Este documento describe el modelo de regresión lineal, que relaciona una variable dependiente con una o más variables independientes a través de una ecuación lineal. Explica que la regresión lineal estima los parámetros de la ecuación que mejor se ajustan a los datos observados, y que requiere cumplir ciertos supuestos como la linealidad de la relación y la independencia de los errores. También resume los diferentes tipos de regresión lineal como la simple, con una sola variable independiente, y la múltiple, con múltiples variables.

1. Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).
Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y unavariable independiente.
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la
relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un
término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:
: variable dependiente, explicada o regresando.
: variables explicativas, independientes o regresores.
: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen
sobre el regresando.
donde
es la intersección o término "constante", las
son los parámetros
respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a
tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no
lineal.
Índice
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1 Historia
o
1.1 Etimología
2 El modelo de regresión lineal
3 Hipótesis modelo de regresión lineal clásico
4 Supuestos del modelo de regresión lineal
5 Tipos de modelos de regresión lineal
o
5.1 Regresión lineal simple

o
5.1.1 Análisis
5.2 Regresión lineal múltiple

2. 6 Rectas de regresión
7 Aplicaciones de la regresión lineal
o
7.1 Líneas de tendencia
o
7.2 Medicina
o
7.3 Informática
8 Véase también
9 Referencias
10 Bibliografía
11 Enlaces externos
Historia[editar · editar código]
La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos
1
cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805, y en dónde se incluía una versión
del teorema de Gauss-Márkov.
Etimología[editar · editar código]
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al
comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura
muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres
eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir,
2
"regresaban" alpromedio. La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más
tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean
modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una
explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de
la matemática y la estadística mucho más extenso.
Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados
en cualquier clase de aplicación.
El modelo de regresión lineal[editar · editar código]
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas
(k =
1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros
desconocidos:
(2)
donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no
controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al
modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa,
el hiperplano es una recta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros
desconocidos
, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se
necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se

3. registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas
(las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros,
, son los coeficientes de
regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso
generador. Por tanto, en
(5)
Los valores
son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.
Hipótesis modelo de regresión lineal clásico[editar · editar código]
1. Esperanza matemática nula.
Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no
tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomará
algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea
cero.
2. Homocedasticidad
para todo t
Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La
dispersión de cada
en torno a su valor esperado es siempre la misma.
3. Incorrelación.
t,s con t distinto de s
para todo
Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no están
correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para
cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de la perturbación
correspondientes a otras observaciones muestrales.
4. Regresores no estocásticos.
5. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.
6.
Suponemos que no existen errores de especificación en el modelo ni errores
de medida en las variables explicativas
7. Normalidad de las perturbaciones
Supuestos del modelo de regresión lineal[editar · editar código]
Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes
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supuestos:
1. La relación entre las variables es lineal.
2. Los errores en la medición de las variables explicativas son independientes entre sí.

4. 3. Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad)
4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma
magnitud y distinto signo son equiprobables).
5. El error total es la suma de todos los errores.
Tipos de modelos de regresión lineal[editar · editar código]
Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:
Regresión lineal simple[editar · editar código]
Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de
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la forma:
(6)
donde
es el error asociado a la medición del valor
que
y siguen los supuestos de modo
(media cero, varianza constante e igual a un
y
con
).
Análisis[editar · editar código]
Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se
5
obtiene:
(7)
Derivando respecto a
y
e igualando a cero, se obtiene:
5
(9)
(10)
Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la
4
siguiente solución para ambos parámetros:
(11)
(12)
La interpretación del parámetro
en
es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará