El documento describe el movimiento circular y las variables cinemáticas asociadas. Introduce el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular como análogos a las variables lineales pero para movimiento circular. Explica cómo relacionar estas variables angulares con las variables lineales como la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta y tangencial.
Este documento describe diferentes tipos de movimiento, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniforme acelerado, movimientos circulares, y composición de movimientos. Explica las ecuaciones del movimiento y variables clave para cada tipo.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes.
Este documento presenta información sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistema masa-resorte, péndulo simple y oscilaciones e hidrostática. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período, momento de inercia, principio de conservación de energía y principio fundamental de la hidrostática.
El documento describe el movimiento circular uniforme, donde un cuerpo se mueve a velocidad constante a lo largo de una trayectoria circular. Aunque la velocidad es constante, su dirección cambia continuamente, lo que implica una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro. Esta aceleración requiere de una fuerza centrípeta igual a la masa por el cuadrado de la velocidad angular dividido por el radio, para mantener el movimiento circular.
Este documento presenta conceptos clave sobre la rotación de cuerpos rígidos, incluyendo desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, relaciones entre movimiento rotacional y lineal, energía cinética rotacional y momento de inercia, y aplicaciones de la segunda ley de Newton al movimiento rotacional. El documento también incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento describe los conceptos fundamentales del movimiento, incluyendo sistemas de referencia, vectores de posición y desplazamiento, velocidad, aceleración, y diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme, y movimiento circular uniformemente acelerado. Explica las ecuaciones que definen estas cantidades y tipos de movimiento.
Este documento describe diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado. Explica conceptos como velocidad, aceleración, trayectoria, desplazamiento y fuerzas involucradas en cada tipo de movimiento.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática del punto material, incluyendo:
1) Los tipos de movimiento (traslación y rotación), y los sistemas de referencia.
2) Las definiciones de posición, trayectoria, desplazamiento y espacio recorrido.
3) Las definiciones y ecuaciones de la velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media e instantánea.
4) Los diferentes tipos de movimiento como rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado,
Este documento describe diferentes tipos de movimiento, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniforme acelerado, movimientos circulares, y composición de movimientos. Explica las ecuaciones del movimiento y variables clave para cada tipo.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes.
Este documento presenta información sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistema masa-resorte, péndulo simple y oscilaciones e hidrostática. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período, momento de inercia, principio de conservación de energía y principio fundamental de la hidrostática.
El documento describe el movimiento circular uniforme, donde un cuerpo se mueve a velocidad constante a lo largo de una trayectoria circular. Aunque la velocidad es constante, su dirección cambia continuamente, lo que implica una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro. Esta aceleración requiere de una fuerza centrípeta igual a la masa por el cuadrado de la velocidad angular dividido por el radio, para mantener el movimiento circular.
Este documento presenta conceptos clave sobre la rotación de cuerpos rígidos, incluyendo desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, relaciones entre movimiento rotacional y lineal, energía cinética rotacional y momento de inercia, y aplicaciones de la segunda ley de Newton al movimiento rotacional. El documento también incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento describe los conceptos fundamentales del movimiento, incluyendo sistemas de referencia, vectores de posición y desplazamiento, velocidad, aceleración, y diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme, y movimiento circular uniformemente acelerado. Explica las ecuaciones que definen estas cantidades y tipos de movimiento.
Este documento describe diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado. Explica conceptos como velocidad, aceleración, trayectoria, desplazamiento y fuerzas involucradas en cada tipo de movimiento.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática del punto material, incluyendo:
1) Los tipos de movimiento (traslación y rotación), y los sistemas de referencia.
2) Las definiciones de posición, trayectoria, desplazamiento y espacio recorrido.
3) Las definiciones y ecuaciones de la velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media e instantánea.
4) Los diferentes tipos de movimiento como rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado,
El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento circular uniforme, incluyendo la rapidez angular, la velocidad tangencial, y la relación entre ellos. Explica que la rapidez angular es la medida del ángulo descrito por una partícula en un intervalo de tiempo, mientras que la velocidad tangencial es la distancia recorrida en ese mismo intervalo. También establece que en un movimiento circular uniforme, la rapidez angular está directamente relacionada con la velocidad tangencial a través de la fórmula ω = vT/R.
El documento trata sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistemas masa-resorte y oscilaciones. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período y ecuaciones diferenciales para describir estos movimientos. También aborda temas como péndulo simple, hidrostática y principios como la conservación de la energía.
Este documento describe conceptos básicos del movimiento como velocidad, aceleración, posición y trayectoria. Explica los tipos de movimiento rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado y circular uniforme, definiendo las ecuaciones que rigen cada uno y las magnitudes involucradas como posición, velocidad y aceleración. También presenta estrategias para resolver problemas de cinemática.
