Guía teórica de análisis matemático 1. Introducción

1. ANÁLISIS MATEMÁTICO I

2. Unidad I: Relaciones y Funciones
 1.1. Números reales, representación en la recta real. Intervalos,
inecuaciones. Valor absoluto, propiedades. Entornos.
Coordenadas cartesianas en el plano. Incrementos y distancia.
La recta, elementos, paralelismo y perpendicularidad.
 1.2. Funciones: definición, dominio e imagen. Dominio
natural. Graficación. Operaciones con funciones. Funciones
pares e impares. Traslación de gráficas. Reflexiones sobre los
ejes cartesianos. La función inversa.
 1.3. Funciones especiales. Funciones algebraicas y
trascendentes: potenciales, racionales, exponenciales,
logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas. Características:
monotonía, acotamiento, periodicidad, ceros.
Representaciones gráficas. Funciones dadas en forma explícita
e implícita.

3. Entorno-Entorno Simétrico
Entorno:
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número real positivo, se
llama entorno de centro a y radio h al intervalo abierto
(a-h , a+h)
  h
a
x
E
x h
,
a 



     
h
a
x
IR
x
:
x
h
a
,
h
a
E h
,
a 







a
a-h a+h
h h

4. a
x1 x2
h h
Ejemplo:
TP 1 Ejercicio 3.a
Entorno-Entorno Simétrico
2
x
x
a 2
1 

Centro del
entorno
2
x
x
h 2
1 

Radio del
entorno

5. Se llama entorno reducido de centro a y radio h a todo entorno simétrico de
centro a y radio h , en el que se excluye el centro.
  h
a
x
0
'
E
x h
,
a 




       
h
a
x
a
x
,
IR
x
:
x
h
a
,
a
a
,
h
a
'
E h
,
a 









   
h
a
x
0
IR
x
:
x
E h
,
a 





a
x1 x2
h h
Entorno reducido
Ejemplo:
TP 1 Ejercicio 3.c

6. Definición:
Decimos que una relación es función si para todo elemento x del Dominio
(condición de existencia), existe un valor y en la Imagen, que es único
para cada x (condición de unicidad).
FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
)
x
(
f
y
B
A
:
f


   y
)
x
(
f
/
B
y
A
x 




f
A de
dominio

de
imagen
conjunto
el
con
coincide
o
incluye
que
conjunto
f
B 
x
x
de
e
dependient
variable
y
nte
independie
variable


Dominio implícito o natural
Es el conjunto más amplio al que pertenece la variable independiente
para el que la variable dependiente y=f(x) es un número real.

7. 1) La función racional exige la condición que el denominador no puede
anularse ya que 1/0 no es un número real, se dice que es indefinido.
2) La función irracional de índice par exige la condición que el radicando sea
positivo y/o cero ya que si el radicando es negativo la solución es un par de
números complejos.
3) La función logarítmica exige la condición que el argumento sea positivo ya
que los logaritmos no están definidos para valores negativos o nulos.
4) La función factorial f(n) = n! tiene Dominio al conjunto de los números
enteros positivos y se define como el producto de los factores naturales
desde n hasta 1.
1
.
2
.
3
).....
2
n
).(
1
n
.(
n
!
n
)
x
(
f
IN
IN
:
f





Ejemplos:
 𝒆𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟔. 𝒂
 𝒆𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟕. 𝒂

8. El Conjunto o Intervalo de Positividad es
aquel intervalo o aquellos intervalos (de la
variable independiente x) en el que o en los que
la función es positiva.
El Conjunto o Intervalo de Negatividad es aquel
intervalo o aquellos intervalos (de la variable
independiente x) en el que o en los que la función
es negativa.
 
