Jdjshshjajabjsjsbsuusbshsjsjbdjdjdjdndjdd

2.1 MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo
cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.

2.2 VECTORES DE POSICIÓN, VELOCIDAD
Y ACELERACIÓN.
1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el
origen de un sistema coordenado hacia el punto de
ubicación instantánea P la partícula. Se representa por
r = r(t).

2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la
partícula se mueve durante un pequeño intervalo de
tiempo t hasta el punto P’, entonces su posición será r’=
(t + t). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’
y se expresa:
'( ) ( )
r r t t r t
 = +  −
Y ACELERACIÓN.

3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a
P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de
tiempo t. la velocidad media se define como:
'
'
m
r r r
v
t t t
 −
= =
 −
La velocidad media es un vector que
tiene la misma dirección que el
desplazamiento es decir es secante a
la curva.
La velocidad media depende del
intervalo de tiempo.
Y ACELERACIÓN.

4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se
hace cada ves más pequeño (t→0), el
desplazamiento también tiende a cero. Llevando al
límite la velocidad media se obtiene la velocidad
instantánea, es decir.
La velocidad instantánea es un
vector tangente a la trayectoria.
0 0
'
lim lim
'
t t
r r r dr
v
t t t dt
 →  →
 −
= = =
 −
Y ACELERACIÓN.

Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la
longitud del arco s = arco PQ, obtenemos
0 0 0
lim lim lim
t t t
r s r s
v
s t s t
 →  →  →
   
= =
   
A medida que Q se
acerca a P la magnitud
de r se aproxima a s,
entonces se tiene
Además se tiene
0
lim t
t
dr r
e
ds s
 →

= =

0
lim
t
s ds
v
t dt
 →

= =

t
ds
v e
dt
=
Y ACELERACIÓN.

5. Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de
velocidades durante t es v. La aceleración media es el cambio
de velocidades en el intervalo de tiempo, es decir:
La aceleración media es un
vector paralelo a v y
también depende de la
duración del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v v
v
a
t t t
−

= =
 −
Y ACELERACIÓN.

5. Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El
cambio de velocidades durante t es v. La aceleración
media es el cambio de velocidades en el intervalo de
tiempo, es decir:
La aceleración media
es un vector paralelo
a v y también
depende de la
duración del intervalo
de tiempo
Q P
m
Q P
v v
v
a
t t t
−

= =
 −
Y ACELERACIÓN.

5. Aceleración instantánea: Se obtiene
llevando al límite la aceleración media es
decir haciendo cada ves más y más
pequeños los intervalos de tiempo.
La aceleración instantánea es
un vector que tiene misma
dirección que el cambio
instantáneo de la velocidad es
decir apunta hacia la
concavidad de la curva.
Y ACELERACIÓN.
Ԧ
𝑎 = lim
∆𝑡=0
∆ Ԧ
𝑣
∆𝑡
=
𝑑 Ԧ
𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑Ԧ
𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑2 Ԧ
𝑟
𝑑𝑡2

Si tomamos un punto arbitrario (A) del espacio y trazamos desde el
vectores equipolentes a los vectores velocidad en cada uno de los puntos
de la trayectoria, el lugar de los extremos de dichos vectores define una
curva llamada Hodógrafa del movimiento. Comparando la hodógrafa en
la figura (a) y (b) en su trayectoria, se comprende que la derivada de la
velocidad con respecto al tiempo, es decir, la aceleración, será un vector
tangente a la hodógrafa y que la celeridad del punto figurativo H sobre la
hodógrafa será igual al modulo de aceleración.

2.3 COMPONENTES RECTANGULARES DE
LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en
componentes x, y, z es
k
z
j
y
i
x
r




+
+
=
Las coordenadas x, y, z son
funciones del tiempo:
x = f(t), y = f(t), z = f(t)
La magnitud del vector de posición
será
2
2
2
z
y
x
r +
+
=

2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a
P´ en un intervalo de tiempo t. El desplazamiento
está dado por:
ˆ
ˆ ˆ
'
r r r xi yj zk
 = − =  + +
2 2 2
( ) ( ) ( )
r x y z
 =  +  + 

