Presentación de funciones final (fredes)

Presenta: Prof. Fredes Rodríguez Galarza
Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas
Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División
de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la
Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras.
Sufragado por fondos federales
de Título I -A.
1
Prof. Fredes Rodríguez
Prof. Miguel L. Colón

 Saludos
 Dinámica de presentación
 Estándares desarrollados en la presentación
 Taller
 Funciones
 Gráficas de funciones
 Catálogo de gráficas de funciones
 Transformaciones de funciones
 Post Prueba
 Evaluación del taller
2

3

4

3
X
Y
a b
1 1
2 4
3 9 𝑥
𝑦
5

Una relación R, es una regla que asigna a cada
elemento de un conjunto A, algún elemento de un
conjunto B.
g
f
d
a
h
e
c
b
BA
R
a b
1 1
2 4
3 9
1 -1
4 1
6

Una función f, es una regla que asigna a cada elemento x en
un conjunto A, exactamente un elemento, llamado f(x), en
conjunto B. A las funciones se le asignan letras, f(x), g(x), h(x), y,
etc. para representar la variable dependiente. El conjunto A
representa el dominio y el conjunto B representa el alcance.
Las funciones se pueden representar mediante un texto, una
expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica.

a
x



)(
)(
af
xf
BA
f
xxf 50.1)( 
a b
1 1
2 4
3 9
El valor de cierta cantidad
de bolsas de maníes, si el
precio de cada bolsa de
maníes es $1.50.
Ejemplos:
xy 50.1
7

Verifique cuál de los siguientes cumple con la
definición de función. De ser simplemente una
relación, explique.
1) Función/No función
2) Función/No función
X
1
2
3
X
Y
Práctica
8

3) −1, 2 ; 1, 0 ; 3, −5 ; 6, 4 Función/No función
Función/No función
Práctica (continuación)
4) −1, 0 ; 1, 0 ; 3, −5 ; 3, 4
5) 𝑦 = 5𝑥 − 7
6) 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
9

7)
Función / No función
8)
Función / No función
Práctica (continuación)
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
10

Discusión en grupo
11
Trabajar los ejercicios de las páginas 1-3

Práctica:
Clasificar las siguientes relaciones como función o no función.
1) 2) 3)
4) 5)
42 2
 xy
s t
0 2
2 4
3 6
La ganancia de cierto
producto tiene una relación
lineal. Esta es la diferencia
entre los ingresos y los
costos.
g
f
d
a
h
e
c
b
BA
        8,5,0,2,4,3,3,2 
FunciónNo función
Función
Función
No función
12

Práctica:
Clasificar las siguientes relaciones como función o no función.
1) 2) 3)
4) 5)
No función
Función
No función
Función Función
13






BA
321  xy
r t
0 2
2 3
2 4
3 6
La relación entre el
número de bacterias en un
cultivo y el tiempo.
      8,5,4,3,3,2

1. El número de seguro social que se asigna a una persona.
2. La relación de la medida del área de un círculo y su radio.
3. La correspondencia de padre a hijo
4. Los conceptos matemáticos aprendidos en precálculo I.
5. La relación de maestro a estudiante.
14
Función
No Función
Función
No Función
No Función

𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
Gráficas de
funciones
15

Si f es una función con dominio A, entonces la
gráfica de f es el conjunto de pares ordenados.
En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de
los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica
de la ecuación y = f(x).
  Axxfx /)(,
 )(, afa
 )(, xfx
 )(, cfc
a xc
)(xf
)(cf
)(af
)(abscisaA
)()( ordenadaAf
16

La regla de la recta vertical se utiliza para determinar si
una gráfica representa una función.
La regla consiste en trazar rectas verticales a través de
la gráfica, si estas rectas verticales cruzan la gráfica una
sola vez decimos que la gráfica representa una función.
Ejemplos:
La gráfica no representa
una función porque una
de las rectas cruza la
curva más de una vez.
La gráfica representa
una función porque las
rectas cruzan la curva
una sola vez.
La gráfica no representa
una función porque más
de una de las rectas cruza
la curva más de una vez.
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
17

