Este documento presenta un resumen del temario de la unidad 3 de Algebra Lineal. Explica los principales métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, el método de Gauss y la regla de Cramer. También incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos métodos a la solución de sistemas de ecuaciones.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI
Nombre de la asignatura: Algebra Lineal
Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales
Clave: ACF-0903
Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5
EN EL ESTADO DE CAMPECHE
TEMARIO
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A
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3
RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA
A r q u i t e c t o
Arq. Ramiro González Horta. Febrero 2011

2. U
N
I
D
A
D
3
Sistemas de Ecuaciones Lineales.
3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.
3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y
regla de Cramer.
3.5 Aplicaciones.

3. U
N
I
D
A
D
3
Sistemas de Ecuaciones Lineales.
3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones
lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz
y regla de Cramer.
Método de sustitución
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de
sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2
Se
sustituye
la
expresión
de
esta
incógnita
en
la
otra
ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que
aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1
Despejamos
una
de
las
incógnitas
en
una
de
las
dos
ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

4. 2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor
anterior:
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5 Solución
Método de igualación
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de
igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación
con una incógnita.

5. 3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y
segunda ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en
las que tenemos despejada la x:

6. 5 Solución:
Método de reducción
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de
reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los
números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones
iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

7. Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que
preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para
que veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de
ecuaciones
en
otro
equivalente
de
forma
que
éste
sea
escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una
matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los
términos independientes (separados por una recta).

8. Ejemplos
3x +2y + z = 1
5x +3y +4z = 2
x
+ y - z
= 1

10. Regla de Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones
lineales.
Se
aplica
a
sistemas
que
cumplan
las
dos
condiciones
siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas .

11. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de
cero.
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Y sean:
Δ
1
, Δ
los
2
, Δ
3
... , Δ
n
determinantes
que
se
obtiene
al
sustituir
los
coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la
1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima
columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada
por las siguientes expresiones:

12. Ejemplo

13. Ejercicios
R e s o l v e r l o s s i s t e m a s de ec u ac i o n es po r s u s t i t u c i ó n
1
2
3

14. 4
5
6
R e s o l v e r l o s s i s t e m a s de ec u a c i o n es po r i gu a l a c i ó n
1
2
3
4
5
6

15. R e s o l v e r l o s s i s t e m a s de ec u a c i o n es po r r edu c c i ó n
1
2
3
4
5
6
7
E j e r c i c i o s d e s i s t em a s de ec u ac i o n es
1
Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente
el sistema:

16. 2
Resuelve el sistema:
3
Halla las soluciones del sistema:
4Resueve:
5Resuelve
por sustitución, igualación, reducción y gráficamente
el sistema:
6
Resuelve el sistema:
7
Halla las soluciones del sistema:

17. R e s o l v e r p o r e l m ét o do de G a u s s l o s s i s t em a s
1
2
3
4
5
6
7

18. 8
R e s o l v e r po r l a r egl a de C r a m er
1
2
3
4
5
6