Este documento presenta una guía sobre límites de funciones. Introduce cinco tipos de límites: 1) límites directos, 2) límites laterales, 3) límites en el infinito, 4) límites trigonométricos y 5) límites indeterminados. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo, así como propiedades y teoremas como el teorema del emparedado y el cambio de variable para límites trigonométricos. El objetivo es proporcionar una referencia para el cálculo

1. MATEMATICAS 2
SEGUNDO SEMESTRE DE
2010
Carreras empresariales
MG Luis Alberto Florez Del Carpio
luisflorez.matematica@gmail.com
02/01/14
1
1

2. LIMITES DE FUNCIONES
Concepto de límite
 ( Intuitivo) EL límite de una función ( cuando existe) es un valor numérico L
y es el resultado de la evaluación de valores “muy”cercanos a un número “a”
en el dominio de f.
 Ejemplo: calcular
(Tipo 1)
(Tipo 2)
x −1
x −1
2
(Tipo 3)
(Tipo 4)
2
lim
x →3 x − 3
2 x2 + x + 1
lim 2
x →∞ 3 x − 3 x + 4
x +3
lim
x→2 x + 1
lim
EVALUAR
0
N
FORMA
FORMA
0 Alberto Florez Del 0
Mg. Luis
2
2
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x →1
Carpio - Cel. 955794944
AL INFINITO
2

3. EXISTENCIA DEL LIMITE
OBSERVACIONES
TIPO (1)
TIPO (2)
EXISTE
TIPO (3)
(TIPO 4)
NO EXISTE
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EXISTE
•EL LIMITE ES
UNICO
•EL LIMITE ES
UN VALOR NUMERICO
•SE VE EN EL EJE DE
LAS Y
•LA X TIENDE A UN
NRO Y LA F(X)
TIENDE AL LIMITE
NO EXISTE
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3

4. TIPO 1
EVALUAR
DIRECTAMENTE
02/01/14
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4

5. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES
02/01/14
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Carpio - Cel. 955794944
5

6. PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES
1.-
2.-
3.-
02/01/14
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6

7. FACTORIZAR- SIMPLIFICAR -EVALUAR
0
FORMA
0
TIPO 2
FSE
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7

8. TALLER 1 = DEBER 1
x2 + x − 2
1.- lim 2
x →1 x − 2 x + 1
x2 + x − 2
2.- lim 2
x → −1 x − 2 x + 1
x − 25
lim 2
x →5 x − 5 x
5.-
lim
6.-
x 4 − 2x3 + x − 2
lim 3
x → 2 x + 4 x 2 − 11x − 2
2
3.-
4.-
lim
x →a
02/01/14
x− a
x−a
x+2
7.-
8.-
0
FORMA
0
x →0
x + 3 −1
x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 4 x + 4
lim
x → −2
x 4 + 4x3 + 4x 2
x 2 − ( a + 1) x + a
lim
x→a
x2 − a2
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8

9. Ν
FORMA
0
x
10
TIPO 3
F (x)
2.1
2
1
lim−
=∞
x→2 x − 2
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9

10. Ν
FORMA
0
1
lim
x →3+ 3 − x
x
3.1
TIPO 3
F (x)
-10
3
1
lim
= −∞
+
x →3 3 − x
02/01/14
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10

11. Ν
FORMA
0
TIPO 3
1
lim
x →3− 3 − x
x
-3.1
F (x)
10
-3
1
lim
=∞
−
x →3 3 − x
02/01/14
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11

12. Ν
FORMA
0
TIPO 3
1
lim−
x →2 x − 2
x
1.9
F (x)
-10
2
1
lim
= −∞
−
x→2 x − 2
02/01/14
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13. TALLER 2 = DEBER 2
02/01/14
Ν
FORMA 0
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13

14. TIPO 4
LIMITES EN EL INFINITO
CASO
TRES PASOS
•FACTORIZAR MAXIMA POTENCIA
•SIMPLIFICAR
•EVALUAR EN EL INFINITO
∞
FÓRMULA GENERAL
a / b n = m
ax + ... 
lim m
= 0
n<m
x →∞ bx + ...
 ∞ n>m
Mg. Luis
Alberto Florez Del
n
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15. TIPO 4
CASO - ∞
a / b n = m
ax + ... 
lim m
= 0
n<m
x → −∞ bx + ...
 ∞ n>m

n
02/01/14
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16. RESOLVER
02/01/14
TIPO 4
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17. RESOLVER
POR SIMPLE INSPECCIÓN
02/01/14
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TIPO 4
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18. TALLER 3 = DEBER 3
1
2
TIPO 4
6
7
8
3
9
4
10
5
CASO
11
02/01/14
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±∞
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19. LIMITES LATERALES
02/01/14
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TIPO 5
19

20. LIMITES LATERALES
02/01/14
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TIPO 5
20

21. EJEMPLO
02/01/14
TIPO 5
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21

22. EJEMPLO
02/01/14
TIPO 5
Mg. Luis Alberto Florez Del
Carpio - Cel. 955794944
22

23. EJEMPLO
02/01/14
TIPO 5
Mg. Luis Alberto Florez Del
Carpio - Cel. 955794944
23

24. EJEMPLO
TIPO 5
02/01/14
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24

25. TIPO 5
02/01/14
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26. TALLER 4 = DEBER 4
1.- CALCULAR LOS LIMITES LATERALES EN LOS PUNTOS INDICADOS
TIPO 5
02/01/14
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27. TALLER 4 = DEBER 4
2.- CALCULAR LOS LIMITES
TIPO 5
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28. LIMITES TRIGONOMETRICOS
TIPO 6
1) Límite trigonométrico es aquel que admite funciones como seno , coseno
tangente, secante cosecante y funciones inversas como arco tangente
2) Estos límites se resuelven usando la propiedad
3) Existen variaciones de la propiedad
senkx
=1
x →0
kx
lim
y
senu
= 1 (TEOREMA 1)
u →0
u
lim
u
lim
=1
u →0 senu
EJEMPLOS
(1)
(2)
(3)
02/01/14
sen3 x
lim
x →0
x
2x
lim
x →0 sen3 x
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29. TALLER5 = DEBER 5
TIPO 6
CALCULAR EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A CERO
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29

30. TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
TIPO 6
El cambio de variable para límites trigonométricos se usa cuando
queremos hacer que el límite tienda a cero de modo que podamos
aplicar el teorema 1.
(teorema 1)
senu
lim
=1
u →0
u
•Se cambia la variable actual por una de nuestra elección
•Si x tiende a c el cambio sugerido es u = x – c
•Se reemplazan todas las variables x por la fórmula x = u+c
•En el nuevo límite ahora u tiende a 0
02/01/14
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31. CAMBIO DE VARIABLE
TIPO 6
Por otro lado
02/01/14
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32. CAMBIO DE VARIABLE
TIPO 6
Además
02/01/14
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32

33. TALLER 6 =DEBER 6
TIPO 6
0)
p)
1− x 2
lim
x →1 senπx
 x
1 − sen 
q)
2
lim
x →π
π − 3x
1 − 2 cos x
r) lim
π
π − 3x
x→
3
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34. TEOREMA DEL EMPAREDADO
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TIPO 7
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35. RESOLVER
02/01/14
TIPO 7
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35

36. RESOLVER
TIPO 7
MULTIPLICANDO POR
02/01/14
Mg. Luis Alberto Florez Del
Carpio - Cel. 955794944
36

37. TALLER = DEBER 7
TIPO 7
4
5
02/01/14
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Carpio - Cel. 955794944
37

38. DEBER
02/01/14
Mg. Luis Alberto Florez Del
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38

39. GUIA DE REFUERZO
02/01/14
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39

40. GUIA DE REFUERZO
02/01/14
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Carpio - Cel. 955794944
40