Práctica
18
Trabajar los ejercicios de la página 4

Práctica:
Clasificar las siguientes gráficas de relaciones en función o no función.
Función Función No función
FunciónNo función
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
19

Al determinar el dominio de una función gráficamente, se buscan
todas las coordenadas x que corresponden a puntos en la gráfica. Para
determinar el alcance de una función gráficamente se buscan todas las
coordenadas y que corresponden a puntos en la gráfica.
Dominio = −1, ∞)
Alcance = (−∞, 2
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
20

Dominio =
Alcance =
  ,2
  ,3
Práctica:
Buscar el dominio y el alcance de las siguientes funciones.
Dominio =
Alcance =
 8,
 3,
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
21

 Las funciones se emplean con frecuencia para modelar
cantidades cambiantes.
 Es importante saber dónde crece, decrece o es constante la
gráfica de una función.
Solución:
f es CRECIENTE en:
f es DECRECIENTE en:
f es CONSTANTE en:
   dcba ,, 
 cb,
 ed,
f es CRECIENTE
f es DECRECIENTE
f es CRECIENTE
f es CONSTANTE
22
a b c d e
B
C
)(xfy 
A
ED)(xf
x

f es creciente en un intervalo abierto l, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es decreciente en un intervalo abierto l, si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
f es constante en un intervalo abierto l, si f(x1) = f(x2) siempre que x1 < x2 en l.
creciente decreciente
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
constante
 21, xx  21, xx  21, xx
x1 x2
f
f(x2)
f(x1)
23

Práctica
24
Trabajar el ejercicio de la página 5

Solución:
f es CRECIENTE en:
f es DECRECIENTE en:
f es CONSTANTE en:
   40,2010,0 
 50,40
   70,5020,10 
0 10 20 30 40 50 60 70 x (años)
W (lb)
200
150
100
50
Práctica:
La siguiente gráfica presenta el peso W de una persona de la edad x.
Determine los intervalos dónde la función W es creciente, decreciente y
constante. Explique que representan esos intervalos para la persona.
25

Los puntos donde la pendiente de la curva cambia de dirección se
llaman puntos de cambio. Los puntos donde la pendiente cambia de
negativa a positiva o cambia de positiva a negativa.
Un máximo local de una función f, es un valor f(c)
que es mayor o igual a todos los valores del alcance
de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c)
es mayor o igual a todos los valores del alcance de f,
entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f.
Un mínimo local de una función f, es un valor f(c)
que es menor o igual a todos los valores del alcance
de f en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f(c)
es menor o igual a todos los valores del alcance de f,
entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f.
Los extremos locales también se conocen como
extremos relativos.
máximo local
mínimo local
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
26

Práctica
27

Práctica:
Determine los puntos de cambio de la gráfica que representa la
función f(x).
Identifique los puntos máximos y mininos locales f(x).
Solución:
Puntos de cambio
−5,1 , −4, −3 𝑦 −2,3
Puntos máximos locales
−5,1 , −2,3
Puntos mínimos locales
−4, −3
28
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)

En la gráfica de la izquierda se observa lo siguiente:
Intersección en el eje de y : (0, -1)
Intersección en el eje de x: (-3, 0), (2, 0)
Función positiva f(x)>0 en: (-∞, -3)U(2, ∞ )
Función negativa f(x)<0 en: (-3, 2)
La intersección de la gráfica de una función con el eje de y ocurre cuando el
valor de x es igual a cero. El punto de intersección es (0, y) o (0, f(0)).
La intersección de la gráfica de una función con el eje de x ocurre cuando
y=f(x) es igual a cero. Las intersecciones en el eje de x también se le llama ceros
de la función. El punto de intersección es (x, 0).
Una función es positiva en un intervalo abierto
I si, f(x)>0 para toda x en el intervalo I. Intervalo
donde las y están por arriba del eje de x.
Una función es negativa en un intervalo abierto
I si, f(x)<0 para toda x en el intervalo I. Intervalo
donde las y están por debajo del eje de x.
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
29

Práctica
30

Solución:
Intersección en el eje de y : (0, 1)
Intersección en el eje de x: (-7, 0), (-5, 0), (2, 0), (7, 0)
Función positiva f(x)>0 en: [-8, -7)U(-4, 2 )U(7, 10]
Función negativa f(x)<0 en: (-7, -5)U(-5, -4]U(2, 7)
Práctica:
Determine las intersecciones en los ejes de la función 𝑓(𝑥).
Determine los intervalos donde la gráfica es positiva y negativa.
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
31

Trabajo en grupo
32
Todos los grupos
Trabajar los ejercicios de las páginas 8-9

Práctica:
Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:
Dominio:
Alcance:
Intervalos donde f crece
Intervalos donde f decrece:
Intervalos donde f es constante:
Intervalos donde f(x)>0:
Intervalos donde f(x)<0:
Intersecciones en los ejes:
Puntos de cambio:
Puntos máximos locales:
Puntos mínimos locales:
f(4):
En que valor de x f(x)=-1:
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
−∞, ∞
−∞, ∞
: −∞, −6.5 ⋃ −5, −2.5 ⋃ 4, ∞
−6.5, −5 ⋃ −2.5, 0 ⋃ 2,4
0,2
−7, −6 ⋃ −4, −0.5 ⋃ 5.4, ∞
−∞, −7 ⋃ −6, −4 ⋃ −0.5, 5.4
−7,0 ; −6,0 ; −4,0 ; 0.5,0 ; 5.4,0 ; (0, −1)
−6.5, 1 ; −5, −3 ; −2.5,3
−6.5, 1 ; −2.5, 3
−5, −3
𝑓 4 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑥 ≈ −7.4, −6.2, −4.3, 0,2 , 5.2
33

Práctica:
Para la gráfica de f(x) determine lo siguiente:
Dominio:
Alcance:
Intervalos donde f crece
Intervalos donde f decrece:
Intervalos donde f es constante:
Intervalos donde f(x)>0:
Intervalos donde f(x)<0:
Intersecciones en los ejes:
Puntos de cambio:
Puntos máximos locales:
Puntos mínimos locales:
f(-2):
f(6):
En que valor de x f(x)=-1:
−∞, 11
−6, ∞
: −5, −2 ∪ −2,0
−∞, −5 ∪ 6,11
0,6
∞, −7 ∪ −3,6
−7, −3 ∪ 6,11)
−7,0 ; −3,0 ;(0,6)
−5, −4
no tiene
−5, −4
𝑓 −2 = 3
𝑓 6 = −4
𝑥 ≅ −6.8, −3.2
34
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥)

𝑘
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
Catálogo de
Gráficas de
Funciones
35

Trabajo en grupo
Grupo 1 Hacer ejercicio de la página 10
36

kkkkky
x 21012
valoresdeTabla

La gráfica de la función constante tiene la forma de una recta horizontal. El
modelo de la gráfica de la función constante se obtiene evaluando la función
para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla
para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los
puntos y se unen formando la gráfica.
kfy
kfy
kfy
kfy
kfy





)2(
)1(
)0(
)1(
)2(
valoresalgunosdeEvaluación
 
 
 k
kf(x)
,0:Intercepto
,:Constante
}{:Decrece
}{:Crece
{k}:Alcance
,:Dominio
deticasCaracterís



𝑘
𝑓(𝑥)
𝑥
37

21012
21012
valoresdeTabla


y
x
La gráfica de la función identidad tiene la forma de una recta inclinada. El
modelo de la gráfica de la función identidad se obtiene evaluando la función
2)2()2(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
2)2()2(





fy
fy
fy
fy
fy
 
 
 
