1. Formas indeterminadas
En matemática llamamos forma indeterminada a una expresión algebraica que
involucra límites.
Es decir que cuando una variable que tiende a ese valor parece no existir o no
estar definida
Destacamos que estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del
contexto del límite con funciones y, más generalmente, del calculo infinitesimal
y el análisis real.
Para solucionar, algunas formas indeterminadas se utilizan un teorema llamado
L`Hopital
Supongamos que existen 2 funciones g y h, las cuales están definidas dentro
de un intervalo (a,b) excepto tal vez en un valor c dentro de el mismo intervalo.
Si ambas funciones son derivables, entonces, si existe el límite de la función en
el valor c. un punto importante en este teorema es que si c es sustituido
por c + o c -, es decir se sigue cumpliendo para límites laterales. También para
límite al ínifito.
Es importante aclarar que el teorema de L` Hopital solo es aplicada para las
forma indeterminadas
0
0
y
∞
∞
Formalmente tenemos que:
si lim
𝑥→𝑐
es
0
0
y
∞
∞
Entonces
lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
= lim
𝑥→𝑐
𝑔`(𝑥)
ℎ`(𝑥)
Cociente indeterminado la forma
0
0
y
∞
∞
Encuentre

2. Solución Ya observamos que el límite es una forma
indeterminada 0/0. Para aplicar el teorema debemos cerciorarnos que exista la
derivada de las funciones tanto en el numerador como el denominador,
entonces el límite se puede determinar usando la regla de l´Hôpital
Ahora
lim
𝑥→0
𝑒 𝑥
− 1
𝑥
= lim
𝑥→0
( 𝑒 𝑥
− 1)`
( 𝑥)`
. = lim
𝑥→0
𝑒 𝑥
1
Si se puede observar al sustituir comprobaremos si obtenemos una solución o
de nuevo la indeterminación 0/0.
En este caso calculamos el limite por sustitución directa obtenemos que el
límite es igual a 1. En el otro escenario de que se obtiene nuevamente la
indeterminación 0/0 se seguiría derivando ambas funciones del denominador y
numerador y se aplicaría L`Hopital hasta eliminar para así decirlo la
indeterminación.
Ejemplo de la forma
∞
∞
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador
como el denominador, tienen por límite ∞.
lim
𝑥→∞
𝑒 𝑥
𝑥
Este es un caso de
∞
∞
por lo tanto podemos aplicar el teorema de
L`Hopital asi .
Debemos comprobar que si podemos aplicar dicho teorema derivando las
funciones
lim
𝑥→∞
𝑒 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→∞
( 𝑒 𝑥)`
( 𝑥)`
. = lim
𝑥→∞
𝑒 𝑥
1
=∞

3. Producto indeterminado se les conoce como 0*∞
Ejemplo
En esta forma indeterminada consiste en transformar la indeterminación 0 * ∞ a
otra forma indeterminada como las que vimos anteriormente
0
0
y
∞
∞
y asi al tener
estas formas indeterminada aplicar el teorema L´Hopital.
Diferencia indeterminada ∞ - ∞
En los casos en que el límite de una diferencia es ∞, no se puede aplicar
ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a
una forma ideterminada del tipo ∞ - ∞. Para resolver esta indeterminación
pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios
conjugados. Esta indeterminación también consiste en transformar la
indeterminación ∞ - ∞ en la indeterminación
0
0
y
∞
∞
para aplicar L´Hopital.
Ejemplo
Este límite es de la forma ∞ - ∞
Este límite se puede resolver multiplicando my dividiendo por la conjugada, es
decir √ 𝑛 + 1 + √ 𝑛 entonces
Por lo tanto el limite se reduce a
Como ya sabemos
1
∞
equivale a o, en otro caso se puede llegar a la
indeterminación
0
0
y
∞
∞
y se aplicaría el teorema de L´Hopital. Pero en el
ejemplo anterior no fue necesario ya que no nos dio una indeterminación. Aquí
vemos lo importante del teorema de L´Hopital y en las formas in determinadas
mencionadas anteriores. Y nos refleja lo importante de el teorema L´Hopital
para solucionar las indeterminaciones.
Forma indeterminada es: 00; 𝟏∞
. ∞ 𝟎

4. En esta forma indeterminada, lo importante es saber que debemos aplicar
logaritmo natural en ambos lados de la igual
Ln y = g(x) ln f(x) y puede tomar la forma 0* ∞ que con algunas transformaciones
algebraicas podemos convertirlas en la forma 0/0 ó
∞
∞
como lo mencionamos
anteriormente. Es decir con la aplicación de logaritmo natural en ambos lados
de la ecuación podemos llegar a formas indeterminadas explicadas
anteriormente y en estos casos debemos aplicar las herramientas necesarias
para llegar a indeterminación como 0/0 ó
∞
∞
y así poder aplicar el teorema
L´Hopital.