0
)
x
(
f
D
x
:
x
C f 




 
0
)
x
(
f
D
x
:
x
C f 




Conjuntos característicos de una función

9. Grafiquemos la función : x
)
x
(
f 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
4
6
8
x
y









0
x
si
x
0
x
si
x
x
)
x
(
f
IR
IR
:
f
Una función es PAR si a elementos opuestos del Dominio le corresponden
imágenes iguales, para todo x y -x que pertenecen al Dominio de la función.
Gráficamente esto significa que la gráfica correspondiente a una función par
es simétrica respecto al eje de ordenadas o eje y.
    )
x
(
f
)
x
(
f
PAR
es
f
:
D
x
D
x f
f 







Simetrías de una gráfica

10. Grafiquemos la función : 3
x
)
x
(
g 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Una función es IMPAR si a elementos opuestos del Dominio le corresponden
imágenes opuestas, para todo x y -x que pertenecen al Dominio de la función.
Gráficamente esto significa que la gráfica correspondiente a una función impar
es simétrica respecto al origen de coordenadas.
   )
x
(
f
)
x
(
f
IMPAR
es
f
:
D
x
D
x f
f 








Simetrías de una gráfica

11. Ejemplos:
 𝒆𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟏𝟑. 𝒂
 𝒆𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟏𝟑. 𝒅
 𝒆𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟏𝟑. 𝒃

12. Intersecciones: Para graficar una función y =f(x) en un
sistema de ejes cartesianos es conveniente hallar los puntos
de intersección de la gráfica con los ejes.
Intersecciones con los ejes
Es el punto donde la gráfica de
la función interseca al eje y. Se
obtiene haciendo x = 0
(siempre que 0 pertenezca al
dominio de la función). Es
decir el punto P(0,f(0))
a es un cero de f si a
pertenece al Domino de la
función y f(a) = 0
Gráficamente los ceros son los
puntos de coordenadas P(a; 0)
donde la curva intercepta al eje
de abscisas.
Ceros
Ordenada
al origen

13. Dada una función real y = f(x), la gráfica
de y = f(x)+c (siendo c un número real)
representa la misma gráfica de f(x)
trasladada c unidades en dirección
vertical.
0 desplazamiento vertical hacia arriba
0 desplazamiento vertical hacia abajo
c
c
 
 
Traslación vertical
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
x
)
x
(
f 
2
x
)
x
(
g 

Transformaciones de una función

14. Dada una función real y = f(x), la
gráfica de y = f(x+c) (siendo c un
número real) representa la misma
gráfica de f(x) trasladada c unidades
en dirección horizontal.
derecha
la
hacia
izquierda
la
hacia




0
c
0
c
Traslación horizontal
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
)
x
ln(
)
x
(
f 
)
3
x
ln(
)
x
(
g 

Transformaciones de una función

15. Dada una función real y = f(x), la
gráfica de y = c f(x) (siendo c un
número real positivo) representa la
misma gráfica de f(x) sólo que las
ordenadas quedan afectadas por el
valor c.
n
contracció
to
alargamien





1
c
0
1
c
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
x
)
x
(
f 
2
x
2
)
x
(
g 
2
x
2
1
)
x
(
h 
Transformaciones de una función
Alargamientos y Contracciones

16. Dada una función real y = f(x) la
gráfica puede reflejarse o poseer
simetría respecto a los ejes de
coordenadas si se cumple:
x
eje
al
respecto
reflexión
y
eje
al
respecto
reflexión






)
x
(
f
y
)
x
(
f
y
Reflexiones
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
x
)
x
(
f 
x
)
x
(
g 

x
)
x
(
h 

Transformaciones de una función

17. f:A B/f(x) x
 
Transformación de Funciones

18. Sean f y g dos funciones reales con dominios
Para todo podemos definir las funciones:
suma f+g, (f+g) (x) = f(x) + g(x)
diferencia f – g, (f-g) (x) = f(x) - g(x)
producto f.g, (f . g) (x) = f(x) . g(x)
Para toda también podemos definir la
función: cociente f/g, mediante la ecuación:
IR
Df  IR
Dg 
g
f D
D
x 

0
)
x
(
g
D
D
x g
f 

 con
 
)
x
(
g
)
x
(
f
x
g
f









Operaciones con funciones
Las funciones también se pueden multiplicar por constantes. Siendo c un número
real, la función g (x) = c f(x) está definida para toda x que pertenece al Df

19. Composición de Funciones
Operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones reales con dominios Df y Dg
La función composición se define:
El dominio de está determinado por los valores x del dominio
de g para los cuales las imágenes de g pertenecen al dominio de f
   
   
)
x
(
f
g
)
x
(
f
g
)
x
(
g
f
)
x
(
g
f




g
f 
 La función
puede definirse si se
cumple que
 La función
puede definirse si se
cumple que
g
f 
f
g D
Im 
f
g 
g
f D
Im 

