Este documento presenta la unidad 1 de pre-cálculo sobre funciones. Incluye los objetivos de analizar las propiedades de una función a través de su representación analítica y gráfica. Cubre temas como definición, dominio y rango, elementos de gráficos, operaciones con funciones e inversas. Los objetivos específicos son determinar si un par ordenado o diagrama de flechas representa una función, y usar la prueba de línea vertical para identificar funciones en gráficos.

1. Precálculo
ISC -2022B

2. Unidad 1
Funciones,
propiedades y
gráficas
Bonjour
à tous

3. Objetivo: Analizar las propiedades de una función a través de su
representación analítica y gráfica con la asistencia de software
matemático, para la resolución de problemas tipo.
Temas:
1.Definición.
2.Dominio y Rango.
3.Elementos de gráficos.
4.Operaciones con funciones.
5.Inversas.

4. Objetivos específicos.
Al final de esta presentación, se espera que:
1. determinar si un par ordenado o un diagrama de flechas
representa o no una función;
2. decir si una tabla de valores o una ecuación es una función
o una relación; y
3. usar la prueba de línea vertical para saber si un gráfico es
una función o una mera relación.

5. Introducción
• En matemáticas, las funciones muestran la forma en que una variable
está relacionada con otra variable.
• En la vida real las funciones se usan para calcular valores, simular
procesos y descubrir relaciones.
• Por ejemplo, se puede modelar la variación de inscripciones de
alumnos en educación media y calcular el año en que alcanzará cierto
número. Ese cálculo se puede usar para planear medidas a fin de
satisfacer necesidades futuras, como contratar más profesores y
modificar la infraestructura

6. Numerosos fenómenos que ocurren todos los días comprenden
dos cantidades que están relacionadas entre sí por alguna regla
de correspondencia. El término matemático para esa regla de
correspondencia es relación. En matemáticas, es frecuente que
las relaciones se representen con ecuaciones y fórmulas
matemáticas. Por ejemplo, el interés simple I ganado por $1,000
en un año está relacionado con la tasa de interés anual r
mediante la fórmula I = 1000 r.

7. Definición de función.
Una función es una relación en la que cada posible valor de entrada conduce
exactamente a un valor de salida. Decimos "la salida es una función de la entrada".
Los valores de entrada componen el dominio y los valores de salida componen el
rango

8. Características de una función del conjunto A al conjunto B
1. Cada elemento de A debe relacionarse con un elemento de B.
2. Algunos elementos de B pueden no relacionarse con algún elemento
de A.
3. Dos o más elementos de A pueden relacionarse con el mismo
elemento de B.
4. Un elemento de A (el ) no puede relacionarse con dos elementos
diferentes de B.

9. Determinar si las listas de precios de menú son funciones
El menú de la cafetería, que se muestra en la figura, consta de
artículos y sus precios.
a) ¿Es el precio una función del artículo?
b) ¿Es el artículo una función del precio?

10. Uso de la notación de funciones
Una vez que determinamos que una relación es una función,
necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para que
podamos entenderlas y usarlas, y a veces también para que podamos
programarlas en computadoras. Hay varias formas de representar
funciones.
Una notación de función estándar es una representación que facilita el
trabajo con funciones.
Para representar "la altura es una función de la edad", comenzamos
identificando las variables descriptivas h para la altura y a para la edad.
Las letras f, g y h se usan a menudo para representar funciones al igual
que usamos x, y y z para representar números y A, B y C para
representar conjuntos.
h es f de a Nombramos la función f; la altura es una función de la edad.
h = f(a) Usamos paréntesis para indicar la entrada de la función.
f(a) Nombramos la función f; la expresión se lee como "f de a".

11. Notación de funciones
La notación y = f(x) define una función denominada f. Esto se lee
como "y es una función de x". La letra x representa el valor de
entrada o variable independiente. La letra y, o f(x), representa el
valor de salida, o variable dependiente.
Ejemplo
Utilizar la notación de función para representar una función cuya
entrada es el nombre de un mes y la salida es el número de días de
ese mes. Supongamos que el dominio no incluye años bisiestos.
Solución
Escribimos días = f (mes) o d = f (m).
Por ejemplo, f (marzo) = 31, porque marzo tiene 31 días.
La notación d = f (m) nos recuerda que el número de días, d (la salida),
depende del nombre del mes, m (la entrada).

12. Cuatro formas de representar una función
Para ayudarnos a entender qué es una función, hemos
utilizado diagramas de máquina y flecha. Podemos
describir una función específica de las siguientes cuatro
maneras:
■ verbalmente y (por una descripción en palabras)
■ algebraicamente (mediante una fórmula explícita)
■ visualmente (por una gráfica)
■ numéricamente (por una tabla de valores)

13. Ejemplo: Representación de una función verbal, algebraica,
numérica y gráfica
Sea f(C) la temperatura Fahrenheit correspondiente a la
temperatura Celsius C. (Por lo tanto, f es la función que convierte
las entradas Celsius en salidas Fahrenheit). El cuadro da una
descripción verbal de esta función. Encontrar formas de
representar esta función
a) Algebraicamente (usando una fórmula)
b) Numéricamente (usando una tabla de valores)
c) Visualmente (usando una gráfica)
"Para encontrar el equivalente Fahrenheit de una temperatura Celsius,
multiplique la temperatura Celsius por 9/5, luego agregue 32".

14. Solución
a) La descripción verbal nos dice que primero debemos multiplicar la
entrada C por 9/5 y luego agregar 32 al resultado. Así que obtenemos
f(C) = 9/5 C + 32
b) Utilizamos la fórmula algebraica para F que encontramos en la parte (a)
para construir una tabla de valores
(c) Utilizamos los puntos tabulados en la parte
(b) para ayudarnos a dibujar el gráfico de esta
función en la Figura

15. Funciones y relaciones representadas por diagramas
de flechas
Instrucción: Determinar si o si no cada diagrama representa una
función. Escribir “Función” o “Relación”.
1. Dominio Rango 2. Dominio Rango
5
1
2
3
4
5
-2
1
3
5
7
0
3
5
8
Relación Función

16. 3. Rango 4. Rango
Función
a
b
c
d
1
2
3
4
Función
6
3
0
-3
11
9
7
-3
-6
Dominio Dominio

17. 5. Rango 6. Rango
Función
-1
-5
-7
-9
4
-2
-3
-5
-6
-8
3
5
6
8
Relación
Dominio Dominio

18. 7. Rango 8. Rango
-2
-3
-4
-5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
3
5
6
8
9
Función
Función
Dominio Dominio

19. 2.
Función relación
x y
0 -5
1 -2
2 1
3 4
4 7
5 10
Funciones y relaciones representadas por tablas de
valores
Instrucción: Determinar si cada una de las siguientes tablas de
valores es o no una función. Escribir “Function” o “Mera Relación”.
x y
9 3
4 2
0 0
4 -2
9 -3
1. 3. x y
-2 7
4 6
2 5
-2 4
5 3
6 2
-2 1
relación

20. 4. 5.
Función relación
x y
81 -3
16 -2
1 -1
0 0
1 1
16 2
81 3
x y
-5 7
4 4
2 -3
-2 2
5 1
6 -2
-5 7
6.
Función
x y
-5 -1
4 3
3 5
2 6
-5 -1
1 4

21. Funciones y relaciones representadas por ecuaciones
Instrucción : ¿Cuál de las siguientes ecuaciones son funciones?
¿Cuáles no? Escribir “Función” o “No Función”.
1. y = 2x + 5
2. y = x2 + 5
3𝑥 − 5
5𝑥 − 3
3. y =
4. y = ±
5. y2 = x2 + 7
Función
Función
Función
No Función
No Función

22. 6. y³ + x⁴ = 4
7. y7= x⁴ − 1
8. y⁶ + x7
= 3
9. y⁷ − x2 = 16
10. x⁴ = 5 – y7
Función
Función
No Función
Función
Función

23. FUNCIONES Y RELACIONES REPRESENTADAS POR
GRÁFICAS
Instrucción: Utilice la prueba de línea vertical para determinar
si o si no, cada gráfico representa una función. Escribir “Función” o
“No Función”.
1.
y
x
y
La línea vertical intersecta el
gráfico en dos puntos.
•
La línea vertical intersecta
el gráfico en un punto.
2.
x
No Función
Función
•
•

24. 3.
y
Función
x
4.
Función
x
y
5.
No Función
x
6.
y
x
Función
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

25. 7. 8.
9. 10.
y
No función
x
y
Función
x
y
x
y
•
o
o
Función
x
No Función
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

26. Dominio y rango de una relación
x
y
Rango: {y| y ≥k}
o [k, +∞)
Dominio : {x|x ε R}
o (-∞, +∞)
(h,•k)

27. Instrucción : Encuentra el dominio y rango de cada relación.
1. {(-2, 5), (-3, 6), (-4, 6), (-5, 8), (-4, 10)}
Dominio: {-2, -3, -4, -5, -4} = {-5, -4, -3, -2}
Rango: {5, 6, 6, 8, 10} = {5, 6, 8, 10}
2. {(-2, -5), (5, 0), (6, 9), (-7, 9), (8, 9), (-9, -9), (9, 0)}
Dominio : {-2, 5, 6, -7, 8, -9, 9} = {-9, -7, -2, 5, 6, 8, 9}
Rango: {-5, 0, 9, 9, 9, -9, 0} = {-9, -5, 0, 9}
3.
Dominio : {-10, -8, -7, -6, -5, -4, -3}
Rango: {-8, -5, 0, 3, 7, 8}
Y
X
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-10
-8
7
3
8
-5
0

