Este documento presenta un proyecto de aula sobre la formulación estratégica de problemas. En las primeras dos lecciones se introducen conceptos clave como las características de los problemas estructurados y no estructurados, así como el procedimiento para resolver problemas de manera ordenada. Luego, las siguientes unidades abordan diferentes tipos de problemas relacionados con variables, relaciones, tablas y diagramas, mostrando estrategias para representar y resolver cada tipo de problema. El proyecto concluye reforzando los conocimientos adquiridos a través de ejercic

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
FORMULACIÓN ESTRATÉGICA DE PROBLEMAS
PROYECTO DE AULA
LILIBETH ELIZABETH CHICA NAVAS
2012
RIOBAMBA

2. 2
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
UNIDAD DE NIVELACIÓN
CICLO DE NIVELACIÓN: SEPTIEMBRE 2012 / FEBRERO 2013
MÓDULO INTRODUCCIÓN A LA COMUNICACIÓN CIENTIFICA:
FORMULACIÓN ESTRATÉGICA DE PROBLEMAS
1.- DATOS INFORMATIVOS:
- NOMBRES Y APELLIDOS: Lilibeth Elizabeth Chica Navas
- DIRECCIÓN DOMICILIARIA: Av. Jaime Roldós Aguilera Mz.K Lt.11
- TELÉFONO: 0959100936
- MAIL: lilibethforever@hotmail.com
- FECHA: 14 de Noviembre del 2012
Riobamba - Ecuador

3. ÍNDICE
PRÓLOGO................................................................................................................4
INTRODUCCIÓN………………………………………………………..........................5
AGRADECIMIENTO…………………………………………………............................6
DEDICATORIA………………………………………………………..………………...7
3
JUSTIFICACIÓN……………………………………………………..............................8
I INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMA...........................................9
Lección 1: Características de los problemas………………….….............................9
Problemas Estructurados…………………………………………….…........................9
Problemas No Estructurados………………...……………………...............................9
Variables…………………………………………………………….……………………10
Lección 2: Procedimiento para la solución de Problemas……….…………………12
Procedimiento para resolver un problema………………………….…………………12
II PROBLEMAS DE RELACIONESCON UNA VARIABLE...……........................14
Lección 3: Problemas de Relaciones Parte -Todo y Familiares…........................14
Relaciones Parte- Todo……………………………………………….........................14
Relaciones Familiares…………………………………………………........................14
Lección 4: Problemas sobre relaciones de orden……………………………..…...18
Representación en una sola dimensión…………………...………….......................18
Casos Especiales…………………………………………………………………...18 -19
Estrategia de postergación……………………………………………………………..20
III PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES……………………..21
Lección 5: Problemas de tablas numéricas…………………………………….……21
Tablas numéricas………………………………………………………………………..21

4. Tablas numéricas con ceros……………………………………………......................22
Lección 6: Problemas de tablas lógicas……………………………………………...24
Estrategia de representación en dos dimensiones…………………………………..24
Lección 7: Problemas de tablas conceptuales……………………………...……….26
Estrategia de representación en dos dimensiones…………………………………..26
4
IV PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS…………………………28
Lección 8: Problemas de simulación concreta y abstracta…………………………28
Lección 9: Problemas con diagramas de flujo y de intercambio…………………..30
Estrategia de representación de diagramas de flujo…………………………………30
Lección 10: Problemas Dinámicos……………………………………………………32
Estrategia Medios – Fines………………………………………………………………32
V SOLUCIÖN POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA…………………………………….35
Lección 11: Problemas de tanteo sistemático por acotación del error……………35
Estrategia binaria para el tanteo sistemático…………………………………………35
Lección 12: Problemas de construcción de soluciones…………………………….37
Estrategia por búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones……………..37
Lección 13: Problemas de búsqueda exhaustiva……………………………………39
Ejercicios de consolidación……………………………………………………………..39
CONCLUSIONES………………………………………………………………………..41
CREATIVIDAD…………………………………………………………………………...42
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………….44

5. PRÓLOGO
Desde niños hemos adquirido por hábito una idea errónea de lo que es darle
solución a problemas, resolviéndolos mecánicamente dejando de lado el análisis
e interpretación necesarios para obtención de resultados precisos y adecuados
dependiendo de la situación o circunstancia en la cual se nos plantee un problema
y la necesidad de darle solución.
La Secretaría Nacional de Educación Superior Ciencia y Tecnología (SENESCYT) 5
inmersa en una cultura visionaria con respecto en el futuro profesional de los y las
estudiantes participantes del Sistema Nacional de Nivelación y Admisión (SNNA)
ha visto la necesidad de cambiar este hábito erróneo, incluyendo en la malla
curricular de estudio de los y las jóvenes la asignatura de Formulación Estratégica
de Problemas.
Dicha asignatura es mucho más que darle una solución numérica a problemas
matemáticos, esel planteamiento de estrategias con sustentación lógica necesaria
para formular una respuesta, aprovechando cada uno de los recursos
proporcionados, y dando seguimiento a todos los pasos, requisito indispensable
para la solución de un problema.
No solo se busca la solución de problemas matemáticos, sino de cualquier tipo de
problemas que necesiten solución. El éxito en la obtención de resultados de cada
uno de los problemas está en la creatividad manifiesta por los estudiantes, en la
solución proporcionada a cada uno de los pasos y la representación gráfica de
dicho problema.
Esta asignatura es de suma importancia para quién la estudia, puesto que ayuda a
que cada uno de los estudiantes tomen conciencia de la importancia que tiene el
análisis dentro de la solución de problemas, y a identificar si todos los datos
proporcionados en el mismo son suficientes o plantean en nosotros la necesidad
de dar búsqueda a otros datos, para el desarrollo, y la obtención de una
respuesta apropiadada dependiente de cada caso.
Es importante saber que la formulación estratégica de problemas no solo está
inmersa día a día en nuestra vida como estudiantes, sino además en nuestro
futuro profesional y porque no decirlo en nuestra vida misma.

6. INTRODUCCIÓN
El presente texto es producto del arduo trabajo desempeñado durante el módulo
de estudio.Lleva plasmado en sus hojas el esfuerzo y constancia de un estudiante
deseoso de aprender.
El módulo de la asignatura “Formulación Estratégica de Problemas” está
comprendido por cinco unidades, cada una compuesta por lecciones que nos
plantean diferentes tipos de problemas, y nos enseñan diversas estrategias para 6
darles solución.
Dentro de su marco teórico se encuentran de forma explícita en todas las
lecciones, una reflexión introductora y conclusiones finales, cada una cuenta con
la explicación y descripción del procedimiento desarrollado para la solución de los
diversos problemas planteados, y proporciona además la exposición de las
estrategias utilizadas con el mismo fin.
Cada una de las diversas estrategias aplicadas tiene su respectiva sustentación
lógica, además de la adecuada interpretación de cada uno de los datos
proporcionados en el planteamiento o formulación del problema.
Si bien es cierto el éxito de la solución del problema se encuentra en la creatividad
y estrategias planteadas en el desarrollo, como también en la lógica de aplicación
con la cual se interprete a cada uno de los datos proporcionados en el
planteamiento de dicho problema.
Los datos que nos proporcionan información con respecto al problema, toman el
nombre de variables, que pueden tomar valores numéricos o características
semánticas.
Dichos valores toman representación en cuadros estadísticos, representación de
relaciones, representación en una sola dimensión, tablas numéricas, tablas lógicas,
tablas conceptuales y diagramas de flujo, necesarios para la interpretación
correcta de cada una de las variables y la comparación entre las mismas, cada
una de dichas representaciones descritas en el presente trabajo.

7. 7
AGRADECIMIENTO
Mi eterna gratitud para quienes me apoyan en todo momento, de
manera especial a mis Maestros y Compañeros testigos de triunfos y
fracasos.

8. 8
DEDICATORIA
Ha transcurrido un mes de constante estudio y sacrificio para alcanzar
la conclusión de este proyecto, que no hubiese sido posible sin el
apoyo de mi madre; para ella dedico este trabajo.

9. JUSTIFICACIÓN
El documento elaborado en donde se compila un resumen de todo el proceso
académico del módulo “Formulación estratégica de problemas” corresponde a un
requisito que el programa de nivelación sugiere para todas las materias por cuanto 9
tiene una valoración de la evaluación final.
Considero que es un gran acierto del programa la elaboración y producción del
proyecto de aula ya que nos permite fortalecer y reforzar los conocimientos
científicos y habilidades intelectuales.
Objetivo primordial de la asignatura. A través de este proceso, reiteramos la
comprensión y reflexión de los diferentes temas estudiados ayudándonos a
cimentar nuestro aprendizaje significativo.
Por otro lado constituye una fuente de consulta permanente en nuestra formación
académica ya que las habilidades y capacidades desarrolladas a través de esta
asignatura respaldan nuestra formación transversal en las diferentes etapas del
trabajo académico que iremos desarrollando en nuestra estancia en esta
prestigiosa universidad.

10. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LECCIÓN 1: CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS
REFLEXIÓN:
Los problemas poseen características que aportan a que la persona que los
resuelve mentalice el problema, dándole facilidad para encontrar posibles
soluciones, por lo tanto en esta unidad aprenderemos a identificar las principales 10
características que tiene un problema, y como podemos ayudarnos mediante las
mismas para su resolución.
CONTENIDO:
PROBLEMA
Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se
plantea una pregunta que debe ser respondida.
ESTRUCTURADOS NO ESTRUCTURADOS
El agregado contiene la El enunciado no contiene toda la
información necesaria y información necesaria, y se
suficiente para resolver requiere que la persona busque y
el problema. agregue la información faltante.
Existe una solución única La búsqueda de la información se
con base a la información encuentra sujeta a la motivación
suministrada. e interés de la persona que
resuelve el problema.
EJEMPLOS:
PROBLEMAS ESTRUCTURADOS
1. Si un celular cuesta 220 Um y el vendedor ofrece a los compradores
un descuento del 10% del precio del teléfono. ¿Cuánto pagan en total
los compradores por la compra del producto?

11. Información:
Valor inicial del producto: 220 Um.
Descuento: 10% del valor inicial.
Pregunta:
¿Cuánto pagan en total los compradores por la compra del producto?
PROBLEMAS NO ESTRUCTURADOS 11
1. ¿Qué debemos hacer para que los estudiantes de Salud 1 no generen
basura en el curso?
Información:
La información se encuentra incompleta puesto que nos dice solamente
quienes generan basura y a qué paralelo pertenecen más no nos
manifiestan cómo generan la basura.
Pregunta:
¿Qué debemos hacer para que los estudiantes de Salud 1 no generen
basura en el curso?
VARIABLE
Es una magnitud que puede tomar valores cualitativos y cuantitativos.
CUANTITATIVAS CUALITATIVAS
Son las que tienen Son las que tienen
valores numéricos. valores semánticos o
conceptuales.
Permiten establecer Llevan a la formación de
relaciones llamadas clases por asociación.
de “orden”.

