Repaso cinemática

1. Algunos tipos de movimientos
CINEMÁTICA II

2. 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme: M.R.U.
2. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado: M.R.U. A.
- Composición de movimientos
3. Movimientos circulares

3. 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme: M.R.U.
Características-:T rayectoria rectilínea
-- velocidad constante
Recuerda: en las trayectorias rectilíneas, el módulo del vector desplazamiento es
Igual a la distancia recorrida.
Ecuaciones del movimiento:

r
t



 
r v t
v
  

t  s 
r
0 0
  
r  r  v 
t

0
  
r r vt
  0
Vector de posición en cualquier instante
Vector de posición inicial (t= 0s)
Vector velocidad, que en este caso, es constante
Tiempo en el que se quiere conocer la posición

4. 2. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado: M.R.U. A.
Características-:T rayectoria rectilínea
-- aceleración constante (velocidad variable)

v
t
a



t s
 
v a t

0
0   
  
v  v  a 
t

0
;
Ecuaciones del movimiento:
  
v  v  a  t
0
  
v  v  a 
t

r
t

v



t s
no es cons te

  
r r v t
m
 
0
La velocidad media será
   
  
r r v t at
_ _ _ :
    
v v v v at

v
f
m
0 0 0




Sustituyendo v
m
 
1
( )
r  r  v  at )

t
2
(
_ :
2
2
0
( _ _ tan )
0 0
0
0
   
2
1
0 0 2

5. Podemos obtener una tercera ecuación del movimiento al juntar las dos
ecuaciones anteriores y nos servirá para aquellos problemas en los que
no conozcamos el tiempo:
   
1
r r v t at
 
v v
  
Sustituimos en la de arriba
_ _ _ _ :
1
2
 
v v

 
, :
;
2
2
 
v v
 
0 0
0 0
0
0
2
0 0
Desarrollando otenemos
a
a
a
r r v
a
v v at t





  



  

  



  

  
   
  2  2
v v a r
0
2

6. M.R.U.A: Casos particulares
Caída libre y tiro vertical hacia abajo:
Es un movimiento que se realiza bajo la acción de la gravedad,
la cual es la que actúa de aceleración del movimiento.
Colocamos, como siempre, nuestra sistema de referencia.
En este caso el movimiento se realiza en el eje Y.
El S.R. puede estar arriba (punto de caída) o abajo (suelo)
 
y 
hj
0
 
v  
vj
 
X
Y
yo
v0
a= g a  
gj
0
2
   1

  
r r v t at
0 0 2
En esta ecuación, ya se particulariza con cada caso.
Puede ser que el objeto se deje caer y no se le imprima
una velocidad inicial (caída libre)

7. Lanzamiento hacia arriba
X
Y
v0
a= g
yo
2
   1

  
r r v t at
0 0 2
  
v  v  a  t
0
De nuevo estamos ante un MRUA, donde la gravedad es la que actúa de aceleración
En este caso, la gravedad tiene dirección y sentido de -j
La velocidad inicial tiene dirección y sentido +j
Si colocas el S.R. en el suelo, no tiene altura inicial: r0 = 0 m
Cuando alcanza la máxima altura, hay un instante donde su velocidad se anula, y
empieza un movimiento de caída libre.

8. Composición de movimientos
http://www.educaplus.org/movi/4_1rio.html Pincha sobre este enlace
Movimientos parabólicos
En este caso tendremos dos movimientos diferentes en el eje X y el eje Y,
cuya suma es el tiro parabólico.

9. Eje X: no actúa ninguna fuerza, por lo que recordando la segunda ley de Newton del
Año pasado, no hay aceleración y, por tanto, estamos ante un M.R.U.
  
r r vt
  0
Eje Y: actúa la fuerza gravitatoria hacia abajo, donde la gravedad actúa como
aceleración del movimiento. Estamos ante un M.R.U.A.
2
   1

  
r r v t at
0 0 2
Una aproximación importante es que despreciamos el rozamiento del aire, así la trayectoria
es simétrica respecto a la vertical que pasa por el punto máximo de altura..
Además, estudiaremos cada eje por separado, como movimientos independientes
Cuya suma es el movimiento global parabólico (acuérdate, así lo dedujo Galileo)
El objeto será lanzado con una cierta velocidad inicial que formará un ángulo
con la horizontal.

10. Lo primero que hay que hacer es un dibujo de la situación y colocar el S.R. en el
punto de lanzamiento.
A continuación, hay que dibujar las distintas variables que
intervienen en este movimiento.
Como la velocidad posee un cierto ángulo de lanzamiento, hay
que descomponerla en el eje X y en el eje Y, que corresponderán
con las velocidades iniciales en ambos ejes.
Además, en el eje Y hay que dibujar la gravedad hacia abajo.
v0
g
v0x
v0y
g
Del inicio del movimiento hasta el punto más alto,
la componente de la velocidad Y va disminuyendo,
hasta anularse en el punto máximo.
La componente X de la velocidad no se variada.
Del punto máximo hasta el final del movimiento empieza
de nuevo a aumentar la velocidad, aunque en este caso
en el sentido –j.