28. Instrucción : Encuentra el dominio y rango de cada relación.
4.
5.
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≥ -4} o [-4, +∞)
Dominio : {x|-4 ≤ x ≤ 4} o [-4, 4]
x
Rango: {y|-2 ≤ y ≤ 2} o [-2, 2]
y
2
1
-1
-2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
x
y
-2 2
-4●(0, -4)

29. Instrucción : Encuentra el dominio y rango de cada relación.
6.
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≤ 2} o (-∞, 2]
7.
Dominio : {x|x ≥ -2} o [-2, +∞)
Rango: {y|y ε R} o (-∞, +∞)
-2
x
-2 2
-4
y
2●(0, 2)
-2
x
-2 2
y
2●(0, 2)
(-2, -3)●
-4
-6

30. Instrucción : Encuentra el dominio y rango de cada relación.
8.
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≥ -6} o [-6, +∞)
9.
Rango: {y|y ≤ -4, y ≥ -2} o (-∞, -4] ᴜ [-2, +∞)
y
x
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
-2 2
(-1, -4)
(-1, -2)
-6
-8
● -4
●-2
y
x
-2
-4
-2 2
-6● (0, -6)

31. Instrucción : Encuentra el dominio y el rango de cada relación.
10.
Dominio : {x|x < 5} o (-∞, 5)
Rango: {y|y ≤ 4} o (-∞, 4]
11.
15
4
Rango: {y|y ≤ − , -2 ≤ y < 4, y ≥ 5} o
4
(-∞, − 15
] ᴜ [-2, 4) ᴜ [5, +∞)
2 4 6
2
4
6
y
x
(5, 3)
o
(4, 4)
2
2
4
6
y
xDominio : {x| x ε R} o (-∞, +∞)
(3, -1)●
-2
o
(3, -5)
-4
-6
-8
-10
𝟏𝟓
4 6
● (4, -2)
(2, −
● 𝟒
)
(6, 5)●
o(6, 4)

32. 12.
Dominio : {x|x ≠ 2} o (-∞, 2) ᴜ (2, +∞)
Rango: {y|y ≠ -4} o (-∞, -4) ᴜ (-4, +∞)
13.
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y < -6, y = -3, y ≥ -1}
or (-∞, -6) ᴜ {-3} ᴜ [-1, +∞)
2 4 6
-2
-4
-6
-8
o(2, -4)
y
x
2 4 6
-2
-4
-6
-8
o(3, -6)
y
x
●(3, -3)
-4 -2
(-2,●-1)
(-2, -3)o
Instrucción : Encuentra el dominio y el rango de cada relación.

33. Instrucción : Encuentra el dominio y el rango de cada relación.
14. y + 5 = 0 Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y = -5} o {-5}
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ε R} o (-∞, +∞)
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≤ 0} o (-∞, 0]
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≥ 0} o [0, +∞)
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≥ -4} o [-4, +∞)
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≤ 3} o (-∞, 3]
15. y = 3x − 5
16. y = -2(x + 1)²
17. y = (x − 3)²
18. y = 3x² − 4
19. y = 3 − 2x²

34. Instrucción : Encuentra el dominio y el rango de cada relación.
21. y = x² + 4x + 5
Solución:
h = − b
= −
4
2a 2 1
= -2
k = (-2)² + 4(-2) + 5 = 1
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≥ 1} o [1, +∞)
20. y = -(x + 2)² − 8 Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≤ -8} o (-∞, -8]
22. y = -2x² − 8x + 3
Solución:
h = − b
= − (−8) 8
2a 2 −2 −4
= = -2
k = -2(-2)² − 8(-2) + 3 = -8 + 16 + 3 = 11
Dominio : {x|x ε R} o (-∞, +∞)
Rango: {y|y ≤ 11} o (-∞, 11]

35. Instrucción : Encuentra el dominio y el rango de cada relación.
24. y = 2𝑥 − 5
Solución:
2x − 5 ≥ 0
2x ≥ 5
x ≥ 5
2
2 2
Dominio : {x|x ≥ 5
} o [5
, +∞)
Rango: {y|y ≥ 0} or [0, +∞)
23. y = 2x³ − 3x + 7 Dominio : {x|x ε R} or (-∞, +∞)
Rango: {y|y ε R} or (-∞, +∞)
3 − 4𝑥
25. y = -
Solución:
3 − 4x ≥ 0
-4x ≥ -3
x ≤ 3
4
4 4
Dominio : {x|x ≤ 3
} o (-∞, 3
]
Rango: {y|y ≤ 0} o (-∞, 0]

36. Instrucción : Encuentra el dominio y rango de cada relación.
27. y = 𝑥2 − 4
Solución:
𝑥2 − 4 = 0
𝑥2 = 4
x = ± 4
x = ± 2
Dominio : {x|-8 ≤ x ≤ 8} or [-8, 8]
Rango: {y|-8 ≤ y ≤ 8} or [-8, 8]
Dominio : {x|x ≤ -2, x ≥ 2} o (-∞, -2] ᴜ [2, +∞)
Rango: {y|y ≥ 0} or [0, +∞)
26. x² + y² − 64 = 0
28. y = - 25 − 9𝑥2
Solución:
25 − 9𝑥2 = 0
- 9𝑥2 = -25
𝑥2 = 25
9
x = ±
25
= ± 5
9 3
Dominio : {x| − 5
≤ x ≤ 5
} o [- 5
, 5
]
3 3 3 3
25 = ± 5
Rango: {y|-5 ≤ y ≤ 0} or [-5, 0]

37. Tarea 1 -funciones

38. 1. {(0, -2), (1, -1), (0, 0), (1, 1), (4, 2)} –No Función
2. {(5, 2), (0, 0), (2, 5), (5, -3)} – Función
3. {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 2), (c, 4)} – No función
4. {(x, 5), (x, -6), (x, 7), (x, 8)} – No función
5. {(8, 0), (7, 0), (0, 0), (-2, 0)} – Función
6. {(3, 2), (3, 1), (3, 0), (3, -1)} –No Función
7. {(-7, 5), (-7, 8), (6, 9), (6, 7)} – No función
8. {(5, 8), (6, 0), (-3, 9), (-3, 8)} –Función
9. {(2, 2), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} –Función
10. {(3, 8), (2, 3), (8, 0), (0, 0)} –Función
A. Instrucción : Indique si cada una de las
siguientes relaciones representa o no una función.
Escribir “Función” o “No función”.

39. B. Instrucción: Identificar si cada uno de los siguientes diagramas de
flechas representa o no una función. Escribir “Función” o “No
Función”.
1. Dominio Rango 2. Dominio Rango 3.Dominio Rango
1
2 5 3 1 2
5 3 2 5
4 9 7 3 10
5 16 17
4. Dominio Rango 5. Dominio Rango 6.Dominio Rango
1 4 1 4 3
2 5 2 6 6 11
3 6 5 10 9
No
función
No
función
No
función
Función
Función
Función

40. 1.
2.
3.
C. Instrucción: Determinar si cada una de las
siguientes tablas de valores es o no una función. Escribir
“Función” or “Mera relación”.
x -1 -2 -3 4 6
y 5 1 8 3 8
x 3 -4 0 -2 -4
y 2 3 -1 -5 6
x 6 4 2 -2 -4
y 1 3 -3 -4 6
Función
Mera
relación
Función

41. 4. x y
7 -1
3 3
-2 5
-4 2
7 3
8 -2
9 -3
5. x y
-4 2
5 4
6 6
-4 2
-2 1
-1 -2
0 -3
6.
x y
2 -4
3 -3
4 -3
5 -2
6 -1
7 0
8 -4
7. x y
-1 0
2 1
-3 2
4 3
-5 4
5 5
8. x y
5 2
5 0
5 -2
5 -4
5 -6
5 -8
9. x y
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
6 3
10. x y
1 2
2 5
3 4
4 5
3 -3
6 2
Función Función No
Función
Función
No
Función Función
No
Función

42. 1. y = 4 – 2x
2. y = 5 – x³
3. y⁴ = 5x – 2
4. y7+ 3x = 1
5. 2y⁴ = 5x – 4
D. Instrucción: ¿Cuáles de los siguientes gráficos son
funciones? ¿Cuáles no? Escribir “Función” o “No Función”.
6. x2 = y³+ 2
7. y⁶ = 2x – 5
8. y⁴ = 5x – 2
9. x7= 3 – y7
10. y = – 3𝑥 − 5
No
Función
No
Función
Función
Función
Función
No
Función
No
Función
Función
Función
No
Función

43. E. Instrucción: ¿Cuáles de los siguientes gráficos son funciones?
¿Cuáles no? Escribir “Función” o “No Función”.
1. y 2. y 3. y
x x x
4. y 5. y 6. y
x x x
Función
No
Función
No
Función
Función Función
Función

44. 7. y 8. y 9. y
x x x
10. y 11. y 12. y
x x x
13. y 14. y 15. y
x x x
Función Función
No
Función
Función Función Función
Función Función
No
Función

45. https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-1-functions-and-function-notation