El documento describe los conceptos de movimiento circular y movimiento circular uniforme. Explica que en un movimiento circular uniforme, la velocidad cambia de dirección pero no de magnitud, lo que implica una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro. También define conceptos como periodo, frecuencia, aceleración radial y coordenadas polares para describir la posición en un movimiento circular.
El documento describe el movimiento circular y circular uniforme. El movimiento circular ocurre cuando la trayectoria de un objeto es una circunferencia. En un movimiento circular uniforme, la velocidad es constante aunque cambia de dirección, requiriendo una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro. La aceleración en un movimiento circular uniforme depende de la velocidad y el radio de la circunferencia.
El documento describe diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento uniformemente acelerado, movimiento circular uniforme y sus características. También explica conceptos como aceleración centrípeta, vectores, trabajo y potencia.
El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento circular, incluyendo velocidad angular, periodo, frecuencia, velocidad lineal tangencial, aceleración centrípeta y fuerza centrípeta. Explica las fórmulas clave para calcular estas cantidades y sus unidades de medida en el Sistema Internacional.
Apuntes fy q 4eso francisco herreros tapiaPlácido Cobo
Este documento contiene apuntes de Física y Química de 4o de ESO. Incluye 14 temas sobre conceptos de cinemática como movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, movimiento circular uniforme y fuerzas. También incluye temas sobre energía, átomos, reacciones químicas y compuestos de carbono. El documento proporciona definiciones clave y ecuaciones para cada tema, así como ejercicios de problemas relacionados con los conceptos explicados.
8. ed capítulo viii cinemática de la partículajulio sanchez
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática del movimiento curvilíneo y del movimiento relativo entre dos partículas. Explica cómo calcular las componentes rectangulares y normales/tangenciales de la posición, velocidad y aceleración de una partícula en movimiento curvilíneo. También describe cómo analizar el movimiento dependiente de dos partículas usando coordenadas fijas y en traslación, y relacionar sus posiciones, velocidades y aceleraciones a través de ecuaciones vectoriales. El documento
1) Un movimiento circular es aquel en que un cuerpo se mueve describiendo una curva circular alrededor de un punto central llamado centro, manteniendo la misma distancia a este punto.
2) En un movimiento circular uniforme, el objeto gira manteniendo su distancia al centro de manera constante, describiendo arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales.
3) La velocidad angular indica qué tan rápido gira un cuerpo y se mide en radianes por segundo; mientras mayor sea la velocidad angular o menor el radio, mayor
Este documento presenta conceptos fundamentales de la mecánica. Explica que la cinemática describe el movimiento de los cuerpos, mientras que la dinámica explica las causas del movimiento. Se describen varios tipos de movimiento como el movimiento uniformemente acelerado, el movimiento circular y el armónico. También se introducen conceptos como la velocidad, aceleración, cantidad de movimiento e ímpetu. Finalmente, se presentan las tres leyes de Newton de la dinámica.
El documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre dinámica rotacional. Los objetivos incluyen aplicar conceptos como aceleración angular, velocidad angular, momento de inercia y torque. Los contenidos tratan sobre momento de inercia, radio de giro, segunda ley de Newton para la rotación, momento angular y ejemplos.
Este documento describe el movimiento curvilíneo y sus componentes tangenciales y normales. Explica cómo calcular la posición, velocidad, aceleración media y aceleración instantánea de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria curva. También describe cómo descomponer la aceleración en sus componentes tangencial y normal. Presenta ejemplos de casos especiales como movimiento rectilíneo uniforme y aceleración constante. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para calcular la velocidad y aceleración a lo largo
El movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), es aquel con velocidad constante y cuya trayectoria es una línea recta. Un ejemplo claro son las puertas correderas de un ascensor, generalmente se abren y cierran en línea recta y siempre a la misma velocidad. Observa que cuando afirmamos que la velocidad es constante estamos afirmando que no cambia ni su valor (también conocido como módulo, rapidez o celeridad) ni la dirección del movimiento.
El documento describe los conceptos de movimiento curvilíneo, vectores de posición, velocidad y aceleración para una partícula. Define las velocidades media e instantánea, así como las aceleraciones media e instantánea. Explica cómo calcular las componentes rectangulares de estos vectores y provee ejemplos numéricos.
