Resolución de ecuaciones

Índice
Introducción a la Resolución de Ecuaciones.
Conceptos básicos relativos a ecuaciones.
Ecuaciones polinómicas.
Ecuaciones racionales.
Ecuaciones irracionales.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
José Manuel Hernández Jiménez
27 de febrero de 2012
José Manuel Hernández Jiménez RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Índice
1 Introducción a la Resolución de Ecuaciones.
Ecuaciones en la antigüedad.
Conocimientos previos.
2 Conceptos básicos relativos a ecuaciones.
Definición de ecuación.
Procedimiento general de resolución.
3 Ecuaciones polinómicas.
Ecuaciones de Primer Grado.
Ecuaciones de Segundo Grado.
Completas.
Incompletas.
Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2
Ecuaciones bicuadradas
4 Ecuaciones racionales.
5 Ecuaciones irracionales.

Índice
Ecuaciones en la antigüedad
Ya en la época de la antigua Babilonia, existen textos donde se
presentan a los lectores informaciones sobre una cantidad
desconocida y luego preguntan por su valor. En una tablilla
babilónica se puede encontrar: “Yo encontré una piedra pero no la
pesé. Cuando yo añad´ı una segunda piedra de la mitad de peso, el
peso total era de 15 she1”. Cuestiones de este tipo dieron lugar a
lo que hoy conocemos como álgebra. Se podr´ıa decir que primero
surgieron los problemas, y posteriormente los métodos de
resolución.
1
En la antigua Babilonia un she equival´ıa a 0’0467 gr.

Índice
El nombre de álgebra surgió en medio del proceso, y procede del
árabe al-jabr, término empleado por Al-Khwarizmi alrededor del
820 en el t´ıtulo de un libro donde se explicaban métodos generales
para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas.
Al-jabr significa “sumar cantidades iguales a ambos miembros de
una ecuación”, procedimiento empleado por todos en la resolución
de ecuaciones.

Índice
El principal uso del álgebra lo realizan los cient´ıficos de todo el
mundo, ya que gracias a ella expresan las regularidades de la
naturaleza en términos de ecuaciones. A lo largo de este tema,
vamos a aprender (y a recordar) los métodos de resolución de
algunas de las ecuaciones que nos aparecen con más regularidad en
las Matemáticas y en otras situaciones de la vida cotidiana
(aunque en principio se desconozca este hecho).

Índice
Conocimientos previos
Para poder aprender todos los métodos de resolución de
ecuaciones que vamos a ver en el tema, es necesario dominar los
siguientes contenidos:
Expresiones algebraicas. Valores numéricos.

´Indice
Operaciones con polinomios.

´Indice
Ruﬃni y Teorema del Resto.

´Indice
Sacar factor com´un.

´Indice
Identidades notables.

´Indice
Factorizaci´on de polinomios.

´Indice
Factorizaci´on de polinomios.
Fracciones algebraicas.

Índice
Definición de ecuación
Definición (Ecuación)
Una ecuación es una propuesta de igualdad entre dos expresiones
algebraicas en las que intervienen letras llamadas incógnitas. Si la
igualdad se verifica para cualquier valor o valores de esa
incógnita/as, decimos que esa igualdad algebraica es una
identidad.
Definición (Solución de una ecuación)
Una solución de una ecuación es un valor (o valores) de la
incógnita que hace que se cumpla la igualdad.

Índice
Definición (Ecuaciones equivalentes)
Dos ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen la misma
solución.
Procedimiento
El proceso básico que se sigue a la hora de resolver ecuaciones es
que vamos transformando la ecuación original en otras que son
equivalentes a ella de manera que podamos finalmente deducir el
valor (o valores) de la incógnita que hace que se verifique la
ecuación; o también deducir que no existen tales valores, es decir,
que la ecuación no tiene solución.

Índice
Las transformaciones que mantienen la equivalencia de ecuaciones
son las siguientes:
Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros
de la igualdad. Esto en la práctica se traduce en que aquellos
términos que están sumando en un miembro, los pasamos
restando al otro miembro, y viceversa.
2
Es un error habitual pasar números que no están multiplicando a todo el
miembro, dividiendo al otro.

