Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones utilizando diferentes métodos. En la primera sección se utiliza el método de eliminación gaussiana simple y gauss-jordan para resolver dos sistemas. En la segunda sección se aplica el método de Cramer a dos sistemas, calculando determinantes para encontrar las variables. Finalmente, se muestran las soluciones de cada sistema resuelto.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Politécnico Santiago Mariño
Extensión San Felipe
Sistemas de Ecuaciones
PROFESOR:
Ing. Dayana Pérez
ELABORADO POR:
Milagros Silva
CI: 18.054.653
Junio, 2014

2. 1133 321 =−== xxx
I. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación
gaussiana simple.
1.





=++
=++
−=−+
66
425
24
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2.





=++−
=++
−=−+
143
2226
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Solución._ Implementamos la matriz ampliada para luego realizar operaciones entre las
filas de los sistemas de manera tal que obtengamos una matriz diagonal superior, es
decir hacer ceros los elementos por debajo de la diagonal principal. Finalmente,
determinamos los valores de las variables por sustitución progresiva:
1.
6
4
2
116
215
114 −−
133
122
:
:
fff
fff
−
−

8
4
2
202
215
301 −
2/: 33 ff 
4
4
2
101
215
301 −
313 : fff − 
2
4
6
200
215
301
2/: 22 ff 
1
4
6
100
205
311
212 5: fff − 
1
26
6
100
1311
301
− Este resultado nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:





=++
=+−
=++
100
261310
630
321
321
321
xxx
xxx
xxx

36)1(3
1326)1(13
1
11
22
3
=⇒=+
−=⇒=+−
=
xx
xx
x
Finalmente,
2.
1
2
3
143
226
111 −
−
−
313
212
3:
6:
fff
fff
+
−

8
20
3
270
840
111
−
−
−
−
−
−
4/: 22 ff 
8
5
3
270
210
111
−
−
−
−
−
−
323 7: fff +− 
27
5
3
1200
210
111
−
−
−
−
−
−
12/: 33 −ff 
4
9
5
3
100
210
111
−
−
−
−

3. 4/92/14/1 321 =−=−= xxx
Este resultado nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:





=++
−=−+
−=−+
4/900
520
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx

4/13)2/1(
2/15)4/9(2
4/9
11
22
3
−=⇒−=−+
−=⇒−=−
=
xx
xx
x
Finalmente,
II. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de
Gauss – Jordan.
1.





=++
−=++
=−+
53
4225
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2.





=++−
=++
−=−+
143
2226
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Solución: A partir de la matriz ampliada se realizan operaciones entre las filas de los
sistemas de manera tal que obtengamos una matriz identidad, es decir hacer unos los
elementos de la diagonal principal ceros los restantes. Finalmente, determinamos los
valores de las variables de manera directa:
1.
1
2
3
143
226
111 −
−
−
2: 232 fff + 
1
4
3
143
4100
111 −
−
−
2/:
3:
22
313
ff
fff +
8
2
3
270
250
111
−
−
−
−
: 232 fff − 
8
10
3
270
420
111
−
−
−
−
−
−
/2: 22 ff 
8
5
3
270
210
111
−
−
−
−
−
−
323
211
-7:
-:
fff
fff

27
5
2
1200
210
101
−−
12/: 33 ff 
4/9
5
2
100
210
101
−− 2: 232 fff + 
4/9
2/1
2
100
010
101
−

4. 4/92/14/1 321 =−=−= xxx
53214 321 −=−== xxx
: 311 fff − 
4/9
2/1
4/1
100
010
001
−
−
Así,
2.
5
4
1
113
225
112
−
−
: 131 fff − 
5
4
4
113
225
201
−
313
212
3:
5:
fff
fff
−
−

7
24
4
510
820
201
−
− /2: 22 ff 
7
12
4
510
410
201
−
−
−
: 233 fff + 
5
12
4
100
410
201
−
−−
232
131
4:
2:
fff
fff
+
+−

5
32
14
100
010
001
−
−
Finalmente,
III. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de
Cramer.
1.





=+
=++
=+
23
122
152
21
321
32
xx
xxx
xx
2.





=++
=++
−=−+
66
425
24
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Solución: El método de Cramer, consiste en la aplicación de determinantes para
determinar las variables mediante las fórmulas mostradas a continuación. Dado el
sistema de ecuaciones como sigue:





=++
=++
=++
3332211
2332211
1332211
dxcxcxc
dxbxbxb
dxaxaxa
entonces tenemos,
( ) ( )[ ]321123321321321321
321
321
321
cabacbabcbacacbcba
ccc
bbb
aaa
++−++==∆
321
321
321
ccc
bbb
aaa
321
321
321
ccc
bbb
aaa

5. ∆
= 321
321
321
1
ccd
bbd
aad
x
∆
= 321
321
321
2
cda
bda
ada
x
∆
= 321
321
321
3
dca
dba
daa
x
1.





=+
=++
=+
23
122
152
21
321
32
xx
xxx
xx
Completemos el sistema y obtengamos el determinante ∆:





=++
=++
=++
203
122
1520
321
321
321
xxx
xxx
xxx
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]
[ ] [ ] 771522001512100
220012315223512010
013
212
520
=∆⇒=−=++−++=
++−++==∆
Se ha mostrado como se calcula un determinante, así que en lo sucesivo solo se
mostrarán resultados obtenidos como el cálculo anterior.
7
1
7
012
211
521
1 ==x
7
11
7
023
212
510
2 ==x
7
3
7
213
112
120
3 −==x
7
3
7
11
7
1
321 −=== xxx
De manera análoga procedemos con el ejercicio 2:
2.





=++
=++
−=−+
66
425
24
321
321
321
xxx
xxx
xxx
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]
[ ] [ ] 447115861254
511412611216115114
116
215
114
=∆⇒=−=++−−+−=
++−−+−+=
−
=∆

6. 4
12
4
116
214
112
1 =
−−
=x
4
52
4
166
245
124
2
−
=
−−
=x
4
4
4
616
415
214
3 =
−
=x
1133 321 =−== xxx

7. 4
12
4
116
214
112
1 =
−−
=x
4
52
4
166
245
124
2
−
=
−−
=x
4
4
4
616
415
214
3 =
−
=x
1133 321 =−== xxx