Este documento presenta información sobre funciones y relaciones matemáticas. Explica conceptos como producto cartesiano, relaciones, funciones, dominio y recorrido de funciones, tipos de funciones (polinómicas, trascendentes, especiales), y formas de representar funciones. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.

1. POLICÍA NACIONAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA “NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA” DE
IBAGUÉ
ALUMNO: CÓDIGO : GRADO: 11° A-B
ASIGNATURA : ANÀLISIS MATEMÀTICO FECHA :
UNIDAD 1: FUNCIONES PERÍODO : 2
GUÍA DE TRABAJO No. 6
RELACIONES Y FUNCIONES
1. PRODUCTO CARTESIANO: Sean A y B conjuntos no vacíos, definimos A x B como el conjunto de parejas ordenadas
donde el primer elemento pertenece a A y el segundo pertenece a B. Es decir,
A x B = { (a, b) / a ∈ A ˄ b ∈ B}
2. RELACIÓN: Sean A ˄ B conjuntos no vacíos, si R es un subconjunto del producto cartesiano de A ˄ B, es decir, si R
⊆A x B, entonces R es una relación de A en B.
La relación R es una propiedad o característica que cumplen algunas parejas ordenadas del producto cartesiano A x B.
Las relaciones son de mucho valor y uti lidad para describir problemas de la vida diaria, problemas de finanzas
económicas, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y fís ica, de astronomía, de geología, y de cualquier
área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se
relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos. Un caso especial de
relación es la función.
EJEMPLO: Para los conjuntos A = { x ∈ N/ x ≤ 9} y B = { x ∈ Z / 0 ≤x ≤ 9}, s e puede definir una relación R = {(1,1), (1, 7), (2,
3), (2,5), (5,4), (7,9)} donde claramente R ⊆ A x B A R B
El DOMINIO de una relación es un conjunto conformado por las primeras
componentes de las parejas ordenadas en la relación. En este caso D A x B =
{1, 2, 5, 7}; EL RANGO es tá conformado por las segundas componentes, en este
caso RA x B = {1, 3, 4, 5, 7, 9}; el CODIMINIO es CAXB = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
1
2
3. FUNCIÓN:
La relación R, de A en B, es una función si y solamente si, dados (a, b) y (a, c) en R,
necesariamente b = c.
Es de cir, para que una relación sea función se debe cumplir que “la relación no posea
dos parejas que tengan igual la primera componente”.
Una función es una regla de asociación que relaciona un conjunto llamado DOMINIO, con otro conjunto
l lamado CODOMINIO y que no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos
di s tintos del codominio.
La s funciones se denotan como f(x), g(x), h(x), e tc. Y s e leen “f de x”, “g de x”, “h de x”, re s pectivamente.
Donde x corresponde a la variable independiente y f(x) a la variable dependiente. Por ejemplo f(x) = 3x – 1 hace
re fe re ncia a l a función f, que asigna a cada x como e l “triple de x me nos 1”.
Otra forma de notar las funciones se obtiene reemplazando f(x) por y, es decir, f(x) = y = 3x – 1.
3.1. FORMAS DE REPRESENTAR FUNCIONES
A. DIAGRAMA SAGITAL.
B. PLANO CARTESIANO
Las formas de definir una función son:
• di a grama de Ve nn o diagrama sagital
• ta bla
• formula
• gra fi co ca rtesiano
3.2. LAS FUNCIONES PUEDEN SER: Crecientes, decrecientes, pares, impares y periódicas.
1
2
3
4
5
7
9
5
7
3.3. NOTACION FUNCIONAL:
F: X Y Se l e e “f e s la función de X a Y”
{(X; Y) / Y = f (x) } Se l e e “f e s la función cuyos pares ordenados son (X; Y), donde la re gla y = f(x)”
Ya sabemos que según los valores que s e asignen a X (variable independiente), se obtienen los de Y (variable
de pe ndiente), por e so se dice que “Y e stá e n función de X”, y s e e scribe Y = f(X). El conjunto de todos losvalores de X
cons tituye el dominio de la función y los valores que toma Y (resultados) es el rango o recorrido.