3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a
P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo
de tiempo t. La velocidad media será
Es un vector secante a la
trayectoria.
ˆ
ˆ ˆ
m
r x y z
v i j k
t t t t
   
= = + +
   

4. Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al límite
cuando t → 0, la velocidad media es decir:
Es un vector tangente a la
curva y tiene una magnitud
definida por
k
v
j
v
i
v
k
z
j
y
i
x
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
z
y
x













+
+
=
+
+
=
+
+
=
2
2
2
z
y
x v
v
v
v +
+
=

5. Aceleración media. Cuando la partícula cambia de
posición su velocidad también cambia. Entonces la
aceleración media será
Es un vector que se encuentra dirigido
a lo largo del cambio de velocidades
ˆ
ˆ ˆ
y
x z
m
v
v v
v
a i j k
t t t t

 

= = + +
   

5. Aceleración instantánea. Se obtiene llevando al
límite la aceleración media.
Es un vector que se encuentra dirigido
hacia la concavidad de la curva y su
magnitud es
2
2
2
z
y
x a
a
a
a +
+
=
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒂𝒙 Ƹ
𝒊 + 𝒂𝒚 Ƹ
𝒋 + 𝒂𝒛
෡
𝒌
𝒂𝒙 = ሶ
𝒗𝒙 = ሷ
𝒙
𝒂𝒚 = ሶ
𝒗𝒚 = ሷ
𝒚
𝒂𝒛 = ሶ
𝒗𝒛 = ሷ
𝒛
Donde:

Ejemplo
En cualquier instante la posición
horizontal del globo meteorológico
está definida por x = (9t) m, donde
t es el segundo. Si la ecuación de
la trayectoria es y = xª/30, donde a
= 2: Determinar la distancia del
globo a la estación A, la magnitud
y la dirección de la velocidad y de
la aceleración cuando t = 2 s

SOLUCIÓN
 Cuando t = 2 s, la posición del globo es
 La distancia en línea recta será
 Las componentes de la velocidad son
 La magnitud y dirección de la
velocidad para t = 2 s son
2 2
18 10,8 21
r m
= + =
( )
( )
2
9 9 /
81
/30 10.8 /
15 15
x
y
d
v x t m s
dt
d x dx t
v y x m s
dt dt
= = =
= = = = =
( ) ( )
2 2
9 10.8 14.1 /
v m s
= + =
1
tan 50.2
y
v
x
v
v
 −
= =
𝒙 = 𝟗𝒕 =
𝟗𝒎
𝒔
𝟐𝒔 = 𝟏𝟖 𝒎
𝒚 =
𝒙𝟐
𝟑𝟎
=
𝟏𝟖 𝟐
𝟑𝟎
= 𝟏𝟎. 𝟖𝒎

SOLUCIÓN
Las componentes de la aceleración será
La magnitud y dirección de la aceleración
son
( ) ( )
2 2 2
0 5.4 5.4 /
a m s
= + =
1 5.4
tan 90
0
a
 − 
= =
𝒂𝒙 = ሶ
𝒗𝒙 =
𝒅 𝟗
𝒅𝒕
= 𝟎
𝒂𝒚 = ሶ
𝒗𝒚 =
𝒅
𝒅𝒕
𝟖𝟏𝒕
𝒅𝒕
=
𝟖𝟏
𝟏𝟓
= 𝟓. 𝟒 ൗ
𝒎
𝒔𝟐

EJEMPLO
El movimiento de la caja B está
definida por el vector de posición
donde t esta en seg y el argumento
para el seno y el coseno está en
radianes. Determine la localización
de la caja cuando t = 0.75 s y la
magnitud de su velocidad y
aceleración en este instante
ˆ
ˆ ˆ
[0,5 (2 ) 0,5cos(2 ) 0,2 ]
r sen t i t j tk m
= + −

SOLUCIÓN
 La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es
 La distancia medida desde el origen será
 La dirección es
0.75 {0.5s n(1.5 ) 0.5cos(1.5 ) 0.2(0.75) }
t s
r e rad i rad j k m
= = + −
0,75 {0.499 0.0354 0.150 }
s
r i j k m
= + −
2 2 2
(0.499) (0.0354) ( 0.150) 0.522
r m
= + + − =
1
0.499 0.0352 0.150
0.522 0.522 0.522
0.955 0.0678 0.287
cos (0.955) 17.2
86.1
107
r
r
u i j k
r
i j k



