Física clásica. Magnitudes cinemáticas. MRU. MRUA. MCU.

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TEMA 6: EL MOVIMIENTO.
6.1. Magnitudes básicas en el estudio del movimiento
Cuando medimos la temperatura de un objeto con un termómetro, el
resultado de la medida posee significado pleno, sin necesidad de añadir nada
más: la temperatura es 37 ºC. En estos casos, diremos que la magnitud es una
magnitud escalar, y como ejemplos tenemos, además de la temperatura, la
masa, la densidad, el tiempo, etc.
Sin embargo, hay otras magnitudes físicas que necesitan, para estar plenas
de sentido y significado, añadir otras descripciones a ese valor, por ejemplo,
considérese la velocidad, si decimos que un coche circula a 45 km/h, sabemos
cuánto espacio recorre en un determinado tiempo, pero no sabemos por dónde
los recorre, ni hacia dónde lo hace: no será lo mismo que el coche circule por la
SE-30 que por la calle Imagen, y a su vez, en la calle Imagen, podrá ir hacia La
Campana, o hacia San Pedro. Estas magnitudes se llaman vectoriales, y en
Física se determinan asignándoles un vector. En Matemáticas, un vector es un
segmento orientado, que posee: un punto de aplicación, una dirección (recta
sobre la que se asienta), un sentido (lado de la recta al que apunta la flecha), y
un módulo (largo de la flecha, coincide con el valor numérico de la magnitud). En
estos apuntes, los vectores se representan utilizando las negritas. La mayor
parte de las magnitudes que se utilizan en cinemática son vectoriales, por
ejemplo: velocidad, aceleración, momento lineal, etc. En este curso, aunque se
realizarán algunas referencias puntuales al carácter vectorial de estas
magnitudes, en general prescindiremos del mismo, y las tomaremos como
escalares.
Para poder estudiar un movimiento, lo primero que es necesario es un
sistema de referencia, un punto del que se conozca su movimiento o que esté
en reposo, y respecto del cuál se harán todas las mediciones. En la mayoría de
las ocasiones, esto lo hacemos de manera inconsciente. Por ejemplo, cuando
decimos que hasta Cádiz hay 110 Km, implícitamente, hemos elegido como
sistema de referencia la ciudad de Sevilla.
Estudiar el movimiento de una partícula es decir dónde va a estar dentro de
un cierto tiempo, o dónde ha estado en un momento anterior. Por tanto, es
preciso disponer de una magnitud que nos indique la posición del móvil, esto lo
conseguimos mediante el vector de posición (r), que es un vector que une el
origen de coordenadas con la posición que ocupa el móvil en un instante
determinado. El camino trazado por el móvil se denomina trayectoria, y será, en
general, una línea curva. La longitud recorrida a lo largo la trayectoria es el
espacio recorrido, que no hay que confundirlo con el desplazamiento (d=r)
del móvil, que es el vector que une el punto inicial (P1) y final (P2) del recorrido,
y que en los movimientos no rectilíneos no coincide ni con la trayectoria ni con el
espacio recorrido como puede verse en el siguiente esquema.

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La magnitud física que mide la variación en el tiempo del vector de posición
es la velocidad (v), que como se indicó antes, tiene también carácter vectorial.
La velocidad es un vector que siempre es tangente a la trayectoria en todos sus
puntos. Pese a ello, la consideraremos en todos los casos como una magnitud
escalar, indicando el sentido de la misma con un signo positivo o negativo. Al
estudiar los movimientos circulares, se invocará el carácter vectorial al tratar el
tema de la aceleración en los mismos. En el SI, la velocidad se mide en m/s. La
velocidad media (vm) es un escalar definido como el espacio recorrido por
unidad de tiempo:
t
e
vm 
La velocidad media sólo coincide con la velocidad del objeto si el movimiento es
uniforme, y generalmente no es demasiado útil para describir el movimiento del
objeto. En su lugar se utiliza la velocidad instantánea (v), que es una función
matemática que nos da la velocidad en cada instante.
Por último, existe una magnitud más que es la aceleración (a), que mide la
variación de la velocidad en el tiempo, y que como las dos anteriores, también
es vectorial, aunque seguiremos prescindiendo de este carácter. Se mide en
m/s2, y puesto que sólo consideraremos movimientos rectilíneos con aceleración
constante, se puede escribir:

