hija

1. SUCESIONES
PROGRESIONES
ARITMÉTICAS Y
GEOMÉTRICAS
9TH GRADE

2. SUCESIONES
DEFINICIÓN: una sucesión es un conjunto ordenado de números
EJEMPLO:
En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, …
𝑎1 = 2 indica que el primer término
𝑎2 = 7 indica que el segundo término
𝑎3 = 12 indica que el tercer
𝑎3 = 17 es el cuarto término, etc.
El término general de esta sucesión es 𝑎n
𝑎1 = 2
𝑎2 = 7
𝑎3 = 12
𝑎4 =…

3. 9TH GRADE
► La sucesión 5, 10, 15, 20, 25 es
finita. Su primer término es:
𝑎1 = 5 y el último
a5 = 25.
► La sucesión 2, 7, 12, 17, 22, … es
infinita. Su primer término es:
𝑎1 = 2 y no tiene último

4. REGLA DE FORMACIÓN
Las dos reglas fundamentales son:
► Sumar una misma cantidad. En la sucesión 2, 7,
12, 17, 22, 27 … cada término es el anterior más 5.
► Multiplicar por una misma cantidad. En la
sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729… cada término es el
anterior por 3.
9TH GRADE

5. PROGRESIONES
ARITMETICAS
9TH GRADE
Sn=(a1`+a2/2)

6. Una progresión aritmética es una sucesión en la que
cada término, salvo el primero, se obtiene sumando
al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de
la progresión.
Ejemplo:
► La sucesión 7, 10, 13, 16, 19, … es una progresión
aritmética porque cada término se obtiene sumando
3 al anterior. Es decir, d = 3.
El término general de una progresión aritmética es:
an = a1 + (n – 1) · d
donde a1 es el primer término, y d, la diferencia.
9TH GRADE

7. ► Si se conoce el primer término de una
sucesión a1 = 7 y la diferencia d = 3,
entonces podemos conocer el término
general de esa sucesión:
an = 3 + (n – 1) · 5
9TH GRADE

8. PROGRESIONES
ARITMETICAS
En una progresión aritmética, la suma de los términos equidistantes es
igual a la suma de sus extremos:
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = …
EJEMPLO:
► En la progresión aritmética 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 se cumple:
a1 + a8 = 3 + 17 = 20 a2 + a7 = 5 + 15 = 20
a3 + a6 = 7 + 13 = 20 a4 + a5 = 9 + 11 = 20
La suma Sn = a1 + a2 + a3 + … + an de los n primeros términos de una
progresión aritmética es:
Sn = (a1 + an/2 ) · n

9. Ejemplo:
►En la progresión aritmética 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 se
cumple:
S8 = (a1 + a8/2 ) · 8 = 10 · 8 = 80
PROGRESIONES
ARITMETICAS

10. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Ejemplo ► 5, 15, 45, 135, 405, … es una progresión geométrica de razón 3. Cada término se obtiene
multiplicando el anterior por 3. a1 = 5, a2 = 5 · 3 = 15, a3 = 15 · 3 = 45, …
El término general de una progresión geométrica es:
donde a1 es el primer término, y r, la razón.
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, salvo el primero, se obtiene
multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión.
9TH GRADE

11. 9TH GRADE
Ejemplo ► Si se conoce el primer término a1 = 5 y la razón es r = 3, entonces podemos conocer el término
general de esa sucesión:
Y cualquier valor concreto de la sucesión, por ejemplo, el término a5 es:

12. 9TH GRADE
PROGRESIONES ARITMETICAS:
𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑𝒂𝟒
2,5,8,11…..
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
PROGRESIONES GEOMETRICAS:
𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑𝒂𝟒
2,6,18,54…..
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓(𝒏−𝟏)

13. EJEMPLO:
Después de un tiro libre en un partido de futbol, la pelota sale de la cancha y cae
por una pendiente. En el primer segundo recorre 2m, en el segundo 9m y en el
tercero 16m y así sucesivamente, ¿Cuántos metros recorrerá la pelota al octavo
segundo?
9TH GRADE
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎8
2 ,9, 16….
𝑎8 =¿ ?
𝑎1 = 2
n=8
d=9-2=7
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
𝒂𝟖 = 𝟐 + 𝟖 − 𝟏 𝟕
𝒂𝟖 = 𝟐 + 𝟕 𝟕
𝒂𝟖 = 𝟐 + 𝟒𝟗
𝒂𝟖 = 𝟓𝟏

14. EJEMPLO:
Al soltar un péndulo se toman mediciones de la altura, en centímetros, en
diferentes posiciones de cada oscilación como se muestra en la progresión: 1280,
640,320,…..¿Que altura tendrá el péndulo en su séptima oscilación?
9TH GRADE
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎7
1280,640,320….
𝑎7=¿ ?
𝑎1 = 1280
n=7
r=640/1280=1/2
𝒂𝟕 = 𝟏𝟐𝟖𝟎 𝟏/𝟐(𝟕−𝟏)
𝒂𝟕 = 𝟏𝟐𝟖𝟎 𝟏/𝟐(𝟔)
𝒂𝟕 =
𝟏𝟐𝟖𝟎
𝟔𝟒
𝒂𝟕 = 𝟐𝟎

15. ECUACIONES
LOGARÍTMICAS
9TH GRADE

16. DEFINICIÓN: Se denomina logaritmo en base a de un número b,
a número c al que hay que elevar a para obtener el
resultado. Esto puede escribirse como:

17. SUCESIONES
EJEMPLO:
Hallar el logaritmo en base 3 de 81
log3 81 = 𝑥
3𝑥
= 81
3𝑥
= 34
𝑥 = 4

18. PROPIEDADES DE LOS
LOGARITMOSS
1) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.
log a ( b ⋅ c ) = log b + log c
2) El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.
log a (
𝑏
𝑐
) = log a b – log a c
3 ) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base de la potencia.
log a 𝑏𝑛
= n ∙ log a b
4) Cambio de base en los logaritmos.
Log a b =
log 𝑐 𝑏
log 𝑐 𝑎
5) En cualquier base:
a) log a 1 = 0 ya que 𝑎0
= 1 para cualquier valor de a .
b) log a = 1 ya que 𝑎1
= a para cualquier valor de a .

19. DEMOSTRACIÓN DE LAS PROPIEDADES
9TH GRADE
1) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.
2) El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
3 ) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base de la potencia.

20. 9TH GRADE
6) Cuando la base y el argumento son iguales, es decir, son el mismo número, entonces, el resultado
será siempre la unidad.
5) El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
7) Cambio de base en los logaritmos.

21. EJEMPLOS:
Ley del producto
El logaritmo de un producto puede ser escrito como la suma de los logaritmos de los factores
individuales:
Solución
Usando la ley del producto de logaritmos, tenemos:
log4(8)+log4(8)=log4(8×8)
=log4(64)
Ahora, podemos escribir al logaritmo en su forma exponencial para obtener el exponente:
64=43
Entonces, la respuesta es 3.