−
= = + −
= + −
= =
=
=

SOLUCIÓN
 La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s es
 La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s
a = 2 m/s2
{1cos(2 ) 1sin(2 ) 0.2 } /
dr
v t i t j k m s
dt
= = − −
2 2 2
1.02 /
x y z
v v v v m s
= + + =
2
{ 2sin(2 ) 2cos(2 ) } /
dv
a t i t j m s
dt
= = − −

EJEMPLO
 Los movimientos x e y de las guías A y
B, cuyas ranuras forman un ángulo
recto, controlan el movimiento del
pasador de enlace P, que resbala por
ambas ranuras. Durante un corto
intervalo de tiempo esos movimientos
están regidos por
donde x e y están en milímetros y t en
segundos. Calcular los módulos de las
velocidad y de la aceleración a del
pasador para t = 2 s. esquematizar la
forma de la trayectoria e indicar su
curvatura en ese instante.
2 3
1 1
20 y 15
4 6
x t y t
= + = −

EJEMPLO
 El rodillo A de la figura está
restringido a deslizar sobre la
trayectoria curva mientras se
desplaza en la ranura vertical
del miembro BC. El miembro BC
se desplaza horizontalmente.
(a) Obtenga las ecuaciones
para la velocidad y la
aceleración de A, exprésela en
términos de
(b) Calcule la velocidad y la
aceleración cuando
, , ,
b x x x
2
ˆ ˆ
10 ; 4 ; 10 / ;
ˆ
8 /
b cm x icm x icm s
x icm s
= = =
= −

2.3 MOVIMIENTO CURVILÍNEO PLANO
Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano.
( ) ( ) ( )
r t x t i y t j
= +
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1 2 1
r r t r t
r x x i y y j
 = −
 = − + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y
v t v t i v t j
v t x t i y t j
= +
= +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y
x y
a t a t i a t j
a t v t i v t j
a t x t i y t j
= +
= +
= +

2.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es caso mas simple del movimiento
plano, en el cual ax = 0 y ay = - g =
- 9.81 m/s2 =-32.2 pies/s2. En la figura
se muestra este movimiento y su
trayectoria

2.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis
Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis
(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para
poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la
aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie);
(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña
como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio
(aceleración de la gravedad) terrestre con la altura;
(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como
para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al
movimiento del proyectil y
(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que,
como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia
la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en
el hemisferio Norte.

DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE
UN PROYECTIL.

2.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
x
x
x
v v a t
x x v t a t
v v a x x
= +
= + +
= + −
0
0 0
0
( )
( )
( )
x x
x
x x
v v
x x v t
v v
=
= +
=

2.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
y y y
y y
y y y
v v a t
y y v t a t
v v a y y
= +
= + +
= + −
0
2
0 0
2 2
0 0
( )
1
( )
2
( ) 2 ( )
y y
y
y y
v v gt
y y v t gt
v v g y y
= −
= + −
= − −

2.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO.
Altura máxima y Alcance.
Cuando se estudia el movimiento de
proyectiles, dos características son
de especial interés.
1. El alcance R, es la máxima
distancia horizontal alcanzada
por el proyectil
2. La altura máxima h alcanzada
por el proyectil

=
2 2
sin
2
i i
v
h
g

=
2
sin2
i i
v
R
g

2.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO:
Alcance alcanzado por el proyectil
El máximo alcance es logrado cuando el ángulo
de lanzamiento es 45°.

Ejemplo
Un saco desliza por una
rampa saliendo de su
extremo con una
velocidad de 12 m/s. Si
la altura de la rampa es
6 m desde el piso.
Determine el tiempo
necesario para que saco
impacte contra el piso y
la distancia horizontal R
que avanza.

Ejemplo
La máquina de picar está diseñada para extraer madera
en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el
tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se
muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán
los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la
salida es 6 m.

Ejemplo
La pista de carreras de este evento fue diseñado para que los
pilotos puedan saltar de la pendiente de 30°, desde una altura de
1m. Durante la carrera, se observó que el conductor permaneció
en el aire 1.5 s. Determine la velocidad de salida de la pendiente,
la distancia horizontal alcanzada y la altura máxima que se eleva
el piloto y su moto. Desprecie el tamaño de ambos.

Ejemplo
Un jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto
según el ángulo de θ = 50° con la horizontal. Determine la
rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste
en el centro del aro. ¿Con qué rapidez pasa la pelota a
través del aro?.

Ejemplo
Un bombero desea saber la altura máxima de la pared a la cual
puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. ¿A
qué ángulo θ, respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla
para lograr el objetivo?

Ejemplo
La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa
con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de 40° respecto
a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la
distancia horizontal R que viaja y el tiempo que
permanece en el aire

Ejemplo
El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de θA = 25° y
aterriza en el punto B de la pendiente. Determine la velocidad
inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire.

Ejemplo
 El hombre lanza una pelota con una velocidad inicial
v0 = 15 m/s . Determine el ángulo θ bajo el cual podría
lanzar la pelota del tal manera que choque contra la
valla en un punto de máxima altura posible. El
gimnasio tiene una altura de 6 m.

2.5 MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS
PARTÍCULAS USANDO EJES EN
TRASLACIÓN.
➢ Existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una
partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el
movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia.
➢ Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice
de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo
si observamos primero el movimiento del avión a partir de un
sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente
el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco
de referencia móvil unido al aeroplano.

2.5 MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS
PARTÍCULAS USANDO EJES EN
TRASLACIÓN.
➢ El estudio del movimiento solo a marcos de referencia en
traslación.

2.5.1 MOVIMIENTO RELATIVO: POSICIÓN
 Consideremos dos partículas A y B
moviéndose en las trayectorias
mostradas.
 Las posiciones absolutas de A y B
con respecto al observador fijo en el
marco de referencia OXYZ serán
 El observador B sólo experimenta
traslación y se encuentra unidos al
sistema de referencia móvil Oxyz
 La posición relativa de A con
respecto al observador B , es
A
r OA
= B
r OB
=
/
A B A B
r r r
= +

2.5.2 MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD
 Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene
/
A B A B
v v v
= +

2.5.3 MOVIMIENTO RELATIVO: ACELERACIÓN
 Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
/
A B A B
a a a
= +

Ejemplo
 Un tren T, viajando a
una velocidad
constante de 90 km/ h,
cruza una carretera,
como se muestra en la
figura. Si el automóvil A
está viajando por la
carretera con una
velocidad de 67,5
km/h. Determine la
magnitud y dirección
de la velocidad relativa
del tren con respecto al
auto.

SOLUCIÓN
 La velocidad relativa es
medida desde el observador
ubicado en el auto al cual se le
asocia el sistema de referencia
OX’Y’,
 Como las velocidades de T y A
son conocidas, entonces la
velocidad relativa se obtiene
de:
/
/
/
90 (67.5cos45 67.5sin 45 )
{42.3 47.7 ) /
T A T A
T A
T A
v v v
i i j v
v i j km h
= +
= + +
= −

SOLUCIÓN
 La magnitud de la velocidad relativa será
 La dirección de la velocidad relativa es
2 2 2
/ (42.3 47.7 ) 63.8 /
T A
v km h
= + =
( )
( )
/
/
47.7
tan
42.3
48.40
T A y
T A x
v
v


= =
=

EJEMPLO
 Dos aviones están volando
horizontalmente a la misma
elevación, como se indica en la
figura. El avión A está volando
en una trayectoria recta, y en
el instante mostrado desarrolla
una velocidad de 700 km/h y
una aceleración de 50 km/h2. El
avión B está volando en una
trayectoria curva circular de
400km de radio con una
rapidez de 600 km/h y está
decreciendo su rapidez a razón
de 100 km/h2. Determine la
velocidad y la aceleración
relativa de B medida por el
piloto A.