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t
vv
a if 

donde vf y vi son respectivamente las velocidades final e inicial del objeto.
Las relaciones entre r, v, a y t para un movimiento determinado se
denominan ecuaciones del movimiento, y son las herramientas que permiten
estudiar los mismos.
6.2. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Se define MRU como el que ocurre a lo largo de una trayectoria recta con
velocidad constante, y por lo tanto con aceleración nula.
Como todas las magnitudes que intervienen en el movimiento actúan sobre
la línea recta de la trayectoria, podemos olvidarnos del carácter vectorial de las
magnitudes, y tratarlas como escalares. Esta característica simplifica mucho el
tratamiento matemático y es también aplicable al siguiente tipo de movimiento
que estudiaremos.
La ecuación que gobierna este movimiento es:
r = r0 + v·t
donde r es la posición del móvil en un instante t cualquiera, r0 es la posición
inicial, y v es la velocidad del mismo. Como se ve, la posición es una función
lineal del tiempo, y su representación gráfica es una recta cuya pendiente es la
velocidad y cuya ordenada en el origen es r0.
6.3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Un MRUA es aquél que ocurre sobre una trayectoria rectilínea y que posee
aceleración constante. Las ecuaciones del movimiento son dos en este caso:
2
00 a·t
2
1
+·tv+r=r

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a·tvv 0 
donde r y v son, respectivamente, la posición y velocidad del móvil en un instante
t cualquiera, r0 es la posicióninicial del móvil, v0 es la velocidad inicial del mismo,
y a es la aceleración del movimiento. En este caso, la relación lineal existe entre
v y t, estableciéndose entre r y t una relación cuadrática que corresponde a una
parábola.
Como se puede apreciar al comparar las expresiones correspondientes al
MRU y al MRUA, la del primero es un caso especial de las del segundo, cuando
la aceleración es cero, así que sabiendo estas dos últimas, se sabe la anterior.
6.4. Movimiento circular uniforme (MCU)
Para estudiar los movimientos circulares, es conveniente adoptar nuevas
magnitudes, dado que tienen características propias. En un movimiento circular,
la trayectoria siempre es circular y por tanto, la distancia al centro de la
circunferencia (radio) es siempre constante, variando sólo el ángulo que forma
con el eje X por ejemplo, así que podemos tomar para estudiar el movimiento el
ángulo y olvidarnos del radio. En definitiva, sustituimos r por donde  es el
ángulo que forma el radio con el eje X.
En Física, los ángulos se miden en radianes. Un radián es una unidad
especial de medida de ángulos; para definirlo, se asigna a la circunferencia
completa un ángulo total de 2 rad, de manera que 1 rad es un arco que mide lo
mismo que el radio de la circunferencia a la que pertenece. La relación entre
grados sexagesimales y radianes es la siguiente:
360 º = 2 rad
De manera que a un ángulo de º sexagesimales, le corresponden 2/360 rad.
Los radianes son muy útiles para expresar las longitudes de un arco. Recuérdese
que la longitud del arco de una circunferencia de radio R, que comprenda un
ángulo  viene dada por

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R2
360
L 


con lo que si expresamos el ángulo en radianes, la expresión resultante es
R·L 
Si vamos a utilizar  como magnitud para medir la posición, hay que definir
una que nos indique cómo varía , ésta es la velocidad angular , que se mide
en rad/s. Las relaciones entre estas magnitudes y sus homólogas de
movimientos rectilíneos son muy fáciles de recordar (L equivale al espacio
recorrido):
L = ·R
v = ·R
De la misma forma, se puede definir la velocidad angular media como
t
IF
m




El MCU es aquél que describe una circunferencia a velocidad angular
constante, es decir, sin aceleración angular, como por ejemplo, el motor de un
exprimidor eléctrico o el de un tiovivo. La ecuación del movimiento es:
 = 0 + ·t
donde  es el ángulo que forma el móvil en el instante t, 0 es el ángulo inicial, y
 es la velocidad angular; como se ve la ecuación es análoga a la del MRU, pero
cambiando las magnitudes lineales por las angulares.
El MCU es un movimiento periódico, puesto que la posición del móvil se
repite a intervalos regulares. En estos movimientos, se pueden definir dos
magnitudes muy útiles, el periodo (T) y la frecuencia (). Se define periodo como
el tiempo empleado en dar una vuelta completa, se mide en s, y teniendo en
cuenta la definición de  viene dado por:

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


2
T
La frecuencia es el inverso del periodo, se mide en s-1 o Hz, y equivale al
número de vueltas que da el móvil por segundo:



