Bases de Sucesiones y Series

1. Matemáticas
Economía
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y
ADMINISTRATIVAS
Empezamos en breves minutos
Docente: Nelson Tapia O.

2. Sucesiones y series

3. Contenidos
- Sucesiones
- Notación sigma, operaciones y propiedades
- Series: definición, tipos y convergencias
- Series de Maclaurin y Series de Taylor
- Criterio de la e-nésima derivada para el extremo relativo de una
función

4. Sucesiones

5. Sucesiones
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de
enteros positivos
Notación: 𝑎𝑛 o 𝑎𝑛 𝑛=1
∞

6. Sucesiones
Ejemplos: escriba los primeros cuatro términos de las sucesiones
a)
1
2𝑛 b) 𝑛2 + 𝑛 c) −1 𝑛

7. Sucesiones convergentes
Ejemplo:
1
2𝑛
Si una sucesión converge, entonces su límite L es único

8. Sucesiones convergentes

9. Sucesiones divergentes
Ejemplo: 𝑛2
+ 𝑛
Dada una sucesión 𝑎𝑛 esta es divergente cuando al analizar
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 este aumenta o disminuye sin límite
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = ∞ o lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = −∞

10. Sucesiones
Ejemplo: Demuestre que la sucesión
𝑛(4𝑛+1)(5𝑛+3)
6𝑛3+2
converge

11. Sucesiones
Ejemplo: Determine si la sucesión
2−3𝑒−𝑛
6+4𝑒−𝑛 converge

12. Propiedades de las secuencias

13. Sucesiones monótonas

14. Sucesiones monótonas
Ejemplos:
a) 4, 6, 8, 10, … b) 1,
1
2
,
1
4
,
1
8
, … c) 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, …

15. Sucesiones monótonas
Ejemplo de sucesión no monótona:
−1,
1
2
, −
1
3
,
1
4
, −
1
5
, …

16. Sucesiones monótonas

17. Sucesión acotada

18. Sucesión acotada
Ejemplo:
2𝑛 + 1
𝑛 + 1

19. Notación sigma

20. Notación sigma
Sea 𝑎𝑘 un número real que depende de un entero k, la suma 𝑎1 +
𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 se denota por el símbolo σ𝑘=1
𝑛
= 𝑎𝑘; esto es:
෍
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛

21. Notación sigma

22. Notación sigma
Ejemplo: la suma de los diez primeros enteros pares:
2 + 4 + 6 + … + 18 + 20
෍
𝑘=1
10
2𝑘

23. Notación sigma
Ejemplo: la suma de los diez primeros enteros positivos impares:
1 + 3 + 7 + … + 17 + 19
෍
𝑘=1
10
2𝑘 − 1

24. Notación sigma
Ejemplo:
෍
𝑘=3
6
2𝑘
෍
𝑘=3
6
2𝑘
= 23
+ 24
+ 25
+ 26
= 120

25. Propiedades de la notación sigma

26. Fórmulas de sumas especiales

27. Uso de fórmulas de suma
Ejemplo: Encuentre el valor numérico de:
෍
𝑘=1
20
𝑘 + 5 2

28. Series

29. Series
Si 𝑎𝑛 es la sucesión de 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … , entonces la suma de
los términos
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯
Se llama serie infinita, o simplemente una serie

30. Series
෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 ෍ 𝑎𝑘

31. Sucesión de sumas parciales
Asociada con toda serie finita σ 𝑎𝑘 existe una sucesión de sumas
parciales 𝑎𝑛 cuyos términos están definidos por
El término general 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = σ𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 de esta sucesión
se denomina la suma parcial n-ésima de la serie

32. Sucesión de sumas parciales

33. Sucesión de sumas parciales
Cuando n es muy grande, 𝑆𝑛 se aproximará a 1/3

34. Serie convergente

35. Serie convergente
Demuestre que la serie
෍
𝑘=1
∞
1
𝑘 + 4 𝑘 + 5
es convergente

36. Serie convergente
෍
𝑘=1
∞
1
𝑘 + 4 𝑘 + 5
=
1
5
La serie es telescópica (aquella donde se cancelan todos sus términos, excepto
el primero y el último)