Índice
Las transformaciones que mantienen la equivalencia de ecuaciones
son las siguientes:
Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros
de la igualdad. Esto en la práctica se traduce en que aquellos
términos que están sumando en un miembro, los pasamos
restando al otro miembro, y viceversa.
Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo
número distinto de cero. Esto nos dice que en la práctica, lo
que está multiplicando a todo un miembro, se pasa
dividiendo a todo el otro miembro, y viceversa.2
2
Es un error habitual pasar números que no están multiplicando a todo el
miembro, dividiendo al otro.

Índice
Procedimiento general de resolución
El procedimiento general que vamos a seguir para resolver las
ecuaciones es el siguiente:
Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los
dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los
denominadores; preferiblemente, su m´ınimo común múltiplo.

´Indice
Quitar par´entesis, si los hay. (Aplicaremos las identidades
notables siempre que se presenten).

Índice
Quitar paréntesis, si los hay. (Aplicaremos las identidades
notables siempre que se presenten).
Resolveremos la ecuación atendiendo a la forma de ésta,
según vamos a ir desarrollando en el tema.

Índice
Ecuaciones polinómicas
Definición
Las ecuaciones polinómicas tienen un aspecto general de la
forma P(x)=0, donde P(x) es un polinomio.
Número de soluciones
El número máximo de soluciones de una ecuación polinómica
viene determinado por el grado del polinomio.
Procedimiento
Vamos a hacer un estudio de estas ecuaciones atendiendo al grado
del polinomio.

Índice
Ecuaciones de Primer Grado
Definición (Ecuación de Primer Grado)
A las ecuaciones polinómicas de primer grado se las llama,
simplemente, ecuaciones de primer grado.
Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede
reducir a la forma ax + b = 0, siendo a = 0.
Tiene una única solución: x =
−b
a

´Indice
Ejemplo:
Resuelve la ecuaci´on: 4x +
1
3
(2 − 2x) = x − 4

´Indice
Ejemplo:
1
3
(2 − 2x) = x − 4
Se eliminan denominadores multiplicando por el mcm, en este
caso 3:
12x + 2 − 2x = 3x − 12

Índice
Ejemplo:
1
3
(2 − 2x) = x − 4
caso 3:
12x + 2 − 2x = 3x − 12
Transponemos términos (todos los términos con x a un
miembro y los demás al otro):
12x − 2x − 3x = −12 − 2

Índice
Ejemplo:
1
3
(2 − 2x) = x − 4
caso 3:
12x + 2 − 2x = 3x − 12
Transponemos términos (todos los términos con x a un
miembro y los demás al otro):
12x − 2x − 3x = −12 − 2
Reducimos términos semejantes, y despejamos la incógnita:
7x = −14 ⇒ x =
−14
7
⇒ x = −2

´Indice
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 5x − 3x = 17 − 13 b) 21 − 12x − 2x = −7
c)
x
27
= 9 d) −3(6 − 6x) − 3 = x − 4
e) 2(x − 7) = 6(x + 1) f)38 + 7(x − 3) = 9(x + 1)
g)
2x + 5
3
+ 4x − 1 =
14 − 2x
4

Índice
Ecuaciones de Segundo Grado
Definición (Ecuación de Segundo Grado)
Una ecuación de segundo grado es un polinomio de grado 2
igualado a 0. Es de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a = 0
Vamos a ver distintos métodos de resolución para las ecuaciones de
segundo grado, según sean completas o incompletas.

Índice
Ecuación de 2.o
grado completa
Definición (Ec. de 2.o grado completa)
Decimos que una ecuación de segundo grado es completa cuando
todos sus coeficientes son distintos de 0.
Procedimiento de resolución
Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas usamos la
siguiente fórmula donde intervienen los coeficientes de los
monomios que forman la ecuación:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a

´Indice
Ejemplo:
Resolver la ecuaci´on:
x2 − 6x + 5 = 0

Índice
Ejemplo:
x2 − 6x + 5 = 0
Lo primero que hacemos es identificar los coeficientes:
a = 1; b = −6; c = 5