3.4. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES:
3.4.1. UNICIDAD:cada valor de la variable independiente tiene que tener una única imagen.
3.4.2. Variabilidad: Se produce entre dos variables
3.4.3. CORRESPONDENCIA: a cada valor de la variable independiente l e corresponde un único valor de la variable
dependiente.
3.5. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y EXPRESIÓN ANALÍTICA
3.5.1 DEFINICIÓN
Se l lama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se designa por D(f) = Dom (f), al conjunto de
valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x).
Esp. Yaneth Posso Castro

2. Pág.02. Guía 6 Cálculo 11° 2014
3.5.2. RESTRICCIONES DEL DOMINIO
El dominio de una función puede quedar restringido por una de las siguientes causas:
• Imposibilidad de re alizar alguna operación.
- Valores que anulen el denominador.
- Raíces de índice par de números negativos.
• Contexto re al del cual se ha e xtraído la función.
• Vol untad de quien propone la función.
3.5.3. CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
• Pol i nomios: D = R
• Coci e ntes : f(x) = : f(x) = n (x) / d(x) : D = R – {x / d(x) = 0}
• Ra íces de índice i mpar: D = R
• Ra íces de índice par: f(x) = √푟(푥) 푛 : D = {x/ r(x) ≥ 0}
3.6. RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
3.6.1 DEFINICIÓN
Se l lama recorrido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de valores de y para los cuales existe x, es decir,
conjunto de valores que toma la variable dependiente “y”.
3.6.2 CÁLCULO DEL RECORRIDO
Para calcular el recorrido de una función, se dibuja y luego s e estudia sobre el eje de ordenadas.
3.7. CLASES DE FUNCIONES:
Las funciones se clasifican de acuerdo a su estructura algebraica y representación.
Exi s ten distintos tipos de funciones, éstas son funciones algebraicas, trascendentes y especiales, así:
- Las funciones algebraicas que s e dividen en polinómicas, reales y radicales .
- Las funciones polinómicas se dividen en: constante, l ineal, idéntica, cuadrática, cúbica y de potencias..
- Las funciones reales son las funciones racionales.
- Las funciones trascendentes que se clasifican en trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
- Las funciones especiales son valor absoluto, parte entera, signo y definición por partes
A su vez, las funciones polinómicas y trascendentes, pueden ser: inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares, impares.
Algunas pueden poseer inversas, otras no.
Las funciones especiales entre las cuales las más conocidas son: valor absoluto y fu nciones a trozos.
TIPO A
Graficar en el plano cartesiano cada una de las siguientes funciones. Encontrar el dominio, rango y los
cortes con el eje Y. Indicar si es creciente, decreciente o constante.
1. F(x) = X – 10 2. 2. S(t) = -0,4t - 3 3. G(X) = - 7 4. T(X) = 4 – 2X
5. . h(x) =
1
4
2
7
TIPO B.
En cada una de las siguientes funciones determine si la parábola abre hacia arriaba o hacia abajo, la
ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice
Las parábolas pueden abrir hacia arriba o hacia abajo. Si a es positivo (a >0), la parábola
abre hacia arriba y si a es negativo (a <0), la parábola abre hacia abajo.