El documento resume los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple y otros temas relacionados con la mecánica oscilatoria. En particular, define el movimiento armónico simple, describe su representación gráfica mediante la función seno, y explica su relación con el movimiento circular uniforme. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, amplitud y posición de equilibrio.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre fuerzas y movimiento circular en dinámica. Los objetivos incluyen explicar conceptos de fuerza, establecer equilibrio, describir movimiento usando leyes de Newton, y resolver problemas de dinámica. Los contenidos cubren fuerzas en movimiento circular, gravedad universal, leyes de Kepler, y ejemplos de movimiento circular horizontal y vertical.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre fuerzas y movimiento circular en dinámica. Los objetivos incluyen explicar conceptos de fuerza, establecer equilibrio, interpretar movimiento planetario, describir movimiento usando leyes de Newton, y establecer fuerzas que actúan en estructuras. Los contenidos cubren fuerzas en movimiento circular, gravedad universal, leyes de Kepler, y movimiento circular horizontal y vertical.
Este documento describe el movimiento circular uniforme, donde un objeto se mueve en una trayectoria circular a velocidad constante. Explica que la velocidad es tangente a la trayectoria y variable en magnitud, mientras que la rapidez es constante, generando una aceleración centrípeta perpendicular a la velocidad. Además, presenta las ecuaciones que relacionan la aceleración centrípeta, la velocidad y el radio, así como la fuerza centrípeta y un ejemplo de cálculo.
El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento circular uniforme, incluyendo la rapidez angular, la velocidad tangencial, y la relación entre ellos. Explica que la rapidez angular es la medida del ángulo descrito por una partícula en un intervalo de tiempo, mientras que la velocidad tangencial es la distancia recorrida en ese mismo intervalo. También establece que en un movimiento circular uniforme, la rapidez angular está directamente relacionada con la velocidad tangencial a través de la fórmula ω = vT/R.
El documento trata sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistemas masa-resorte y oscilaciones. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período y ecuaciones diferenciales para describir estos movimientos. También aborda temas como péndulo simple, hidrostática y principios como la conservación de la energía.
Este documento describe conceptos básicos del movimiento como velocidad, aceleración, posición y trayectoria. Explica los tipos de movimiento rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado y circular uniforme, definiendo las ecuaciones que rigen cada uno y las magnitudes involucradas como posición, velocidad y aceleración. También presenta estrategias para resolver problemas de cinemática.
El documento describe los conceptos de movimiento circular y movimiento circular uniforme. Explica que en un movimiento circular uniforme, la velocidad cambia de dirección pero no de magnitud, lo que implica una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro. También define conceptos como periodo, frecuencia, aceleración radial y coordenadas polares para describir la posición en un movimiento circular.
El documento describe el movimiento circular y circular uniforme. El movimiento circular ocurre cuando la trayectoria de un objeto es una circunferencia. En un movimiento circular uniforme, la velocidad es constante aunque cambia de dirección, requiriendo una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro. La aceleración en un movimiento circular uniforme depende de la velocidad y el radio de la circunferencia.
El documento describe diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento uniformemente acelerado, movimiento circular uniforme y sus características. También explica conceptos como aceleración centrípeta, vectores, trabajo y potencia.
El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento circular, incluyendo velocidad angular, periodo, frecuencia, velocidad lineal tangencial, aceleración centrípeta y fuerza centrípeta. Explica las fórmulas clave para calcular estas cantidades y sus unidades de medida en el Sistema Internacional.
Apuntes fy q 4eso francisco herreros tapiaPlácido Cobo
Este documento contiene apuntes de Física y Química de 4o de ESO. Incluye 14 temas sobre conceptos de cinemática como movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, movimiento circular uniforme y fuerzas. También incluye temas sobre energía, átomos, reacciones químicas y compuestos de carbono. El documento proporciona definiciones clave y ecuaciones para cada tema, así como ejercicios de problemas relacionados con los conceptos explicados.
8. ed capítulo viii cinemática de la partículajulio sanchez
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática del movimiento curvilíneo y del movimiento relativo entre dos partículas. Explica cómo calcular las componentes rectangulares y normales/tangenciales de la posición, velocidad y aceleración de una partícula en movimiento curvilíneo. También describe cómo analizar el movimiento dependiente de dos partículas usando coordenadas fijas y en traslación, y relacionar sus posiciones, velocidades y aceleraciones a través de ecuaciones vectoriales. El documento
1) Un movimiento circular es aquel en que un cuerpo se mueve describiendo una curva circular alrededor de un punto central llamado centro, manteniendo la misma distancia a este punto.
2) En un movimiento circular uniforme, el objeto gira manteniendo su distancia al centro de manera constante, describiendo arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales.
