Solución de problemas matemáticos en la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO
UNIDAD DE NIVELACION

CICLO DE NIVELACIÓN: SEPTIEMBRE 2012 / FEBRERO 2013

PROYECTO:
FORMULACIÓN ESTRATÉGICA DE PROBLEMAS

1.- DATOS INFORMATIVOS

- NOMBRES Y APELLIDOS: Karen Margarita Amores Naranjo

-DIRECCIÓN DOMICILIARIA: Ambato. Urb “El Vergel”

- TELÉFONO: 032871348 CELULAR: 0987034699

- MAIL: karenamoresn@gmail.com

- FECHA: Noviembre 16 de 2012

Riobamba - Ecuador

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PRESENTACIÓN
El desarrollo del pensamiento es una herramienta indispensable para el
desarrollo intelectual del ser humano en lo social, moral y ético cuyo fin es
motivar a un crecimiento propio, futurista, integral, que nos lleva al éxito y a la
satisfacción dentro del campo académico, familiar, social y ambiental.

En esta generación el gobierno ha puesto su atención en el ámbito educativo
para que todos los estudiantes tengamos razonamiento lógico, crítico y creativo
para poder desenvolvernos en cualquier lugar del mundo sirviendo
positivamente a nuestra sociedad.

Nos ayuda a reconocer las fortalezas y debilidades que se tiene y
aprovecharlas para generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y
compartir con otros, pues cuando un ser humano rompe los paradigmas de una
sociedad aprende a ver al mundo desde otra perspectiva; nos invita a actuar
como gestores críticos y responsables del aprendizaje y de crecimiento
personal.

Dentro del desarrollo de nuestro pensamiento este libro nos ayuda a: usar e
interpretar el lenguaje matemático en la descripción de situaciones próximas y
valorar críticamente la información obtenida, planificar y utilizar estrategias para
afrontar situaciones problemáticas mostrando seguridad y confianza en las
capacidades propias, a presentar de una manera clara, ordenada y
argumentada el proceso seguido y las soluciones obtenidas al resolver el
problema, a integrar los conocimientos matemáticos con las demás materias
para comprender y resolver diferentes situaciones y por último a decidir el
método adecuado de cálculo ante una situación dada y aplicarlo de manera
eficiente.

Dentro del desarrollo del pensamiento esta la capacidad que tengamos de
captar las cosas es por esto que nos ayuda a poner en práctica las destrezas
necesarias para la comprensión de lo que se lee.

Pero ante todo nosotros como estudiantes debemos desarrollar ese gusto por
hacer las cosas, es decir aprender a aprender ya que nada que sea impuesto u
obligado a hacer por alguien va a traer buenos resultados en un futuro;
debemos evitar ser seres memoristas, ya que eso no es desarrollar nuestras
capacidades, al contrario es ser monótonos y conformistas.

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DEDICATORIA
Este proyecto va dedicado en primer lugar a Dios ya que simplemente sin Él la
vida misma no sería posible, se lo dedico porque gracias a el puedo demostrar
todas mis capacidades y querer superarme cada vez más hasta cumplir la
misión por la cual me ha dado un lugar en este mundo; en segundo lugar
dedico este proyecto a mis padres por ser los pilares fundamentales de mi vida,
por ser esa luz que me guía durante toda mi vida y ese apoyo incondicional que
confía ciegamente en mí y finalmente a mi querido docente el Lcdo. Luis
Sangoquiza ya que me ha enseñado a ser un ser humano que ve de otra
manera al mundo a los problemas en sí, porque me ha ayudado en gran parte
a desarrollar mi pensamiento a reflexionar que los problemas no solo son
simples matemáticas y que no sólo hay una forma de llegar a su resolución. Mil
gracias.

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ÌNDICE
I. INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

1. Características de un problema.
2. Procedimiento para la solución de un problema.

II. PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE.

3. Problemas de relaciones de parte-todo y familiares.
4. Problemas sobre relaciones de orden.

III. PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES.

5. Problemas de tablas numéricas.
6. Problemas de tablas lógicas.
7. Problemas de tablas conceptuales o semánticas.

IV. PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS.

8. Problemas de simulación concreta y abstracta.
9. Problemas con diagramas de flujo y de intercambio.
10. Problemas dinámicos. Estrategia medios-fines.

V. SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA.

11. Problemas de tanteo sistemático por acotación del error.
12. Problemas de construcción sistemática de soluciones.
13. Problemas de búsqueda exhaustiva. Ejercicios de consolidación

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JUSTIFICACIÓN
El documento elaborado en donde se combita un resumen de todo el proceso
académico del módulo: “Formulación Estrategia de Problemas” corresponde un
requisito que el programa de nivelación sugiere para todas las materias, por
cuanto tiene una valoración en la evaluación final.