El vértice de una parábola tiene coordenadas
V = (−
푏
2푎
, f(−
푏
2푎
) )
El eje de simetría es la recta vertical, paralela al
eje y; cuya ecuación es X = −
푏
2푎
,
La intersección de la curva con el eje y (en caso
de que lo corte), está dado por la ecuación
Y = C
2
3
X + 4
Esp. Yaneth Posso Castro
6. R(X) = 4X – 1
7. P(X) =
2
7
-
1
4
X
8. F(X) = -2X + 7
9. B(X) =
2
3
+
6
3
X
10.. G(X) = 4X - 3
11.Q(X) = -6X + 2 21.A(X) = 2 – 0,7X 13. H(X) = 5
14. S(T) = √8 3
T – 3
15. F(x) -2x
16. M(X) = √2 17. L(W) = W 18. V(t) = -5 – 7t 19. K(Z) = √2 Z + 7
20. D(t) = t - √3
21. Y = 3X 22. J(X) = 10
23. C(X) =
4
5
X + 1 24. H(W) =
5
2
W + 9
25.. P(T) = 3 T
26.f(x)= 7 + 2x
27. R(M) =
2
3
M 23. h(x)=
푋+3
2
24. S(X)=
X M(X)=
X -
1
4
1. F(x)= 3X2 – 10X - 3 2. H(x) = -8X2 – 2X 3. G(X) = X(X – 3)
4. Y = 3X2 -
1
2
X +
3
2
5. F(X)= -4X(X – 2) - 7 6. Y = ( X – 5)2 7. Y + 3X2 – 5X = 9
8. G(X) = - X2 +
2
3
X + 4
9. Y =
1
5
X2
10. Y = 5X2 11. Y = X2 + 3 12. Y = X2 - 3

3. Pág.03. Guía 6 Cálculo 11° 2014
TIPO C
Trazar la gráfica de las siguientes funciones y halla: el eje de simetría, el vértice y el punto máximo y mínimo.
Identificar el dominio y el rango.
1.F(x)= 2X2+3X - 4 2. Y =
3
3
( X – 3)2 3.F(X) = (X – 5)2 + 1 4. H(X) =- ( X – 1)2 - 7
5. F(X)=5X2- 2
6. Y =
2
3
X2
7. Y = -8X2 – 12X
8. Y -
3
7
X + X2 =
5
2
9. Y =
1
2
X2 – 4X +
15
2
10. Y = 2X2 – 16X + 30 11. Y = - X2 +8X - 15 12. Y = X2 - 3
13. F(X) = 1 – X2 14. H(X) = X2 15. R(X) = 2X2 16. Y = 2X – 5X2
17. D(X) = X(X – 3) 18. Y = 7 – 2X2 19. R(X) = (5 – X)2 20. Y= 5 – X – 3X2
21. F(X) = X2 – 2X - 3 22. G(X) = 20X – ( 2X2
+43)
23. Y = -X2 + 4X - 1 24. M(X) = 3 – 12X + 3X2
25. F(X) =
푋2 −9
2
26. G(X)= 2X2 - 6X 27. 28.
TIPO D
Graficar las siguientes funciones y hallar el dominio y rango de cada una. Indicar el grado del polinomio
1. F(X9= 4X3 – 2X + 6 2. G(X) = X3 - 2
2
3
3. G(X)=
X3 – 2X +
3
3
4. R(X)=2X3 + 4X - 2
5. H(X)=4X4 + 2X2 6. M(X) =X4 – 2X3 7. R(X)=X3 + 3X2 – 4X - 12 8.K(X)=12X4 + 17X3 + 2X2
9.Y =
푋^3
2
10. Y =4X3 11. Y = -2X3 12. Y = X3 - 1
13. M(X) = (X – 1)3 14.G(X)=X3 + 3X2 – 4X -12 15.F(X)=X(X – 2)(X + 1) 16.Y = 5X3 + 2X2 + 3X + 1
17. F(X)=
3푋^5
2
18. G(X)= 2,4 X4
TIPO E
