “-” la variable que cambia y adicional-
mente señalar los términos agrupados desde la columna anterior. En esta nue-
va columna lo que se ha logrado es la identificación de términos con n-1 varia-
bles producto de la simplificación de una de ellas gracias a la adyacencia.
El paso anterior se debe repetir iterativamente adicionando nuevas colum-
nas hasta que no sea posible agrupar más términos. Cada nueva columna im-
plica términos con una variable menos. Al final, los términos no señalados (es
decir aquellos no agrupados en un grupo mayor) serán los candidatos a cubrir
completamente la función de forma mínima.
Finalmente se debe hacer una tabla que liste en las columnas todos los
mintérminos y en las filas los términos no agrupados en los pasos anteriores.
Lego se indica mediante un signo “X” los mintérminos que abarca un término
determinado. Los mintérminos cubiertos por solo un término determinan a tér-
minos esenciales para cubrir la función. Luego de la identificación de todos los
mintérminos cubiertos por los términos esenciales se busca el mínimo número
de términos adicionales que abarquen a los mintérminos no cubiertos aún.
Ejemplo: Simplificar la siguiente función empleando el método tabular de
Quine-McCluskey.

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