Considero de que es un gran acierto del programa la elaboración y producción
del proyecto de aula ya que nos permite fortalecer y reforzar los conocimientos
científicos y habilidades intelectuales objetivo primordial de la materia. A través
de este proceso reiteramos la comprensión y reflexión de los diferentes temas
estudiados ayudándoos a cimentar nuestro aprendizaje significativo.

Por otro lado constituye una fuente de consulta permanente de nuestra
formación académica ya que las habilidades y capacidades desarrolladas a
través de esta asignatura respalda nuestra formación transversal en las
diferentes etapas del trabajo académico que iremos desarrollando en nuestra
estancia de nuestra prestigiosa universidad.

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Desarrollo del Contenido

Lección 01:“CARACTERÌSTICAS DE LOS PROBLEMAS”

1. REFLEXIÓN:
Los problemas son parte del diario vivir, pues los encontramos en cualquier
situación; pero muchas veces no sabemos cómo actuar ante ellos y los
calificamos como situaciones imposibles de resolver, es por esto que debemos
tener bien claro qué es un problema y cuáles son sus características,
clasificación y sobre todo las diversas estrategias que existen para resolverlos
y no complicarnos la vida.

2. CONTENIDO:

Definición de un problema:

Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea
una pregunta la cual debe ser respondida.
Ejemplo:
o ¿Cuál es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte $5000
en mercancías y recauda $6900 al venderla, sabiendo que sus gastos
de venta y publicidad son de $800?

Clasificación de los problemas en función de la información:

Problemas estructurados.- tiene información necesaria y suficiente
(variables y características).
Problemas No estructurados: no contiene toda la información
necesaria, la persona debe agregar información (solo variables).

o ESTRUCTURADO:

¿Cuántos diccionarios marca “YOSE” de $40 vendió María durante el
día si recaudó $800 por este concepto?.
Es estructurado ya, que tenemos variables y características, costo del
diccionario: $40; nombre de la vendedora: María y recaudación total:
$800.

o NO ESTRUCTURADO:

¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la comunidad
en la solución de sus necesidades?
No es estructurado porque la información no viene completa, sin
embargo podemos identificar variables, pero no características; tipos de
necesidad de una comunidad, tipos de soluciones, etc.

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Las variables y la información de un problema:

Los datos de un problema (variables) son magnitudes que pueden tomar
valores cualitativos (valores semánticos o conceptuales) o cuantitativos
(valores numéricos).
Las variables cuantitativas establecen relaciones de “orden” es decir son
ordenables. Ejemplo:

Un terreno mide 6000m² y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones
sean proporcionales a la relación 3:5.

VARIABLE: superficie del terreno. VALORES: 6000m²
VARIABLE: relación. VALORES: 3:5

VARIABLE VALORES TIPO DE VARIABLE
Edad 17 años Cuantitativa
Color de ojos Verde Cualitativa
Peso 90kg Cuantitativa

3. CONCLUSIÓN:

Los problemas no son más que enunciados que sólo necesitan ser leídos una y
otra vez hasta entenderlos y comprenderlos de la mejor manera para su pronta
solución.
Que todos los problemas no siempre son cuantitativos, es por eso que
debemos saber identificarlos y llevarlos de la mejor manera teniendo en cuenta
que siempre hay una solución, y que el problema no es más inteligente que
nosotros.

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Lección 2:“PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS”

1. REFLEXIÓN:
Todo acontecimiento, situación o enunciado que conlleve a un problema
necesita una solución, para lo cual se necesita seguir una serie de pasos
ordenadamente, pues si no lo hacemos probablemente llegaremos a una
respuesta errónea o que no cumpla con nuestras necesidades, es decir
dejando a medias nuestro problema.

2. CONTENIDO:
Para la resolución efectiva de un problema se necesita seguir los siguientes
pasos:

Procedimiento para resolver un problema.

1. Lee cuidadosamente el problema.
2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos.
3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que
puedas a partir de los datos y de la interrogante.
4. Aplica la estrategia de solución del problema.
5. Formula la respuesta del problema.
6. Verifica el proceso y el producto.
Ejemplo:

Luisa gastó $500 en libros y $100 en cuadernos. Si tenía disponibles
$800 para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda
para el resto de los útiles escolares?

1). Lee todo el problema. ¿De qué tarta el problema?

De que una persona gasta en material escolar y la sobra dinero.

2). Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

VARIABLES CARACTERÍSTICAS
1º Compra Libros
Costo de la 1º compra $500
2º compra Cuadernos
Costo de la 2º compra $100
Dinero disponible $800
Dinero sobrante DESCONOCIDO

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3). Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedes a partir
de los datos y de la interrogante del problema.

1. Luisa dispones de $800 para gastos de materiales educativos.

2. Gasta $500 en libros.

3. En la 2º compra gasta $100 en cuadernos.

$800
$800

+ =
Libros $500 Cuadernos $100

$500 $100 Dinero sobrante

4). Aplica la estrategia de solución del problema.