12. EJEMPLOS:
1. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20cm3 y el mismo
aumenta progresivamente duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen
ocupará al cabo de 15 horas?
Variable: Volumen Inicial Valores: 20cm3
Variable: Intervalo de tiempo Valores: 3 horas
Variable: Tiempo Final Valores: 15 horas
12
2
2. Un terreno mide 6.000m y se desea dividir en dos parcelas, cuyas
dimensiones sean proporcionales a la relación 3: 5
Variable: Área Valores: 6000m2
Variable: Número de partes Valores: 2
Variable: Relación Valores: 3:5
CONCLUSIONES:
Los problemas se clasifican según su planteamiento, si en su estructura nos
proporcionan la información necesaria y suficiente para su resolución son
estructurados, y si no nos proporcionan la información necesaria son no
estructurados.
Las variables son magnitudes que se clasifican en cuantitativas si sus
valores son numéricos y cualitativas si sus valores son semánticos.

13. LECCIÓN 2:
PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DEPROBLEMAS
REFLEXIÓN
Son los distintos pasos que se deben seguir para resolver los problemas de
manera ordenada y obtener resultados con mayor precisión, además estos nos
dan pautas de donde podemos encontrar posibles soluciones para el problema. 13
CONTENIDO
Procedimiento para resolver un problema
Lee cuidadosamente el problema.
Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del
enunciado.
Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución
que puedas a partir de los datos y de la interrogante del
problema.
Aplica la estrategia de solución del problema.
Formula la respuesta del problema.
Verifica el proceso y el producto.
EJEMPLO:
1. Luisa gastó 500 Um en libros y 100 Um en cuadernos. Si tenía
disponibles 800 Um para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto
dinero le queda para el resto de los útiles escolares?
a) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
De una persona que emplea cierta cantidad de dinero en libros y cuadernos
y desea saber cuánto dinero le sobra para comprar útiles escolares.

14. b) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado
Variable: Cantidad de dinero inicial Característica: 800Um
Variable: Primera compraCaracterística: Libros
Variable: Segunda compraCaracterística: Cuadernos
Variable: Valor de la primera compraCaracterística: 500Um
Variable: Valor de la segunda compra Característica: 100Um
Variable: Dinero sobrante de compras Característica: Desconocido
14
c) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que
puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema.
Los libros le costaron más del 50% del dinero inicial o 800Um. Después de
hacer la primera compra le quedó una cantidad menor a la mitad y en la
que invirtió parte en la tercera compra, es decir con el dinero sobrante de
comprar los libros, compró los cuadernos a 100Um.
d) Aplica la estrategia de solución al problema.
100Um 200Um
500Um Libros
Cuadernos Restantes
El dinero sobrante necesario para la compra del resto de útiles se extrae de
la resta del dinero inicial menos la suma del dinero invertido en la primera
compra (500Um) y segunda compra (100Um). Por lo tanto de los 800Um ha
empleado 600Um y le han sobrado 200Um.
800Um - (500Um + 100Um) = 200Um
e) Formula la respuesta del problema.
La cantidad de dinero que le queda para la compra del resto de útiles es
200Um.
CONCLUSIONES
Es importante seguir un procedimiento ordenado para la solución de
problemas, puesto que nos ayuda a extraer el resultado de una manera
eficaz y con menor probabilidad de cometer errores.

15. UNIDAD 2: PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE
LECCIÓN 3:
PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE- TODO Y FAMILIARES
REFLEXIÓN
En esta lección vamos a establecer relaciones o vínculos entre las características 15
de las variables planteadas dentro de los problemas y de las mismas
generaremos estrategias para así obtener posibles soluciones para los problemas.
CONTENIDO
PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE
RELACIONES PARTE-TODO RELACIONES FAMILIARES
Son problemas donde se Se refiere a nexos de parentesco
relacionan partes para formar entre los diferentes componentes
una totalidad deseada. de la familia.
En este tipo de problemas Constituyen un medio útil para
unimos un conjunto de partes desarrollar habilidades del
conocidas para formar pensamiento de alto nivel de
diferentes cantidades y para abstracción.
generar ciertos equilibrios entre
las partes.
EJEMPLOS:
RELACIONES PARTE – TODO
1. La medida de las tres secciones de un lagarto-cabeza, tronco y cola-
son las siguientes: la cabezamide 9 centímetros, la cola mide tanto
como la cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de
las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros mide en
total el lagarto?

16. ¿Cómo se describe el lagarto?
Dividido en tres secciones: cabeza, tronco y cola.
¿Qué datos da el enunciado del problema?
La cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza, más la mitad
del tronco y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y la cola.
¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del 16
cuerpo?
Que la cola mide 9cm más la mitad de la medida del tronco.
Escribe esto en palabras y símbolos:
Medida de la cola= 9cm + ½ del tronco.
¿Y qué se dice del cuerpo?
Que mide las sumas de las medidas de la cabeza y la cola.
Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos:
Medida del tronco = Medida cabeza Medida cola
Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola
Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:
Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo
Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo
Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:
Medida del tronco
Medida del medio tronco 18 cm
¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?
Que el medio tronco equivale a 18cm y el tronco equivale a 36cm.

17. Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el
esquema que sigue.
ColaTroncoCabeza
27 cm 36 cm 9 cm
En total mide 72 cm.
¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el 17
problema?
Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas.
Representamos las cantidades en el esquema.
RELACIONES FAMILIARES
1. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le
preguntó quién era el visitante y ella le contestó:
“La madre de ese joven es la hija única de mi madre.”
¿Qué relación existe entre la dama y el joven?
Madre- Hijo
¿Qué se plantea en el problema?
La búsqueda de parentesco entre la dama y el joven.
¿A qué personajes se refiere el problema?
Madre(Hija Única) –Joven
¿Qué afirma la dama?
Que la madre de ese joven es la hija única de su madre.
¿Qué significa ser hija única?
Que no tiene hermanos.
Representación:
Madre (Abuela)
Madre (Hija única)
Joven

18. Respuesta:
El joven es el hijo de la dama
2. Antonio dice: “El padre del sobrino de mi tío es mi padre”.
¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?
¿Qué se plantea en el problema?
La relación de parentesco entre el padre del sobrino y el tío. 18
Pregunta:
¿Qué relación existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?
Representación:
Tío (Hermano) Padre
Antonio
Respuesta:
El padre y el tío de Antonio son hermanos.
CONCLUSIONES
En los problemas de relación parte-todo la solución se encuentra cuando
unimos las partes en una totalidad deseada.
En los problemas de relaciones familiares la solución se encuentra
buscando parentesco entre los elementos del problema.

19. LECCIÓN 4: PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN
REFLEXIÓN
En este tipo de problemas la solución se aplica mediante el ordenamiento de los
valores de la variable o sea que se refieren a establecer comparaciones o
relaciones con otros valores de la misma variable.
CONTENIDO 19
REPRESENTACIÓN EN UNA SOLA DIMENSIÓN
La estrategia utilizada permite representar datos correspondientes a una sola
variable o aspecto.
EJEMPLO
1. Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota
gastó menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que
Carlota pero menos que Rafaela, ¿Quién gastó más y quién gastó
menos?
Variable: (Egresos) Cantidad que gastaron.
Pregunta: ¿Quién gastó más y quién gastó menos?
Representación:
Rafaela
Juana
Carlota
María
Respuesta:
Rafaela gastó más y María gastó menos.
CASOS ESPECIALES
Relacionados con el lenguaje, el cuál puede hacer parecer confuso un
problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la redacción del
mismo. En este caso se hace necesario prestar atención especial a la variable,

20. a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el
enunciado.
EJEMPLO:
1. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para
golear. La destreza como goleador de García puede deducirse del
número acumulativo de goles que lleva durante el año, el cuál es
inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica 20
dicho número. García supera a su compañero de equipo como Pedro
que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo
Ramiro. ¿Quién tiene el peor desempeño como goleador? ¿Quién le
sigue en tan pobre actuación?
¿A qué variable se refiere el problema?
Habilidad para golear.
Categoría como mejor goleador.
¿Qué se dice acerca de la variable?
Que pueden deducirse del número total de goles acumulados durante el año.
¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?
Primero establece la variable como la “habilidad goleadora”; luego da como
variable “número de goles” y nos lleva a inferir que a mayor número de goles
se tiene una mayor habilidad goleadora; también, afirma que García supera a
su compañero de equipo Ramiro, también forzándonos a inferir que es en la
habilidad goleadora; por último, nos lleva a inferir que una pobre actuación está
asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son complicaciones que
nos obligan a tener especial atención a la variable, a los signos de puntuación
y al uso de las palabras en el enunciado.
¿Qué debemos hacer ahora que tenemos todo esto claro?
Representación:
Suárez Ramiro García Pedro

21. Respuesta:
Suárez tiene el peor desempeño como goleador y le sigue Ramiro en tan pobre
actuación.
ESTRATEGIA DE POSTERGACIÓN
Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos,
hasta tanto se presente otro dato que complemente la información y nos
21
permita procesarlos.
EJEMPLO:
1. Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más
difícil que el alemán. Piensa además que el italiano en más fácil que el
francés y que el alemán es más difícil que el francés. ¿Cuál es el
idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el más
difícil?
Variable: Grado o nivel de dificultad
Representación:
Italiano Francés Alemán Ruso
Respuesta:
El idioma menos difícil es el italiano, y el idioma más difícil es el ruso.
CONCLUSIONES
Es importante en los problemas de relaciones de orden tomar en cuenta la
jerarquización de mayor a menor de las variables de los problemas.
Cuando tenemos datos que parecen incompletos debemos aplicar la
estrategia de postergación para la solución de problemas.

22. UNIDAD III: PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES
LECCIÓN 5: PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS
REFLEXIÓN
En estos problemas usamos como estrategia para la solución, la construcción de
tablas numéricas.
22
CONTENIDO
TABLAS NUMÉRICAS
Son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable
cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de
que la representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer
totalizaciones (sumas) de columnas y filas.
EJEMPLO
1. Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas
de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones.
Nelly tiene tres blusas y tres faldas, Alicia que tiene 8 prendas de
vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly es igual al de
blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas
tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma
que la de blusas de Nelly ¿Cuántas faldas tiene Estela?
De qué trata el problema:
De las prendas de vestir que tienen las tres señoritas.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántas faldas tiene Estela?
¿Cuál es la variable dependiente?
Prendas de vestir
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombres
Representación:

23. Nombres
Prendas Nelly Estela Alicia Total
Blusas 3 8 4 15
Faldas 3 1 1 5
Pantalones 4 3 3 10
Total 10 12 8 30 23
Respuesta:
Estela tiene solamente una falda.
TABLAS NUMÉRICAS CON CEROS
En este tipo de tablas le damos valor de cero a las celdas que no tiene elementos
o valores asignados. A veces confundimos erróneamente la ausencia de
elementos en una celda con una falta de información; si hay ausencia de
elementos, entonces la información es que son cero elementos.
EJEMPLO:
1. Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez, y García, tienen en total
10 hijos. Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene sólo una hermana y
no tiene hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas.
Con la excepción de María, todos los otros hijos del matrimonio García
son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?
¿De qué trata el problema?
Del número y sexo de los hijos de los matrimonios Pérez, Gómez y García.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántos hijos varones tienen los García?
¿Cuál es la variable dependiente?
Sexo de los hijos

24. ¿Cuáles son las variables independientes?
Familias
Representación:
Familias
Sexo Pérez García Gómez Total
Mujeres 2 2 1 5
Varones 0 1 4 5 24
Total 2 3 5 10
Respuesta:
Los García tienen 4 hijos varones.
CONCLUSIONES:
Los problemas de tablas numéricas consisten en ubicar los valores
numéricos de las variables en tablas para establecer una respectiva
comparación.
En las tablas con ceros se les da valor de cero a las variables que carecen
de valores definidos.