20. Si una función sólo crece o decrece en su Dominio se llama monótona.
Características de una función
Una función es estrictamente creciente, si los valores de f(x) crecen, cuando
aumentan los de x El Conjunto o Intervalo de Crecimiento es el conjunto
formado por los valores de x que cumplen esta condición. En símbolos:
 
b
a,
en
creciente
nte
estrictame
es
f
Una función es estrictamente decreciente, si los valores de f(x) decrecen,
cuando aumentan los de x .El Conjunto o Intervalo de Decrecimiento es
el conjunto formado por los valores de x que cumplen esta condición. En
símbolos:
 
   
  )
x
(
f
)
x
(
f
x
x
:
b
,
a
x
b
,
a
x 2
1
2
1
2
1 






 
b
a,
en
e
decrecient
nte
estrictame
es
f
 
   
  )
x
(
f
)
x
(
f
x
x
:
b
,
a
x
b
,
a
x 2
1
2
1
2
1 






Función Monótona

21. Características de una función
Una función es acotada cuando su conjunto imagen es un conjunto
acotado, es decir que tiene cota superior e inferior. En símbolos:

acotada
función
una
es
f     k
)
x
(
f
:
D
x
/
IR
k f 



 
Función Acotada
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-2
-1
1
2
x
y
y = cos (x)
y = sec (x)
Ejemplos:

22. Características de una función
El menor número real positivo T que cumple la condición anterior
recibe el nombre de período de la función f.

periódica
función
una
es
f    )
x
(
f
)
T
x
(
f
:
R
T
D
x f 




 
Función Periódica
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-2
-1
1
2
x
y
y = cos (x)
y = sec (x)
Ejemplos:

23. Características de una función
Sea y = f(x) una función biyectiva (uno en uno).
Llamamos función inversa de f y la indicamos f -1 a la función tal que:

biyectiva
función
una
es
f     )
x
(
f
)
x
(
f
x
x
:
D
x
D
x 2
1
2
1
f
2
f
1 







Función Inversa
        x
)
x
(
f
f
:
D
x
x
)
x
(
f
f
:
D
x 1
f
1
f 1 





 

 

 1
f
f Im
D 

 f
f
Im
D 1 

Las gráficas de las funciones reales f y f -1
presentan simetría respecto de la recta identidad:
y = x

24. Función Inversa
Ejemplo: 𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑

25. Funciones especiales
Función Signo
x
x
)
x
(
f 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
x
y
#  
0
IR
Df 

#  
1
,
1
Imf 

# Intersecciones con los ejes
# paridad
# monotonía
# acotación
# positividad
# continuidad
# periodicidad

26. Funciones especiales
Se llama parte entera de un número
real x al menor de los enteros entre
los que está comprendido el número.
En símbolos:
 
x
)
x
(
f 
Función Parte Entera
#  
0
IR
Df 

#  
1
,
1
Imf 

# Intersecciones con los ejes
# paridad
# monotonía
# acotación
# positividad
# continuidad
# periodicidad

27. Funciones especiales
En símbolos:
 
x
x
)
x
(
f 

Función Mantisa
#  
0
IR
Df 

#  
1
,
1
Imf 

# Intersecciones con los ejes
# paridad
# monotonía
# acotación
# positividad
# continuidad
# periodicidad

28. Debemos a Johann Heinrich Lambert (1728-1777) la genialidad de
definir las funciones hiperbólicas.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
e
y
x

Seno hiperbólico
  
2
e
e
x
senh
x
x 


-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
e
y
x


2
e
y
x



-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
e
y
x

2
e
y
x



-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
e
y
x

2
e
y
x



Funciones hiperbólicas

29. Funciones hiperbólicas
Coseno hiperbólico

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
e
y
x

2
e
y
x


 
2
e
e
x
cosh
x
x 


-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2
e
y
x

2
e
y
x



30. Tangente hiperbólica
#   x
x
x
x
e
e
e
e
x
tanh 




-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
 
2
e
e
x
cosh
x
x 


 
2
e
e
x
senh
x
x 


-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
 
2
e
e
x
cosh
x
x 


 
2
e
e
x
senh
x
x 


Funciones hiperbólicas