SOLUCIÓN
 Al avión A esta moviéndose
rectilíneamente y se asocia un
marco de referencia móvil Ox’y’.
 La velocidad relativa de B respecto
de A es
 El avión B tiene aceleración
normal y tangencial pues se
mueve en una curva.
 La aceleración normal será
 Aplicando la ecuación para
determinar la aceleración
relativa se tiene
/
/
/
600 700
100 / 100 /
B A B A
B A
B A
v v v
v
v km h km h
= +
= +
= − = 
( )
2
2
900 /
B
B n
v
a km h

= =
 
/
/
2
/
900 100 50
900 150 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j j a
a i j km h
= +
− = +
= −

EJEMPLO
 En un determinado
instante los carros A y B
están viajando con
velocidades de 18m/s y
12m/s, respectivamente.
Además en dicho instante
la velocidad de A está
disminuyendo a razón de
2m/s2 y B experimenta un
incremento de su
velocidad a razón de 3
m/s2. Determine la
velocidad y la aceleración
de B con respecto de A

SOLUCIÓN
 El sistema de referencia fijo está en tierra y el
marco móvil en el auto A. Por tanto se tiene
 La dirección de la velocidad relativa será
( )
 
/
/
/
2 2
/
12 18cos60 18sin 60
9 3.588 /
9 3.588 9.69 /
B A B A
B A
B A
B A
v v v
j i j v
v i j m s
v m s
= +
− = − − +
= +
= + =
( )
( )
/
/
3.588
tan
9
21.7
B A y
B A x
v
v


= =
=

 La aceleración normal será
 La aceleración relativa será
 Su dirección será
( )
2
2
1.440 /
B
B n
v
a m s

= =
( ) ( )
 
/
/
2
/
1.440 3 2cos60 2sin60
2.440 4.732 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j i j a
a i j m s
= +
− − = + +
= − =
2
/ 5.32 /
62.7
B A
a m s

=
=

EJEMPLO
 Los pasajeros que viajan en
el avión A que vuela
horizontalmente a velocidad
constante de 800 km/h
observan un segundo avión
B que pasa por debajo del
primero volando
horizontalmente. Aunque el
morro (punta) de B está
señalando en la dirección
en la dirección 45° noreste,
el avión B se presenta a los
pasajeros de A como
separándose de éste bajo el
ángulo de 60° representado.
Halle la velocidad
verdadera de B.

SOLUCIÓN
 El marco móvil está asociado al avión A donde se
efectúan las observaciones relativas
 La velocidad de A es conocida en módulo y
dirección, el ángulo de 60° de la velocidad relativa
de B respecto de A es conocido y la velocidad
verdadera de B tiene una dirección de 45°.
Entonces tenemos.
/
B A B A
v v v
= +
/ / /
ˆ
(800 ) /
ˆ ˆ
[ cos45 45 ]
ˆ ˆ
[ cos60 60 ]
A
B B B
B A B A B A
v i km h
v v i v sen j
v v i v sen j
=
=  + 
= −  + 

 Aplicando estas ecuaciones en la velocidad
relativa se tiene
 Resolviendo estas ecuaciones se obtiene
/
/
ˆ:
cos45 800 cos60
ˆ:
45 60
B B A
B B A
componente i
v v
componente j
v sen v sen
 = − 
 = 
/ 586 / ; 717 /
B A B
v km h v km h
= =

2.6 COMPONENTES TANGENCIAL Y
NORMAL
 Determinar las componentes normal y tangencial de
la velocidad y la aceleración de una partícula que se
encuentra moviéndose en un trayectoria curva.

NORMAL
APLICACIONES
Cuando un auto se mueve en una
curva experimenta una
aceleración, debido al cambio en
la magnitud o en la dirección de la
velocidad.
¿Podría Ud. preocuparse por la
aceleración del auto?.
Si el motociclista inicia su
movimiento desde el reposo e
incrementa su velocidad a razón
constante. ¿Cómo podría
determinar su velocidad y
aceleración en la parte más alta
de su trayectoria.

