Este documento explica las formas indeterminadas que surgen al evaluar límites, como 0/0, ∞/∞, 0∞. Describe cómo transformar estas formas indeterminadas aplicando técnicas como la regla de l'Hôpital, que usa derivadas para evaluar límites problemáticos. También presenta ejemplos de diferentes formas indeterminadas y cómo resolverlas.

1. Instituto Universitario Tecnológico
“Antonio José de Sucre”
Extensión Barquisimeto
Construcción Civil
Bachiller:
Adriana, Ordóñez
Sección: S5
Barquisimeto; Junio 2015

2. Las Formas indeterminadas
En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que
involucra límites del tipo:
0
0
∞
∞
0.∞ 1∞
00
∞0
+ ∞ − ∞
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de
funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a
algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o
puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.
Cociente Indeterminado
La forma 0/0
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se
acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada
caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la
operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0
puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares
que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que
es indeterminada.
Ejemplos:
lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
=
0
0
lim
𝑥→0
𝑥2
𝑥
=
0
0
La forma ∞/∞
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador
como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar
ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma
indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse
métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

3. Ejemplos:
lim
𝑥→+∞
𝑒 𝑥
𝑥
=
+∞
+∞
lim
𝑥→+∞
√ 𝑥
ln 𝑥
=
+∞
+∞
La forma indeterminada 𝟎.∞
lim
𝑥→0+
𝑥. ln 𝑥 = 0.(−∞)
lim
𝑥→
𝜋
2
cos 𝑥 .tan 𝑥 = 0. ∞
Diferencias Indeterminadas
En los casos en que el límite de una diferencia es ∞, no se puede aplicar
ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma
indeterminada del tipo ∞ − ∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse
métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.
Potencia Indeterminada
La forma 00
lim
𝑥→0+
𝑥 𝑥
= lim
𝑥→0+
𝑒ln 𝑥 𝑥
= lim
𝑥→0+
𝑒 𝑥 ln 𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→0+
(𝑥ln 𝑥)
La forma ∞0
La forma 1∞
Ejemplo:
lim
𝑥→0+
𝑥
(
3
4+ln 𝑥
)
, Es de la forma 00
; considerando
𝑦 = 𝑥
(
3
4+ln 𝑥
)
Y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
ln 𝑦 =
3
4+ln 𝑥
ln 𝑥 Aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
ln 𝑦 = 3.
1
𝑥⁄
1
𝑥⁄
= 3 De manera que el límite sería
lim
𝑥→0+
𝑦 = 𝑒3

4. División por cero
Representación gráfica de la función y = 1/x. Cuando x «tiende» a 0+, y se
“aproxima” a más infinito.
En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es
igual a cero. En aritmética y álgebra, es considerada una «indefinición» o
«indeterminación» que puede originar paradojas matemáticas.
En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor
definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no
tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de
cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.
Tabla de formas indeterminadas
Formas
indeterminadas
Condiciones
Transformación
a 0/0
Transformación a
∞/∞
𝟎
𝟎
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 0,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = 0 ___
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑐
1
𝑔(𝑥)⁄
1
𝑓(𝑥)⁄
∞
∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = ∞,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = ∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑐
1
𝑔(𝑥)⁄
1
𝑓(𝑥)⁄ ___
𝟎. ∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 0,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = ∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥)
= lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)⁄
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥)
= lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)⁄
𝟏∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 1,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = ∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑥𝑝lim
𝑥→𝑐
ln 𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)⁄
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑥𝑝lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
1
ln 𝑓(𝑥)⁄
𝟎 𝟎
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 0+
,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = 0
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑥𝑝 lim
𝑥→𝑐
ln 𝑔(𝑥)
1
ln 𝑓(𝑥)⁄
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑥𝑝lim
𝑥→𝑐
ln 𝑓(𝑥)
1
ln 𝑔(𝑥)⁄
∞ 𝟎
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = ∞,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = 0
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑥𝑝 lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
1
ln 𝑓(𝑥)⁄
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
= 𝑒𝑥𝑝lim
𝑥→𝑐
ln 𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)⁄

5. +∞ − ∞
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = ∞,
lim
𝑛→∞
𝑔( 𝑥) = ∞
lim
𝑥→𝑐
(𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥))
= lim
𝑥→𝑐
1
𝑔( 𝑥) − 1
𝑓(𝑥)⁄⁄
1
(𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥))⁄
lim
𝑥→𝑐
(𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥))
= ln lim
𝑥→𝑐
𝑒 𝑓(𝑥)
𝑒 𝑔(𝑥)
Regla de L´Hopital
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de
l'Hôpital oregla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a
evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de
Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo 0
0⁄ 𝑜 ∞
∞⁄ .
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en
(a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual
a L. Por lo tanto, según Guillaume de l'Hôpital:
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑐
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
= 𝐿