25. LECCIÓN 6: PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS
REFLEXIÓN:
En este tipo de problemas nosotros encontramos la solución en base a la falsedad
y a la veracidad de las relaciones entre las distintas variables que se plantean en
el problema.
25
CONTENIDO:
ESTRATEGIA DE REPRESENTACIÓN EN DOS DIMENSIONES:
TABLAS LÓGICAS
Esta estrategia es aplicada para resolver problemas que tienen dos variables
cualitativas sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la
veracidad o falsedad de relaciones entre las variables cualitativas. La solución se
consigue construyendo una representación tabular llamada “tabla lógica”.
EJEMPLO:
1. Leonel, Justo y Raúl juegan en el equipo de fútbol del Club. Uno juega
de portero, otro de centro campista y el otro de delantero. Se sabe que:
Leonel y el portero festejaron el cumpleaños de Raúl. Leonel no es el
centro campista. ¿Qué posición juega cada uno de los muchachos?
¿De qué trata el problema?
De las posiciones que ocupan los integrantes de un equipo de fútbol.
¿Cuál es la pregunta?
¿Qué posición juegan cada uno de los muchachos?
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombres de los jugadores.
¿Cuál es la relación lógica para construir la tabla?
Nombre- Posición
Representación:

26. Nombres Leonel Justo Raúl
Posición
Portero x  x
Centro Campista x x 
Delantero  x
x
26
Respuesta:
Justo es el portero, Raúl es el centrocampista, Leonel es el delantero .
CONCLUSIONES
La solución de los problemas mediante la estrategia de representación en
dos dimensiones se basa en representar las variables y los datos
proporcionados en el problema en tablas lógicas.
La estrategia de tablas lógicas es de gran utilidad para resolver acertijos
como problemas de la vida real.

27. LECCIÓN 7: PROBLEMAS DE TABLAS CONCEPTUALES
REFLEXIÓN:
Problemas que consisten en la representación de la información del problema y
los datos en tablas conceptuales.
CONTENIDO:
27
ESTRATEGIA DE REPRESENTACIÓN EN DOS DIMENSIONES
TABLAS CONCEPTUALES
Aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas, dos de las
cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se
consigue construyendo una representación tabular llamada” tabla conceptual”
basada exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado. En estos
problemas no se aplica la exclusión mutua.
EJEMPLO:
1. Tres pilotos- Joel, Jaime y Julián- de la línea aérea” El Viaje Feliz” con sede
en Bogotá se turnan las rutas de Dallas, Buenos Aires y Managua. A partir
de la siguiente información se quiere determinar en qué día de la semana
(de los tres días que trabajan, a saber, lunes, miércoles y viernes) viaja
cada piloto a las ciudades antes citadas.
a. Joel los miércoles viaja al centro del continente.
b. Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos.
c. Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto el lunes.
¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
Determinar en que día de la semana viaja cada piloto en las ciudades antes
citadas.
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Nombres de los pilotos, Rutas y días de Horario.
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombres y ciudad
¿Cuál es la variable dependiente?¿Por qué?

28. Días
Representación:
Nombres
Rutas Joel Jaime Julián
Dallas Lunes Miércoles Viernes
Buenos Aires Viernes Lunes Miércoles
28
Managua Miércoles Viernes Lunes
Respuesta:
El Lunes Joel viaja a Dallas, Jame a Buenos Aires, Julián a Managua.
El miércoles Joel viaja a Managua, Jaime a Dallas Julián a Buenos Aires.
El Viernes Joel viaja a Buenos Aires, Jaime a Managua,Julián a Dallas.
CONCLUSIONES:
En este tipo de estrategia no se puede aplicar la estrategia de exclusión
mutua.
Estos problemas requieren de bastante información para su resolución.
En este tipo de estrategia no se necesita el cálculo de cantidades totales y
subtotales.

29. UNIDAD IV: PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS
LECCIÓN 8:
PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA
REFLEXIÓN:
En este tipo de problemas interviene la variable tiempo por lo tanto están en 29
constante cambio o movimiento, es decir no permanecen en una situación
constante.
CONTENIDO:
Es un evento o suceso que experimenta
cambios a medida que transcurre el
tiempo. Por ejemplo: el movimiento de
un auto que se desplaza de un lugar A a
Situación Dinámica un lugar B; el intercambio de dinero y
objetos de una persona que compra y
vende mercancía, etc.
Se basa en una reproducción física
directa de las acciones que se proponen
en el enunciado. También se le conoce
Simulación Concreta con el nombre de puesta en acción.
Es una estrategia para la solución de
problemas dinámicos que se basa en la
elaboración de gráficos, diagramas y
representaciones simbólicas que
permiten visualizar las acciones que se
Simulación Abstracta proponen en el enunciado sin recurrir a
una reproducción física directa.
Ejemplo:
1. Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle
Pichincha; continúa caminando por la calle Chacabuco que es
perpendicular a la Pichincha. ¿Está la persona caminando por una
calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?
¿De qué trata el problema?