 0,0:Intercepto
}{:Constante
}{:Decrece
,:Crece
,:Alcance
,:Dominio
deticasCaracterís



 xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
38

21012
21012
valoresdeTabla
y
x 
La gráfica de la función valor absoluto tiene la forma de una V. El modelo de
la gráfica de valor absoluto se obtiene evaluando la función para algunos
valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la
variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos
y se unen formando la gráfica.
22)2(
11)1(
00)0(
11)1(
22)2(





fy
fy
fy
fy
fy
 
 
 
 
}{:Constante
,0-:Decrece
,0:Crece
0,:Alcance
,:Dominio
deticasCaracterís




 xf(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
39

41014
21012
valoresdeTabla
y
x 
La gráfica de la función cuadrática tiene la forma de parábola. El modelo de
la gráfica de la función cuadrática se obtiene evaluando la función para algunos
valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace una tabla para la
variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se localizan los puntos
y se unen formando la gráfica.
4)2()2(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
4)2()2(
2
2
2
2
2





fy
fy
fy
fy
fy
 
 
 
 
}{:Constante
,0-:Decrece
,0:Crece
0,:Alcance
,:Dominio
deticasCaracterís 2




 xf(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
40

81018
21012
valoresdeTabla


y
x
El modelo de la gráfica de la función cúbica se obtiene evaluando la función
8)2()2(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
8)2()2(
3
3
3
3
3





fy
fy
fy
fy
fy
 
 
 
}{:Constante
{}:Decrece
,-:Crece
,-:Alcance
,:Dominio



 xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
41

El modelo de la gráfica de la función recíproco se obtiene evaluando la función
   
   
   
}{:Intercepto
}{:Constante
,0U0,:Decrece
{}:Crece
,0U0,:Alcance
,0U0,:Dominio
1
deticasCaracterís




x
f(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x -3 -2 -1 1 2 3
Y −1
3
−1
2
-1 1 1
2
1
3
Evaluación de algunos valores
𝑦 = 𝑓 −3 = 1
−3
= −1
3
𝑦 = 𝑓 −2 = 1
−2
= −1
2
𝑦 = 𝑓 −1 = 1
−1
= −1
𝑦 = 𝑓 1 = 1
1
=1
𝑦 = 𝑓 2 = 1
2
= 1
2
𝑦 = 𝑓 3 = 1
3
= 1
3
42

El modelo de la gráfica de la función recíproca cuadrada se obtiene evaluando la
función para algunos valores de x que pertenecen al dominio. Luego se hace
una tabla para la variable x y la variable y que es igual a f(x). Finalmente se
localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
   
 
 
 
}{:Intercepto
}{:Constante
,0:Decrece
0,:Crece
,0:Alcance
,0U0,:Dominio
1





x
f(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x -3 -2 -1 1 2 3
Y 1
9
1
4
1 1 1
4
1
9
𝑦 = 𝑓 −3 = 1
−3 2 = 1
9
𝑦 = 𝑓 −2 = 1
−2 2 = 1
4
𝑦 = 𝑓 −1 = 1
−1 2 = 1
1
=1
𝑦 = 𝑓 1 = 1
1 2 = 1
1
=1
𝑦 = 𝑓 2 = 1
2 2 = 1
4
𝑦 = 𝑓 3 = 1
3 2 = 1
9
43

El modelo de la gráfica de la función raíz cuadrada se obtiene evaluando la
0)(0,:Intercepto
}{:Constante
}{:Decrece
),0(:Crece
),0[:Alcance
),0[:Dominio
deticasCaracterís



 xf(x)𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x 0 1 4 9
Y 0 1 2 3
𝑦 = 𝑓 0 = 0 = 0
𝑦 = 𝑓 1 = 1=1
𝑦 = 𝑓 4 = 4 = 2
𝑦 = 𝑓 9 = 9 = 3
44

El modelo de la gráfica de la función raíz cúbica se obtiene evaluando la función
 
 
 
