Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática del movimiento curvilíneo y del movimiento relativo entre dos partículas. Explica cómo calcular las componentes rectangulares y normales/tangenciales de la posición, velocidad y aceleración de una partícula en movimiento curvilíneo. También describe cómo analizar el movimiento dependiente de dos partículas usando coordenadas fijas y en traslación, y relacionar sus posiciones, velocidades y aceleraciones a través de ecuaciones vectoriales. El documento

1. DINÁMICA
CAPÍTULO VIII
CINEMÁTICA DE LA
PARTÍCULA
MSc. Andrés Velástegui Montoya
Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT)
andvelastegui@gmail.com
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2. Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Posición. Si en un instante dado la partícula P está en un punto
(x,y,z) sobre la trayectoria curva s, su ubicación es definida entonces
por el vector de posición:
La magnitud de r es siempre positiva y está definida por la ecuación.
La dirección de r es especificada mediante las componentes del
vector unitario ur = r/r.
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3. Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Velocidad. La primera derivada con respecto al tiempo de r
proporciona la velocidad v de la partícula. Por tanto,
donde:
La notación “punto” representa las primeras derivadas de las
ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) respectivamente.
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4. Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Velocidad
La velocidad tiene una magnitud definida como el valor positivo de
y una dirección que es especificada por las componentes del vector
unitario UB = v/v. Esta dirección es siempre tangente a la
trayectoria, como se muestra en la figura
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5. Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Aceleración. La aceleración de la partícula se obtiene tomando
la primera derivada con respecto al tiempo de la ecuación.

donde
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6. Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Aceleración
La aceleración tiene una magnitud definida por el valor
positivo de
y una dirección especificada por las componentes del vector
unitario ua = a/a; a no será tangente a la trayectoria.
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7. Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
PUNTOS IMPORTANTES
 El movimiento curvilíneo puede causar cambios tanto en la magnitud
como en la dirección de los vectores posición, velocidad y
aceleración.
 El vector velocidad siempre está dirigido tangencialmente a la
trayectoria.
 En general, el vector aceleración no es tangente a la trayectoria, sino
más bien, es tangente a la hodógrafa.
 Si el movimiento es descrito usando coordenadas rectangulares,
entonces las componentes a lo largo de cada uno de los ejes no
cambian en dirección, sólo cambiarán su magnitud y sentido.
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8. Ejercicio
 En cualquier instante, la posición horizontal del globo meteorológico
mostrado en la figura es definida por x = (8t) pies, donde t está en segundos.
Si la ecuación de la trayectoria es y = x2/10, determine (a) la distancia del
globo a la estación ubicada en A cuando t = 2 s, (b) la magnitud y la
dirección de la velocidad cuando t = 2 s, y (c) la magnitud y la dirección de
la aceleración cuando t = 2 s.
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9. Movimiento curvilíneo:
Componentes normal y tangencial
 Velocidad. Dado que la partícula se está moviendo, s es una función
del tiempo. La velocidad v de la partícula tiene una dirección que es
siempre tangente a la trayectoria y una magnitud que es determinada
tomando la derivada con respecto al tiempo de la función trayectoria
s = s(t), es decir, v = ds/dt.
donde
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10. Movimiento curvilíneo:
Componentes normal y tangencial
 Aceleración.
La aceleración de la partícula es la razón de cambio con
respecto al tiempo de la velocidad. Así,

donde
o
y
Esas dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en la
figura, en cuyo caso la magnitud de la aceleración es el valor positivo de
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11. Movimiento curvilíneo:
Componentes normal y tangencial
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Sistema coordenado
 Si la trayectoria de la partícula es conocida, podemos establecer un
conjunto de coordenadas n, t que tenga un origen fijo que coincida
con la partícula en el instante considerado.
 El eje tangente positivo actúa en la dirección del movimiento y el eje
normal positivo está dirigido hacia el centro de curvatura de la
trayectoria.
Velocidad
 La velocidad de la partícula es siempre tangente a la trayectoria.
 La magnitud de la velocidad se encuentra a partir de la derivada con
respecto al tiempo de la función trayectoria.
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12. Movimiento curvilíneo:
Componentes normal y tangencial
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Aceleración tangencial
 La componente tangencial de la aceleración es el resultado de la razón de
cambio con respecto al tiempo en la magnitud de la velocidad. Esta
componente actúa en la dirección positiva s cuando la rapidez de la
partícula está creciendo, o en la dirección opuesta si la rapidez está
disminuyendo.