11. Variables a calcular:
Tiempo de vuelo: es cuando el objeto lanzado alcanza de nuevo el suelo, donde
la componente y = 0.
Alcance máximo: es la distancia x recorrida por el móvil, donde de nuevo se cumple
que la componente y = 0.
Altura máxima: si observas el dibujo de abajo, la altura máxima se alcanza cuando la
componente v0y se anula. Con esta, se calcula el tiempo que tarda en alcanzarse dicha
altura y, después, la componente ymax.
La altura máxima depende de:
-la velocidad inicial. Cuanto más rápido salga más alto subirá.
- del ángulo de lanzamiento, que será máximo, lógicamente a un ángulo de 90º
(lanzamiento vertical)
hmáx

12. Tiro horizontal
Es cuando el objeto lanzado se hace con un ángulo de 0º, es decir, paralelo a la horizontal.
En esta ocasión, sólo tiene componente X de la velocidad inicial, mientras que en el eje
Y actúa la gravedad como aceleración y es la causante de que el cuerpo caiga, describiendo
una media parábola.
h0
En el eje X, al no actuar ninguna fuerza será M.R.U.
En el eje Y actúa la gravedad, por lo que M.R.U.A.,
pero con velocidad inicial nula.
v0X
En estos casos, pueden solicitar el alcance máximo del tiro. Como puedes observar esto
va a ocurrir cuando la componente Y se anula, si colocas el S.R. como se muestra en la
figura.
Así mismo, el tiempo de vuelo también será cuando y= 0.

13. 3. Movimientos circulares
Características: - Trayectoria circular
Tipos:
M.C.U.: el módulo de la velocidad se mantiene constante, aunque no la dirección
por lo que siempre tendrá aceleración normal (tangencial no)
M.C.U.A.: tiene una aceleración angular constante.
Para describir este tipo de movimientos se utilizan más las magnitudes angulares,
siendo éstas:
-Posición angular: Θ
-Velocidad angular: ω
- Aceleración angular: α
Vamos a estudiar cada una de ellas

14. 3.1. La posición angular
La posición angular indica el ángulo θ, con respecto a un origen
arbitrario de ángulos, descrito por el cuerpo que gira.
En el S.I. se mide en radianes (rad)
s
La relación que existe entre el espacio recorrido (s)
y el ángulo descrito (θ), viene dada
por el radio de la circunferencia, de forma que:
rad
m
   
m
s
R
Como puedes observar, si hacemos el análisis dimensional no nos quedaría ninguna unidad.
¿Por qué entonces la unidad hemos dicho que son radianes?
Eso es debido a que, si recuerdas las siete unidades fundamentales del S.I. no se encuentra
ninguna referente al ángulo. Estas magnitudes se denominan unidades suplementarias.
Debes tener en cuenta que:
-360º corresponden a 2π rad (vuelta completa)
- Que la longitud de una circunferencia se calcula como 2πR

15. 3.2. La velocidad angular
Análogamente a como hemos definido la velocidad lineal (cambio de posición respecto
al tiempo), la velocidad angular es la variación de la posición angular respecto al tiempo.
rad
s

t





Otra unidad muy utilizada para la velocidad angular es la revolución por minuto (r.p.m.),
se refiere a una vuelta (revolución) dad en un minuto. La equivalencia sería:
2
1min
2
rpm /
rad s
rev rad
rev s
60
60
1
min
1 1
 
   
Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular:
R

 

t
s
R



s




s
t
s
t
v
R
R
v
t
 





  


 ;

La velocidad lineal es
siempre tangente a la trayectoria

16. Relación entre la velocidad angular y la aceleración normal
Hemos visto la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular. Sustituyendo
en la ecuación de la aceleración normal obtenemos:
R
R
R
v
R
aN
2
2 2 ( )


  
Cambio de unidades de velocidad angular
Aunque en el SI las unidades son rad/s, es muy frecuente encontrarnos la velocidad angular
en r.p.m. (revoluciones por minuto) o r.p.s. (revoluciones por segundo).
Veamos el cambio de unidades:
1min

rpm 17,97 /
rad s
rad
revolución 60
s
1
2
539 

17. 3.3. La aceleración angular
La aceleración angular α es la variación de la velocidad angular respecto al tiempo.
En el SI su unidad será rad/s2



t

Relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial
· ( tan )
R
·
t
R



t

  
v
t
a
v R R es cons te



·
t 







Recuerda: la aceleración tangencial tiene la misma dirección que el
vector velocidad, es decir, tangente a la trayectoria.

19. 3.4. El movimiento circular uniforme (MCU)
Velocidad lineal constante, por tanto, también velocidad angular constante.
Trayectoria circular.
Ecuaciones del movimiento
Si hacemos un paralelismo con el MRU pero con las magnitudes angulares, obtenemos:
t t s
  
  
· ( 0 )
R cte
.
0 0
a R
 

· 0
2
2
v
  
R
T
a
N

(el módulo, no el vector)

20. El periodo y la frecuencia
El MCU es periódico, es decir, se repite en el tiempo, por lo que resulta interesante
utilizar magnitudes como el periodo y la frecuencia para describirlos.
Periodo, T, es el tiempo que tarda el móvil en recorrer una vuelta completa
Al ser un tiempo, se medirá en el SI es segundos (s)
Frecuencia, f ó ν (nu), es la inversa del periodo y determina el número de vueltas que
da el móvil en un segundo. Su unidad en el SI es el Herzio (Hz) o s-1.
  
f



rad
f
rad
T
t
2 ·
1
2
2
(vuelta completa)


 

 

21.   
cte a R cte
 
   
cte a R cte
   
  
 
1
t
·
 
0
     

  2·  ·

·
2
·
2
0
2
t
2
0 0
 
t t
3.6. El MCUA
La aceleración angular es constante (velocidad angular y lineal variables)
Trayectoria circular.
t n
n
a a a
2
·
 
Ecuaciones del movimiento
Positivo si la velocidad angular aumenta con el tiempo
Positivo si aumenta la velocidad angular
Positivo si la velocidad angular aumenta