De la 2ª y 3ª relación podemos sacar que:

La sumas entre los gastos de libros y cuadernos es de $600, la cual se relaciona con
la 1ª, es decir restamos el dinero disponible con el dinero gastado.

5). Formula la respuesta del problema.

La cantidad de dinero que le sobra es $200.

3. CONCLUSIÓN:
Para poder resolver cualquier problema debemos seguir el procedimiento
antes mencionado ya que seguir un orden nos ayudará a comprender mejor
el enunciado y encontrar más rápido la respuesta; ya que vamos a poder
identificar mejor todos los datos presentes.

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Lección 3: “PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y
FAMILIARES”

1. REFLEXIÓN:

Debemos tener claro que todos los datos de un problema están relacionados
entre sí, para que este tenga coherencia y una mejor comprensión.
Con respecto a los problemas parte-todo como su nombre lo dice debemos
buscar las diferentes partes que lo componen para llegar e tener un total, y los
de relaciones familiares pues tratan de buscar los vínculos entre los integrantes
de la familia.

2. CONTENIDO:

PROBLEMAS SOBRE RELACIONES PARTE-TODO:

En estos problemas unimos un conjunto de partes conocidas, para formar
diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes.
Ejemplo:

Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que
él; el niño al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él,
y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que él. Si el hombre
con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre sin carga
alguna?
1) ¿Qué debemos hacer para resolver el problema?

Leer cuidadosamente todo el problema.

2) ¿Qué se pregunta?

¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna?

3) ¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?

Que nos dan un total y debemos calcular cada parte. El todo es la carga total
de 120 kilos y las partes son: el hombre, niño, perro y los accesorios del perro.

4) ¿Cómo podemos representar estos datos?

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Accesorios 1

Perro 2 3

Niño 4 5 6 7

9 11 12 13 14
Hombre 8 10 15

Carga Total 120kilos

4) ¿Cómo lo expresamos en palabras?
Que en el problema se dice que cada parte pesa la mitad, por lo tanto pesa
el doble de arriba hacia abajo (de accesorios al hombre), es por esto que
en cada piso se aumentan 2 cuadros

5) ¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?
Que el peso del hombre es menor que la carga total.

6) ¿Cómo calculamos el peso del hombre?
Primero dividimos los 120 kilos con las 15 partes de la pirámide, obteniendo
8, que equivale al peso de los accesorios, y lo vamos multiplicando por 2,
es decir:
120 ÷ 15= 8, accesorios
8 x 2= 16, perro
16 x 2= 32, niño
32 x 2= 64, hombre.

7) ¿Cuánto pesa el hombre?
Pesa 64 kilos.

8) ¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?
Verificar el proceso y el producto.

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PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARES:

Antonio dice: “El padre del sobrino de mi tío es mi padre”

¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

1).¿Qué se plantea en el problema?

El parentesco del padre del sobrino y el tío de Antonio.

2). Pregunta: ¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

3). Representación:

Relación Desconocida

Sobrino:
Antonio
Padre Mi Tío

Mi Padre

4). Respuesta:

El padre del sobrino y el tío de Antonio son hermanos.

3. CONCLUSIÓN:

Tanto los problemas de parte-todo como los de relaciones familiares,
establecen vínculos o relaciones, para poder encontrar sus respuestas
debemos asociar las partes conocidas para formar un total en el primer caso
caso y buscar el parentesco a través de representaciones gráficas en el
segundo caso.
Estas estrategias para resolver estos problemas nos ayudan en la vida
cotidiana, ya que así podremos encontrar más rápidamente una solución.

Lección 04: “PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN”

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1. REFLEXIÓN:

Como ya conocemos todos los datos de un problema tienen relación, en esta
lección estos datos relacionados tienen un orden que seguir con respecto a
una variable.
En estos problemas debemos leer las veces que sean necesarias para ubicar
los datos en el orden preciso y encontrar la respuesta correcta.

2. CONTENIDO:

En los problemas de relación de orden se utilizan varias estrategias:

REPRESENTACIÓN EN UNA DIMENSIÓN.

Permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.

Casos Especiales de la Representación en una Dimensión

Puede hacer parecer confuso el problema debido al uso cotidiano de ciertos
vocablos o la redacción del mismo. Es necesario prestar atención especial a
la variable, signos de puntuación, etc.

ESTRATEGIA DE POSTERGACIÓN

Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos,
hasta que se presente otro dato que complemente la información.

EJEMPLO:

Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está
menos triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos
triste?
1). Variable: Estado de ánimo.

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Menos tristes

Tomás

Alberto

Alfredo

Roberto

Más tristes

3). Respuesta: Tomás está menos triste.

Anexo:

Precisiones acerca de las Tablas.

Los problemas de este tipo tiene una variable central, por lo general
suele ser cuantitativa la cual plantea relaciones de orden.

Se ha clasificado a las variables en dos tipos: dependientes e
independientes.

3. CONCLUSIÓN:

Este tipo de problemas se pueden comprender de mejor manera si graficamos
e identificamos la variable dependiente (la que cambia), de todos los datos que
se nos presenten en el problema. Las gráficas de estos problemas son lineales
y representan relaciones de mayor a menor o viceversa.
Podemos identificar estos problemas ya que solo se presenta un tipo de
variable dependiente, y una independiente que por lo general son los nombres
de las personas involucradas en el enunciado.

UNIDAD III.
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Lección 05: “PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS”

1. REFLEXIÓN:
Existen varias formas para representar problemas, para comprenderlos
y resolverlos de mejor manera y en el menor tiempo posible, en estos
problemas usamos las tablas numéricas, es decir que en el enunciado
hay datos numéricos y las tablas nos van a ayudar a representar dichos
datos de una mejor manera.

2. CONTENIDO:
TABLAS NUMÉRICAS:
Son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable
cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. En este tipo de
tablas se pueden hacer totalizacionesde columnas y filas.

TABLAS NUMÉRICAS CON CEROS:
En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen
elementos asignados, confundiendo erróneamente a dicha ausencia
como falta de información; si hay ausencia de elementos indica que la
información es de cero elementos.
Ejemplo:

Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres
sapos y la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus
tiene tantas arañas como Milton sapos y murciélagos. Nartis tiene
cinco mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad de
sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que
Milton. Si Milton tiene 7 mascotas ¿Cuántas y qué clase de
mascotas tienen cada uno?

1) ¿De qué trata el problema?
Del número de mascotas de Milton, Mortus y Nartis.

2) ¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántas y que clase de mascotas tiene cada uno?

3) ¿Cuál es la variable dependiente?
Mascotas

4) ¿Cuáles son las variables independientes?
Nombres.

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Nombres MILTON MORTUS NARTIS TOTAL
mascotas
s
3 2 2 7
SAPOS
2 5 2 9
ARAÑAS
2 1 1 4
MURCIÉLAGOS
TOTAL 7 8 5 20

5). Respuesta:
Milton tiene 7 mascotas: 3 sapos, 2 arañas y 2 murcièlagos.

Mortus tiene 8 mascotas: 2 sapos, 5 arañas y 1 murciélago.

Nartis tiene 5 mascotas: 2 sapos, 2 arañas y 1 murciélago.

ANEXO:

¿Cómo denominar una tabla?

Las variables independientes se colocan en las columnas, mientas que la
otra variables en la filas, y la variable dependiente en las celdas; es por esto
que las tablas tienen dos entradas (por las columnas y por las filas).

3. CONCLUSIÓN:

Las tablas numéricas son un instrumento muy práctico para la
resolución de problemas que impliquen soluciones matemáticas, pues
las tablas nos permiten organizar de mejor manera los datos presentes
y los que faltan en el enunciado, pues la tabla tomas el papel de una
memoria secundaria pues, ponemos datos que no nos acordamos que
estaban en el enunciado.

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Lección 06: “PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS”

1. REFLEXIÓN:

Debemos estar conscientes de que no todos los problemas tienen que ser
numéricos, o implicar operaciones matemáticas en ellos, pues en la vida
cotidiana no lo es.
Es por eso que los problemas de tablas lógicas se refieren a problemas que
requieren soluciones sensatas, es decir que aquí los números no juegan
ningún papel.

2. CONTENIDO:

Para resolver este tipo de problemas se presentan varias estrategias:

Estrategia de representación en 2 dimensiones: tablas lógicas.

Esta estrategia se aplica para resolver problemas que tienen dos
variables cualitativas que se definen con una variable lógica en base a
la veracidad o falsedad de los hechos.

En este tipo de problemas la variable lógica está implícita. Las tablas lógicas no
permiten la totalización de columnas o filas; sin embargo la exclusión mutua se
da entre los valores de una misma fila o columna, esta exclusión depende del
enunciado del problema.
Ejemplo:

En la casa de Gisela hay un canario, un loro, un gato y un perro policía.
Se llaman Rampal, Perico, Félix y Rin-Tin-Tin, pero no necesariamente
en ese orden. Rin-Tin-Tin es más pequeño que el loro y que Félix. El
perro es más joven que Perico. Rampal es el más viejo y no se lleva bien
con el loro. ¿Cuál es el nombre de cada animal?

¿De qué trata el problema?
De un grupo de animales con sus nombres.

¿Cuál es la pregunta?
¿Cuál es el nombre de cada animal?

¿Cuáles son las variables independientes?
Calase de animales.

¿Cuál puede ser la relación lógica para construir la tabla?
Clase de animal-nombres

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Representación:
c. de animal
LORO GATO PERRO
Nombre CANARIO
RAMPAL F F V F

PERICO F V F F

FÉLIX F F F V

RIN-TIN-TIN V F F F

Respuesta:
Canario: Rin-Tin-Tin.

Loro: Perico.

Gato: Rampal.

Perro: Félix

3. CONCLUSIÓN:

La utilización de tablas lógicas definitivamente nos ayuda a clasificar y
ordenar mejor los datos sacados del enunciado, además que nos ayudan a
identificar las diferentes variables que están presentes en el enunciado.
Estos problemas nos ayuda a desarrollar nuestra lógica y ver desde otra
perspectiva el problema.

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Lección 07: “PROBLEMAS DE TABLAS CONCEPTUALES”

1. REFLEXIÓN:

Como ya lo hemos visto existen problemas numéricos y lógicos, pero
también los conceptuales que requieren más de una verdad o falsedad que
se presente en el enunciado.
Los enunciados de los problemas que requieren soluciones conceptuales
suelen ser un poco más largos de los anteriores mencionados pues
requieren de más información para ser resueltos.

2. CONTENIDO:

Utilizamos la siguiente estrategia:

Estrategia de Representación en dos dimensiones: Tablas Conceptuales.

Se aplica para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas, dos
de las cuales son independientes y una dependiente.

En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas; a
única ayuda es cuando conocemos todas las opciones menos una.
Ejemplo:
Tres pilotos –Joel, Jaime y Julián- de la línea aérea “El Viaje Feliz” con sede
en Bogotá se turnan las rutas de Dallas, Buenos Aires y Managua. A partir de
la siguiente información se quiere determinar en que día de la semana( de los
tres días que trabajan, a saber, lunes, miércoles y viernes) viaja cada piloto a
las ciudades antes citadas.
A) Joel los miércoles viaja al centro del continente.
B) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos.
C) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto el lunes.

1) ¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
De tres pilotos y su respectivo día de ruta de trabajo. ¿Qué día de la semana
viaja cada piloto s las ciudades citadas?

2) ¿Cuántas y cuáles variables tenemos en el problema?
Tres varibles: nombres, rutas y dìas

3) ¿Cuáles son las variables independendientes?
Nombres y rutas

4) ¿Cuál es la variables dependiente? ¿Por qué?
Días, porque depende del piloto y del país a donde se dirigen

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5) Representación:

Nombres
Ruta JOEL JAIME JULIÁN
DALLAS Lunes Miércoles viernes

BUENOS AIRES Viernes Lunes Miércoles

MANAGUA miércoles viernes Lunes

6) Respuesta:

Lunes: Joel: Dallas.

Jaime: Buenos Aires.

Julián: Managua.

Miércoles:Joel: Managua.

Jaime: Dallas.

Julián: Buenos Aires.

Viernes:Joel: Buenos Aires.

Jaime: Managua.

Julián: Dallas.

3. CONCLUSIÓN:

Concluimos que para encontarar la solució de estos problemas tenemos que
colocar todos los datos existentes del enunciado en la tabla, pues en estos no
podemos oviar la respuesta, además que en este tipo de problemas no
podemos realizar cálculos subtotales y totales; pero la diferencia de los demás
problemas es que tienen mucha ma´s información para poder resolverlos.
En estos problemas también se puede añadir una cuarta variable, que se la
coloca en la tabla también.

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UNIDAD IV: PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS.

Lección 08:”PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA”

1. REFLEXIÓN:

Para la resolución de problemas e la mayoría de casos tenemos que
visualizarlos en nuestra mente pues estos no se desarrollan en ese momento,
por lo tanto recurrimos a nuestra imaginación; para lo cual plazmamos una
serie de dibujos que sirven para identificar los datos del enunciado, y así evitar
errores en su resolución.

2. CONTENIDO:

En las lecciones anteriores el tiempo no había jugado ningún papel por lo
que se les denomina situaciones estáticas, ahora nos encontramos con
situaciones que cambian en el tiempo, las cuales llamaremos dinámicas.

Situación Dinámica

Evento que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo.

Situación Concreta

Se basa en la reproducción física directa de las acciones que se proponen
en el enunciado

Simulación Abstracta

Consiste en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones, sin
recurrir a una reproducción física directa.

Ejemplo:

Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes
sitios como sigue: la primera a 10m de distancia del origen, la segunda a
20m, la tercera a 30m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10m
de la anterior. En cada movimiento la persona sale del origen, lleva la caja
al lugar que corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se
repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se
puede llevar una caja en cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la
persona al finalizar la tarea?


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De una persona que traslada cajas de gaseosa a diferentes sitios.

¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?