3) La velocidad angular indica qué tan rápido gira un cuerpo y se mide en radianes por segundo; mientras mayor sea la velocidad angular o menor el radio, mayor
Este documento presenta conceptos fundamentales de la mecánica. Explica que la cinemática describe el movimiento de los cuerpos, mientras que la dinámica explica las causas del movimiento. Se describen varios tipos de movimiento como el movimiento uniformemente acelerado, el movimiento circular y el armónico. También se introducen conceptos como la velocidad, aceleración, cantidad de movimiento e ímpetu. Finalmente, se presentan las tres leyes de Newton de la dinámica.
El documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre dinámica rotacional. Los objetivos incluyen aplicar conceptos como aceleración angular, velocidad angular, momento de inercia y torque. Los contenidos tratan sobre momento de inercia, radio de giro, segunda ley de Newton para la rotación, momento angular y ejemplos.
Este documento describe el movimiento curvilíneo y sus componentes tangenciales y normales. Explica cómo calcular la posición, velocidad, aceleración media y aceleración instantánea de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria curva. También describe cómo descomponer la aceleración en sus componentes tangencial y normal. Presenta ejemplos de casos especiales como movimiento rectilíneo uniforme y aceleración constante. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para calcular la velocidad y aceleración a lo largo
El movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), es aquel con velocidad constante y cuya trayectoria es una línea recta. Un ejemplo claro son las puertas correderas de un ascensor, generalmente se abren y cierran en línea recta y siempre a la misma velocidad. Observa que cuando afirmamos que la velocidad es constante estamos afirmando que no cambia ni su valor (también conocido como módulo, rapidez o celeridad) ni la dirección del movimiento.
El documento describe los conceptos de movimiento curvilíneo, vectores de posición, velocidad y aceleración para una partícula. Define las velocidades media e instantánea, así como las aceleraciones media e instantánea. Explica cómo calcular las componentes rectangulares de estos vectores y provee ejemplos numéricos.
El documento resume los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple y otros temas relacionados con la mecánica oscilatoria. En particular, define el movimiento armónico simple, describe su representación gráfica mediante la función seno, y explica su relación con el movimiento circular uniforme. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, amplitud y posición de equilibrio.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre fuerzas y movimiento circular en dinámica. Los objetivos incluyen explicar conceptos de fuerza, establecer equilibrio, describir movimiento usando leyes de Newton, y resolver problemas de dinámica. Los contenidos cubren fuerzas en movimiento circular, gravedad universal, leyes de Kepler, y ejemplos de movimiento circular horizontal y vertical.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre fuerzas y movimiento circular en dinámica. Los objetivos incluyen explicar conceptos de fuerza, establecer equilibrio, interpretar movimiento planetario, describir movimiento usando leyes de Newton, y establecer fuerzas que actúan en estructuras. Los contenidos cubren fuerzas en movimiento circular, gravedad universal, leyes de Kepler, y movimiento circular horizontal y vertical.
Este documento describe el movimiento circular uniforme, donde un objeto se mueve en una trayectoria circular a velocidad constante. Explica que la velocidad es tangente a la trayectoria y variable en magnitud, mientras que la rapidez es constante, generando una aceleración centrípeta perpendicular a la velocidad. Además, presenta las ecuaciones que relacionan la aceleración centrípeta, la velocidad y el radio, así como la fuerza centrípeta y un ejemplo de cálculo.
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
ascensor o elevador es un sistema de transporte vertical u oblicuo, diseñado...LuisLobatoingaruca
Un ascensor o elevador es un sistema de transporte vertical u oblicuo, diseñado para mover principalmente personas entre diferentes niveles de un edificio o estructura. Cuando está destinado a trasladar objetos grandes o pesados, se le llama también montacargas.
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
4. El angulo dq es equivalente a un
desplazamiento y , aunque no es un vector
podremos asociarle un “ pseudovector “, de
dirección perpendicular al plano en el que esta
contenida la trayectoria de la
partícula.Supondremos que su sentido será
hacia arriba si la circunferencia se recorre en
sentido antihorario.