NORMAL
3. POSICIÓN
Cuando la trayectoria de una
partícula es conocida, a veces
es conveniente utilizar las
coordenadas normal (n) y
tangencial (t) las cuales actúan
en las direcciones normal y
tangencial a la trayectoria.
En un movimiento plano se
utilizan las vectores unitarios ut y
un
El origen se encuentra ubicado
sobre la trayectoria de la
partícula.
El eje t es tangente a la
trayectoria y positivo en la
dirección del movimiento y
el eje n es perpendicular al
eje t y esta dirigido hacia el
centro de curvatura

NORMAL
POSICIÓN
En un movimiento plano las
direcciones n y t se
encuentran definidas por los
vectores unitarios ut y un.
El radio de curvatura ρ, es la
distancia perpendicular
desde curva hasta el centro
de curvatura en aquel punto.
La posición es la distancia S
medida sobre la curva a
partir de un punto O
considerado fijo.

NORMAL
VELOCIDAD
Debido a que la partícula se
esta moviendo, la posición S
está cambiando con el
tiempo.
La velocidad v es un vector
que siempre es tangente a la
trayectoria y su magnitud se
determina derivando respecto
del tiempo la posición S = f(t).
Por lo tanto se tiene
/
t
v vu
v s dS dt
=
= =

NORMAL
ACELERACIÓN
Consideremos el movimiento de
una partícula en una trayectoria
curva plana
En el tiempo t se encuentra en P
con una velocidad v en
dirección tangente y una
aceleración a dirigida hacia la
concavidad de la curva. La
aceleración puede
descomponerse en una
componente tangencial at
(aceleración tangencial)
paralela a la tangente y otra
paralela a la normal an
(aceleración normal)
La aceleración tangencial
es la responsable del
cambio en el modulo de la
velocidad.
La aceleración normal es la
responsable del cambio en
la dirección de la velocidad.

2.6 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIÓN
Tracemos en A un vector
unitario . La aceleración será
Si la trayectoria es una recta,
el vector sería constante en
magnitud y dirección, por
tanto
Pero cuando la trayectoria es
curva la dirección de
cambia por lo tanto
ˆ ˆ
( )
ˆ
t t
t
d ve de
dv dv
a e v
dt dt dt dt
= = = +
ˆ
0
t
de
dt
=
ˆt
e
ˆt
e
ˆt
e
ˆ
0
t
de
dt


NORMAL
ACELERACIÓN
Introduzcamos el vector unitario
normal a la curva y dirigido
hacia el lado cóncavo de la
curva. Sea β el ángulo que
forma la tangente en A con el
eje x. Entonces se tiene
La derivada del vector unitario
tangente será
ˆn
e
ˆ
ˆ cos
ˆ
ˆ cos( ) ( )
2 2
ˆ
ˆ cos
t
n
n
e i sen j
e i sen j
e sen i j
 
 
 
 
= +
= + + +
= − +
ˆ ˆ
( ) cos
ˆ
ˆ
t
t
n
de d d
sen i j
dt dt dt
de d
e
dt dt
 
 

= − +
=

NORMAL
ACELERACIÓN
 Por otro lado se tiene que
 Donde dS es el pequeño arco a
lo largo del movimiento en un
dt.
 Las normales a la curva en A y
A´ se intersecan en C. Entonces
 La razón de cambio del vector
unitario tangencial es
d d dS d
v
dt dS dt dS
  
= =
1
dS d
d
dS
 


=
=
ˆ 1
ˆ
t
n
de
e
dt 
=

NORMAL
ACELERACIÓN
Reemplazando esta ecuación
en la aceleración se tiene
Es decir las aceleraciones
tangencial y normal se escriben
La magnitud de la aceleración total
será
2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
t
t
t n
t t n n
de
dv
a e v
dt dt
dv v
a e e
dt
a a e a e

= +
= +
= +
2
ˆ ˆ
:
t t t n
dv v
a e a e
dt 
= =
2 2
t n
a a a
= +

CASOS ESPECIALES
1. La partícula se mueve a lo largo de una línea
recta.
r →  => an = v2/r = 0 => a = at = v
La componente tangencial representa la razón de
cambio de la magnitud de la velocidad.
2. La partícula se mueve en la curva a velocidad
constante.
at = v = 0 => a = an = v2/r
La componente normal representa la razón de
cambio de la dirección de la velocidad.