¿Cuántas y cuáles variables tenemos en el problema?
Dos variables; Nº de cajas, distancia que recorre

Representación:

10m
20m

20m 40m

30m 60m

40m 80m

50m
100m

300m

Respuesta:
Recorre una distancia de 300m.

3. CONCLUSIÓN:

La elaboración de diagramas o gráficas ayuda a entender lo que se plantea en
el enunciado y a la visualización de la situación. El resultado de esta
visualización del problema es lo que se llama la representación mental de éste.
Esta representación es indispensable para lograr la solución del problema.

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Lección 09:“PROBLEMAS CON DIAGRAMAS DE FLUJO Y DE
INTERCAMBIO”

1. REFLEXIÓN:

Para tener una mejor comprensión del problema no hay mejor estrategia que
graficarlo, representarlo en un diagrama; en el cual podemos identificar mejor
las variables y llegar más rápido a la solución de un problema; siempre y
cuando representemos de la mejor manera en el diagrama.

2. CONTENIDO:

Este tipo de problemas se caracterizan por una evolución temporal con un
inicio y un final. Para ello se utiliza una estrategia:

Estrategia de Diagramas de Flujo.

Se basa en la construcción de un esquema que permite mostrar los cambios
en la característica de una variable.
Ejemplo:

Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada se suben 25;
en la siguiente parada bajan 3 y suben 8; en la otra no se baja nadie y
suben 4; en la próxima se bajan 15 y suben 5; luego bajan 8 y se sube 1, y
en la última parada no sube nadie y se bajan todos. ¿Cuántos pasajeros se
bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en el bus
después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó el bus?
Del recorrido del bus y los pasajeros de este.

¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas
quedan en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó
el bus?

Representación:

: 25 p :8p :4p :5p :1p :0p

0 pasajeros :0p :3p :0p : 15p :8p :todos

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

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Completa la siguiente tabla:

Parada Pasajeros antes #pasajeros #pasajeros que Pasajeros
de parada que suben bajan después de
parada
1ª 0 25 0 25
2ª 25 8 3 30
3ª 30 4 0 34
4ª 34 5 15 24
5ª 24 1 8 17
6ª 17 0 17 0
Respuesta:

1). En la última parad bajan: 17 personas

2). Quedan después de la 3ª parada: 34 personas

3). El bus hizo: 6 paradas.

3. CONCLUSIÓN:

Como pudimos observar los problemas citados no se mantienen en un solo
estado, es decir estos cambian constantemente, es por eso que es necesaria la
utilización de diagramas y tablas que nos permiten plasmar los datos que
sufren una transformación en un periodo de tiempo; pues la tablas nos
permiten ver el cambio de los datos y llegar pronto a la respuesta correcta.

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Lección 10: “PROBLEMAS DINÁMICOS. ESTRATEGIA MEDIOS-FINES”

1. REFLEXIÓN:

A pesar de que existen un sinnúmero de estrategias para resolver problemas,
en esta lección particularmente utilizaremos la estrategia de medios-fines, la
cual consiste en la utilización de todos los objetos que se presenten en el
enunciado con el fin de resolver el problema planteado.

2. CONTENIDO:

En este tipo de problemas utilizamos las siguientes definiciones para
entenderlo de la mejor manera:

Sistema:es el medio ambiente con todos los elementos existentes en la
situación planteada.
Estado: características que describen un objeto; al primer estado se lo conoce
como inicial y al último como final y a los demás como intermedios.
Operador: conjunto de acciones que definen un proceso de transformación,
mediante el cual se genera un nuevo estado a partir de uno existente.
Restricción: es una limitación o impedimento existente en el sistema que
determina la forma de actuar de los operadores.
También utilizamos la siguiente estrategia:

Estrategia de Medios-Fines

Sirve para tratar situaciones dinámicas que consisten en identificar una
secuencia de acciones que transformen el estado inicial en el estado final.
La solución del problema consiste en identificar la secuencia de operadores
que deben aplicarse para ir del estado inicial al estado final.

Ejemplo:

Un cuidador de animales de un circo necesita 4 litros exactos de agua para
darle una medicina a un elefante enfermo. Se da cuenta que sólo dispone
de dos tobos, uno de 3 litros y otro de 5 litros. Si el cuidador va al río con los
dos tobos, ¿cómo puede hacer para medir exactamente los 4 litros de agua
con esos dos tobos?

Sitema:río, tobos de 5 y 3 litros y cuidador.

Estado inicial:los dos tobos vacíos.

Estado final:el tobo de 5 litros, conteniendo 4 litros de agua.

Operadores:3 operadores; llenado de tobo con agua del río, vaciado de tobo y
transvasado entre tobos.

Página 25


¿Qué restricciones tenemos en este problema?
Una restricción, que la cantidad de 4 litros sea exacta.

¿Cómo podemos describir el estado?
Usando un par ordenado (X,Y), donde X es la cantidad de agua que contiene el
todo de 5 litros e Y es la cantidad de agua que contiene el todo de 3 litros.

