Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicarlos para encontrar las soluciones de sistemas de ecuaciones.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
CABUDARE – EDO. LARA
ANALISIS NUMERICO
METODOS NUMERICOS
Alumno:BrayanBriceno
CI: 2383486

2. Solución de Sistemas se Ecuaciones
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl
Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar
las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen
sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que
cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss
transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de
Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz
diagonal.
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra
que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando
múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz
restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz
se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para
cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste
sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

4. Metodo de Descomposicion LU
En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-
Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz
triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben
tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos
de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la
matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado
factorización o con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para
resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices
inversas.
Factorización De Cholesky
En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del
matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida
positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y
la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo
de Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido
extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de
ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación.
Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto
de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U; esto recibe el
nombre de factorización LU. Sin embargo, si A es simétrica y definida positiva, se
pueden escoger los factores tales que U es la transpuesta de L, y esto se llama la
descomposición o factorización de Cholesky. Tanto la descomposición LU como la
descomposición de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones
lineales. Cuando es aplicable, la descomposición de Cholesky es dos veces más
eficiente que la descomposición LU..

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de
Cholesky
A =










97922555
2255515
55156
y C=










100
150
100
Solución:
En el métodode Cholesky el primerpasoesencontrarla matrizL usandolas fórmulas
ii
i
j
kjijki
ki
l
lla
l





1
1
y 



1
1
2
k
j
kjkkkk lal
La primera ecuación se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para
elementos en la diagonal principal.
Entonces.
61111  al = 2.4495
4495.2
15
11
21
21 
l
a
l = 6.1237
4495.2
55
11
31
21 
l
a
l = 22.454 Ya sabemosque l12 = 0
22
212222 1237.655 lal = 4.1833

6. 1833.4
)454.22)(1237.6(55
22
312132
32




l
lla
l = 20.916
De igual formal13 = l23 = 0 y
)916.20454.22(979)( 222
32
2
313333  llal = 6.1106
La matrizL es igual a











1106.6916.20454.22
01833.41237.6
004495.2
L
En el métodode CholeskyU= LT











1106.600
916.201833.40
454.221237.64495.2
U
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el método de
descomposición de LU
ii
i
j
jiji
i
l
dlc
d





1
1
4495.2
100
11
1
1 
l
c
d =40.8246
1833.4
)8246.40)(1237.6(150
22
1212
2




l
dlc
d =-
23.9045

7. 1106.6
)9045.23)(916.20()8246.40)(454.22((100)(
33
2321313
3




l
dldlc
d =-51.826
Finalmente se calcula el vector de incógnitas comenzando por la última x.
ii
n
ij
jiji
i
u
xud
x



1
33
3
3
u
d
x  =-8.481
22
3232
2
u
xud
x

 = [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 =
36.690
11
3132121
1
)(
u
xuxud
x

 = [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685
El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a
C.
Método De Gauss Seidel
El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones
suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende
de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el
resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando
ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede
incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es
impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben

8. resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones
similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.
Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes
números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de
Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el
método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una
solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método
convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita
diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto
a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación.
EJEMPLO
Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un
= 0.001.
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
SOLUCIÓN:
Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los
coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:
Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

9. Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados
obteniendo:
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Como podemos observar, no se cumple la condición

10. Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como
supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:
Comparando de nuevo los valores obtenidos
Como se observa todavía no se cumple la condición
Así que hacemos otra iteración

11. Comparando los valores obtenidos
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
X1 = 3.0
X2 = -2.5
X3 = 7.0
Metodo deJacoby
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver
sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b. El algoritmo toma su nombre del
matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar
fórmulas como iteración de punto fijo.
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al
eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal
Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la
eliminación de cada elemento no cero
a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior.