Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales con variables desconocidas. Puede ser determinado con una solución única, indeterminado con infinitas soluciones, o incompatible sin solución. Se puede representar el sistema mediante una matriz de coeficientes y vectores. El sistema tiene solución si el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada. Geométricamente, cada ecuación representa un plano, por lo que el tipo de sistema depende de la intersección o no de los planos.

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

2. Definición Una ecuación lineal con n incógnitas x 1 , x 2 , …, x n es una ecuación de la forma Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas de la forma siguiente: Siendo a i1 , a i2 , …, a in números reales, que se denominan coeficientes

3. Solución de un sistema de ecuaciones lineales El conjunto de números reales c 1 , c 2 , …, c n es una solución de la ecuación Si al sustituir en ella cada x i por c i i = 1,2,…, n la igualdad resultante es una identidad El conjunto de números reales c 1 , c 2 , …, c n es una solución del sistema S Si c 1 , c 2 , …, c n es solución de cada ecuación de S

4. Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si tienen el mismo conjunto de soluciones Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Determinados Con solución única Incompatibles Si no tienen solución Compatibles Si tienen solución Indeterminados Con infinitas soluciones

5. Representación matricial y vectorial puede escribirse en forma matricial como sigue: O abreviadamente A . X = B , siendo : El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente: A= X = y B =

6. se denomina matriz ampliada u orlada de S. Si llamamos a 1 , a 2 , …, a n a los vectores columna de A : La matriz A se llama matriz de coeficientes de S y la matriz A:B = si j = 1, 2,…, n, S puede escribirse como : x 1 . a 1 + x 2 . a 2 +…..+ x n . a n = B que es la expresión vectorial de S. a j =

7. Teorema de Rouché - Fröbenius El sistema de ecuaciones lineales S tiene solución  el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada (rango A = rango A : B )

8. Discusión de un sistema general: Consideremos el sistema general : Puede ocurrir: Rango A = rango A:B = n = nº de incógnitas  S compatible determinado. Rango A = rango A:B = r < nº de incógnitas  S es compatible indeterminado. Rango A  rango A:B  S es incompatible.

9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS Cada ecuación lineal con tres incógnitas, representa a un plano en el espacio Si el sistema es compatible indeterminado, con rango A = rango A:B = 2 los dos planos son secantes. Si el sistema es compatible indeterminado y rango A = rango A:B = 1 los dos planos son coincidentes. Si el sistema es incompatible, los dos planos son paralelos.  1  2  1  2  1 =  2

10. S sistema compatible determinado  los tres planos tienen un único punto P común. Si x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 es la solución del sistema  (x 0 , y 0 , z 0 ) son las coordenadas del punto P común. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS

11. S sistema compatible indeterminado y rango A = rango A:B = 2  los tres planos pasan por una misma recta r

12. S sistema compatible indeterminado rango A = rango A:B = 1  los tres planos coinciden .

13. S sistema incompatible con rango A =2 , rango A:B =3 ningún subsistema de dos ecuaciones incompatible  planos secantes dos a dos

14. S sistema incompatible con rango A =2 , rango A:B =3 y exactamente un subsistema de dos ecuaciones incompatible  dos planos secantes y el tercero paralelo a uno de los anteriores

15. S sistema incompatible con rango A =1 , rango A:B =2 y los tres subsistemas de dos ecuaciones incompatibles  los tres planos son paralelos