37. Serie geométrica
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1
+ ⋯ = ෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑟𝑘−1

38. Teoremas sobre series

39. Teoremas sobre series

40. Teoremas sobre series

41. Teoremas sobre series

42. Teoremas sobre series

43. Series de Taylor y Mclaurin

44. Introducción
- La estimación de valores de algunas funciones en un punto suele
ser difícil de realizar, debido a la falta de herramientas analíticas o
numéricas.
- Es pertinente contar con una herramienta matemática capaz de
estimar el valor de la función original en un punto.

45. Aproximaciones polinómicas a funciones elementales
Para encontrar una función polinómica P que aproxime a otra función f,
se empieza por elegir un número c en el dominio de f en el que P y f
tengan el mismo valor: P(c) = f(c); esto es, ambas funciones pasan por el
punto (c, f(c))
Se dice entonces que la aproximación polinómica se expande alrededor
de c o está centrada en c. Geométricamente, el requisito de que P(c) =
f(c) significa que la gráfica de P debe pasar por el punto (c, f(c)). Hay
muchos polinomios cuya gráfica pasa por ese punto; la tarea es encontrar
un polinomio cuya gráfica se parezca a la función f en la cercanía de ese
punto

46. Aproximaciones polinómicas a funciones elementales
Una manera de hacer esto es imponer el requisito adicional de que la
pendiente de la función polinómica sea la misma que la pendiente de la
gráfica de f en el punto (c, f(c)). Dicho de otro modo:
𝑃′ 𝑐 = 𝑓′(𝑐)

47. Aproximaciones polinómicas a funciones elementales
Ejemplo: aproxime 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 mediante polinomios de primer y segundo
grado con 𝑥 = 0

48. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
La aproximación polinómica de 𝑒𝑥 dada en el ejemplo anterior estaba
centrada en x = 0. Para aproximaciones centradas en un valor arbitrario
de c, es conveniente escribir el polinomio en la forma:

49. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
En esta forma, las derivadas sucesivas dan como resultado:

50. Polinomios de Taylor y de MacLaurin

51. Polinomios de Taylor y de MacLaurin

52. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
Ejemplo: encontrar los polinomios de Taylor 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 y 𝑃4, para
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 centrado en x = 1

53. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
Ejemplo: encontrar los polinomios de Taylor 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 y 𝑃4, para
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 centrado en x = 1

54. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
Ejemplo: encontrar los polinomios de MacLaurin 𝑃0, 𝑃2, 𝑃4 y 𝑃6, para
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 y aproximar el valor de cos 0.1 mediante 𝑃6(𝑥)

55. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
Ejemplo: encontrar el polinomio de Taylor de tercer grado desarrollado
en el entorno de 𝑐 =
𝜋
6
, para 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

56. Resto o residuo de un polinomio de Taylor
Una técnica de aproximación es de poco valor sin alguna idea de su
precisión. Para medir la precisión de una aproximación al valor de una
función 𝑓(𝑥) mediante un polinomio de Taylor 𝑃𝑛(𝑥), se puede usar el
concepto de resto 𝑅𝑛(𝑥), definido como sigue:
𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃𝑛 𝑥

58. Polinomios de Taylor y de MacLaurin
Ejemplo: halle el polinomio de MacLaurin de tercer grado para 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) y determine la precisión de la estimación para estimar 𝑠𝑒𝑛(0.1)

59. Criterio de la enésima derivada para el extremo relativo de una
función
𝑓 𝑛 𝑐 > 0 mínimo relativo en c
Si n es par
Si 𝑓 𝑛 (𝑐) ≠ 0 𝑓 𝑛 𝑐 < 0 máximo relativo en c
Si n es impar, en c hay un punto de inflexión
Ejemplo: Aplicar el criterio de la enésima derivada para hallar los extremos
relativos de la siguiente función
𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3