0)(0,:Intercepto
}{:Constante
}{:Decrece
,-:Crece
,-:Alcance
,-:Dominio



 xf(x)
𝑓(𝑥)
𝑥Tabla de valores
x -8 -1 0 1 8
Y -2 -1 0 1 2
𝑦 = 𝑓 −8 = −8
3
= −2
𝑦 = 𝑓 −1 = −1
3
=-1
𝑦 = 𝑓 0 = 0
3
= 0
𝑦 = 𝑓 1 = 1
3
= 1
𝑦 = 𝑓 8 = 8
3
=2
45

El modelo de la gráfica de la función parte entera se obtiene evaluando la
 
 
 
 0),1,0[y0)(0,:Intercepto
Zb1,bxb:Constante
}{:Decrece
,-:Crece
Z:Alcance
,-:Dominio
deticasCaracterís



 xf(x)
𝑓(𝑥)
𝑥
Tabla de valores
x -2 -1.7 −1.2 -1 0 0.2 0.8 0.9
Y -2 -2 −2 -1 0 0 0 0
𝑦 = 𝑓 −2 = −2 = −2
𝑦 = 𝑓 −1.7 = −1.7 = −2
𝑦 = 𝑓 −1.2 = −1.2 = −2
𝑦 = 𝑓 −1 = −1 = −1
𝑦 = 𝑓 0 = 0 = 0
𝑦 = 𝑓 0.2 = 0.2 = 0
𝑦 = 𝑓 0.8 = 0.8 = 0
𝑦 = 𝑓 0.9 = 0.9 = 0
46

El modelo de la gráfica de la función semicírculo se obtiene evaluando la
 
(a,0)ya)(0,,0)(-a,:sIntercepto
{}:Constante
a)(0,:Decrece
0,a-:Crece
a][0,:Alcance
a][-a,:Dominio
xaf(x) 
Tabla de valores
x -a a 0
Y 0 0 𝑎
𝑦 = 𝑓 −𝑟 = 𝑎2 − −𝑎 2 = 0
𝑦 = 𝑓 𝑟 = 𝑎2 − 𝑎2 = 0
𝑦 = 𝑓 𝑟 = 𝑎2 − 0 2 = 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑥-a a
a
47

El modelo de la gráfica de la función por partes o definida por intervalos se
obtiene evaluando la función para algunos valores de x que pertenecen al
dominio. Luego se hace una tabla para la variable x y la variable y que es igual a
f(x). Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la gráfica.
 
 
 
0)(0,:Intercepto
{}:Constante
0,-:Decrece
),1(1,0:Crece
)[0,:Alcance
,-:Dominio
1si,2
1si,
deticasCaracterís
2











xx
xx
f(x)
42014
21012
valoresdeTabla
y
x 
4)2(2)2(
2)1(2)1(
1)1()1(
0)0()0(
1)1()1(
4)2()2(
2
2
2
2






fy
fy
fy
fy
fy
fy
𝑓(𝑥)
𝑥
48

Transformaciones
de funciones
49

Se estudiara como ciertas transformaciones de
una función afectan su gráfica. Algunas
transformaciones son desplazamiento, reflexión y
expansión.
desplazamiento reflexión expansión
50

Trabajo en grupo
51
Todos los Grupos
Hacer ejercicios de las páginas 15 y 16

x
y
k
y = f(x) + k
y = f(x)
Suponga que k > 0
Para graficar y = f(x) + k, desplace k unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x).
Para graficar y = f(x) – k, desplace k unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x).
x
y
k
y = f(x)
y = f(x) – k
52

Ejemplo:
Use la gráfica f(x) = x2 para bosquejar la gráfica de cada función.
La gráfica de f(x) = x2 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica de
esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de f(x) = x2 + 2 es la gráfica modelo
desplazada dos unidades hacia arriba. Por lo tanto en los
puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos se
obtienen sumando 2 a las y. Los nuevos puntos
son; −1,3 , 0,2 y 1,3 .
La gráfica f(x) = x2 - 2 es la gráfica de la función
modelo desplazada dos unidades hacia abajo. Por lo
tanto en los puntos desplazados cambian las y, los
nuevos puntos se obtienen restando 2 a las y. Los puntos
son; −1, −1 , 0, −2 y 1, −1 .
a) y = f(x) + 2 b) y = f(x) – 2
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑓 𝑥 + 2
𝑦 = 𝑓 𝑥 − 2
53

