El documento presenta los métodos numéricos del punto fijo y de Newton-Raphson para encontrar las raíces de una función. Explica que el método del punto fijo construye una sucesión que converge a una raíz siempre que se cumpla el teorema del punto fijo, mientras que el método de Newton-Raphson converge cuadráticamente bajo ciertas condiciones. También resume métodos para calcular las raíces de polinomios como la factorización y la función roots de MATLAB.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL
AGRARIA LA MOLINA
A. Canchoa Quispe
Raíces – Parte 2

2. 2
Método del Punto Fijo
• Problema.- Encontrar x tal que f(x) = 0.
• Este problema se puede cambiar a un
problema equivalente de punto fijo, G(x) = x
y se construye una sucesión {xk} que se
inicia en x0 y luego xk+1 := G(xk) .
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• Def.- Si x* es un punto tal que G(x*) = x*, se
dice que x* es un punto fijo de la función G o
que x* es una solución de G(x) = x.
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Métodos Numéricos I
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y = x
y = F(x)
x2=G(x1)
x3=G(x2)
.x5 x3 x1 x*x0 x2 x4
x1=G(x0)
Iteraciones gráficas de las iteraciones del punto fijo.
Se aprecia la divergencia de las iteraciones xk.
y = G(x)
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>> format long
>> g=inline('-log(x)');
>> f=inline('x + log(x)');
>> k = 0; xk = 0.6;
>> k = k+1, xk = g(xk)
k = 1
xk = 5.108256237659907e-01
>> k = k+1, xk = g(xk)
k = 2
xk = 6.717269920921219e-01
….
>> k = k+1, xk = g(xk)
k = 7
xk = -9.181584979211512e-01
>> k = k+1, xk = g(xk)
k = 8
xk = 8.538524757739584e-02 - 3.141592653589793e+00i
La sucesión diverge, hay que elegir otra función G.
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Teorema (del Punto Fijo)
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Teorema
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-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
y = x
y = F(x)
x0
(x0, F(x0))
x1
x1 = F(x0)
x2=G(x1)
x2
Iteraciones gráficas de las iteraciones del punto fijo. Se aprecia
la convergencia de las iteraciones xk hacía x*.
x*
y = G(x)
(x0, G(x0))
(x1, G(x1))
x1 =G(x0)
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function [xk, k] = punto_fijo(f, g, x0, tol, err)
k=0; xk = x0;
PARAR = 0;
while ~PARAR
xk1 = G(xk);
PARAR = abs(f(xk1)) < tol & abs(xk1-xk)/(abs(xk1)+eps) < err;
k = k+1; xk = xk1;
end
end
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El método de Newton-Raphson
x
LT,k
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18. Iteraciones del método de Newton-
Raphson
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x
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x
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x
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Se dice que la convergencia es cuadrática.

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28. Métodos Numéricos I
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29. Métodos Numéricos I
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xk+1 xk-2
xk-1
xk
Método de las Secantes
x
y = f(x)
r
Lsec,k

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32. Métodos Numéricos I
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33. Métodos Numéricos I
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34. Métodos Numéricos I
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35. Métodos Numéricos I
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function [xk, k] = secante1(f, x0, x1, tol, err)
PARAR = 0; k = 1; xk0 = x0; xk = x1;
while ~PARAR
xk1=xk-(xk-xk0)/(f(xk)-f(xk0))*f(xk);
PARAR = abs(f(xk1))<tol & abs(xk1-xk)/(abs(xk1)+eps)<err;
xk0 = xk; xk = xk1; k = k+1;
end

36. Métodos Numéricos I
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>> f=@(x)exp(-x)-x
>> [xk, k]=secante1(f,x0=0.5,x1=0.6,tol=1e-12,err=1e-13)
xk = 0.567143290409784
k = 6
Se obtiene la aproximación x6 = 0.567143290409784
de una raíz de f con una tolerancia 10-12 y error relativo
aproximado menor que 10-12.

37. Métodos Numéricos I
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38. Métodos Numéricos I
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39. 42
Cálculo de ceros de polinomios
• Teorema Un polinomio de grado n tiene exactamente n
ceros en el plano complejo, conviniendo que cada cero debe
contarse un número de veces igual a su multiplicidad.
• Teorema Todos los ceros del polinomio
Pn(z) = anzn + an-1zn-1 +…+ a2z2 + a1z + a0,
donde akR o akC, k = 0, 1, 2,…,n se encuentran en el
disco cerrado cuyo centro está en el origen del plano
complejo y cuyo radio es
 = 1 + |an|-1 max {|ak| : k = 0, 1, 2,…,n-1}

40. 43

41. 44
Ejemplo: Se quiere estimar las raíces del polinomio
P4(x) = 3x4 + 4x3 +1.

42. Métodos Numéricos I
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Factorizando P4(x) = 3x4 +4x3 +0x2 +0x+1
-1

45. 48

46. 49
Factorizando P3(x) = 3x3 +x2 -x+1.
x=-1

47. Métodos Numéricos I
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48. 51
Ejemplo: Se quiere estimar las raíces del
polinomio P4(x) = 16x4-40x3+5x2+20x+6.

49. Métodos Numéricos I
(Agosto - 2020)
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50. 53

51. Métodos Numéricos I
(Agosto - 2020)
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53. Métodos Numéricos I
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Ejemplo: Se quiere estimar las raíces del
polinomio P4(x) = 16x4-40x3+5x2+20x+6.
• Aplicando la función roots() de MATLAB:
>> p4 = [ 16, -40 , 5, 20, 6]
>> r = roots(p4)
r =
1.97044607872988
1.24167744476478
-0.35606176174733 + 0.16275838285138i
-0.35606176174733 - 0.16275838285138i