2T
1
Aunque el MCU tiene velocidad angular
constante, no por eso carece de aceleración,
puesto que el vector velocidad es siempre
tangente a la trayectoria, y por lo tanto va a ir
cambiando constantemente su dirección,
aunque no su módulo (ver dibujo). Eso es
debido a la existencia de una aceleración
denominada centrípeta o normal, que sólo
afecta a la dirección del vector velocidad. Su
valor es
ac = v2/R = 2·R
dado que v = ·R, y siempre se dirige al centro de la circunferencia, siendo por
tanto perpendicular a la velocidad en cada instante.
6.5. Estrategias de resolución de problemas.
Los problemas de cinemática no son especialmente difíciles, especialmente
cuando se encuentra la estructura común subyacente a todos ellos. Eso se
consigue haciendo muchos problemas, y la mejor manera de afrontarlos es
sistematizándolos. El siguiente esquema puede ser útil para este fin:
1. Leer cuidadosamente el enunciado, al menos dos veces, identificando los
objetivos del problema. No es una tontería, la mayoría de los alumnos no
leen bien el problema antes de empezar a resolverlo.
2. Identificar el tipo de movimiento.
3. Realizar un esquema, marcando en él el sistema de referencia
(Cualquiera es válido, aunque algunos son evidentemente más lógicos
que otros).
4. Escribir las ecuaciones generales (posición y velocidad).
5. Buscar en el enunciado los parámetros conocidos e introducirlos en las
formulas.
6. Aplicar las condiciones del problema, o sea, si se pide la velocidad a los
2 s, sustituir t por 2. Esta es la parte más complicada; las anteriores
deberían ser mecánicas, para llevar rápidamente a este último paso.
Esta breve guía no garantiza el éxito, pero ayuda a establecer una secuencia
lógica, evitando resolver el problema aplicando formulas sin ninguna reflexión.

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6.6. Cuestiones y problemas
MRU
1. La velocidad de la luz es 3·108 m/s. ¿Qué distancia hay entre la Tierra y el
Sol, sabiendo que la luz tarda 8 min 18 s en recorrer dicha distancia?
2. Dos ciudades A y B distan entre sí 150 km, y de ellas parten, uno al encuentro
del otro, dos coches cuyas velocidades respectivas son; el que sale de A, 30
km/h; y el que sale de B, 60 km/h. a) ¿Cuánto tiempo tardarán en
encontrarse?; b) ¿a qué distancia de A se produce el encuentro?
3. Un coche pasa por el km 139 a las 10:30 h y por el km 202 a las 11:15 h.
Calcula su velocidad en m/s si suponemos que la velocidad es constante.
4. Un coche se mueve con una velocidad de 110 km/h y una motocicleta con
una velocidad de 31 m/s. ¿Cuál va más rápido?
5. Calcula la distancia en km, entre dos ciudades, si un avión tarda 210 minutos
en volar de una ciudad a otra, manteniendo una velocidad media de 830
km/h.
6. Un coche y una motocicleta parten a la vez del mismo punto y con la misma
dirección y sentido. Calcula la distancia, en dam, entre los dos cuando hayan
pasado 2 horas, si la velocidad del coche es 72 km/h y la velocidad de la
motocicleta es 25 m/s.
MRUA
7. Un coche parte del reposo y alcanza en medio minuto la velocidad de 108
km/h, ¿qué aceleración lleva? ¿qué espacio recorre?
8. Un móvil parte con velocidad de 72 km/h y acelera con a = 0.5 m/s2 durante
20 s. Se desea saber: a) la velocidad final del móvil, en km/h; b) el espacio
recorrido en los 20 s.
9. Un coche recorre una distancia de 144 km en 1 h, con movimiento uniforme.
Continúa, con movimiento uniformemente acelerado, con a = 0.25 m/s2
durante 3 s. Determinar: a) el espacio total recorrido por el coche; b) la
velocidad final; c) realizar la gráfica v-t de éste movimiento.
10. Lanzamos verticalmente hacía arriba una piedra con velocidad inicial de 2
m/s. Determinar: a) el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima; b) el
valor de esta altura.
11. Un tren del metro arranca con una aceleración de 8 cm/s2. Al cabo de 30 s
el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con una
velocidad constante: a) ¿cuál es esta velocidad?; b) ¿qué espacio recorrió el
tren en esos 30 s?; c) ¿qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra
estación distante de la primera 500 m?
12. Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente
hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. Determinar: a) la
velocidad cuando llega al suelo; b) el tiempo que tarda en caer; c) la
velocidad de la piedra a los 3 s de iniciar el movimiento.
COMBINADOS
13. Un coche pasa por un control a una velocidad constante de 144 km/h e
inmediatamente sale en su persecución un coche patrulla con una
aceleración de 5 m/s2. a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?; b) ¿a qué
distancia del control se encontrarán?