Práctica:
Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.
a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 b) ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1
𝑥
𝑦
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la gráfica
de esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 es la gráfica modelo
desplazada 1 unidad hacia arriba. Por lo tanto en los
puntos desplazados cambian las y, los nuevos puntos
se obtienen sumando 1 a las y. Los nuevos puntos
son; −1,2 , 0,1 y 1, 2 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 se llamará gráfica
de la función modelo. Los puntos principales de la
gráfica de esta función son; −3,0 , 0,3 y 3,0 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2 − 2 es la gráfica
modelo desplazada 2 unidades hacia abajo. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las y, los nuevos
puntos se obtienen restando 2 a las y. Los nuevos
puntos son; −3, −2 , 0,1 y 3, −2 .
𝑔 𝑥 = 𝑥
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2
54

x
y
y = f(x)
y = f(x – h)
x
y
y = f(x + h)
y = f(x)
hh
Suponga que h > 0.
Para graficar y = f(x – h), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha h
unidades.
Para graficar y = f(x + h), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda h
unidades.
55

ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2 2𝑔(𝑥) = 𝑥 + 4 2
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥2
Ejemplo:
Use la gráfica 𝑓 𝑥 = 𝑥2
para bosquejar la gráfica de cada función.
a) ℎ 𝑥 = 𝑥 − 2 2
b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4 2
La gráfica de f(x) = x2 se llamará gráfica de la
función modelo. Los puntos principales de la grafica de
esta función son; −1,1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 2
es la gráfica modelo
desplazada dos unidades hacia la derecha. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos
puntos se obtienen sumando 2 a las x. Los nuevos
puntos son; 1,1 , 2,0 y 3, 1 .
La gráfica ℎ 𝑥 = 𝑥 + 4 2
es la gráfica de la
función modelo desplazada 4 unidades hacia la
izquierda. Por lo tanto en los puntos desplazados
cambian las x, los nuevos puntos se obtienen restando 4
a las x. Los puntos son; −5, 1 , −4, 0 y −3, 1 .
56

Práctica:
a) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 b) ℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2
ℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 es la gráfica modelo
desplazada 2 unidades hacia la izquierda. Por lo
tanto en los puntos desplazados cambian las x, los
nuevos puntos se obtienen restando 2 a las x. Los
nuevos puntos son; −3,1 , −2, 0 y −1,1 .
La gráfica deℎ 𝑥 = 9 − (𝑥 − 1)2 es la gráfica
modelo desplazada 1 unidades hacia abajo. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las x los nuevos
puntos son; −2,0 , 1,3 y 4, 0 .
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 𝑥
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2
57

Ejemplo:
Bosqueje la gráfica de: 43)(  xxf
(3, 4)
𝑦 = 𝑥 − 3
𝑥
𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 + 4
𝑦 = 𝑥
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 se llamará gráfica de la
de esta función son; 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 es la gráfica modelo
desplazada 3 unidades hacia la derecha. Por lo tanto
en los puntos desplazados cambian las x, los nuevos
puntos son; 3,0 y 4, 1 .
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 + 4 es la gráfica
anterior desplazada 4 unidades hacia arriba. Por lo
tanto en los puntos desplazados cambian las y, los
nuevos puntos se obtienen sumando 4 a las y. Los
nuevos puntos son; 3,4 y 4, 5 .
Otra forma es :
La gráfica de 𝑦 = 𝑥 − 3 + 4 es la gráfica de la función modelo
desplazada 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba. Por lo tanto en
los puntos desplazados cambian las x y las y, los nuevos puntos se obtienen
sumando 3 a todas x y sumando 4 a todas las y. Los nuevos puntos son;
3,4 y 4,5 .
58

x
y
y = f(x)
y = -f(x)
x
y
y = f(-x)
y = f(x)
Para graficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.
Para graficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.
Reflejo vertical Reflejo horizontal
59

Ejemplo:
Use la gráfica 𝑓 𝑥 = 𝑥 para bosquejar la gráfica de cada función.
a) ℎ 𝑥 = − 𝑥 b) 𝑔 𝑥 = −𝑥
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = −𝑥
ℎ 𝑥 = − 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
La gráfica de ℎ 𝑥 = − 𝑥 es la gráfica modelo
reflejada en el eje de x. Por lo tanto en los puntos
reflejados se cambian las y, los nuevos puntos se
obtienen buscando el opuesto de las y. Los nuevos
puntos son; 0,0 y 1, −1 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará gráfica de la
La gráfica de 𝑔 𝑥 = −𝑥 es la gráfica modelo
reflejada en el eje de y. Por lo tanto en los puntos
reflejados se cambian las x, los nuevos puntos se
obtienen buscando el opuesto de las x. Los nuevos
puntos son; 0,0 y −1, 1 .
60

Práctica:
Trace la gráfica de cada función:
3
)(a) xxf  )2()(b)  xxg 12)(c)  xxh
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥3
𝑓 𝑥 = −𝑥3
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑔 𝑥 = −(𝑥 + 2)
𝑥
𝑦
ℎ 𝑥 = − 𝑥 − 2 + 1
𝑦 = 𝑥
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará
gráfica de la función modelo. Los puntos
principales de la gráfica de esta función
son; −1, 1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = − 𝑥 − 2 + 1 es la
gráfica modelo reflejada en el eje de x y
trasladada 2 unidades a la derecha y 1
unidad hacia arriba. Por lo tanto en los
puntos se cambian las x y las y. Las y de los
nuevos puntos se obtienen buscando el
opuesto y sumándole 1., las x se obtienen
sumando 2. Los nuevos puntos son; 1, 0 ,
2, 1 y 3, 0 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 se llamará
gráfica de la función modelo. Los
puntos principales de la gráfica de esta
función son; 0,0 y 1,1 .
La gráfica de 𝑔 𝑥 = − 𝑥 + 2 es
la gráfica modelo reflejada en el eje de y
y trasladada 2 unidades a la izquierda.
Por lo tanto en los puntos se cambian las
x. Las x se obtienen buscando el opuesto
y restando 2. Los nuevos puntos son;
−2, 0 y −3, 1 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 se llamará
gráfica de la función modelo. Los puntos
principales de la gráfica de esta función
son; −1, −1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de𝑓 𝑥 = −𝑥3 es la gráfica
modelo reflejada en el eje de x. Por lo tanto
en los puntos se cambian las y. Las y de los
nuevos puntos se obtienen buscando el
opuesto. Los nuevos puntos son; −1, 1 ,
0, 0 y 1, −1 .
61

Para graficar y = af(x):
Si a >1, expande verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a.
Si 0 <a< 1, comprime verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a.
x
y
x
y
y = af(x)
y = f(x)
y = f(x)
y = af(x)
a > 1 0 < a < 1
62

Ejemplo:
a) 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 b) ℎ 𝑥 = 1
2
9 − (𝑥 − 1)2
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 2 𝑥
ℎ 𝑥 = 1
2
9 − (𝑥 − 1)2
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 es la gráfica modelo
expandida verticalmente por un factor de 2. Por lo
tanto en los puntos expandidos cambian las y, los
nuevos puntos se obtienen multiplicando las y por 2.
Los nuevos puntos son; −1, 2 , 0, 0 y 1, 2 .
La gráfica de ℎ 𝑥 =
1
2
9 − (𝑥 − 1)2 es la gráfica
modelo comprimida verticalmente por un factor de 1
2
desplazada 1 unidad hacia la derecha. Por lo tanto en
los puntos comprimidos y desplazados cambian las x y
las y. Los nuevos puntos se obtienen multiplicando por
1
2
a las y y sumando 1 a las x. Los nuevos puntos
son; −2,0 , 1, 3
2
y 4, 0 .
𝑥
𝑦
Expansión y compresión
𝑔 𝑥 = 𝑥
ℎ 𝑥 = 9 − 𝑥2