Así entonces, definiremos “ vector “
desplazamiento angular como el
representativo del desplazamiento en el
movimiento circular
5. Para ambos cuerpos, el desplazamiento angular es el mismo.
q1
q2
Dq
t1
t2
wm = D q / Dt
Velocidad media angular Velocidad angular
7. Deberemos entonces hallar una relación entre vectores para
poder empezar a estudiar la Cinemática circular.Uno ya lo
definimos, el desplazamiento angular.Por otro lado , el arco
ds,al considerar pequeños corrimientos por la circunferencia
podremos considerarlo semejante al vector desplazamiento
lineal de la partícula al moverse en su trayectoria.Podemos
así definir el vector arco
Definimos entonces al
vector arco como un
vector cuya dirección y
sentido coinciden con la
del vector
desplazamiento lineal
10. Deberemos entonces hallar una relación entre vectores para
poder empezar a estudiar la Cinemática circular.Uno ya lo
definimos, el desplazamiento angular.Por otro lado , el arco
ds,al considerar pequeños corrimientos por la circunferencia
podremos considerarlo semejante al vector desplazamiento
lineal de la partícula al moverse en su trayectoria.Podemos
así definir el vector arco
Definimos entonces al
vector arco como un
vector cuya dirección y
sentido coinciden con la
del vector
desplazamiento lineal
11. Así observamos que existen tres vectores de posición
importantes:
Como los tres no están sobre el mismo plano,podemos entonces
relacionarlos mediante la operación de “ producto vectorial “
12. A partir de estas variables, podremos
definir las variables principales para el
movimiento circular
13. Las tres variables se encuentran sobre el
mismo eje y se comportan como las variables
cinemáticas de un movimiento lineal
14. Como están los tres vectores cinemáticos sobre un mismo eje,
si la aceleración a es constante, podemos aplicar las mismas
ecuaciones horarias utilizadas en un movimiento
unidimensional para relacionar las variables cinemáticas
angulares
2
o o o o
o o
1
( t - t ) ( t - t )
2
( t - t )
constante
q q w a
w w a
a
La variable angular se mide en radianes, la velocidad en rad/s
y la aceleración en rad/s2.
q(rad) = 2 p N( rev o vueltas)
w( rad/s)=2p f(rev/s)
15. Ejemplo 1-Un cuerpo gira a 500 rpm, cuando empieza a
frenarse.Suponiendo que la aceleración angular es
constante,y si se detiene en 20 seg, evaluar la aceleración
con la cual fue frenado y la cantidad de vueltas que dio el
cuerpo antes de detenerse.
Tenemos un movimiento angular con aceleración constante,
por lo que entonces aplicamos
)
t
-
t
(
)
t
-
t
(
2
1
)
t
-
t
(
o
o
2
o
o
o
o
a
w
w
a
w
q
q
16. Colocando el origen de ángulos y tiempos en el momento en
que comenzó a frenarse, tenemos que qo =to =0.En ese
instante, wo no es cero.Se sabe que en ese momento daba 500
rpm, o sea 500 vueltas por minuto.Si una vuelta equivale a 2 p
radianes, la wo será 2p500rad/ min =3141,5 rad/min o sea 52, 4
rad/seg.Entonces, las ecuaciones horarias serán
t
52,4
t
2
1
t
4
52, 2
a
w
a
q
q(0)=0
17. En el momento estudiado, identificado con t=tf =20 s, la w =0
y q = qf, entonces
20
52,4
0
20
2
1
20
4.
52, 2
f
a
a
q
Queda un sistema de ecuaciones algebraicas, que resueltas
dan a = - 2,62 rad/s2 y qf =524 rad. Si una vuelta equivalen a
2 p rad, entonces el cuerpo dio aproximadamente 83,5 vueltas
antes de detenerse.
18. Ejemplo 2-En el problema anterior , que posición angular, la
velocidad angular y vueltas realizará en 10 s
2
52, 4 t 1,31 t
52,4 2,62 t
q
w
Si t* = 10 s
( 10) 393
(10) 26,2 rad/s
rad
q
w
N ( 10 s ) = 63,54 vueltas
19. Relación entre las variables cinemáticas lineales y
angulares.
Vimos que
Si derivamos esa expresión respecto el tiempo, tendremos que
En módulo, v = w r
Velocidad
tangencial
20. Para ambos cuerpos, el desplazamiento angular y la velocidad
angular es el mismo.No así la velocidad tangencial, ya que el
radio de cada cuerpo es distinto
q1
q2
21. Supongamos que en cierto intervalo de tiempo
Dt , la velocidad del móvil pasa de vo a v, que
tienen igual módulo.
23. Por otro lado
Comparando triángulos que son semejantes, obtenemos
que
r v v
v r
R v R
D D
D D
24. Entonces, dividiendo ambos términos por Dt ,y haciendo
tender Dt a cero, tenemos
2
2
t 0 t 0
v v r v
lim lim a = r
t r t r
w
D D
D D
D D
Por lo tanto, debido al cambio de dirección del
vector aparece una aceleración lineal a, de
dirección radial.La fórmula deducida nos
relaciona el módulo de esa aceleración lineal
con los módulos de las velocidades lineal y
angular
25. Por otro lado, se sabe que
Entonces,
Propiedad aplicada :
26. La anterior relación nos indica que la aceleración angular puede
considerarse como la composición de dos aceleraciones :
- una debida cambio de módulo del vector velocidad durante el
movimiento, la aceleración tangencial, que definimos como
y que estará dirigida en dirección tangencial al movimiento
- la otra es debida cambio de dirección del vector velocidad durante el
movimiento, la aceleración centrípeta o normal o radial, definida como
dirigida en la dirección radial.Su módulo puede evaluarse como
r
v
r
v
a
2
2
c
w
w
27. ac= ar= an
atsi aumenta el módulo de v
at si disminuye el módulo de v
28. Conclusión : un movimiento circular
es un movimiento siempre
acelerado.Aunque se mantenga
constante el módulo de la velocidad
lineal, debido a que ésta cambia
constantemente de dirección
aparece siempre una aceleración , la
normal o centrípeta.
