Practica MN S04 G2 Método de Punto fijo 2022-2 .docx

Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método del Punto Fijo
pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR
FACULTAD DE INGENIERÍA Y GESTIÓN
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
SEMANA 04:
TEMA: Método del Punto Fijo
CICLO: V
SEMESTRE: 2022-2
Trabajo presentado para la asignatura de Métodos Numéricos,
dirigido por
DOCENTE: Caballero Cantú, José Jeremías
N° Código Apellidos Nombres TRABAJO/
NO TRABAJO
Responsable Exposición
111 20A3010118 Anaya Castro Jefersson Rodrigo SI
2 1921110656 Ccuno Callañaupa Abel SI *
3 1913050729 Gayoso Florentini Luis Santiago SI
4 2017230169 Jimenez Quispe Hubert Jared SI responsable
5 1913010585 Pineda Urquiza Carlos Antonio SI *
6 1913110180 Rojas Tumayquispe Steven Jean Paul SI

pág. 2
1)EJERCICIO RESUELTO POR MÉTODO DE PUNTO FIJO
Aplique el método de Punto Fijo para encontrar una raíz aproximada con una exactitud de 7
10
para 2
( ) 2
f x x x
   para el valor inicial 0 2
p   .
Solución:
a) Interpreta el problema planteado
1. Nos piden hallar el valor de la raíz aproximada r
x , que se encuentre en el valor de
0 2
p   , por el método del punto fijo.
2. Cómo r
x es una raíz aproximada de la función ( )
f x , entonces cuando
reemplazamos en la función ( )
f x , lo que debe suceder es que la función ( )
f x
tienda 0, es decir ( ) 0
r
f x  , con una exactitud de 7
10
.
b) Enuncia la teoría necesaria para resolver el problema planteado.
3. La función ( )
f x debemos expresarlo en la forma siguiente: ( ) ( )
f x x g x
  .
4. Debemos hallar un punto fijo para la función ( )
g x .
Teorema de punto fijo:
5. Existencia del punto fijo: Si  
,
g C a b
 y  
( ) ,
g x a b
  
,
x a b g
   tiene un
punto fijo en  
,
a b .
6. Unicidad del punto fijo: Y si además ( )
g x

 en ( , )
a b y si existe una constante
positiva k< 1con la condición de que    
g' x , a, b
k x
   el punto fijo en
[a, b] es único.
7. Y si además ( 2)
g
  en ( , )
a b y si existe una constante positiva k< 1con la
condición de que    
g' -2 , 2, 0
k x
    el punto fijo en [-2,0] es único.
a) Nuestro objetivo es hallar el valor de k talque sea menor 1.
b) Derivemos la función g (x), entonces tenemos ( ) 2 1
f x x
  en (-2;0)
c) Del paso 2) para cualquier valor de x∈ (- 1,0) existe esta expresión
( ) 2 1
f x x
  , por lo tanto, existe ∃ g'(x) en el intervalo ( -2,0).
d) Tenemos x∈ ( -2,0) ⇒− 2< x<0 ⇒ 2
2x
< 2 x
x
< 0
2x
e) Tenemos x∈ ( -2,0) ⇒− 2< x<0 ⇒ -1 < 0<1
f) Cómo existe el punto fijo en el intervalo [ -2,0] − y además es único,
entonces la sucesión {pk} es convergente y converge a un punto fijo p, donde
1 p(k,1), k ≥1.
g) Este punto fijo p de g (x), viene a ser la raíz de la función f (x)
8. Para la convergencia de cumplir que | g'(x) | < 1, ( , )
x a b
 
Para poder aplicar el método de punto fijo en un intervalo [a, b], se debe cumplir
que en ese intervalo solo exista un único punto fijo de g (x).
9. Sea 0
p un punto fijo para ( )
g x , entonces lo que debe cumplir es 0 0
( )
p g p
 .
10. Como nos piden por el método del punto fijo, entonces debemos usar la iteración
del método del punto fijo.
11. La iteración del método de punto fijo es 1
( ); k 1
k k
p g p 
 

pág. 3
12. Necesitamos una aproximación inicial de punto fijo 0
p que esté muy cercano a la
raíz de la función ( )
f x
13. El criterio de pare para este método es 1
k k
k
p p
tol
p



c) Extrae datos desde el problema planteado
13. Por dato tenemos la función 2
( ) 2
f x x x
   , de la cual deseamos hallar una raíz
aproximada.
14. Sea 0 2
p   el valor inicial para hallar la raíz de la función ( )
f x .
15. Por dato tenemos el criterio de pare (tolerancia) 7
10
tol 
 para el método de punto
fijo.
d) Aplica del Método de Punto fijo al problema planteado
16. Hallamos el intervalo para verificar si nuestro punto fijo se encuentra en el
intervalo de la función.
17. Evaluamos en un punto 2
( 2) ( 2) ( 2) 2 0
f        ,
(0) 2 ( 2) (0) 0
f f f
     existe una raíz en el intervalo [-2,0].
18. Hallamos ( )
g x de la siguiente forma:
2
( ) 2
f x x x
   , ( ) 0
f x 
2
2
0 2
2
2 ( 1)
2
( 1)
2
( )
( 1)
x x
x x
x x
x
x
g x
x
  