Graficar cada función exponencial, halle el dominio y rango. Identifique a cual clase de función pertenece
1. Y=F(x)= 3X 2. H(x) = 2-X
3. G(X) = (
2
5
)-X
4. Y = (3X )2
5. Y= 22 * 2X 6. Y = 3 X+2 7. Y =
41/XEscriba aquí la ecuación. G(X) = (ퟐ
푿
ퟐ )2
8. Y = (
2
5
)X 9. Y = 2푒푋 10. Y = 푒−푋 11. Y = 2X + 3
12.Y= 2X - 3 13.Y= -3 푒2푋 14. P(X)=푒푋/4 15. Y=
2
3
푒2푋
16.H(X)= 푒0,5푋 17.Y= 3X + 1 18. H(X)= -푒 푋 19. Y= 5X -2
20. Y= 4 -X 21.Y= 3* 2X 22. Y= (0,6) X
23. Y= (
4
3
)X
TIPO F
A)Escriba cada igualdad en forma logarítmica:
2
3
1. 55 = 3125 2. (
) 3 =
8
27
3. 7 – 3 =
1
343
B) Expresa la igualdad dada en forma exponencial:
1. Log 2 128 = 7 2. Log 3( X + 8) = 5 3. Ln ( x – 5) = 4 4. Log 5 3125 = 5
5. Log 10 10000 = 4 6. Log 2 32 = 5 7. 푙표푔 1
2
0,0625 = 4 8. 푙표푔 1
5
625 = - 4
9.Log4 4.096 = 6
C) Encuentre el valor de X:
1. log 8 = 3 2. Log 2 64 = X 3. Log 7 (X – 3) = 5 4. Ln(X2 + X) = ln (2X – 6)
D) Graficar cada función logarítmica y determine su dominio y rango. Identifique la clase de función a la
cual pertenece.
1. F(x)= log2 (X + 4) 2. H(x) = log5(-X) 3. G(X) = 4 + log8 X 4. Y = log 2X
5. F(X)= log X 6. Y = log 5( X +
5)
7. Y = ǀ log x ǀ 8. G(X) = 1 - ln X
9. Y = lnǀX ǀ 10. Y = log ½ X 11. Y = log 2 ( X – 1) 12. Y= log 2 (X – 3)
13. Y = - log 3 (X) 14. 푙표푔 1
2
X =Y
15.H(x) = - ln ( 1 –X) 16. H(x) = 2 ln X
TIPO G
Trazar la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas e identifique: el dominio, rango, amplitud,
período y fase.
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4. Pág.04. Guía 6 Cálculo 11° 2014
1. F(x)= 3 cos (X)
2. H(x) = -
1
2
sen ( X)
3. G(X) = 2 sen( X) 4. Y = 2 cos ( 휋 X)
5. F(X)= -4 cos(2X) 6. Y = 2 sen ( -3X) 7. Y = 4 sen ( 휋X)
8. G(X) = 2 sen (
1
2
X )
9. Y = cos2 X 10. Y = tan ( x + 30°) 11. Y = -3 cos ( X - 휋/ 4) 12. Y= sec (3x)
13. Y = 2 csc X 14. Y= cot (2x) 15. Y = sec ( x – 휋 )
16. Y = 3sec (
푋
3
)
TIPO H
Usando las herramientas para funciones racionales, realiza una aproximación gráfica de las siguientes
funciones. Determina el dominio, el rango, las asíntotas verticales y horizontales, y los cortes con los ejes
푋 +1
푋+4
TIPO I
Determine el dominio y el rango de cada función radical y realice su gráfica.