30. De una persona que está caminando por las calles.
¿Cuál es la pregunta?
¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle
Carabobo?
¿Cuántas y cuáles variables tenemos en el problema?
Nombre de la calle, Dirección de las calles. 30
Representación:
Carabobo
Chacabuco
Pichincha
Respuesta:
Está caminando por la calle perpendicular a la Carabobo.
CONCLUSIONES:
En estos problemas es importante dar una representación gráfica a los
movimientos o cambios que se dan en la variable del problema, para
obtener más facilidad en su resolución.
Para entender de mejor manera un fenómeno cambiante es importante
poder reconocer e identificar la situación dinámica, simulación concreta
y abstracta.

31. LECCIÓN 9:
PROBLEMAS CON DIAGRAMAS DE FLUJO Y DE INTERCAMBIO
REFLEXIÓN
En este tipo de problemas identificamos el cambio en el valor de la variable si
este aumenta o disminuye.
31
CONTENIDO
ESTRATEGIA DE DIAGRAMAS DE FLUJO
Esta es una estrategia que se basa en la construcción de un esquema o
diagrama que permite mostrar los cambios en la característica de una variable
(incrementos o decrementos) que ocurren en función del tiempo de manera
secuencial.
EJEMPLO
1. Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada se
suben 25; en la siguiente parada bajan 3 y suben 8, en la otra no se
baja nadie y suben 4; en la próxima se bajan 15 y suben 5; luego bajan
8 y se sube 1, y en la última parada no sube nadie y se bajan todos.
¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas
personas quedan en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas
paradas realizó el bus?
¿De qué trata el problema?
Del número de pasajeros que se suben y bajan al bus durante el recorrido.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación?¿Cuántas personas
quedan en el bus después de la tercera parada?¿Cuántas paradas hizo el bus?
Representación:
0 25 30 34 24 17
+25 +8 -3 +4 +5-15 1-8 -17

32. Completa la siguiente tabla:
Pasajeros Pasajeros
# pasajeros # pasajeros
Parada antes de después de
que suben que bajan
parada parada
1 0 +25 0 25
2 25 8 -3 30
32
3 30 +4 0 34
4 34 +5 -15 24
5 24 1 -8 17
6 17 0 -17 0
Respuesta:
¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? 17
¿Cuántas personas quedan en el bus después de la última parada? 34
¿Cuántas paradas realizó el bus? 6
CONCLUSIONES
Para saber si el valor final de la variable es de suma importancia tomar
en cuenta cada uno de los cambios en los valores parciales durante el
transcurso del problema es decir si aumentan o disminuyen.

33. LECCIÓN 10: PROBLEMAS DINÁMICOS
ESTRATEGIA MEDIOS-FINES
REFLEXIÓN:
En este tipo de problema debemos tomar en cuenta los medios con los que
contamos y las estrategias que se pueden aplicar para su resolución.
33
CONTENIDO
Es el medio ambiente con todos los
elementos e interacciones existentes
Sistema donde se plantea la situación.
Conjunto de características que
describen integralmente un objeto,
situación o evento en un instante dado;
Estado al primer estado se le conoce como
“inicial”, al último como “final”, y a los
demás como intermedios.
Conjunto de acciones que definen un
proceso de transformación mediante el
cual se genera un nuevo estado a partir
Operador de uno existente; cada problema puede
tener uno o más operadores que actúan
en forma independiente y uno a la vez.
Es una limitación, condicionamiento o
impedimento existente en el sistema que
Restricción determina la forma de actuar de los
operadores, estableciendo las
características de estos para generar el
paso de un estado a otro.
ESTRATEGIA MEDIO-FINES
Es una estrategia para tratar situaciones dinámicas que consiste en identificar una
secuencia de acciones que transformen el estado inicial o de partida en el estado
final o deseado.
EJEMPLO

34. Dos misioneros y dos caníbales están en un margen de un río que desean
cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen. La capacidad
máxima del bote es de dos personas. Existe una limitación: en un mismo
sitio el número de caníbales no puede exceder al de misioneros porque, si lo
excede, los caníbales se comen los misioneros. ¿Cómo pueden hacer para
cruzar los cuatro el río para seguir su camino?
Sistema:
34
Río con cuatro personas (Dos misioneros y dos caníbales) y un bote.
Estado inicial:
Dos misioneros y dos caníbales están en el margen de un río que desean cruzar.
MMCCb::
Estado final:
Dos misioneros y dos caníbales están el margen opuesto con el bote.
::MMCCb
Operadores:
Cruzar el río con el bote.
¿Cuántas restricciones tenemos en este problema?¿Cuáles son estas
restricciones?
Tenemos una restricción. El número de caníbales no pueden exceder al de
misioneros, porque si no los caníbales se comen a los misioneros.
¿Cómo podemos describir este estado?
MCCb::M
¿Qué posibilidades o alternativas existen para cruzar el río con el operador
tomando en cuenta la restricción de la capacidad del bote?
Que un misionero cruce primero con el caníbal MC::MCb
Que los dos misioneros crucen primero CC::MMb
Que los dos caníbales crucen primero MM::CCb

35. ¿Qué estados aparecen después de ejecutar la primera acción actuando con
las cinco alternativas del operador? Dibuja el diagrama resultante de aplicar
todas las alternativas del operador al estado inicial.
Que el misionero regrese con el bote por el otro misionero MMCb::C
Que el misionero regrese por el otro caníbalMMCb::C
¿Qué ocurre con la alternativa de que un misionero tome el bote y cruce el
río? 35
El otro misionero se quedaría solo con los caníbales y estos se lo comerían.
Construye el diagrama después de las sucesivas aplicaciones del operador.
¿Cómo queda el diagrama?
MMCCb::
MC::MCb
C::MMCb
CbC::MM
::MMCCb
Respuesta:
El misionero cruza con el caníbal, lo deja en la orilla opuesta, regresa por el otro
misionero y lo lleva, los misioneros se quedan en la orilla opuesta y el caníbal
regresa con el bote y lleva a su amigo.
CONCLUSIONES
Este tipo de problemas presentan obstáculos para su resolución
denominados restricciones.
En este tipo de problemas se deben tomar en cuenta el sistema, estado,
operador y restricciones para obtener una estrategia de resolución.

36. UNIDAD V: SOLUCIÓN POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA
LECCIÓN 11:
PROBLEMAS DE TANTEO SISTEMÁTICO POR ACOTACIÓN DEL ERROR
REFLEXIÓN:
En este tipo de problema se resuelven de una manera sistemática y ordenada, la
solución del problema se encuentra implícita dentro del problema. 36
ESTRATEGIA DE TANTEO SISTEMÁTICO POR ACOTACIÓN DEL ERROR
Consiste en definir el rango de todas las soluciones tentativas del problema para
verificar que la respuesta está en él, y luego vamos explorando soluciones
tentativas en el rango hasta encontrar una que no tenga desviación respecto a los
requerimientos expresados en el enunciado del problema.
EJEMPLO
En una máquina de venta de golosinas 12 niños compraron caramelos y
chocolates. Todos los niños compraron solamente una golosina. Los
caramelos valen 2Um y los chocolates 4 Um. ¿Cuántos caramelos y cuantos
chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40Um?
¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?
Leer el problema y sacar información
¿Qué tipos de datos se dan el problema?
Chocolates 4 Um
12 GOLOSINAS 40 Um
Caramelos 2 Um
¿Qué se pide?
Hallar el número de caramelos y chocolates comprados por los niños si gastaron
40Um.
¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones? Haz una tabla con los valores
Chocolates 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Caramelos 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

37. ¿Qué relación puede servir para determinar si una posible respuesta es
correcta? ¿Qué pares de posibles soluciones debemos evaluar para
encontrar la respuesta con el menor esfuerzo?
Los extremos y medio
¿Cuál es la respuesta?
8 chocolates y 4 caramelos.
37
¿Qué estrategias aplicamos en esta práctica?
Acotación del error.
ESTRATEGIA BINARIA PARA EL TANTEO SISTEMÁTICO
Esta estratega es muy efectiva para descartar soluciones tentativas incorrectas.
Número de soluciones tentativas 2 4 6 8 16 32 64 128
Número de evaluaciones para obtener la respuesta 1 2 3 4 5 6 7 8
EJEMPLO
Esta práctica consiste en un juego. Seleccionar dos alumnos. Uno piensa un
número entre 1 y 128 ambos incluidos que lo que va a escribir en un papel
que mantiene guardado. El otro alumno trata de adivinar el número: Para
esto solo puede hacer preguntas cuya respuesta sea un “sí” o un “no”.
Anota el número de preguntas que hizo cada uno de los alumnos que
adivinaba el número. Discutir los resultados.
1 y 72? Sí
1 y 36? No
62? Sí
Respuesta: 62
CONCLUSIONES
Este tipo de problemas no se pueden representar gráficamente por lo que
su solución se produce de manera lógica o construcción de tablas.
Para solucionar este tipo de problemas se debe hacer uso de estrategias.

38. LECCIÓN 12:
PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES
REFLEXIÓN:
Los problemas de construcción de soluciones se resuelven construyendo las
respuestas durante el desarrollo del problema. Es decir las respuestas se
encuentran implícitas en el problema. 38
ESTRATEGIA DE BÚSQUEDA EXHAUSTIVA POR
CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES
Es una estrategia que tiene como objetivo la construcción de respuestas al
problema mediante el desarrollo de procedimientos específicos que dependen de
cada situación.
EJEMPLO
Coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo, de forma tal
que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 15.
¿Cuáles son todas las ternas posibles?
159 168 258 267 294 348 357
¿Cuáles grupos de tres ternas sirven para construir la solución?
492 438
357 951
816 276
¿Cómo quedan las figuras?
4 9 2 4 3 8
3 5 7 9 5 1
8 1 6 2 7 6

39. EJEMPLO 2
Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras A, D
y O para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar
un único valor.
ODA
+ODD
39
DAD
A+D=D A=0
D+D=A D=5
O+O=5 O=2 250+255 = 505
CONCLUSIONES
Este tipo de problemas se resuelven por búsqueda de información en el
enunciado del problema.
Estos problemas se resuelven por el análisis e interpretación de los datos
implícitos del problema.
Es importante para la solución de estos problemas tomar en cuenta la
relación matemática y de cálculo entre las variables.

40. LECCIÓN 13: PROBLEMAS DE BÚSQUEDA EXHAUSTIVA
EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN
REFLEXIÓN
Es importante para cimentar los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de
los problemas de búsqueda exhaustiva, la práctica y ejercicio de los mismos para
que así se conviertan en conocimiento perenne. 40
ESTRATEGIA DE BÚSQUEDA EXHAUSTIVA
La ejecución de esta estrategia generalmente permite establecer no solo una
respuesta, sino que permite visualizar la globalidad de soluciones que se ajustan
al problema.
EJEMPLO
El diagrama está formado por 10 círculos, cada uno de ellos contiene una
letra. A cada letra le corresponde un dígito del 1 al 9. Los números
colocados en las intersecciones de los círculos corresponden a la suma de
los números asignados a los dos círculos que se encuentran (por ejemplo, B
y C deben de ser dos números que sumados dan 12). ¿Qué número
corresponde a cada letra?
¿Qué relaciones puedes sacar de la figura?
A+C= 7 F+H=7
B+C=12 G+H=11
D+C=6 I+H=9
E+C=14 A+H=5
¿Cómo derivamos la siguiente relación?
A+B+D+E+F+G+I+4C++AH+A= 7+12+6+14+7+11+9+5
¿Cuánto es la suma de A+B+C+D+E+F+G+H+I=?
45
¿Cómo nos queda la siguiente relación?