 
 


 

19. Por dato tenemos la función
2
( )
( 1)
g x
x


, de la cual deseamos hallar un punto fijo
aproximado.
20. Existencia del punto fijo:
Si C[-2,0] x [ 2,0] entonces g tiene un punto fijo en [-2,0].
2
1)Vemos que g C[-2,0]:tenemos que ( ) es continua en [-2,0]
1
2)Vemos que g(x) [-2,0] [ 2,0]:
3)Sea [ 2,0] 2 0 2 1
g
g x
x
x
x x
   
 

   
         1 0 1
1 1 2 1
3 1 1 1 1 2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
2 2 ( ) ( ) [ 2, ] [-2,0]
1 3 3 3
( ) [ 1,0]
x
x
x x
g x g x
x
g x
    
                
 
            

  

pág. 4
21. Por dato tenemos el criterio de pare (tolerancia) 7
10
tol 
 para el método de punto
fijo.
22. 1
( ); k 1
k k
p g p 
 
23. 1
Error k k
k
k
p p
tol
p


 
24. 0
0, 2
k p
  
25. Primera iteración:
1 0
1, ( ) ( 2) 0.6666666
k p g p g
     
1 0
1
1
0.6666666 ( 2.0000000)
2.0000000 0.0000001 (F)
0.6666666
p p
Error
p
   
   

26. Segunda iteración:
2 1
2, ( ) ( 0.6666666) 1.2000000
k p g p g
     
2 1
2
2
1.2000000 ( 0.6666666)
0.4444445 0.0000001 (F)
1.2000000
p p
Error
p
   
   

27. Tercera iteración:
3 2
3, ( ) ( 1.2000000) 0,9090909
k p g p g
     
3 2
3
3
0,9090909 ( 1.2000000)
0,3200000 0.0000001 (F)
0,9090909
p p
Error
p
   
   

28. Cuarta iteración:
4 3
4, ( ) ( 0,9090909) 1.0476190
k p g p g
     
4 3
4
4
1.0476190 ( 0,9090909)
0,1322314 0.0000001 (F)
1.0476190
p p
Error
p
   
   

29. Quinta iteración:
5 4
5, ( ) ( 1.0476190) 0,9767442
k p g p g
     
5 4
5
5
0,9767442 ( 1.0476190)
0,0725623 0.0000001 (F)
0,9767442
p p
Error
p
   
   

30. Sexta iteración:

pág. 5
6 5
6, ( ) ( 0,9767442) 1.0117647
k p g p g
     
6 5
6
6
1.0117647 ( 0,9767442)
0.0346133 0.0000001 (F)
1.0117647
p p
Error
p
   
   

31. Séptima iteración:
7 6
7, ( ) ( 1.0117647) 1.0177162
k p g p g
     
7 6
7
7
1.0177162 ( 1.0117647)
0.0177162 0.0000001 (F)
1.0177162
p p
Error
p
   
   

32. Octava iteración:
8 7
8, ( ) ( 1.0177162) 1.0029326
k p g p g
     
8 7
8
8
1.0029326 ( 1.0177162)
0.0087548 0.0000001 (F)
1.0029326
p p
Error
p
   
   

33. Novena iteración:
9 8
9, ( ) ( 1.0029326) 0.9941520
k p g p g
     
9 8
9
9
0.9941520 ( 1.0029326)
0.0044031 0.0000001 (F)
0.9941520
p p
Error
p
   
   

34. Decima iteración:
10 9
10, ( ) ( 0.9941520) 1.0007326
k p g p g
     
10 9
10
10
1.0007326 ( 0.9941520)
0.0021951 0.0000001 (F)
1.0007326
p p
Error
p
   
   

35. Onceava iteración:
11 10
11, ( ) ( 1.0007326) 0.9996338
k p g p g
     
11 10
11
11
0.9996338 ( 1.0007326)
0.0010992 0.0000001 (F)
0.9996338
p p
Error
p
   
   

36. Doceava iteración:
12 11
12, ( ) ( 0.9996338) 1.0001831
k p g p g
     

pág. 6
11 10
12
11
1.0001831 ( 0.9996338)
0.0005492 0.0000001 (F)
1.0001831
p p
Error
p
   
