Este documento presenta la regla de L'Hospital para calcular límites indeterminados de la forma 0/0 y ∞/∞. Explica cómo usar la regla evaluando las derivadas de las funciones en el límite, y también cubre otros tipos de límites indeterminados como productos, diferencias y potencias indeterminadas. Finalmente, introduce los polinomios de Taylor y de Maclaurin como formas de aproximar funciones mediante polinomios de orden superior centrados en un punto.

1. Regla de L´Hospital-
Polinomio de Taylor
Análisis Matemático I
Cap 04 Aplicaciones de la Derivada –
Sección 4-4 Cálculo -Stewart

2. Derivadas Superiores
Ejemplo calcular 𝑦′′ siendo 𝑦 = ln(3𝑥 + 4𝑥)

3. Supongamos que queremos estudiar el comportamiento de 𝑓 𝑥 = para valores
cercanos a 1
Debemos plantear el límite lim
→
Y si ahora queremos encontrar la ecuación de la asíntota horizontal de 𝑓 𝑥 =
Debemos plantear el límite lim
→
¿Cómo calculamos estos límites que nos presentan indeterminaciones
del tipo
𝟎
𝟎
?

5. Importante: La regla de L´Hospital señala que el límite de un cociente de funciones es igual al
límite del cociente de sus derivadas, siempre que se cumplan con las condiciones dadas. Antes
de usar la regla se deben verificar las condiciones impuestas a los límites de f y g
Ejemplo: lim
→
𝑙𝑛𝑥
𝑥 − 1

6. Ejemplo: lim
→
𝑙𝑛𝑥
𝑥 − 1
lim
→
ln 𝑥 = ∞ y lim
→
𝑥 − 1 = ∞ se puede aplicar la regla de
L’Hospital
lim
→
𝑙𝑛𝑥
𝑥 − 1
= lim
→
𝑑
𝑑𝑥
(𝑙𝑛𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)
=
= lim
→
1
𝑥
1
= lim
→
1
𝑥
= 0
La función tiene como asíntota horizontal la recta 𝑦 = 0

7. Demostración de la regla de L’Hospital para el caso
Si 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, 𝑓 𝑦 𝑔 son continuas y 𝑔 (𝑎)≠ 0, utilizando la forma alternativa de
la definición de derivada de una función en un punto tenemos:
Y como 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, nos queda:
lim
→
𝑓 𝑥 − 0
𝑔 𝑥 − 0
= lim
→
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)

8. Otras indeterminaciones
• Productos indeterminados: 0 ∞
Si lim
→
𝑓 𝑥 = 0 y lim
→
𝑔 𝑥 = ∞ (𝑜 − ∞), entonces lim
→
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) es indeterminado
Ejemplo:
Un límite de esa forma puede cambiarse a uno con la forma 0/0 o ∞/ ∞ al escribir :
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
( )
/ ( )
o bien 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
( )
/ ( )
puesto que lim
→
𝑥 = 0 y lim
→
ln𝑥 = −∞
escribimos y nos queda ∞/∞

9. • Diferencias indeterminadas: ∞ - ∞
Si lim
→
𝑓 𝑥 = ∞ y lim
→
𝑔 𝑥 = ∞ , entonces lim
→
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) es indeterminado
Para resolverlo, intentamos convertir la diferencia en un cociente (utilizando un común
denominador, racionalizando o factorizando), de manera que nos quede 0/0 o ∞/∞
Ejemplo lim
→
3𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
−
1
𝑥
puesto que lim
→
= ∞ y lim
→
= ∞
escribimos:

10. • Potencias indeterminadas:
Cualquiera de éstos dos métodos nos lleva a una indeterminación 0 . ∞

11. Ejemplo
Dado que lim
→
1 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 1 y lim
→
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = ∞ nos queda 1
Aplicamos logaritmo
Lo que hemos calculado hasta ahora es el límite de ln y, pero lo que estamos buscando es el
límite de y .Para encontrarlo utilizamos el hecho de que 𝑦 = 𝑒

12. Ejemplo
Dado que lim
→
𝑥 = 0 y lim
→
( ) = 0 nos queda 0

13. Observemos que la tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 está muy próxima a ella, cerca del punto de tangencia.
En un pequeño intervalo, los valores de y a lo largo de la recta tangente dan buenas aproximaciones
a los valores de y de la curva.
Linealización

14. Polinomio de Taylor
La linealización de una función derivable f en un punto a, es el polinomio de grado uno dado
por 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 𝑥 − 𝑎 . Dicho polinomio se utiliza para aproximar 𝑓 𝑥 en
valores de x cercanos a a.
Si f tiene derivadas de orden superior en a, entonces también tiene aproximaciones polinomiales de
orden mayor, una para cada derivada disponible.
Estos polinomios se conocen como Polinomios de Taylor de f.

15. Observación: Decimos que un polinomio de Taylor es de orden n y no de grado n, porque 𝑓 (𝑎)
puede ser cero.
Ejemplo
Encontrar los polinomios de Taylor 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 𝑦 𝑃 para 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 centrado en a=1
Encontramos las derivadas y las evaluamos en a =1

16. Los polinomios son los siguientes:

18. Si a = 0 , entonces
Se llama polinomio de Maclaurin de orden n para f
Ejemplo:
Encontrar los polinomios de Maclaurin 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 𝑦 𝑃 para 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. Usar 𝑃 para aproximar el
valor de cos (0,1)
Reemplazando x=0,1 en 𝑃 se obtiene la
aproximación cos (0,1)=0,995004165

19. MUCHAS GRACIAS