¿Qué estados se generan después de ejecutar la primera acción co los
diferentes operadores después que el llega al río?Dibuja el diagrama.

4 lt?? X Y

5lt 3lt
0 0
0 3
3 0
3 3
5 1
0 1
1 0
1 3
4 0

3. CONCLUSIÓN:

Identificar las partes de estos problemas es de gran importancia ya que nos
permite entender de mejor manera y llegar a una solución más rápida.
Debemos aprender a utilizar todos los medios posibles para que el problema
sea más entendible; es decir verlo de diferentes perspectivas.

Página 26


UNIDAD V.

Lección 11: PROBLEMAS DE TANTEO SISTEMÁTICO POR ACOTACIÓN
DEL ERROR”

1. REFLEXIÓN:

Para la resolución de un problema no siempre debemos guiarnos por un
parámetro, es decir debemos buscar más alternativas y adivinar posibles
soluciones, porque en medio de esas alternativas esta la solución correcta.

2. CONTENIDO:

Para la resolución de estos problemas utilizamos la siguiente estrategia:

Estrategia de Tanteo Sistemático por Acotación del Error.

Consiste en definir el rango de todas las soluciones tentativas del
problema, evaluamos los extremos del rango para verificar que la
respuesta está en é, hasta encontrar la respuesta que no tenga
desviación respecto a los requerimientos del problema.

EJEMPLO:

En una máquina de venta de golosinas 12 niños compraron caramelos
y chocolates. Todos los niños compramos solamente una golosina. Los
caramelos valen $ 2 y los chocolates $ 4. ¿Cuántos caramelos y
cuántos chocolates compraron los niños si gastaron entre todos $ 40?

¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?

Leer atentamente el problema.

¿Qué tipos de datos se dan en el problema?

Nº de niños.
Costo de caramelos.
Costo de chocolates.
Total del gasto.

¿Qué se pide?

Determinar cuántos chocolates y cuántos caramelos compraron los niños.

¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones? Haz una tabla con los valores.

Página 27


? $4 11 10 9 8
8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4
4 5 6 7 8 9 10 11
$2
11

$46 $40 $36

¿Qué relación nos puede servir para determinar si una posible respuesta es correcta?.
¿Qué pares de posibles soluciones debemos evaluar para encontrar la respuesta con
el menor esfuerzo?

Debemos fijarnos en el par de posibles soluciones que os den el total de $ 40.

¿Cuál es la respuesta?

8 chocolates y 4 caramelos.

¿Qué estrategia aplicamos en esta práctica?

De tanteo sistemático por acotación del error.

Anexo:

Estrategia Binaria para el Tanteo Sistemático.

Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas. Luego aplicamos el criterio de
validación. Continuamos identificando el punto intermedio y le aplicamos la
validación a dicho punto. En caso de no encontrar la respuesta correcta al primer
intento tenemos que repetir el mismo proceso hasta hallarla.

3. CONCLUSIÓN:

Concluyo que para la resolución de este tipo de problemas debemos plasmar
todas las posibles soluciones, ya que dentro de esas se encuentra la respuesta
correcta; también que es muy importante que el rango de las posibles
soluciones sea el adecuado con respecto a los datos que me de el problema,
pues si no es así la solución no será la correcta.

Página 28


Lección 12: “PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES”

1. REFLEXIÓN:

Para encontrar la solución a un problema planteado debemos escribir todas
las posibles soluciones y en este caso debemos basarnos sólo en número,
encontrar todas las posibles respuestas basándonos en el rango y en las
condiciones que posee el problema; es decir debemos construir la solución
no querer dar con ella en un solo intento.

2. CONTENIDO:

Nos encontramos con problemas en los cuales no es posible armar una
solución tentativa, es más práctico tratar de arma la respuesta que cumpla
con los requerimientos del enunciado del problema; para lo cal utilizamos la
siguiente estrategia:

Estrategia de Búsqueda Exhaustiva por Construcción de Soluciones.

Tiene como objetivo la construcción de respuestas mediante el desarrollo
de procedimiento específicos que dependen de cada situación,
permitiéndole establecer no sólo una respuesta, sino que permite
visualizar la globalidad de soluciones que se ajustan el problema.

EJEMPLO:

Coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo, de forma
tal que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 15

¿Cuáles son todas las ternas posibles?

159 = 15
168
= 15
249
258 = 15

267
= 15
348
357
= 15

= 15

= 15

= 15
456 = 15

¿Cuáles grupos de tres ternas sirven para construir la solución?

159 168 357
267 249 168
348 357 249

Página 29


¿Cómo quedan las figuras?