   

37. Treceava iteración:
13 12
13, ( ) ( 1.0001831) 0.9999085
k p g p g
     
13 12
13
13
0.9999085 ( 1.0001831)
0.0002747 0.0000001 (F)
0.9999085
p p
Error
p
   
   

38. Catorceava iteración:
14 13
14, ( ) ( 0.9999085) 1.0000458
k p g p g
     
14 13
14
14
1.0000458 ( 0.9999085)
0.0001373 0.0000001 (F)
1.0000458
p p
Error
p
   
   

39. Decimoquinta iteración:
15 14
15, ( ) ( 1.0000458) 0.9999771
k p g p g
     
15 14
15
15
0.9999771 ( 1.0000458)
0.0000687 0.0000001 (F)
0.9999771
p p
Error
p
   
   

40. Decimosexta iteración:
16 15
16, ( ) ( 0.9999771) 1.0000114
k p g p g
     
16 15
16
16
1.0000114 ( 0.9999771)
0.0000343 0.0000001 (F)
1.0000114
p p
Error
p
   
   

41. Decimoséptima iteración:
17 16
17, ( ) ( 1.0000114) 0.9999943
k p g p g
     
17 16
17
17
0.9999943 ( 1.0000114)
0.0000172 0.0000001 (F)
0.9999943
p p
Error
p
   
   

42. Decimoctava iteración:

pág. 7
18 17
18, ( ) ( 0.9999943) 1.0000029
k p g p g
     
18 17
18
18
1.0000029 ( 0.9999943)
0.0000086 0.0000001 (F)
1.0000029
p p
Error
p
   
   

43. Decimonovena iteración:
19 18
19, ( ) ( 1.0000029) 0.9999986
k p g p g
     
19 18
19
19
0.9999986 ( 1.0000029)
0.0000042 0.0000001 (F)
0.9999986
p p
Error
p
   
   

44. Veinteava iteración:
20 19
20, ( ) ( 0.9999986) 1.0000007
k p g p g
     
20 19
20
20
1.0000007 ( 0.9999986)
0.0000021 0.0000001 (F)
1.0000007
p p
Error
p
   
   

45. Vigesimoprimera iteración:
21 20
21, ( ) ( 1.0000007) 0.9999996
k p g p g
     
21 20
21
21
0.9999996 ( 1.0000007)
0.0000010 0.0000001 (F)
0.9999996
p p
Error
p
   
   

46. Vigesimosegunda iteración:
22 21
22, ( ) ( 0.9999996) 1.0000002
k p g p g
     
22 21
22
22
1.0000002 ( 0.9999996)
0.0000053 0.0000001 (F)
1.0000002
p p
Error
p
   
   

47. Vigesimotercera iteración:
23 22
23, ( ) ( 1.0000002) 0.9999999
k p g p g
     
23 22
23
23
0.9999999 ( 1.0000002)
0.0000002 0.0000001 (F)
0.9999999
p p
Error
p
   
   

48. Vigesimocuarta iteración:

pág. 8
24 23
24, ( ) ( 0.9999999) 1.0000000
k p g p g
     
24 23
24
24
1.0000000 ( 0.9999999)
0.00000013 0.0000001 (F)
1.0000000
p p
Error
p
   
   

49. Vigesimoquinta iteración:
25 24
25, ( ) ( 1.0000000) 1.0000000
k p g p g
     
25 24
25
25
1.0000000 ( 1.0000000)
0.00000006 0.0000001 (V)
1.0000000
p p
Error
p
   
   

50. Por lo tanto, la raíz aproximada de la función 2
( ) 2
f x x x
   en el punto 0
p con
una exactitud 7
10
es -1.0000000.
k k
p
1
0.0000001
k k
k
p p
p


 (condición de pare)
0 2.00000000

1 0.66666667
 1 0
1
0.66666667 ( 2.00000000)
2.0000000 0.0000001 (F)
0.66666667
p p
p
   
  

2 1.20000000
 2 1
2
1.20000000 ( 0.66666667)
0.44444444 0.0000001 (F)
1.20000000
p p
p
   
  

3 0,90909091
 3 2
3
0,90909091 ( 1.20000000)
0.32000000 0.0000001 (F)
0,90909091
p p
p
   
  

4 1.04761905
 4 3
4
1.04761905 ( 0,90909091)
0.13223140 0.0000001 (F)
1.04761905
p p
p
   
  

5 0,97674419
 5 4
5
0,97674419 ( 1.04761905)
0.07256236 0.0000001 (F)
0,97674419
p p
p
   
  

6 1.01176471
 6 5
6
1.01176471 ( 0,97674419)
0.03461330 0.0000001 (F)
1.01176471
p p
p
   
  


pág. 9
7 0.99415205
 7 6
7
0.99415205 ( 1.01176471)
0.01771626 0.0000001 (F)
0.99415205
p p
p
   
  

8 1.00293255
 8 7
8
1.00293255 ( 0.99415205)
0.00875483 0.0000001 (F)
1.00293255
p p
p
   
  

9 0.99853587
 9 8
9
0.99853587 ( 1.00293255)
0.00440313 0.0000001 (F)
0.99853587
p p
p
   
  

10 1.00073260
 10 9
10
1.00073260 ( 0.99853587)
0.00219512 0.0000001 (F)
1.00073260
p p
p
   
  

11 0.99963383
 11 10
11
0.99963383 ( 1.00073260)
0.00109917 0.0000001 (F)
0.99963383
p p
p
   
  

12 1.00018312
 12 11
12
1.00018312 ( 0.99963383)
0.00054918 0.0000001 (F)
1.00018312
p p
p
   
  

13 0.99990845
 13 12
13
0.99990845 ( 1.00018312)
0.00027469 0.0000001 (F)
0.99990845
p p
p
   
  

14 1.00004578
 14 13
14
1.00004578 ( 0.99990845)
0.00013732 0.0000001 (F)
1.00004578
p p
p
   
  

15 0.99997711
 15 14
15
0.99997711 ( 1.00004578)
0.00006867 0.0000001 (F)
0.99997711
p p
p
   
  

16 1.00001144
 16 15
16
1.00001144 ( 0.99997711)
0.00003433 0.0000001 (F)
1.00001144
p p
p
   
  

17 0.99999428
 17 16
17
0.99999428 ( 1.00001144)
0.00001717 0.0000001 (F)
0.99999428
p p
p
   
  

18 1.00000286
 18 17
18
1.00000286 ( 0.99999428)
0.00000858 0.0000001 (F)
1.00000286
p p
p
   
  

19 0.99999857
 19 18
19
0.99999857 ( 1.00000286)
0.00000429 0.0000001 (F)
0.99999857
p p
p
   
  


pág. 10
20 1.00000072
 20 19
20
1.00000072 ( 0.99999857)
0.00000215 0.0000001 (F)
1.00000072
p p
p
   
  

21 0.99999964
 21 20
21
0.99999964 ( 1.00000072)
0.00000107 0.0000001 (F)
0.99999964
p p
p
   
  

22 1.00000018
 22 21
22
1.00000018 ( 0.99999964)
0.0000054 0.0000001 (F)
1.00000018
p p
p
   
  

23 0.99999991
 23 22
23
0.99999991 ( 1.00000018)
0.00000027 0.0000001 (F)
0.99999991
p p
p
   
  

24 1.00000004
 24 23
24
1.00000004 ( 0.99999991)
0.00000013 0.0000001 (V)
1.00000004
p p
p
   
  

25 0.99999998
 25 24
25
0.99999998 ( 1.00000004)
0.00000007 0.0000001 (V)
0.99999998
p p
p
   
  

51. Por lo tanto, el punto fijo aproximado = -1.0000000

pág. 11
2) ALGORITMO DEL MÉTODO DE PUNTO FIJO:

pág. 12
Este algoritmo sirve para obtener una raíz aproximada de la función f(x)=0 por el
Método de Punto Fijo.
function PuntoFijo5(g,tol,N,x)
//g es la función, tol es la tolerancia, n es numero de iteraciones
// y x es el punto fijo.
ENTRADA: La función inicial %f(x)=x^2-x-2
 Declarando los valores de la función transformada
% syms x, g(x)=2/(x-1); tol=0.0000001; N=500; x=-2; PuntoFijo5(g,tol,N,x)
SALIDA:
PASO 1:
i = 1;
PASO 2:
 Se imprimen los nombres con de las tres filas i, x, error.
fprintf(' i ttt x t ttt error n')
 Se especifica el número de números que habrá antes y después de la coma
%12.7f(12 valores, 7 valores)
fprintf('%3d t %12.7f t t n',i-1,x)
PASO 3:
 Mientras el contador i sea menor al número de iteraciones máximas
while i <= N
a = x;
x = double(g(a));
 Calcula el error
error=abs((x-a)/x);
 Imprime las raíces con su respectivo error
fprintf('%3d t %12.7f t t %12.7f n', i ,x,error)
 Condición de pare
if error<=tol
break
end
i=i+1;
end
PASO 4:
 Una vez cumplida la condición de pare imprimirá la raíz aproximada de la
función
fprintf('La aproximación es: %f con un error de: %12.7f n',x , error)
end

pág. 13
3) Implementación en MatLab:

Practica MN S04 G2 Método de Punto fijo 2022-2 .docx

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