 Las relaciones entre a,, v,t y s son las mismas que para el movimiento
rectilíneo, es decir,
 Si a, es constante, at = (at)c, las ecuaciones anteriores, al ser integradas, dan
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13. Movimiento curvilíneo:
Componentes normal y tangencial
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Aceleración normal
 La componente normal de la aceleración es el resultado de la razón de
cambio con respecto al tiempo en la dirección de la velocidad de la
partícula. Esta componente siempre está dirigida hacia el centro de
curvatura de la trayectoria, es decir, a lo largo del eje n positivo.
 La magnitud de esta componente es determinada a partir de
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14. Tarea
 (53) El automóvil está originalmente en reposo en s = 0. Si su rapidez es
incrementada en a = (0.05t2) pies/s2, donde t está en segundos, determine las
magnitudes de su velocidad y su aceleración cuando t = 18 s.
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15. Tarea
 (54) El automóvil está originalmente en reposo en s = 0. Si empieza a
incrementar su rapidez en a = (0.05t2) pies/s2. donde t está en
segundos, determine las magnitudes de su velocidad y su aceleración en s =
550 pies.
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16. Tarea
 (55) El camión viaja en una trayectoria circular coa radio de 50 m a una
rapidez de 4 m/s. Por una corta distancia desde s = 0, su rapidez es
incrementada en a = (0.05s) m/s2. donde s está en metros. Determine su
rapidez y la magnitud de su aceleración cuando ha recorrido s = 10 m.
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17. Tarea
 (56) El camión viaja con rapidez de 4 m/s a lo largo de un camino circular
que tiene radio de 50 m. Por una corta distancia desde s = 0, su rapidez se
incrementa en s = (0.05s) m/s2, donde s está en metros. Determine su
rapidez y la magnitud de su aceleración cuando el camión se ha desplazado
s = 10 m.
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18. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
 En algunos tipos de problemas el movimiento de una
partícula dependerá del movimiento correspondiente de
otra partícula. Esta dependencia ocurre comúnmente si las
partículas están interconectadas por cuerdas inextensibles
que se encuentren enrolladas alrededor de poleas.
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19. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
 El método anterior de relacionar el movimiento dependiente de
una partícula con el movimiento de otra puede ser efectuado
usando escalares algebraicos o coordenadas de posición siempre
que cada partícula se mueva a lo largo de una trayectoria
rectilínea.
 Cuando es este el caso, sólo cambiarán las magnitudes de la
velocidad y la aceleración de las partículas, no sus líneas de
dirección.
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20. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Ecuación de la coordenada de posición
 Establezca coordenadas de posición que tengan su origen en un
punto fijo o datum,
 Las coordenadas están dirigidas a lo largo de la trayectoria del
movimiento y se extienden hacía un punto que tiene el mismo
movimiento que cada una de las partículas.
 No es necesario que el origen sea el mismo para cada una de las
coordenadas: sin embargo, es importante que cada eje coordenado
seleccionado esté dirigido a lo largo de la trayectoria del
movimiento de la partícula.
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21. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Ecuación de la coordenada de posición
 Usando geometría o trigonometría, relacione las coordenadas con
la longitud total de la cuerda, lT, o con esa porción de cuerda, l,
que excluye los segmentos que no cambian de longitud cuando las
partículas se mueven sobre las poleas,
 Si un problema implica un sistema de dos o más cuerdas
enrolladas alrededor de poleas, entonces la posición de un punto
sobre una cuerda debe ser relacionada con la posición de un punto
sobre otra cuerda usando el procedimiento anterior. Se escriben
ecuaciones separadas para una longitud fija de cada cuerda del
sistema y las posiciones de las dos partículas son entonces
relacionadas mediante esas ecuaciones.
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22. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Derivadas con respecto al tiempo
 La primera derivada con respecto al tiempo de las ecuaciones de
la coordenada de posición dan las ecuaciones de velocidad y dos
derivadas sucesivas con respecto al tiempo dan las ecuaciones de
aceleración requeridas que relacionan los movimientos de las
partículas.
 En estas ecuaciones, los signos de los términos serán consistentes
con aquellos que especifiquen los sentidos positivo y negativo de
las coordenadas de posición.
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23. Ejercicio
 Determine la rapidez del bloque A que se ilustra en la figura si
el bloque B tiene una rapidez hacia arriba de 6 pies/s.
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24. Ejercicio
 Determine la rapidez del bloque A que se ilustra en la figura si
el bloque B tiene una rapidez hacia arriba de 6 pies/s.
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25. Ejercicio
 Determine la rapidez con que se eleva el bloque B mostrado si
el extremo de la cuerda en A jalado hacia abajo con de 2 m/s.
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26. Análisis del movimiento relativo de dos
partículas usando ejes en traslación
 Posición. Considere las partículas A y B que se mueven a lo
largo
de
las
trayectorias
arbitrarias
bb, respectivamente, como se muestra en la figura.
aa
y
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27. Análisis del movimiento relativo de dos
partículas usando ejes en traslación
 Posición
La posición absoluta de cada partícula rA y rB es medida desde
el origen común O del marco de referencia fijo x,y,z. El origen
de un segundo marco de referencia x',y',z' está unido a a, y se
mueve con, la partícula A. A los ejes de este marco sólo les es
permitido trasladarse con respecto al marco fijo.
La posición relativa de “B con respecto a A” es designada
mediante un vector de posición relativa rB/A.
Usando la suma vectorial, los tres vectores mostrados en la
figura pueden ser relacionados mediante la ecuación
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28. Análisis del movimiento relativo de dos
partículas usando ejes en traslación
 Velocidad. Una ecuación que relaciona las velocidades de
las partículas puede ser obtenida tomando la derivada con
respecto al tiempo de la ecuación
Obteniendo:
Aquí. vB = drB/dt y vA = drA/dt se refieren a velocidades
absolutas, ya que éstas son observadas desde el marco
fijo, mientras que la velocidad relativa vB/A = drB/A/dt es
observada desde el marco en traslación.
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29. Análisis del movimiento relativo de dos
partículas usando ejes en traslación
 Aceleración. La derivada con respecto al tiempo de la
ecuación
Resulta en una relación vectorial similar entre
aceleraciones absoluta y relativa de las partículas A y B.
las
Aquí, aB/A es la aceleración de B vista por el observador
localizado en A.
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30. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
 Al aplicar la ecuación de posición relativa, rB = rA +
rB/A, primero es necesario especificar las ubicaciones de
los ejes fijos x,y, z, y de los ejes en traslación x', y', z'.
 Usualmente, el origen A de los ejes en traslación se ubica
en un punto que tiene una posición conocida, rA.
 Una representación gráfica de la suma vectorial rB = rA +
rB/A puede ser mostrada, y tanto las cantidades conocidas
como las desconocidas pueden señalarse en el croquis.
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31. Análisis del movimiento absoluto
dependiente de dos partículas
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
 Como la suma vectorial forma un triángulo, puede haber
cuando mucho dos incógnitas, representadas por las
magnitudes y/o las direcciones de las cantidades vectoriales.
 Estas incógnitas pueden encontrarse gráficamente usando
trigonometría, o resolviendo cada uno de los tres vectores rB, rA
y rB/A en componentes rectangulares o cartesianas, generando
así un conjunto de ecuaciones escalares.
 Las ecuaciones de movimiento relativo vB = vA + vB/A y aB = aA
+ aB/A son aplicadas de la misma manera que antes, excepto
que en este caso el origen O de los ejes fijos x,y,z no tiene que
ser especificado.
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32. Ejercicio
 Un tren, viajando con rapidez constante de 60 mi/h, cruza sobre un camino
como se muestra en la figura. Si el automóvil A viaja a 45 mi/h a lo largo
del camino, determine la magnitud y la dirección de la velocidad relativa del
tren con respecto al automóvil.
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33. Tarea
 (57) Si el extremo del cable situado en A es jalado hacia abajo con rapidez
de 2 m/s, determine la rapidez con que se levanta el bloque B.
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34. Tarea
 (58) Determine el desplazamiento del bloque situado en B si A es jalado
hacia abajo 4 pies.
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35. Tarea
 (59) Dos botes dejan la orilla al mismo tiempo y viajan en las direcciones
mostradas. Si vA = 20 pies/s y vB = 15 pies/s. determine la rapidez del bote A
con respecto al bote B. ¿Cuánto tiempo después de dejar la orilla los botes
estarán a 800 pies uno de otro?
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36. Tarea
 (60) Un hombre puede remar un bote a 5 m/s en aguas tranquilas. Él quiere
cruzar un río de 50 m de ancho para llegar al punto B, 50 m aguas abajo. Si
el río fluye con velocidad de 2 m/s, determine la rapidez del bote y el
tiempo necesario para efectuar el cruce.
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