41. 3C+2H=7+12+6+14+7+11+9+5-45-(A+H)
¿Puedo saber si C es par o impar?
C es impar.
¿Qué valores pueden tener A y C?
A=2 C=5
41
¿Qué valores pueden tener A y H?
A=2 H=3
A B C D E F G H I
2 7 5 1 9 4 8 3 6
CONCLUSION
Para la resolución correcta de este tipo de problemas es importante
encontrar los valores de las variables y hallar la relación de cálculo o
matemáticas entre las mismas.

42. CONCLUSIONES FINALES:
La resolución de problemas no solo se trata de darles una solución
mecánica a los problemas planteados sino además de su análisis e
interpretación de datos.
Los problemas se clasifican según la información que proporcionan en su
planteamiento.
La solución de problemas se puede efectuar mediante la construcción de
42
tablas.
Las variables de un problema no solo tienen valores numéricos sino
también valores semánticos.
Es importante saber descifrar e identificar los valores implícitos de la
variable dentro del problema.
La solución de problemas no solo se aplica en la vida estudiantil sino
además en la vida profesional y la vida misma.

43. BASES DE LA CREATIVIDAD
La creatividad es una habilidad intelectual, que se aprende, entrena y mejora con
el tiempo, de esta depende el éxito que tengamos durante nuestra vida
profesional, en nuestra vida misma. El proceso de creatividad no es más que un
sistema de operaciones mentales que, permiten aplicarse a cualquier campo de la
realidad. Existen varios tópicos que si no se les da gran importancia estos no
representan un problema, pero cuando creemos en los mismos llegamos a
situaciones de confusión y nada deseables, la creatividad se aprende en las 43
escuelas y se aplica desde las tareas y ámbitos más sencillos, como también en
las situaciones o aspectos de alta complejidad como en el planteamiento de
solución a problemas de cualquier índole, cuando deseamos planificar y obtener
estrategias.
No existe ninguna condición como requisito para que una persona desarrolle esta
habilidad, en esta no intervienen ni la raza, sexo, o condición socioeconómica,
sino el entusiasmo y las ganas de crear e innovar. La creatividad a veces puede
ser confundida con la inspiración y el talento, si bien es cierto que estos actúan de
manera conjunta, no se definen de la misma manera.
El éxito en el desempeño laboral de muchos profesionales se ha visto enmarcado
en la creatividad y el deseo de innovación, en plasmar en sus trabajos creatividad,
ética, excelencia, pulcritud, inteligencia e innovación, porque acertadamente se
dieron cuenta de la trascendencia que tiene los procesos y pensamientos
creativos en su desempeño, y que de estos depende el acierto o fracaso de los
mismos.
PERSONALIDAD Y CREATIVIDAD
La cultura occidental debe modificar su percepción estática de lo que las
personas son por un concepto más dinámico y cambiante, que motive a la persona
a intentar cosas nuevas y vivir nuevas experiencias que lo introduzcan en el
descubrimiento de nuevos talentos, y a desarrollar habilidades de suma
importancia como la creatividad.
Es erróneo decir “yo no he nacido creativo”, puesto que la creatividad no es una
habilidad con la que se nace, si no que desarrolla con el tiempo y la práctica
suficiente, como para que esta se dé por instinto en nosotros cuando necesitamos
su aplicación en cualquier aspecto de nuestra vida y también para que la misma
forme una parte importante de nuestra personalidad.

44. La creatividad es un proceso que forma parte de la inteligencia, una manera de
pensar, con sus normas, importancia, destrezas y oportunidades de mejoramiento,
aplicación y desarrollo.
Mientras más apliquemos esta habilidad del pensamiento en nuestro diario vivir,
esta se desarrollará de gran manera en nosotros, se convertirá en una destreza
nata en nuestra personalidad y desarrollada en nuestras convicciones.
La creatividad es importante porque esta nos permite descubrir en nosotros 44
talentos ocultos, habilidades de las cuales no conocíamos su existencia, y que
pueden ser aplicadas en nuestro ámbito personal y laboral.
Es importante destacar que todas las personas somos capaces de desarrollar
nuestra creatividad, y con ella nuestra inteligencia, y capacidades cognitivas, solo
es cuestión de aplicar nuestros conocimientos, esfuerzos en la práctica.
La creatividad además cumple múltiples funciones durante el desenvolvimiento de
nuestro rendimiento académico, desde el planteamiento de conceptos, la
interpretación de textos y la elaboración de experimentos, todos dependen de la
creatividad y el nivel cognitivo de quien los realiza.
Es de la creatividad que depende el éxito de la realización de nuestras labores, el
éxito de nuestro desempeño académico, el éxito de nuestra vida.
Construir nuestra personalidad requiere de mucho esfuerzo, constancia y
tenacidad además de aplicar niveles adecuados de creatividad que nos ayudan a
hacer nuestra vida interesante y evitar la rutina, porque la creatividad que
aplicamos en lo que hacemos se nota en la medida de innovación que tienen los
resultados.
Aplicar la creatividad en nuestra vida y en nuestros ámbitos laborales nos ayudan
a darle originalidad y estilo propio a lo que hacemos y a las actividades que
desempeñamos.

45. BIBLIOGRAFÍA
 SANCHEZ, Alfredo Sistema Nacional de Nivelación y Admisión. “Desarrollo
del pensamiento” Tomo 3. (2012).
 SANGOQUIZA, Luis. (2008) ”Educación para la vida y trabajo”.
45