Este documento explica diferentes formas indeterminadas como 0/0, ∞/∞, 0∙∞, ∞-∞, 00, 1∞ y ∞0. Introduce la regla de L'Hopital que permite determinar el límite de una función cuando tiene una de estas formas indeterminadas derivando el numerador y denominador. Incluye ejemplos de cómo aplicar esta regla y transformaciones algebraicas para convertir otras formas como ∞-∞ en 0/0 o ∞/∞.

1. Samuel Raldiriz
30/06/2015

2. 1
Formas Indeterminadas
Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes:
0
0
;
∞
∞
; 0∗
; ∞; ∞ − ∞; 00
; ∞∞
; 1∞
Entonces decimos que es indeterminada.
Si se tiene,
𝑌 = 𝑓(𝑥) =
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
Y el
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= 4
En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso,
cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de
L´Hopital. Teorema:
Dadas 𝑓 𝑦 𝑔 funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente
en el número a en I, y supongamos que para toda x ≠ a en I, g(x) = 0. Entonces, si límite
cuando x tiende a de 𝑓(𝑥) es más o menos infinito y límite cuando x tiende a "a" de g(x) =
más o menos infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las respectivas
derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y
tendrá el mismo valor.
Nota: Esta regla es aplicable a formas 𝟎/𝟎 ó ∞ /∞ .
Aplicación de la regla para determinar el valor de la forma 0 / 0 ó ∞ /∞ :
Se halla la derivada del numerador para obtener un nuevo numerador, se halla la
derivada del denominador para obtener un nuevo denominador. El valor de esa nueva
fracción, para el valor asignado de la variable, será el valor límite de la primera fracción.
Ejemplo
1. Demostrar los siguientes límites:

3. 2
a. Demostrar que el
lim
𝑥→0
𝑛 cos 𝑛𝑥
𝑥
= 𝑛
Notamos que es de la forma 0/0. Por lo tanto, podemos aplicar L´Hopital. Derivando
el numerador y luego derivando el denominador nos queda:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥
1
= 𝑛
Obsérvese que no se deriva como un cociente.
b.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0′
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
− 2𝑥
𝑥 − sen 𝑥
= 𝑛
Es de la forma 0/0, se puede aplicar L´Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
cos 𝑥
=
1
2
= 2
Podemos volver a aplicar L`Hopital.
Aplicando L´Hopital de nuevo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
cos 𝑥
=
2
1
= 2
. Como se observa esta regla se puede aplicar todas las veces que sea necesario, siempre y
cuando quede de la forma 0/0 ó ∞/∞ .
Si la forma indeterminada es 𝟎 ∙ ∞ .
Si una función 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) toma la forma 0 ∗ ¥ para un cierto valor de la variable, se
puede reescribir de la siguiente manera:
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)
ó
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
Con el fin de obtener alguna de las formas que permitan aplicar L´Hopital.

4. 3
Ejemplo
Demostrar:
lim
𝑥→𝜋 2⁄
(sec 3𝑥 cos 5𝑥) = −5 3⁄
es de la forma 0 ∗ ¥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2⁄
1
𝑐𝑜𝑠 3𝑥
= 𝑐𝑜𝑠 5𝑥)
Es de la forma
1
0
∙ 0 =
0
0
Entonces =
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2⁄
𝑐𝑜𝑠 5𝑥
𝑐𝑜𝑠 3𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2⁄
−5 sen 5𝑥
−3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
= (
5
−3
) − 5
3⁄
Aplicando L`Hopital:
Si la forma indeterminada es ∞ - ∞
En este caso se hacen transformaciones algebraicas de tal manera que se pueda
expresar como
0 / 0; ∞ /∞ .
Ejemplo
Demostrar que el
lim
𝑥→0
(
1
𝑥
−
1
𝑒 𝑥 − 1
) = 1 2⁄
Es de la forma ¥ − ¥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
( 𝑒 𝑥
− 1) − 𝑥
𝑥( 𝑒 𝑥 − 1)
= 0 0⁄
Aplicando L´Hopital de nuevo,

5. 4
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒 𝑥
− 1
( 𝑒 𝑥 − 1) + 𝑥𝑒 𝑥
= 0 0⁄
Aplicando la regla de nuevo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
ln(2 − 𝑥)
cot
𝜋𝑥
2
= 0 0⁄
Si la forma indeterminada es: 𝟎0
; 1∞
; ∞0
.
Si la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) toma para algún valor de 𝑥 cualquiera de la forma
𝟎0
; 1∞
; ∞0
entonces se toma logaritmo natural en ambos miembros:
𝐿𝑛 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) y puede tomar la forma 0. ¥ que con algunas transformaciones
algebraicas podemos convertirlas en la forma 0/0 ó ∞ / ∞ .
Recordemos que si
lim
𝑥→0
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑎
Entonces 𝑦 = 𝑒 𝑎
Ejemplo
Demuestre los siguientes límites
a.
lim
𝑥→0
𝑥 𝑥
= 1
Es de la forma 00
, sea 𝑦 = 𝑥 𝑥
, 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 que es de la forma 0 ∙ ∞
ln 𝑦
𝑙𝑛 𝑦 =
𝑙𝑛 𝑥
1
𝑥
=
−∞
∞
Entonces

6. 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛 𝑥
1
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
𝑥
1
𝑥2
= 0
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑦 = 𝑒0
= 1
b.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(2 − 𝑥)tan 𝑥 2⁄
= 𝑒2 𝑛⁄
Es de la forma 1 ∞ hacemos 𝑦 = (2 − 𝑥)tan 𝑥 2⁄
Sea
ln 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑔
𝜋
2
= 𝑥 𝑙𝑛 [2 − 𝑥]
Es de la forma ∞ . 0;
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
ln 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
ln(2𝑥)
cot
𝜋𝑥
2
= 0 0⁄