PPT SEMANA 01 MATRICES-RELACIONES BINARIAS.pdf

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
MATRICES-SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES-RELACIONES BINARIAS
MATRIX-SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS-
BINARY RELATIONSHIP

Caso: Tienda Coolbox
El administrador de una tienda Coolbox sabe que, en esta semana la
tienda I vendió 88 alarmas, 48 USB, 16 laptops y 12 reproductores MP3.
La tienda II vendió 10 alarmas, 70 USB, 20 laptops y 50 reproductores
MP3. La tienda III vendió 60 alarmas, 40 USB, ninguna laptop y 35
reproductores MP3.
❑ ¿Se podrá usar algún arreglo de números para expresar la información sobre
las ventas de las tres tiendas?
❑ Durante la siguiente semana, las ventas en la tienda I se incrementaron 25%;
las ventas en la tienda II se incrementaron en 10% y las ventas en la tienda III
se incrementaron 5%. ¿Cómo expresaría algún arreglo de números de ventas
para esa semana?

CONTENIDO DE LA SESIÓN
SABERES PREVIOS
(PRE REQUISITOS)
 Matrices
 Matrices especiales
 Operaciones con matrices
 Determinante de una
matriz
 Propiedades de
determinante
 Aplicaciones
 Números reales
 Operaciones con
números reales
 Operaciones
algebraicas,
factorización,
productos notables
 Resolver
ecuaciones

LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de
aprendizaje, el estudiante
resuelve ejercicios y
problemas de contexto real
relacionados a la gestión
empresarial haciendo uso de
la teoría de matrices, de
forma correcta.

MATRICES: TIPOS Y OPERACIONES

MATRIZ
 Se llama matriz de orden m x n a todo arreglo
rectangular de elementos aij distribuidos en m líneas
horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas).
Columna 1 Columna 2
Columna 3
Fila1
Fila 2






=
6
5
4
3
2
1
A
Orden de la matriz = N°filas x N°columnas
Orden de la matriz = 2 x 3
La matriz tiene 6 elementos

MATRIZ
Se denota como A = (aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n.
Los aij indican la posición del elemento dentro de la matriz, el (i) denota la fila y (j) la
columna.
Notación:










=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a32 Es el elemento de la 3ra fila y de la 2da columna.
a13 Es el elemento de la 1ra fila y de la 3ra columna.
Ejemplos:

DIAPOSITIVA N° 8
CONSTRUCCIÓN DE MATRICES
1) Construya una matriz columna de tres entradas tal
que a21= - 5 y para los otros casos ai1= 0

DIAPOSITIVA N° 9
CONSTRUCCIÓN DE MATRICES
2) Si C=  cij tiene tamaño 3 x 2 y cij = 2i- j, encuentra C

10
3) Determine la matriz A de orden
de 3x3 si sus elementos están
formados por:
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) =
𝑖 − 𝑗
2
, 𝑖 > 𝑗
𝑖 + 𝑗 ; 𝑖 = 𝑗
𝑗. 𝑖 , 𝑖 < 𝑗

MATRICES ESPECIALES
 Matrices iguales
La matriz A es igual a la matriz B,
cuando tienen el mismo orden y los
elementos que ocupan el mismo lugar
(elementos homólogos) son iguales .
Es decir, A = (aij) = B = (bij) si y sólo si aij =
bij para todo i, j.
 Matriz Nula
Es aquella matriz de orden m x n cuyos
elementos son todos ceros.






=







+
0
6
1
2
0
3
2
1
1 2
2






=
0
0
0
0
0










=
0
0
0
0
0
0
0

MATRICES ESPECIALES
Es una matriz de orden 1 x n.
Es una matriz de orden m x 1.
 
n
a
a
a
a 1
13
12
11 ....
=
A












=
1
21
11
....
m
a
a
a
A
Es aquella cuyo número de filas es igual
al número de columnas.
A
3 2 4
1 0 0
2 3 1
=
−
 
 
−
 
 
 
Diagonal Principal
¿Cuál es orden de una matriz cuadrada?
MATRIZ FILA
MATRIZ CUADRADA
MATRIZ COLUMNA