La gráfica de y = f(bx):
Si b > 1, comprime la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de
1
𝑏
.
Si 0< b <1, expande la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de
1
𝑏
.
x
y
x
y
y = f(bx)
y = f(x)
y = f(x)
y = f(bx)
b > 1 0 < b < 1

Ejemplo:
a) 𝑔 𝑥 = 2𝑥 b) ℎ 𝑥 = 1
2
𝑥−2
3
+ 1
𝑥
𝑦
𝑔 𝑥 = 2𝑥
La gráfica de 𝑔 𝑥 = 2𝑥 es la gráfica modelo
comprimida horizontalmente por un factor de 2. Por
lo tanto en los puntos comprimidos las x, los nuevos
puntos se obtienen multiplicando las x por 1
2
. Los
nuevos puntos son; −1
2
, 1 , 0, 0 y 1
2
, 1 .
La gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3
se llamará gráfica de la
de esta función son; −1, −1 , 0,0 y 1,1 .
La gráfica de ℎ 𝑥 = 1
2
𝑥−2
3
+ 1 es la gráfica
modelo comprimida horizontalmente por un factor de
1
2
desplazada 2 unidad hacia la derecha y 1 unidad hacia
arriba. Por lo tanto en los puntos comprimidos y
desplazados cambian las x y las y. Los nuevos puntos
se obtienen multiplicando por 2 todas los x y
sumándole 2 a estas. Las y se obtienen sumándole 1 a
las y. Los nuevos puntos son; 0,0 , 2, 1 y 4, 2 .
Expansión y compresión
𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥 = 𝑥3
ℎ 𝑥 = 1
2
𝑥−2
3
+ 1
65

Práctica
66
Todos los grupos
Hacer los ejercicios de las páginas 17-19

1)3()( 3
 xxf
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5–6–7 x
1
2
3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
y
Escribe la función que representa la gráfica
67

1)2(9)( 2
 xxf
1 2 3 4 5 6 7 8–1–2–3–4 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
–3
y
68

62)(  xxf
1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
–3
y
69

42)(  xxf
1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5 x
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
y
70

3
3
1
)( 2
 xxf
1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5 x
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
y
71

42)(  xxf
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5–6–7 x
1
2
3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
y
72

Ejercicio de práctica para
resumir todas
las transformaciones
73
Todos los grupos
Hacer ejercicios de las páginas 20 y 21

Práctica:
Se da la gráfica de f. Bosqueje
las gráficas de las siguientes
funciones.
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 2
c) 𝑦 = 2𝑓(𝑥)
d) 𝑦 = −𝑓 𝑥 + 3
e) 𝑦 = 𝑓 −𝑥
f) 𝑦 = 𝑓 −2𝑥 − 1
Transformaciones de funciones
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
a) b)
c) d)
𝑥
𝑦e) f)
74
𝑥
𝑦

Práctica:
Bosqueje las gráficas de las
siguientes funciones.
a) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − 1 2
+ 1
b) 𝑓 𝑥 = −1
2
16 − 𝑥2 − 2
c) 𝑓 𝑥 =
−1
𝑥+1
− 2
d) 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 − 2
Transformaciones de funciones
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
a) b)
c) d)
75
Recuerde :
Primero se realizan las transformaciones
de reflexión, expansión y compresión. Luego las
transformaciones de desplazamiento.
𝑓(𝑥)
𝑥

Post Prueba
76

Fin
77

Presentación de funciones final (fredes)

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