Índice
Ejemplo:
x2 − 6x + 5 = 0
Lo primero que hacemos es identificar los coeficientes:
a = 1; b = −6; c = 5
Sustituimos en la fórmula general para obtener las soluciones:
t =
6 ± (−6)2 − 4 · 1 · 5
2 · 1
=
6 ±
√
36 − 20
2
=
6 ±
√
16
2
=
6 ± 4
2
=



x1 =
6 + 4
2
=
10
2
= 5
x2 =
6 − 4
2
=
2
2
= 1




Índice
Ecuaciones de 2.o
grado incompletas
Definición (Ec. de 2.o grado incompleta)
En las ecuaciones de segundo grado incompletas alguno de los
coeficientes es igual a 0. Distinguimos casos:
Caso Trivial: b = 0 y c = 0
Nos queda una ecuación de la forma:
ax2 = 0
Cuya solución es:
x = 0

´Indice
Caso b = 0
ax2 + c = 0
Se resuelve:
ax2 + c = 0 ⇒ ax2 = −c ⇒ x2 =
−c
a
⇒ x = ±
−c
a
Ejemplo:
3x2 − 75 = 0 ⇒ x2 =
75
3
= 25 ⇒ x = ±
√
25 = ±5

´Indice
Caso c = 0
ax2 + bx = 0
Para resolver este caso, sacamos factor com´un:
ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x1 = 0
x2 =
−b
a
Ejemplo:
3x2 + 42x = 0 ⇒ 3x(x + 14) = 0 ⇒
x1 = 0
x + 14 = 0 ⇒ x2 = −14

´Indice
Resuelve las siguientes ecuaciones de 2o grado:
a) 7x2 = 0 b) 4x2 − 16 = 0
c) 12x2 − 27 = 0 d) x2 − 12x = 0
e) 3x2 = 6x f)5x2 − 4x = 0
g) x2 − 6x − 7 = 0 h) −x2 + 3x + 10 = 0
i) 8x2 − 2x − 3 = 0 j) 3x2 + 18x + 27 = 0
k) 4x2 − 20x + 25 = 0 l) −2x2 − 4x − 3 = 0

Índice
Existen fórmulas para obtener las soluciones de ecuaciones
polinómicas de grado 3 y 4, pero no vamos a trabajar con ellas
dada su complejidad. En el siglo XIX, gracias a la teor´ıa de Galois,
se demostró que no existe una fórmula general para resolver
ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5.

Índice
¿Cómo resolvemos entonces estas ecuaciones?
Nos vamos a limitar a factorizar los polinomios y a encontrar sus
ra´ıces, que se corresponden con las soluciones de las ecuaciones, ya
que sabemos que las ra´ıces de los polinomios son precisamente los
valores de la incógnita que hacen 0 el polinomio.
Se debe recordar, por tanto, el método seguido para factorizar
polinomios (sacar factor común, Ruffini, identidades notables
siempre que sea posible, resolución de una ecuación de segundo
grado).

´Indice
Ejemplo:
4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 0

Índice
Ejemplo:
4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 0
Aplicando Ruffini, descomponemos el polinomio, con lo que
nos queda la ecuación:
4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 4(x + 1)(x + 2)(x −
3
2
)(x −
1
2
) = 0

Índice
Ejemplo:
4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 0
Aplicando Ruffini, descomponemos el polinomio, con lo que
nos queda la ecuación:
4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 4(x + 1)(x + 2)(x −
3
2
)(x −
1
2
) = 0
De donde deducimos que las soluciones de esta ecuación
polinómica de grado 4 son:
x1 = −1; x2 = −2; x3 =
3
2
; x4 =
1
2

´Indice
Resuelve las ecuaciones polin´omicas:
a) 9x2 = 4x2
b) x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0
c) (5x2 + 1)2(x3 − 2x2 − 5x + 6) = 0
d) x4 +
17
10
x3 −
26
5
x2 =
41
10
x +
3
5

Índice
Ecuaciones bicuadradas
Definición (Ecuación bicuadrada)
Una ecuación bicuadrada es una ecuación polinómica de grado 4
que se puede expresar de la forma:
ax4 + bx2 + c = 0
Procedimiento
Para resolver las ecuaciones bicuadradas, se hace un cambio de
variable:
x2 = t

Índice
Procedimiento
Cuando realizamos este cambio de variable, transformamos la
ecuación de grado 4, de incógnita x, en una de grado 2, de
incógnita t:
a(x2)2 + bx2 + c = [x2 = t] = at2 + bt + c = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado en t.

Índice
Procedimiento
Una vez que obtenemos las soluciones de t (t1 y t2), debemos
deshacer el cambio, con lo que al final obtendremos las soluciones
de la ecuación original. Al deshacer el cambio: x2 = t:
x2 = t1 ⇒ x = ±
√
t1 ⇒
x1 = +
√
t1
x2 = −
√
t1
x2 = t2 ⇒ x = ±
√
t2 ⇒
x3 = +
√
t2
x4 = −
√
t2
Con lo cual hemos obtenido las cuatro soluciones de la ecuación
bicuadrada.

´Indice
Ejemplo:
Sea la ecuaci´on:
x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇒ (x2)2 − 5x2 + 4 = 0
x2=t
⇒ t2 − 5t + 4 = 0

Índice
Ejemplo:
Sea la ecuación:
x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇒ (x2)2 − 5x2 + 4 = 0
x2=t
⇒ t2 − 5t + 4 = 0
Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio:
t =
5 ± (−5)2 − 4 · 1 · 4
2 · 1
=
5 ± 3
2
=
t1 = 4
t2 = 1
x2=t
⇒



x1 = +
√
4 = +2
x2 = −
√
4 = −2
x3 = +
√
1 = +1
x4 = −
√
1 = −1




´Indice
Resuelve las ecuaciones bicuadradas:
a) x4 − x2 − 2 = 0
b) x4 + 3x2 = −2
c) 2x4 + 7x2 + 6 = 0
d) 25x4 + 121x2 − 20 = 0

Índice
Ecuaciones racionales
Definición (Ecuación racional)
Una ecuación racional es aquella en la que aparecen fracciones
algebraicas.
Procedimiento
Para resolver una ecuación racional se siguen los siguientes pasos:
Se descartan los valores de x que anulan los denominadores,
ya que no pueden ser solución de la ecuación.

Índice
algebraicas.
Procedimiento
Se multiplican los dos miembros por el m´ınimo común
múltiplo de los denominadores, que será distinto de cero.

Índice
algebraicas.
Procedimiento
Se multiplican los dos miembros por el m´ınimo común
múltiplo de los denominadores, que será distinto de cero.
Se resuelve la ecuación resultante, teniendo en cuenta que no
pueden ser solución los valores descartados del paso 1.

´Indice
Ejemplo:
x − 1
x − 2
−
2x − 2
x(x + 3)
=
5x − 5
x2 + x − 6

´Indice
Ejemplo:
x − 1
x − 2
−
2x − 2
x(x + 3)
=
5x − 5
x2 + x − 6
En primer lugar, descartamos los valores que anulan los
denominadores, que son:
x = 0; x = 2; x = −3

Índice
Ejemplo:
x − 1
x − 2
−
2x − 2
x(x + 3)
=
5x − 5
x2 + x − 6
En primer lugar, descartamos los valores que anulan los
denominadores, que son:
x = 0; x = 2; x = −3
Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el mcm de
los denominadores, que es x(x − 2)(x − 3), con lo que nos
queda la ecuación de la siguiente manera:
x(x + 3)(x − 1) − (2x − 2)(x − 2) = 5x2 − 5x

Índice
Ejemplo:
Una vez que la desarrollamos,reducimos términos semejantes y
nos llevamos todos los términos al primer miembro, nos queda:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0

´Indice
Ejemplo:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0
Descomponemos el polinomio y as´ı obtenemos las soluciones
de la ecuaci´on:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0

Índice
Ejemplo:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0
de la ecuación:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0
Por lo que las soluciones de esta ecuación son:
x = 1; x = 2

Índice
Ejemplo:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0
de la ecuación:
x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0
Por lo que las soluciones de esta ecuación son:
x = 1; x = 2
Pero recordemos que hab´ıamos descartado x = 2 por hacer 0
el denominador. Por tanto, la única solución válida de esta
ecuación es x = 1.

´Indice
Resuelve las ecuaciones racionales:
a)
x
x + 1
= −
6
x + 5
−
x2
x + 1
b)
2
x2 − 4
+
1
x + 1
=
13
x3 + x2 − 4x − 4
c)
x + 5
x2 + x − 2
=
x2 + 2x − 1
x − 1
+
−1
x + 2
d)
2x − 1
x2 − x
−
1
(x − 1)2
=
−3x + 2
x3 − 2x2 + x

Índice
Ecuaciones Irracionales
Definición (Ecuación Irracional)
Una ecuación irracional es aquella en la que la incógnita aparece
dentro de algún radical.
Si en la ecuación aparecen radicales de ´ındice par, sólo se considera
el signo positivo de la ra´ız.
Para resolver una ecuación irracional en la que aparecen radicales
cuadráticos, se sigue el siguiente procedimiento.

Índice
Resolución ecuación irracional
Procedimiento
Se transforma en otra equivalente en la que la expresión
radical esté sola en un miembro.

´Indice
Procedimiento
Se elevan al cuadrado los dos miembros.

´Indice
Procedimiento
Si la ecuaci´on resultante no tiene radicales, se resuelve. Si
siguen apareciendo radicales, se repite el proceso desde el
primer paso.

Índice
Procedimiento
Si la ecuación resultante no tiene radicales, se resuelve. Si
siguen apareciendo radicales, se repite el proceso desde el
primer paso.
Una vez resuelta la ecuación resultante, se comprueban las
soluciones en la ecuación inicial, ya que pudiera ocurrir que
alguna no fuera válida.

´Indice
Ejemplo
Resolver la siguiente ecuaci´on:
√
3x + 7 + x = 2x + 1

´Indice
Ejemplo
√
3x + 7 + x = 2x + 1
Dejamos el radical solo en un miembro:
√
3x + 7 = 2x + 1 − x = x + 1

´Indice
Ejemplo
√
3x + 7 + x = 2x + 1
√
3x + 7 = 2x + 1 − x = x + 1
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuaci´on:
3x + 7 = (x + 1)2 ⇒ 3x + 7 = x2 + 1 + 2x ⇒ x2 − x − 6 = 0

Índice
Ejemplo
√
3x + 7 + x = 2x + 1
√
3x + 7 = 2x + 1 − x = x + 1
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:
3x + 7 = (x + 1)2 ⇒ 3x + 7 = x2 + 1 + 2x ⇒ x2 − x − 6 = 0
Resolvemos la ecuación resultante, y obtenemos dos
soluciones:
x1 = 3 y x2 = −2.

Índice
Ejemplo
Ahora debemos comprobar que las dos soluciones son válidas.
Sustituyendo en la expresión inicial la primera solución:
x = 3 ⇒
√
3 · 3 + 7+3 = 2·3+1 ⇒
√
16+3 = 6+1 ⇒ 7 = 7
Tomando la ra´ız positiva, se verifica la ecuación.

Índice
Ejemplo
Ahora debemos comprobar que las dos soluciones son válidas.
Sustituyendo en la expresión inicial la primera solución:
x = 3 ⇒
√
3 · 3 + 7+3 = 2·3+1 ⇒
√
16+3 = 6+1 ⇒ 7 = 7
Tomando la ra´ız positiva, se verifica la ecuación.
Lo comprobamos ahora para la otra solución posible:
x = −2 ⇒ 3(−2) + 7 + 3 = 2 · 3 + 1 ⇒
√
1 + 3 = 6 + 1 ⇒
4 = 7
Por lo que no es x = −2 no es solución de la ecuación.

´Indice
Resuelve las ecuaciones irracionales:
a)
√
−4x + 7 − 4x = 5 + 2x
b) 3x + 1 = 2x − 3 +
√
2 − x
c)
√
2x − 6 −
√
x + 4 + 2x − 9 = 0
d)
√
2x + 10 + 5x − 6 = 8 +
√
7 + 6x

Índice
Stewart, Ian,
Historia de las Matemáticas.
Cr´ıtica, Madrid, 2008.
Boyer, Carl,
Historia de las Matemáticas.
Alianza Editorial, Madrid, 2001.
Uriondo González, J.L. (Coord),
Matemáticas 4.o ESO, Opción B.
Oxford Educación, Madrid, 2008.
Garc´ıa-Prieto, M. (Coord),
Matemáticas 4.o ESO, Opción B.
ANAYA, Madrid, 2008.

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