MATRICES ESPECIALES










−
=
2
0
0
0
1
0
0
0
3
C
MATRIZ DIAGONAL MATRIZ ESCALAR










=
3
0
0
0
3
0
0
0
3
C
MATRIZ IDENTIDAD
aij = 1 si i=j
0 si ij










1
0
0
0
1
0
0
0
1
I3 =
Es la matriz In se define La matriz traspuesta se obtiene
cambiando las filas por las columnas.
MATRIZ TRANSPUESTA 𝑨𝒕
𝑺𝒊 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, ∀ 𝒊 ≠ 𝒋 𝑺𝒊 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, ∀ 𝒊 ≠ 𝒋
Es decir, si 𝐴𝑚𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 entonces
𝐴𝑛𝑥𝑚
𝑡
= 𝑎𝑗𝑖 .
𝐴 =
2
1
3
−1
0
4
⇒ 𝐴𝑡
=
2 1 3
−1 0 4

MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR
SUPERIOR
MATRIZ TRIANGULAR
INFERIOR
MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Si a i j = 0 para i > j










−
−
=
2
0
0
0
1
0
4
2
3
A
Matriz cuadrada que cumple A = At
MATRIZ SIMÉTRICA
1 4 5
A 4 7 12
5 12 2
−
 
 
=
 
 
− −
 
Si a i j = 0 para i < j










−
=
2
0
1
0
1
2
0
0
3
B
Es una matriz cuadrada que cumple A = - At
y los elementos de su diagonal principal son
todos ceros.
0 3 6
A 3 0 2
6 2 0
−
 
 
= −
 
 
−
 

OPERACIONES CON MATRICES
ij
ij
b
ij
a
ij
c todo
para
B
A
C +
=

+
=
Si A =(aij), y B =(bij) son matrices de orden m x n, entonces la suma A+B es también
una matriz de orden m x n que se obtiene al sumar las entradas correspondientes de
A y B, esto es, A + B = (aij + bij).
ADICIÓN










−
−
=
2
4
0
1
1
2
A









−
=
2
3
2
2
3
4
B









−
=
+
0
7
2
1
4
2
B
A
Ejemplo:
Para sumar las matrices A y B deben ser del mismo orden, es decir, de tamaños
iguales.

Sea A = (a ij) de orden m x n y 𝑘 ≠ 0 un escalar.
El producto 𝑘𝐴 es la matriz C = (kcij) de orden m x n.
Encuentre la matriz 𝐶 donde 𝐶 = 6 ⋅ 𝐴
𝐴 =
2 4 7
0 9 −1
−4 5 3
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Ejemplo:
𝐶 = 6. 𝐴 =
12 24 42
0 54 −6
−24 30 18

Sea A = (a ij) de orden m x n y B = (bij) de orden n x p.
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj
Orden de A Orden de B
m x n n x p
igual
entonces el orden de A.B es m x p
¿Cuándo se puede multiplicar dos matrices?
El producto AB es la matriz C = (cij) de orden m x p, tal que:
MULTIPLICACIÓN

2x3 3x4
3 2 1 0
2 1 4
A B . 2 3 5 9
5 3 0
4 7 2 1
 
−  
   
= − =  
   
   
− −
 
 
C14 =
C12 =
C13 =
C21 =
2(3) + (−1)(−2)+4(−4) =
C22 =
C23 =
C24 =
C11 =
2(2) + (−1)(3) + 4(7) =
5(3) + (3)(−2) + 0(−4) =
5(2) + (3)(3) + 0(7) =
5(0) + (3)(9) + 0(1) =
-8
27
Ejemplo:
MULTIPLICACIÓN
Solución:





 −
=
0
3
5
4
1
2
A
Si y










−
−
−
=
1
2
7
4
9
5
3
2
0
1
2
3
B ; calcular AB.

Si todas las sumas y productos están definidas:
1. A (BC) = (AB) C asociativa
2. A (B+C) = AB + AC distributiva
3. (A+B) C = AC + BC distributiva
4. A.I = A = I.A
Nota:
La multiplicación de matrices por lo general no es
conmutativa.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

APLICACIÓN
Una fábrica de muebles hace mesas, sillas , y armarios, y cada uno de ellos en
tres modelos: económico (E), normal (N) y lujo (L).
Cada mes produce:
Calcule la matriz que da la producción de un año.
Solución:
Mesas
Sillas
Armarios
E N L










20
30
40
100
150
200
30
40
50










=










=
20
30
40
100
150
200
30
40
50
*
...
P

SOLUCIÓN AL CASO: Tienda Coolbox
Solución:
a) Si, la matriz de venta de esta semana es:










=
35
0
40
60
50
20
70
10
12
16
48
88
A
%
5
%
10
%
25
→

→
→










=
35
0
40
60
50
20
70
10
12
16
48
88
A










=
B
b) Luego la matriz de venta de la siguiente semana es:

SOLUCIÓN AL CASO: Tienda Coolbox
Solución
b) Entonces la matriz que representa las ventas totales de las dos
semanas es:










=
+
35
0
40
60
50
20
70
10
12
16
48
88
B
A










+
A + B =

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n”
incógnitas es un conjunto de m igualdades de
la forma

EJEMPLOS
❑ Ejemplos de sistemas lineales

FORMA MATRICIAL DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
⬂
Matriz de coeficientes Matriz columna de
las variables
Matriz columna de
las constantes

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 Y
ORDEN 3
En este caso, trabajaremos en sistemas de 2 y 3 ecuaciones con 2 y
3 variables respectivamente.
5 2 25
2 12
p q
p q
+ =


− =

2 3 4 25
3 12
2 10
x y z
x y z
x y z
+ − =


− + =

 + − =


11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
¿Cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3?
Regla práctica
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 2
A S S
= −
P1
P2
P3
S1
P4
P5
P6
S2
• Si la determinante es igual a cero, se le llama matriz singular
• Si la determinante es diferente de cero se llama matriz regular
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 3X3

Dada la matriz A:
➢Si una fila o una columna de A son ceros,
entonces
➢Si dos filas o dos columnas de A son iguales,
entonces
➢Si dos filas o dos columnas son proporcionales
entonces
➢El determinante del producto es igual al
producto de determinantes:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Dada la matriz A:
➢El determinante de una matriz es igual al
determinante de su transpuesta:
➢Si se multiplica una matriz por un número real,
la matriz queda multiplicado por dicho
número solo una columna o fila (pero solo
una):
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

SISTEMA DE 3 ECUACIONES POR EL MÉTODO DE
CRAMER
⬂Si se tiene 3 ecuaciones:
⬂Se halla el valor de las incógnitas

EJEMPLO
Resolver el sistema lineal, utilizando la regla de
Cramer
▪ Calculamos :
▪ Calculamos las incógnitas

EJEMPLO:
C.S. = {(7; 4; 6]}

COMO RESOLVER UN PROBLEMA APLICATIVO
•Leer detenidamente el problema e identificar las
variables.
•Plantear el sistema de ecuación lineal
•Resolver el sistema de ecuación con los métodos
algebraicos o matriciales
•Interpretar la solución obtenida.

⬂ Los tres locales de Burger Bam venden hamburguesas, papas fritas y
refrescos. Bam I vende 900 hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas
y 750 refrescos diariamente. Bam II vende 1500 hamburguesas diarias y
Bam III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Bam II y
de 825 al día en Bam III. Bam II vende 950 y Bam III vende 800 órdenes
de papas fritas al día.
Escriba una matriz “S” de 3x3 que muestre las ventas diarias de los tres
locales.
Si las hamburguesas cuestan $1,5 c/u, las papas fritas $0,90 por orden y los
refrescos $0,60 cada uno, ¿qué producto muestra los ingresos diarios en
cada uno de los tres locales?
𝒉 𝒑 𝒓
𝑩𝑰
𝑩𝟐
𝑩𝟑
900 600 750
1500 950 900
1150 800 825
.
1,50
0,90
0,60
=

𝟗𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎 𝟕𝟓𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟗𝟓𝟎 𝟗𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟓𝟎 𝟖𝟎𝟎 𝟖𝟐𝟓
.
𝟏, 𝟓𝟎
𝟎, 𝟗𝟎
𝟎, 𝟔𝟎
=
90𝟎. 𝟏, 𝟓𝟎 + 𝟔𝟎𝟎. 𝟎, 𝟗𝟎 + 𝟕𝟓𝟎. 𝟎, 𝟔𝟎
150𝟎. 𝟏, 𝟓𝟎 + 𝟗𝟓𝟎. 𝟎, 𝟗𝟎 + 𝟗𝟎𝟎. 𝟎, 𝟔𝟎
115𝟎. 𝟏, 𝟓𝟎 + 𝟖𝟎𝟎. 𝟎, 𝟗𝟎 + 𝟖𝟐𝟓. 𝟎, 𝟔𝟎
2340
3645
2940

RELACIONES BINARIAS DE ℝ
EN ℝ
Binary Relations

CONTENIDO DE LA SESIÓN
SABERES PREVIOS
(PRE REQUISITOS)
 Par ordenado
 Producto cartesiano
 Plano cartesiano
 Relaciones binarias de R
en R
 Dominio y rango de una
relación
 Gráfica de una relación
lineal y cuadrática
 Aplicaciones
 Conjuntos
 Operaciones con
expresiones
algebraicas
 Números reales
 Operaciones con
números reales.

LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión el
estudiante resuelve ejercicios
y problemas sobre
relaciones binarias en
situaciones relacionadas a la
ingeniería, considerando la
regla que genera la relación
su dominio, rango, y las
gráficas de las relaciones
binarias, de forma ordenada
y correcta.

PAR ORDENADO
 Es un conjunto que contiene dos elementos
denotamos por (𝑎, 𝑏), donde “ 𝑎 ” es llamada la
primera componente (abscisa) y “𝑏 ” la segunda
componente (ordenada).
Ejemplos: (𝟑, 𝟒), (−𝟐, 𝟎)
 Un par ordenado (𝑥, 𝑦) puede ser usado para
mostrar la posición de un punto en un gráfico. En
este caso, el valor " 𝑥 " nos indica la posición
horizontal, mientras que el valor " 𝑦 " su posición
vertical.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
Decimos que dos pares ordenados son iguales si y solo
si sus abscisas y ordenadas coinciden. Es decir,
(𝑎; 𝑏) = (𝑐; 𝑑) ↔ 𝑎 = 𝑐 ˄ 𝑏 = 𝑑
Ejemplo:
Determinar los valores de 𝑥 e 𝑦, si los siguientes pares
ordenados son iguales:
(4 ; 2𝑥 − 10) = (𝑥 − 1 ; 𝑦 + 2)

PRODUCTO CARTESIANO
 Dado dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 arbitrarios, llamaremos
producto cartesiano de 𝐴 𝑦 𝐵 al conjunto de todos
los pares ordenados (𝑎, 𝑏) de tal manera que la
primera componente “𝑎” pertenece al conjunto 𝐴 y
la segunda componente “𝑏” pertenece al conjunto
𝐵.
 Notación: 𝐴𝑥𝐵.
 Debemos tener en cuenta que:
𝐴𝑥𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎𝜖𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}
𝐴𝑥𝐵 ≠ 𝐵𝑥𝐴

PRODUCTO CARTESIANO
Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos finitos, entonces:
Donde 𝑛 𝐴 es el número de elementos del conjunto 𝐴.
Análogamente se define 𝑛(𝐵) y 𝑛(𝐴𝑥𝐵).
Ejemplo:
𝑛 𝐴𝑥𝐵 = 𝑛 𝐴 𝑛(𝐵)

PRODUCTO CARTESIANO: REPRESENTACIÓN
SAGITAL
 Para representar el PRODUCTO CARTESIANO 𝐴 𝑥 𝐵,
podemos utilizar Diagramas Sagitales (de flechas).
Diagrama Sagital del Producto Cartesiano 𝑨 𝒙 𝑩:
2
5
7
4
5
6
B
A
3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2;3 , 2;4 , 2;5 , 2;6
5;3 , 5;4 , 5;5 , 5,6
7;3 , 7;4 , 7;5 , 7;6
A B
 
 
 =  
 
 

Representación geométrica del producto
cartesiano
 Dado los conjuntos 𝐴 = 1, 2, 3 𝑦 𝐵 = {1, 2}, podemos
representar gráficamente el producto cartesiano de
la siguiente manera:
Los puntos azules
representan a cada uno
de los elementos del
producto cartesiano.

EJERCICIO
 Determina el producto cartesiano 𝐴𝑥𝐵 en cada uno
de los siguientes casos:
 1. 𝐴 = 1,2,4,8 , 𝐵 = −1, −2 − 3
1
2
3
4
A
B
-1
-2
-3
AXB= { (1; -1); (1; -2) ; (1; -3)
(2; -1) (2; -2); (2; -3)
(…;…) (…; …); (…; …)
(…;…) (…; …); (…; …)}

2. 𝐴 = 3,5 , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ: 14 < 2𝑥 + 3 < 27}
3
5
A
B

PLANO CARTESIANO
 Un Plano Cartesiano se compone de la intersección de dos
rectas numéricas reales, las cuales se intersecan formando
un ángulo de 90° en el cero de ambas rectas. Este punto
de intersección es llamado el origen de coordenadas.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
I
Cuadrante
II
Cuadrante
III
Cuadrante IV
Cuadrante
Origen
Eje de las
Abscisas
Eje de las
Ordenadas
El Plano cartesiano se
utiliza como sistema
de referencia para
localizar puntos en un
Plano.

EJERCICIOS
 Localiza los siguientes pares ordenados en el
plano cartesiano.
1. 𝐴(2, 3)
2. 𝐵(−2, 4)
3. 𝐶(−3, −2)
4. 𝐷(1, −3)
5. 𝐸(2, 0)
6. 𝐹(0, −1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x

RELACIONES BINARIAS
 Para definir qué es una relación binaria necesitamos
de dos conjuntos: el primero llamado conjunto de
partida (A) y el segundo se le llama conjunto de
llegada (B).
Ejemplo:
Conjunto de partida Conjunto de llegada

RELACIONES BINARIAS
Una relación binaria 𝑅, del conjunto 𝐴 al conjunto 𝐵, es
definida como un subconjunto del producto
cartesiano 𝐴𝑥𝐵.
Se denota como 𝑅: 𝐴 → 𝐵
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
𝐴 = {2, 3, 5, 7} 𝐵 = {1, 2, 5, 8}
Entonces podemos establecer algunas relaciones:
𝑅1 = 2, 1 , 3, 2 , 7, 8
𝑅2 = {(2, 1), (2, 2), (5, 1), (5, 5)}

RELACIONES BINARIAS
Una relación binaria definida sobre un conjunto 𝐴 es un
subconjunto del producto cartesiano 𝐴𝑥𝐴.
Se denota por 𝑅 ∶ 𝐴 → 𝐴
Ejemplo:
 ¿Cuáles son los elementos de la relación
anterior?

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA
➢ El dominio de una relación
es el conjunto de todas las
primeras componentes de
los pares ordenados que
definen a la relación.
Notación: 𝑫𝒐𝒎(𝑹)
➢ El rango de una relación,
llamado también imagen, es
el conjunto de las segundas
componentes de los pares
ordenados que definen a la
relación.
Notación: 𝑹𝒂𝒏(𝑹)
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑎 ∈ 𝐴/ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅} Ran(𝑅) = {𝑏  𝐵/ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}

EJEMPLO
Dados los conjuntos:
 𝐴 = 2, 3, 4, 5, 7, 9
 𝐵 = 2, 5, 6, 7, 9, 10
Definimos la relación 𝑅 = {(𝑎, 𝑏)  𝐴𝑥𝐵/ 𝑏 = 𝑎 + 3}.
Construye un diagrama sagital de 𝑅, y encuentra cada uno
de los elementos de esta relación. Además, determina su
cominio y rango.
Solución:
2
3
7
4
5
9
A
2
5
9
6
7
10
B
𝑅 = {(2,5), (3, 6), (4, 7), (7, 10)}
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {2, 3, 4, 7}
𝑅𝑎𝑛(𝑅) = {5, 6, 7, 10}

RELACIONES LINEALES Y
CUADRÁTICAS

RELACION LINEAL
 Las relaciones binarias lineales tienen la forma:
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes, y además, 𝑎 y 𝑏 no se
anulan simultáneamente.
GRÁFICA DE RELACIONES BINARIAS
LINEALES (tabulación)
Construir un plano
cartesiano
Encontrar dos puntos
que pertenezcan a la
recta
Ubicarlos en el plano
cartesiano
Trazar la recta

Grafica 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ: 𝑦 − 2𝑥 = 1
y= 2x + 1
x y = 2x + 1 (x; y)
-1
0
1
x y = 2x + 1 (x; y)
-1 = 2 (-1) + 1 (-1; -1)
0
1
x y = 2x + 1 (x; y)
-1 = 2 (-1) + 1 (-1; -1)
0 = 2 ( 0 ) + 1 (0; 1)
1
x y = 2x + 1 (x; y)
-1 = 2 (-1) + 1 (-1; -1)
0 = 2 ( 0 ) + 1 (0; 1)
1 = 2 ( 1 ) + 1 (1; 3)
x
y
x
y
x
y

OBSERVACIONES
 
( , ) / 4
Sea R x y RxR x
=  =
 
( , ) / 3
Sea R x y RxR y
=  = −

RELACIÓN BINARIA CUADRÁTICA
Las relaciones binarias cuadráticas, tienen la siguiente
forma: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ/𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , donde
𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes y 𝑎 ≠ 0
Características de la relación cuadrática
Si 𝑎 > 0 , es cóncava hacia arriba. Si 𝑎 < 0, es cóncava hacia abajo.
2) El valor de 𝒂, nos da el sentido de la concavidad.
7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
𝑎 > 0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
𝑎 < 0
1) La gráfica es una parábola.

RELACIÓN BINARIA CUADRÁTICA
 Dada la relación cuadrática
𝑹 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝒙ℝ/𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
 Vértice de la gráfica de la relación cuadrática:
𝑽(𝒉, 𝒌)
 El dominio de la relación 𝑹 está dado por
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = ℝ
Para hallar el rango se sugiere trazar
previamente la gráfica de la relación.
Donde 𝒉 = −
𝒃
𝒂
, y el valor de 𝒌 se obtiene reemplazando
ℎ en la ecuación cuadrática

Grafica la relación 𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑥ℝ: 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥 − 3
Luego calcula su dominio y rango
x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 (x; y)
-4
-3
-2 (-2 ; -7)
-1
0
RESOLUCIÓN a =1 Coeficiente cuadrático
Del enunciado:
Luego, calculamos h:
b=4 Coeficiente lineal
a
b
h
2
−
=
2
)
1
(
2
4
−
=
−
=
h
3
)
2
(
4
)
2
( 2
−
−
+
−
=
k
Luego, calculamos k:
𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3
3
8
4 −
−
=
k
7
−
=
k )
7
;
2
( −
−
V
x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 (x; y)
-4 =(-4)2 + 4(-4) - 3 (-4 ; -3)
-3
-2 (-2 ; -7)
-1
0
x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 (x; y)
-4 =(-4)2 + 4(-4) - 3 (-4 ; -3)
-3 =(-3)2 + 4(-3) - 3 (-3; -6)
-2 (-2 ; -7)
-1
0
x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 (x; y)
-4 =(-4)2 + 4(-4) - 3 (-4 ; -3)
-3 =(-3)2 + 4(-3) - 3 (-3; -6)
-2 (-2 ; -7)
-1 =(-1)2 + 4(-1) - 3 (-1; -6)
0
x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 (x; y)
-4 =(-4)2 + 4(-4) - 3 (-4 ; -3)
-3 =(-3)2 + 4(-3) - 3 (-3; -6)
-2 (-2 ; -7)
-1 =(-1)2 + 4(-1) - 3 (-1; -6)
0 (0; -3)

x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 (x; y)
-4 =(-4)2 + 4(-4) - 3 (-4 ; -3)
-3 =(-3)2 + 4(-3) - 3 (-3; -6)
-2 (-2 ; -7)
-1 =(-1)2 + 4(-1) - 3 (-1; -6)
0 (0; -3)
− − − − − − −        
−
−
−
−
−
−
−







x
y
− − − − − − −        
−
−
−
−
−
−
−







x
y
− − − − − − −        
−
−
−
−
−
−
−







x
y
Dom (R)= 𝑥
Ran (R)= 𝑦 [−7; [

Halle el dom, rango y grafique las relaciones
𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝑇𝐴𝐿𝐿𝐸𝑅 02: 8; 𝑎 − R = {(x, y) ∈ RxR / y = x2 − 6x + 10 ,
x ∈ [1,6]}
RESOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO
a =1 Coeficiente cuadrático
Del enunciado:
Luego, calculamos h:
b= - 6 Coeficiente lineal
a
b
h
2
−
= 3
)
1
(
2
)
6
(
=
−
−
=
h
Luego, calculamos k:
y = x2 − 6x + 10 y = (3)2−6 3 + 10
y= 1
x 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 (x; y)
1 =(1)2 - 6 (1) +10 (1; 5)
3 (3 ; 1)
6 =(6)2 – 6 (6)+10 (6; 10)

TRABAJO GRUPAL
TRABAJO DE CAMPO SEMANA 1

CONCLUSIONES
DIAPOSITIVA N° 69
 ¿Qué tipos de matrices
existen?
 ¿Cómo aprendieron la
teoría de matrices?
 ¿Qué dificultades tuvieron
para aprender este tema?
 ¿Qué aplicaciones de
matrices encuentras en la
vida cotidiana?
 ¿Qué he aprendido en
esta sesión?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DIAPOSITIVA N° 70
1. Ayres Frank.
Matrices: Teoría y Problemas.
Código 512.9434 AYRE
2. STEWART, James, REDLIN, Lothar y
WATSON, Saleem.
Precálculo, Matemáticas para el
cálculo, 6ª edición. México D.F.
2012.
3. Grossman Stanley.
Álgebra Lineal con Aplicaciones.
Código 512.5 GROS.

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