1. MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra
equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz
de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
Definición:
Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g.
Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?
Teorema de punto fijo:
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene
por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)|
≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b].
La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:
El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde la
divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.
La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de la
iteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir,
existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo es
convergente si comienza dentro del intervalo.
Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de
encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una
función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las
soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p

2. de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene un
punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.
El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una
sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la
función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión
<Xn> converge siempre y cuando |g’(x) <1|.
Ejemplo
Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación
X3+4X2-10=0 dentro del intervalo[1,2].
Lo primero es buscar una función g(x) adecuada
x3+4X2-10=0
x2(x+4)=10
( )
x=±
Y claramente elegimos como función iteradora a
g(x)= ±
( )
además observe que
√10
( ) = ≤ (2) < 1
2( + 4) /
′
Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser
convergente.
La implementación de este método en Excel es realmente simple, como veremos.
1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.
2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones:
=raiz(10/(A5+4))
3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.
En la figura 10 se muestran los resultados generados por este método.

3. Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora
g(x) no siempre es fácil.
Algoritmo Punto Fijo:

4. Implementación en matlab
function p=pfijo(fun,p0,tol,maxiter)
% Aproxima por el método del punto fijo una raiz de la ecuacion
fun(x)=x
%cercana p0, tomando como criterio de parada abs(fun(x)-x)<tol o la
cota sobre
% el numero de iteraciones dada por maxiter.
%
% Variables de entrada:
% fun(x): funcion a iterar, se debe introducir con notación
simbolica (eg. 'g')
% x0: estimación inicial para el proceso de iteración
% tol: tolerancia en error absoluto para la raiz
% maxiter: maximo numero de iteraciones permitidas
%
% Variables de salida:
% p: valor aproximado de la raiz
p(1)=p0;
for n=2:maxiter;
p(n)=feval(fun,p(n-1));
err=abs(p(n)-p(n-1));
if err<tol
break;
end
disp(['n=',num2str(n)]);
disp(['f(x)=',num2str(p(n))]);
disp(['abs(f(x)-x)=',num2str(err)]);
end
if n==maxiter
disp('se ha excedido el número de iteraciones')
end
p'
Ejemplo 1
( ) = cos −
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de,
f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
= ( ) = cos 0 = 1
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

5. Con un error aproximado de 100%
= ( ) = cos 1 = 0.540302305
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
Y un error aproximado de 85.08%.
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan
hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que
se obtiene es:
= 0.7414250866 Con un error aproximado igual al 0.78%.
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, ( ) =
Ejemplo 2
−5 −
comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.
Solución
Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
= de donde
( )=
En este caso, tenemos que ′( ) = . Un vistazo a la gráfica
Nos convence que |g’(x)|<1, para, ∈ [−1,1] lo que es suficiente para deducir que el método sí
converge a la raíz buscada.
x∈[-1,1]
= ( ) = −0.2
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
Con un error aproximado del 100%.

6. = ( ) = 0.1557461506
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
De donde vemos que la aproximación buscada es:
= −0,164410064