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Regla de L´Hospital-
Polinomio de Taylor
Análisis Matemático I
Cap 04 Aplicaciones de la Derivada –
Sección 4-4 Cálculo -Stewart
Derivadas Superiores
Ejemplo calcular 𝑦′′ siendo 𝑦 = ln(3𝑥 + 4𝑥)
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→
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Debemos plantear el límite lim
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¿Cómo calculamos estos límites que nos presentan indeterminaciones
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Importante: La regla de L´Hospital señala que el límite de un cociente de funciones es igual al
límite del cociente de sus derivadas, siempre que se cumplan con las condiciones dadas. Antes
de usar la regla se deben verificar las condiciones impuestas a los límites de f y g
Ejemplo: lim
→
𝑙𝑛𝑥
𝑥 − 1
Ejemplo: lim
→
𝑙𝑛𝑥
𝑥 − 1
lim
→
ln 𝑥 = ∞ y lim
→
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L’Hospital
lim
→
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La función tiene como asíntota horizontal la recta 𝑦 = 0
Demostración de la regla de L’Hospital para el caso
Si 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, 𝑓 𝑦 𝑔 son continuas y 𝑔 (𝑎)≠ 0, utilizando la forma alternativa de
la definición de derivada de una función en un punto tenemos:
Y como 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, nos queda:
lim
→
𝑓 𝑥 − 0
𝑔 𝑥 − 0
= lim
→
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Otras indeterminaciones
• Productos indeterminados: 0 ∞
Si lim
→
𝑓 𝑥 = 0 y lim
→
𝑔 𝑥 = ∞ (𝑜 − ∞), entonces lim
→
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) es indeterminado
Ejemplo:
Un límite de esa forma puede cambiarse a uno con la forma 0/0 o ∞/ ∞ al escribir :
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
( )
/ ( )
o bien 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 =
( )
/ ( )
puesto que lim
→
𝑥 = 0 y lim
→
ln𝑥 = −∞
escribimos y nos queda ∞/∞
• Diferencias indeterminadas: ∞ - ∞
Si lim
→
𝑓 𝑥 = ∞ y lim
→
𝑔 𝑥 = ∞ , entonces lim
→
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) es indeterminado
Para resolverlo, intentamos convertir la diferencia en un cociente (utilizando un común
denominador, racionalizando o factorizando), de manera que nos quede 0/0 o ∞/∞
Ejemplo lim
→
3𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
−
1
𝑥
puesto que lim
→
= ∞ y lim
→
= ∞
escribimos:
• Potencias indeterminadas:
Cualquiera de éstos dos métodos nos lleva a una indeterminación 0 . ∞
Ejemplo
Dado que lim
→
1 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 1 y lim
→
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = ∞ nos queda 1
Aplicamos logaritmo
Lo que hemos calculado hasta ahora es el límite de ln y, pero lo que estamos buscando es el
límite de y .Para encontrarlo utilizamos el hecho de que 𝑦 = 𝑒
Ejemplo
Dado que lim
→
𝑥 = 0 y lim
→
( ) = 0 nos queda 0
Observemos que la tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 está muy próxima a ella, cerca del punto de tangencia.
En un pequeño intervalo, los valores de y a lo largo de la recta tangente dan buenas aproximaciones
a los valores de y de la curva.
Linealización
Polinomio de Taylor
La linealización de una función derivable f en un punto a, es el polinomio de grado uno dado
por 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 𝑥 − 𝑎 . Dicho polinomio se utiliza para aproximar 𝑓 𝑥 en
valores de x cercanos a a.
Si f tiene derivadas de orden superior en a, entonces también tiene aproximaciones polinomiales de
orden mayor, una para cada derivada disponible.
Estos polinomios se conocen como Polinomios de Taylor de f.
Observación: Decimos que un polinomio de Taylor es de orden n y no de grado n, porque 𝑓 (𝑎)
puede ser cero.
Ejemplo
Encontrar los polinomios de Taylor 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 𝑦 𝑃 para 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 centrado en a=1
Encontramos las derivadas y las evaluamos en a =1
Los polinomios son los siguientes:
Si a = 0 , entonces
Se llama polinomio de Maclaurin de orden n para f
Ejemplo:
Encontrar los polinomios de Maclaurin 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 𝑦 𝑃 para 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. Usar 𝑃 para aproximar el
valor de cos (0,1)
Reemplazando x=0,1 en 𝑃 se obtiene la
aproximación cos (0,1)=0,995004165
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  • 1. Regla de L´Hospital- Polinomio de Taylor Análisis Matemático I Cap 04 Aplicaciones de la Derivada – Sección 4-4 Cálculo -Stewart
  • 2. Derivadas Superiores Ejemplo calcular 𝑦′′ siendo 𝑦 = ln(3𝑥 + 4𝑥)
  • 3. Supongamos que queremos estudiar el comportamiento de 𝑓 𝑥 = para valores cercanos a 1 Debemos plantear el límite lim → Y si ahora queremos encontrar la ecuación de la asíntota horizontal de 𝑓 𝑥 = Debemos plantear el límite lim → ¿Cómo calculamos estos límites que nos presentan indeterminaciones del tipo 𝟎 𝟎 ?
  • 4.
  • 5. Importante: La regla de L´Hospital señala que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se cumplan con las condiciones dadas. Antes de usar la regla se deben verificar las condiciones impuestas a los límites de f y g Ejemplo: lim → 𝑙𝑛𝑥 𝑥 − 1
  • 6. Ejemplo: lim → 𝑙𝑛𝑥 𝑥 − 1 lim → ln 𝑥 = ∞ y lim → 𝑥 − 1 = ∞ se puede aplicar la regla de L’Hospital lim → 𝑙𝑛𝑥 𝑥 − 1 = lim → 𝑑 𝑑𝑥 (𝑙𝑛𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 − 1) = = lim → 1 𝑥 1 = lim → 1 𝑥 = 0 La función tiene como asíntota horizontal la recta 𝑦 = 0
  • 7. Demostración de la regla de L’Hospital para el caso Si 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, 𝑓 𝑦 𝑔 son continuas y 𝑔 (𝑎)≠ 0, utilizando la forma alternativa de la definición de derivada de una función en un punto tenemos: Y como 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0, nos queda: lim → 𝑓 𝑥 − 0 𝑔 𝑥 − 0 = lim → 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
  • 8. Otras indeterminaciones • Productos indeterminados: 0 ∞ Si lim → 𝑓 𝑥 = 0 y lim → 𝑔 𝑥 = ∞ (𝑜 − ∞), entonces lim → 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) es indeterminado Ejemplo: Un límite de esa forma puede cambiarse a uno con la forma 0/0 o ∞/ ∞ al escribir : 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = ( ) / ( ) o bien 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = ( ) / ( ) puesto que lim → 𝑥 = 0 y lim → ln𝑥 = −∞ escribimos y nos queda ∞/∞
  • 9. • Diferencias indeterminadas: ∞ - ∞ Si lim → 𝑓 𝑥 = ∞ y lim → 𝑔 𝑥 = ∞ , entonces lim → 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) es indeterminado Para resolverlo, intentamos convertir la diferencia en un cociente (utilizando un común denominador, racionalizando o factorizando), de manera que nos quede 0/0 o ∞/∞ Ejemplo lim → 3𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 𝑥 puesto que lim → = ∞ y lim → = ∞ escribimos:
  • 10. • Potencias indeterminadas: Cualquiera de éstos dos métodos nos lleva a una indeterminación 0 . ∞
  • 11. Ejemplo Dado que lim → 1 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 1 y lim → 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = ∞ nos queda 1 Aplicamos logaritmo Lo que hemos calculado hasta ahora es el límite de ln y, pero lo que estamos buscando es el límite de y .Para encontrarlo utilizamos el hecho de que 𝑦 = 𝑒
  • 12. Ejemplo Dado que lim → 𝑥 = 0 y lim → ( ) = 0 nos queda 0
  • 13. Observemos que la tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 está muy próxima a ella, cerca del punto de tangencia. En un pequeño intervalo, los valores de y a lo largo de la recta tangente dan buenas aproximaciones a los valores de y de la curva. Linealización
  • 14. Polinomio de Taylor La linealización de una función derivable f en un punto a, es el polinomio de grado uno dado por 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 𝑥 − 𝑎 . Dicho polinomio se utiliza para aproximar 𝑓 𝑥 en valores de x cercanos a a. Si f tiene derivadas de orden superior en a, entonces también tiene aproximaciones polinomiales de orden mayor, una para cada derivada disponible. Estos polinomios se conocen como Polinomios de Taylor de f.
  • 15. Observación: Decimos que un polinomio de Taylor es de orden n y no de grado n, porque 𝑓 (𝑎) puede ser cero. Ejemplo Encontrar los polinomios de Taylor 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 𝑦 𝑃 para 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 centrado en a=1 Encontramos las derivadas y las evaluamos en a =1
  • 16. Los polinomios son los siguientes:
  • 17.
  • 18. Si a = 0 , entonces Se llama polinomio de Maclaurin de orden n para f Ejemplo: Encontrar los polinomios de Maclaurin 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 𝑦 𝑃 para 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. Usar 𝑃 para aproximar el valor de cos (0,1) Reemplazando x=0,1 en 𝑃 se obtiene la aproximación cos (0,1)=0,995004165