3. La componente tangencial de la aceleración es
constante, at = (at)c.
So y vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0
4. La partícula se mueve a lo largo de la trayectoria dada
por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es:
2
0 0
0
2 2
0 0
1
( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
= + +
= +
= + −
2 3/2
2 2
[1 ( / ) ]
/
dy dx
d y dx

+
=
CASOS ESPECIALES

Ejemplo
Un esquiador viaja con
una rapidez de 6 m/s la se
está incrementando a
razón de 2 m/s2, a lo largo
de la trayectoria
parabólica indicada en la
figura. Determine su
velocidad y aceleración
en el instante que llega a
A. Desprecie en los
cálculos el tamaño del
esquiador.

Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.
▪ La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su
dirección será, si: x= 10; y=5
Solución
𝒚 =
𝒙𝟐
𝟐𝟎
,
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐𝟎
𝒅 𝒙𝟐
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐𝟎
𝟐𝒙 =
𝒙
𝟏𝟎
=
𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟏
▪ Por lo tanto en A la velocidad forma 45°
con el eje x
∅ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟏 = 𝟒𝟓°

Solución
▪ La aceleración se determina
aplicando la ecuación
▪ Para ello se determina el
radio de curvatura
2
ˆ ˆ
t n
dv v
a e e
dt 
= +
2
2
ˆ ˆ
6
ˆ ˆ
2
28,3
ˆ ˆ
2 1, 27
A t n
A t n
A t n
dv v
a e e
dt
a e e
a e e

= +
= +
= +
𝝆 =
𝟏 +
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐
𝟑
𝟐
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
𝝆 =
𝟏 +
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟏𝟎
=
𝟏 + 𝟏
𝟑
𝟐
𝟎. 𝟏
=
𝟐. 𝟖𝟐𝟖𝟒
𝟎. 𝟏
= 𝟐𝟖. 𝟐𝟖𝒎

Solución
▪ La magnitud y la dirección de la
aceleración serán
𝒂 = 𝟐𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟕𝟑𝟐 = 𝟓. 𝟔𝟐 = 𝟐. 𝟑𝟕 Τ
𝒎 𝒔𝟐
𝑡𝑎𝑛∅ =
𝑎𝑡
𝑎𝑛
∅ = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟐
𝟏.𝟐𝟕𝟑
=57.5°

Ejemplo
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal
circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su
rapidez a razón constante de 2.1 m/s2 partiendo desde el
reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una
aceleración de 2.4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese
instante?

Solución
▪ Se sabe que la
aceleración tangencial es
constante e igual a
▪ La aceleración normal será
▪ La aceleración total será
▪ La velocidad en este instante
será
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
=
= +
= +
2 2
2 2
(2,1 )
0.049 /
90
n
v t
a t m s

= = =
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2,4 2,1 [0.049 ]
4,87
t t n
t n
v
a a e e
a e t e
a t
t
t

= +
= +
= +
= +
=
2.1 10.2 /
v t m s
= =

Ejemplo
Una partícula se mueve en una trayectoria curva
de tal manera que en cierto instante tiene una
velocidad v y una aceración a. Demuestre que el
radio de curvatura puede obtenerse a partir de la
ecuación.
3
1 vxa
v

=

Ejemplo
Sabemos que la aceleración
en cualquier instante es
Multiplicando ambos
miembros por la velocidad v
tenemos
Debido a que la aceleración
tangencial son colineales su
producto vectorial es nulo.
Entonces tenemos
Remplazado la
aceleración normal
tenemos
t n
a a a
= +
( )
t n
t n
t n
a a a
vxa vx a a
vxa vxa vxa
= +
= +
= +
0
90
n
n n
n
n
vxa vxa
vxa vxa
vxa vxa va sen va
= +
=
= =  =
2
3
( )
1
v
vxa v
vxa
v


=
=

Ejemplo
 Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de
una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad .
Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del
bote en t = 3 s.

Ejemplo
Un avión viaja a lo largo de una
trayectoria parabólica vertical
en el punto A el avión tiene una
velocidad de 200 m/s la cual se
incrementa a razón de 0,8 m/s2.
Determine la magnitud de la
aceleración del avión cuando pase
por A.
2
0,4
y x
=

Ejemplo
 El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s
a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura
de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el
vértice. Calcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad de tiempo.

2.7 COMPONENTES RADIAL TRANSVERSAL
ACELERACIÓN

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