30. Ej-Un cuerpo realiza un movimiento circular( en sentido antihorario)
sobre un circunferencia de 8 m de radio .Si en to= 0 , qo = p/3 rad, con
una wo = 30 rad/s, y en ese momento comienza a frenar , deteniéndose
en t = 30 s, evaluar:
a- aceleración angular
b-cuántas vueltas dio antes de detenerse
c-qué aceleración radial, normal o centrípeta y que aceleración
tangencial tenía a los 15 s
2
1
rad 30rad/s. 30 s ( 30 s )
3 2
0 30 / ( 30 s )
f
rad s
p
q a
a
a 1 rad/s2 q f =451 rad N = 72 vueltas
1 vuelta 2 p radianes
a y b-
32. aT = ( -1 rad/s2) . 8m = - 8 m/s2
w(15s)= 30 rad/s + ( -1 rad/s2) 15 s
w(15s)= 15 rad/s
aC= ( 15 rad/s) 2. 8 m= 1800 m/s2
c-Gira en sentido antihorario
ac
aT
33. Dinámica circular
La clase anterior llegamos a la conclusión de que “un
movimiento circular es un movimiento siempre
acelerado“Aunque se mantenga constante el módulo de la
velocidad lineal, debido a que ésta cambia constantemente
de dirección aparece siempre una aceleración , la normal o
centrípeta.Esto implica, por la segunda ley de Newton , que
deberá existir, como mínimo, una fuerza resultante en
dirección radial.
Supongamos que la
partícula de la figura se
mueve en una trayectoria
circular con velocidad de
módulo constante.Los
vectores indican la fuerza
resultante en dirección radial
34. Al aplicar la primera ley de Newton , recordemos que al ser un sistema
acelerado por naturaleza, no podremos ubicar al observador en el cuerpo o
dentro de la trayectoria, por lo que el observador deberá estar fuera.Por
otro lado, al aplicar la segunda ley de Newton, usaremos un sistema de
coordenadas más conveniente que el x-y.Aprovechando la simetría radial,
usaremos un eje en la dirección radial ( r ), otro en la dirección tangencial
llamado t ,positivo en la dirección del movimiento) y otro perpendicular ( y )
x
z
y
r
y
t
Observador sobre el
sistema
ac
Observador inercial
35. R
m
R
v
m
a
.
m
F 2
2
cent
radiales w
Al considerar solo fuerzas radiales, no colocamos el signo
de vector
Dicha fuerza resultante la llamaremos “ fuerza centrípeta “.La
no existencia de esta resultante provocaría la imposibilidad de
realizar un movimiento circular.
¿ Qué fuerzas pueden dar origen a esa resultante ?.
Cualquiera de las que hemos analizado previamente,
siempre que actúen en dirección perpendicular a la
velocidad lineal de la partícula.Las denominaremos
también “ fuerzas centrales “
36. Ejemplo 1- un móvil realizando una trayectoria circular de
radio R en un plano. Modelizamos al móvil como una
partícula.El observador del fenómeno estará fuera del
sistema Observemos dos vistas distintas de este caso
Vista desde arriba Vista de frente
t̂
r̂
r̂
ŷ
37. Consideremos tres ejes coordenados importantes :
- radial , dirección del radio de la circunferencia y positiva hacia el
centro
-tangencial, dirección tangente a la curva y positiva en la dirección del
movimiento
-y, dirección perpendicular al plano que contiene la curva trayectoria,
positivo hacia arriba
Aplicando lo visto ya en Dinámica, identificamos los agentes exteriores
que actúan sobre nuestro sistema, el móvil, y luego aplicamos la tercera
ley de Newton.
Podemos identificar dos agentes exteriores :
- la Tierra, que ejercerá la fuerza peso P
-el piso, que ejercerá una fuerza, que tendrá una componente en la
dirección y, la Normal N .Por otro lado, si el móvil realiza una trayectoria
circular, deberá existir una fuerza en la dirección radial y será el piso
quien la proporcione : la componente de la fuerza que ejerce sobre el
móvil paralela al piso, el roce( f r )
38. t̂
r̂
r̂
ŷ
fr fr
N
P
Planteando la segunda ley de Newton, tenemos :
0
a
m
P
-
N
F
R
m
R
V
m
a
m
f
F
y
y
2
2
c
r
rad w
La fuerza de roce entre la superficie del piso y el cuerpo es “estática“,
puesto que no hay movimiento entre ellos en la dirección radial.
39. Por lo anterior, entonces para lograr realizar una
circunferencia de radio R, la fuerza de roce estática no
deberá sobrepasar su valor máximo, lo que implica que
habrá un valor de velocidad máximo permitido para
poder realizar la trayectoria circular.Así que:
r e
2
e
2
e e
máx e
0 f N
V
0 m N
R
V
0 m m g 0 V R g
R
V R g
Y no depende de la masa¿ qué ocurriría si el piso no
ejerciese la fuerza de roce ?. Evidentemente el cuerpo no
podría realizar un movimiento circular .¿ cuál sería la
solución ?
40. Ejemplo 2-Aprovechemos que el piso ejerce una fuerza en
dirección perpendicular a él, la normal N. Demos al piso una “
inclinación o peralte “ a,como indicamos en la figura
a
R
Sabiendo que solo actúan sobre el cuerpo la Tierra y la pista,
aplicando la tercera ley de Newton, tendremos :
42. Planteando la segunda ley de Newton, tenemos
0
a
m
P
-
cos
N
F
R
m
R
V
m
a
m
sen
N
F
y
y
2
2
c
rad
a
w
a
g
m
cos
N
R
V
m
sen
N
2
a
a
Dividiendo miembro a miembro, obtenemos que
g
R
V
tang
cos
sen 2
a
a
a
De la anterior relación ,la tangente del ángulo que se debe dar al
peralte depende de la velocidad a la que se pretende girar y del
radio de la pista.Es independiente de la masa del cuerpo.
R g tang V
a
43. Un auto marcha sobre una curva circular plana de 400 m de
radio y cuyo pavimento tiene un e = 0,4
a- evaluar la velocidad máxima permitida para poder realizar
la curva
b-si el asfalto no tuviese roce y el coche debe realizar la
curva con la velocidad evaluada en el punto anterior, ¿ qué
peralte habría que darle a la pista ?
a-
2
V R g
m
V 400 m.10 0,4 40
s
máx e
máx
m
s
44. b-
2
2
2
V R g tan g
m
40
V s
tang =
Rg 400 m . 10
tang 0,4 0,38 rad 22°
m
s
a
a
a a
45. Si comparamos los resultados anteriores, observamos que es la
misma relación : la velocidad tangencial depende del coeficiente de
roce estático y la tangente del ángulo de peralte
Ejemplo 3- Un cuerpo de masa m esta unido a una cuerda .Se lo
hace girar de manera de que su trayectoria es una circunferencia
de radio R en ese plano, de forma que la cuerda permanece en el
mismo plano que la trayectoria.
trayectoria
cuerda
cuerpo
r̂
ŷ
r̂
t̂
Suponemos giro
antihorario
46. Modelizamos al cuerpo como partícula.Observamos el fenómenos desde
fuera.Sobre el cuerpo actuarán tres agentes exteriores:
- la Tierra, en la dirección del eje y, ejerciendo la fuerza peso P
-la cuerda, ejerciendo la fuerza tensión T en la dirección radial r
-el piso, que suponemos que no tiene roce, por lo que solo ejerce la normal
N en la dirección y
0
P
-
N
F
R
v
m
T
F
y
2
rad
De donde podremos relacionar la tensión ejercida por la cuerda con la
velocidad tangencial del cuerpo
Ej- m= 2 kg
T Max = 8 kgf = 80 newtons Vmax = 6,32 m/s
L= 1 m
47. Ejemplo 4- Un cuerpo de masa m está unido a una cuerda de longitud
L.Se lo hace girar de manera de que su trayectoria es una circunferencia
de radio R en un plano, pero la cuerda se encuentra en otro plano
formando un ángulo a con el eje y ( recordar que el eje y es perpendicular
al plano de la trayectoria ).
r̂
ŷ
a
Plano de la trayectoria
Modelizamos al cuerpo como partícula.Observamos el fenómenos desde
fuera.Sobre el cuerpo actuarán tres agentes exteriores:
- la Tierra, en la dirección del eje y,ejerciendo la fuerza peso P
-la cuerda, ejerciendo la fuerza tensión T
48. P
T a ŷ
r̂
T sen a
r̂
t̂
Aplicando la segunda ley de Newton,obtenemos el siguiente conjunto de
ecuaciones
2
rad
y
v
F T sen m
R
F T cos -P 0
a
a
Despejando los términos con T y dividiendo miembro a miembro, queda
que tang a será V2/Rg . Observamos que como la V no puede tender a
infinito, el ángulo jamás podrá ser de 90º
2
2
V
tang V = R g tang
R g
a a
49. Ej 1- Hacemos rotar una piedra de 1 kg en un péndulo cónico
de radio 3 m.La cuerda tiene una longitud de 10 m.Evaluar
a- el ángulo que la cuerda forma con la vertical
b- la tensión de la cuerda
c-la velocidad angular y frecuencia angular de rotación
a- L =10m
R =3 m
a
Sen a 0,3 a =arcsen(0,3)
a = 17,45 °
50. Ej 1- Hacemos rotar una piedra de 1 kg en un péndulo cónico
de radio 3 m.La cuerda tiene una longitud de 10 m.Evaluar
a- el ángulo que la cuerda forma con la vertical
b- la tensión de la cuerda
c-la velocidad angular y frecuencia angular de rotación
a- L =10m
R =3 m
a
Sen a 0,3 a =arcsen(0,3)
a = 17,45 °
51. b- T cos(a) = m g
T = 10 newtons / cos( 17,45°) T = 10, 48 newtons
c- Vt=3,1 m/s
w=1,02 rad/s
f =0,16 rps
54. Ejemplo 5- Un cuerpo de masa m gira sobre una circunferencia vertical
de radio R .Supongamos rotación en sentido antihorario
r̂
t̂
Modelizamos al cuerpo como partícula.Observamos el fenómeno desde
fuera.Sobre el cuerpo actuarán dos agentes exteriores:
- la Tierra ejerciendo la fuerza peso P, pero ahora en el plano del movimiento
-el aro, ejerciendo una fuerza Normal N , en el plano del movimiento, en
dirección radial,
55. Si en cierto instante, la masa pasa por un punto donde la cuerda forma un
ángulo q con la vertical pasante por dicho punto, aplicando la segunda ley
de Newton,obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones
2
rad
t t
v
F N P cos m
r
F P sen m a
q
q
N
P
q
t̂
r̂
A diferencia de los ejemplos anteriores, en un movimiento describiendo
una circunferencia vertical aparece una aceleración en dirección
tangencial, debida a la componente del peso en dicha dirección, y que es
aT= - g sen q. Hay entonces dos consecuencias :
a- la velocidad tangencial no tendrá módulo constante como en los casos
anteriores
b-la aceleración tangencial no es constante, pues dependerá del ángulo q.
56. Al tener aceleración tangencial variable, la ecuación horaria que da la
posición angular en función del tiempo ,q(t), ya no será polinómica .La
suma de fuerzas en la dirección tangencial conducirá a la siguiente
ecuación
0
sen
g
t
d
d
sen
g
-
t
d
d
dt
d
a
2
2
2
2
t
q
q
q
q
w
La última ecuación, cuya incógnita es la q(t), no es una ecuación
algebraica, por lo que no seguiremos por ahora este camino.
Entonces, nos conformaremos con analizar que ocurre en algunos puntos
particulares, usando la componente radial de las fuerzas.Por ejemplo, el
punto C de la figura.
r̂
t̂
C
57. En ese lugar , el diagrama de fuerzas es el siguiente
r̂
t̂
N
P
No existe fuerza resultante en la dirección tangencial, por lo que en ese
punto at=0.Entonces en la dirección radial tendremos
2
C
rad
v
F N P m
R
58. El caso interesante se da al analizar la velocidad mínima con la que puede
pasar por ese punto , ¿ puede ser cero ?.Si asi fuese, tendríamos que
N = - P
lo que implicaría que el aro empujaría “ hacía arriba “ al cuerpo, lo que es
imposible
r̂
t̂
N
P
Entonces, ¿ cuál es ?.Bien, aquella para la cuál el aro deja de “ sostener “
al cuerpo o sea que N es nula..Entonces, si se cumple esa condición, y
llamando “ velocidad crítica “ , v crit , a la velocidad con la que el cuerpo
pasaría por dicho punto, obtendríamos
R
g
v
g
R
v
R
v
m
g
m
P crit
2
crit
2
crit
59. Un caso es similar al analizado en el ejemplo 5 , y también es
un movimiento con velocidad de módulo no constante y
aceleración tangencial variable es aque en que el cuerpo
realiza una circunferencia vertical pero unido a una
cuerda.Por lo tanto, analizaremos un caso particular, que
cuando el cuerpo pasa por el extremo superior de la
trayectoria.De nuevo sucede que al querer evaluar la
velocidad mínima , no es cero, ya que en esa situación T = -
P y se daría el caso en que la cuerda se comprimiría , lo que
es físicamente imposible.Se deformaría . Entonces, de nuevo
resulta que pasará con la velocidad que definimos arriba
como crítica.