1. F(X) = - √푋 2. G(X) = √−푋 3. H(X)= √푋 + 2 4. R(X) = √5 − 푋
5. P(X)= - √푋 + 2 6. F(X)=√푋 + 3 + 2 7. Y= √푋 − 1 + 3 8. Y = √3 − 푋
4
9. Q(X)= √3푋 − 2 10. Y= √2푋2 − 2푋 11. Y= √푋2 − 6푋 + 8 12. F(X) = -√3푋2
13. Y = √5푋 − 2 3
14. Y= √푋 5
15. Y= √푋2 − 푋 − 2
16. Y= √
푋−2
3푋−2
17. Y= √푋2 − 3푋 + 2
18. Y= √
푋
푋2−5푋+6
19. Y= √푋2 − 5푋 + 6 20.
TIPO J
Determine el dominio, el rango y trace la gráfica de cada función definida a trozos
2X SI X ≤ -2 4X + 1 SI X ≤ −1
1. F(X) = X – 1 SI -2 < X ≤ 0 3. G(X) = 1 SI -1 < X < 4
3 SI X >0 3X2 SI X ≥ 4
X3 SI X≤ -3 X SI X < 1
2. M(X)= 2X SI -3 < X < 2 4. H(X) = 2X SI 1 ≤ X ≤ 2
푋
2
SI X ≥ 2 0 SI X > 2
3 SI X < -2 1 – X SI X < 1
5. S(X) = 2 – X SI -2 ≤ X < 3 6. F(X) =
X2 SI X ≥ 3 X2+ 3 SI X ≥ 1
푋3
2
SI X < -1
(2 – X) 2 SI X ≥ 2
7) P(X) = X SI ǀ X ǀ < 1 8. S(X) = √2 − 푋 SI X < 2
2X2 SI X ≥ 1
2X SI X < 0 2X + 3 SI X < 3
9) f(x) = X2 SI 0 ≤ X < 2 10. H(x) = X2 SI 0 ≤ X < 4
1 SI X ≥ 2 1 SI X ≥ 2
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1. F(x)=
푋2
3−푋
2. H(x) =
2− 푋2
푋2 +1
3. G(X) =
2− 3푋
푋2 4. Y =
2
푋(푋−1)
5. F(X)=
푋
푋+1
6. Y =
2푋2 −3
푋2 −9
7. P(x)=
푋
푋2 −1
8. G(X) =
5푋
푋2 +1
9. Y =
10. Y =
3푋
푋−5
11. R(x) =
2
푋2 +3푋−4
12. Y = )=
푋3 +8
푋2 +4

5. Pág.065 Guía 6 Cálculo 11° 2014
0 SI X < 0 1 SI X ≥ 0
11. F(X)= 12. S(X)=
- 1 SI X ≥ 0 -1 SI X < 0
TIPO K
Dadas las funciones de valor absoluto, realice la gráfica, determine su dominio y su rango, y clasifíquelas.
1. F(X)= ǀ 4 – Xǀ 2. G(X) = 4 - ǀ Xǀ 3. M(X)= ǀX + 4ǀ 4. Y= ǀ X ǀ + ǀX – 1 ǀ
5. R(X)= ǀX ǀ + 1 6. H(X)= ǀ2X ǀ + 1
7. F(X) = | 푋 + 1
2
|
8. Q(X)= ǀ2X ǀ
9. F(X)= ǀ2X – 1 ǀ 10.R(X)= ǀX3 ǀ 11. K(X)= ǀX3 + 1 ǀ 12. Y= ǀX ǀ - X
13. Y=
ǀ 푋 ǀ
푋
, para x ≠ 0
14. Y= ǀ (X – 1)3 ǀ 15. Y = ǀ2X ǀ + 1 16. Y = ǀX3 ǀ
TIPO L
Trazar las gráficas de las siguientes funciones de parte entera; halle el dominio y el rango.
1. F(X)= ⟦2푥⟧ 2. G(X) = 2⟦푥⟧ 3. M(X)= ⟦푥⟧ + 2 4. Y= ⟦푥 + 2⟧
5. R(X)= 2⟦푥 − 1⟧ 6. H(X)= 2x - ⟦푥⟧ 7. F(X) = x - ⟦푥 + 1⟧ 8. Q(X)= ǀX ǀ - ⟦푥⟧
9. F(X)= ⟦2푥⟧ + ǀX ǀ 10. R(X)= 2 ⟦푥 − 1⟧ 11. K(X)= x - ⟦푥⟧ 12. Y= ⟦푥⟧
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