=15
=15
4 9 2 =15 4 3 8 =15
=15
3 5 7 =15 9 5 1 =15
8 1 6 =15 2 7 6 =15
=15

=15

=15

=15

=15

=15
=15 =15

Anexo:

¿Dónde buscar la Información?

Primero en el enunciado del problema. Sin embargo también la podemos
extraer a partir de la solución que se pide en el problema.

Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras
para que la operación indicada sea correcta. Cada letra sólo puede tomar
un único valor:

ATE+
ATE
OSEA
E+E= A
4+4= 8
T+T= E Los números que representan E+E no pueden ser mayores que
2+2= 4 5, porque al sumar A+A no podemos poner valores binarios.
A+A= OS
8+8= 16

3. CONCLUSIÓN:

La resolución de este tipo de problemas está en colocar todos los
valores posibles que estén dentro del rango del enunciado y lo más
importante es seleccionar el o los pares correctos de números y
distribuirlos de modo que cumplan con el objetivo del problema.

Página 30


Lección 13: “PROBLEMAS DE BÚSQUEDA EXHAUSTIVA. EJERCICIOS DE
CONSLIDACIÓN”

1. REFLEXIÓN:

Para que todo lo aprendido en esas lecciones de fruto, es decir valga la pena,
tenemos que practicar para que no se nos olvide.
Esta última lección nos pone un reto que debemos superarlo, resolviendo todos
los ejercicios propuestos, llegando a la respuesta más rápidamente.

2. CONTENIDO:

El diagrama está formado por 10 círculos, cada uno de ellos contiene una
letra. A cada letra le corresponde un dígito del 1 al 9. Los números colocados
en las intersecciones de los círculos corresponden a la suma de los números
asignados a los dos círculos que se encuentran. ¿Qué número corresponde
a cada letra?

F
A
7 7
B C 6 D G 11 H 9 I
12

14 5
E A

¿Qué relaciones puedes sacar de la figura?

A+C=7 F +H = 7

B + C = 12 G + H = 11

D+C=6 I+H=9

E + C = 14 A+H=5

¿Cómo derivamos la relación siguiente?

A+B+D+E+F+G+I+4C+4H+A= 7+12+6+14+7+11+9+5.

Página 31


¿Cómo nos queda la relación siguiente?

3C + 2H = 7+12+6+14+7+11+9+5 – 45 - (A + H)

¿Puedo saber si C es par o impar?

A primera vista no se puede saber.

¿Qué valores pueden tener A y C?

1 + 6; 2 + 5; 3 + 4.

¿Qué valores pueden tener A y H?

1 + 4; 2 + 3.

A B C D E F G H I
2 5 3 7 4 5
1 7 5 4
5 1 4
5 9 4

2 3
4
7

7 11 4 9 5
7 12 5 6 1

14 5
9 1

3. CONCLUSIÓN:

Todos los ejercicios y estrategias aprendidas durante este proceso se hicieron
para practicarlos ya que solo así perduraran en nuestra mente, ya que si no
ejercitamos nuestra mente todo lo aprendido simplemente no dará fruto todo lo
aprendido.

Página 32


EDUCACIÓN PARA LA VIDA Y EL TRABAJO.

En la Ejecución del Proyecto.

• Cuando pensamos en un objeto, un mecanismo o un sistema, tendemos
a pensar en su función habitual.

• Cuando se tiene muy marcada una función habitual es difícil que pueda
servir para otra cosa diferente.

• La innovación se alimenta de objetos o procedimientos a los cuales se
les ha cambiado su función.

En la Evaluación de Resultados.

• Es una operación consciente del pensamiento creativo.

• Valorar los efectos de un hecho después de producirse este.

Recomendaciones.

• 1). Nada está escrito todo esta por reinventar.

• 2). Aspiremos a solucionar problemas solucionables.

• 3). Ningún problema que nace del hombre carece de solución al alcance
del hombre.

• 4). La solución se relaciona en la forma que se mira la realidad social,
miremos de formas diferentes.

• 5). Lo que se sabe y lo que se hace no es lo único que se puede saber y
hacer.

• 6). Generar ideas, para encontrar la soluciones.

• 7). A los problemas que no tienen solución, se deben buscar medidas
preventivas.

• 8). Evitemos el efecto Houdini en la formulación de los proyectos.

• 9). Para evitar inventar hay que saber lo que hacen otros.

• 10). Problema social, se convierte en un reto intelectual.

• 11). Cuidar una idea aunque sea pequeña, insuficiente y cuestionables.

• 12). Diferenciar una ocurrencia de una idea.

• 13). Para conseguir algo hay que intentar varias veces

Página 33


BIBLIOGRAFÍA:

SÁNCHEZ, Alfredo (2012) Sistema Nacional de Nivelación y Admisión,
Nivelación General.
SANGOQUIZA, Luis (2008) Educación para la Vida y el Trabajo.

Página 34

Solución de problemas matemáticos en la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo

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