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14. Un coche acelera desde el reposo a razón de 3 m/s2 durante 10 s. A partir
de ese momento continúa con la velocidad adquirida hasta los 15 s. Desde
este momento hasta los 20 s en que se para va con movimiento
uniformemente retardado. Determinar el espacio total recorrido por el móvil
y realizar la gráfica v-t del movimiento.
15. Dos móviles salen de un punto A. El primero con v = 72 km/h constante. y el
segundo parte del reposo y acelera con a = 2 m/s2. Determinar a qué
distancia del punto A se encuentran y cuánto tiempo tardan en encontrarse.
16. Un coche sale con velocidad constante de 50 km/h; 30 s más tarde, sale un
segundo coche desde el mismo punto y desde el reposo, pero éste con
aceleración constante de 0.1 m/s2. Calcular: a) instante y lugar en el que se
produce el encuentro; b) velocidad del segundo en ese momento.
17. Desde la terraza de un edificio de 40 m de altura se deja caer una piedra al
mismo tiempo que desde el suelo se lanza otra hacia arriba a 20 m/s.
Calcular: a) tiempo que tardan en cruzarse; b) altura a la que lo hacen; c)
velocidad de cada una en ese momento; d) tiempo y velocidad de llegada al
suelo de cada una.
18. Desde la azotea de un edificio de 120 m de altura se lanza hacia arriba una
piedra con velocidad inicial de 5 m/s. Calcular: a) el tiempo que tarda en
llegar al suelo; b) la velocidad que tiene en ese momento; c) la máxima altura
que alcanza, d) la posición a la que se encuentra la piedra a los 2 s de ser
lanzada.
MCU
19. Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 50 cm de radio con una
velocidad constante de 10 cm/s. Calcular: a) la velocidad angular; b) la
aceleración centrípeta; c) el periodo y la frecuencia; d) número de vueltas
que dará en 10 s.
20. Un ciclista circula a 30 km/h por la calle, si las ruedas son de 35 cm de radio,
¿cuál es su velocidad angular?, ¿qué ángulo habrán girado las ruedas
cuando el ciclista haya avanzado 100 m?, ¿cuál es el periodo y la frecuencia
del movimiento de las ruedas?
21. Calcula el periodo, frecuencia y velocidad angular del movimiento de
traslación de la Tierra alrededor del Sol.
22. La rueda de una bicicleta tiene 30 cm de radio y gira uniformemente a razón
de 25 vueltas por minuto. Calcula: a) la velocidad angular, en rad/s; b) la
velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda; c) ángulo girado por
la rueda en 30 segundos; d) número de vueltas en ese tiempo.
23. Una noria de 40 m de diámetro gira con una velocidad angular constante de
0.125 rad/s. Calcula: a) la distancia recorrida por un punto de la periferia en
1 min; b) el número de vueltas que da la noria en ese tiempo; c) su periodo;
d) su frecuencia
24. El CD de un ordenador gira con una velocidad angular máxima de 539 r.p.m.
Calcula el número de vueltas que da durante la reproducción de una canción
de 4 minutos.
ADICIONALES
25. Un automóvil marcha a 144 km/h. ¿Qué aceleración negativa es preciso
comunicarle para que se detenga en 100 m?

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26. Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al aterrizar.
Suponiendo que la aceleración es constante, calcular: a) el valor de la
aceleración si aterriza a una velocidad de 100 km/h; b) el tiempo que tarda
en pararse desde que aterrizó; c) el espacio que recorre en los 10 primeros
segundos.
27. Se deja caer una piedra desde 20 m de alto. Calcular la distancia que hay
hasta el suelo desde el punto en el cual la velocidad de la piedra es la mitad
de la que tiene al llegar al suelo.
28. Un avión despega de la pista de un aeródromo después de recorrer 1000 m
si la velocidad del avión en el momento de despegar es de 120 km/h,
determinar: a) la aceleración que tiene en ese momento; b) el tiempo que
tarda en despegar; c) la distancia que recorre en el último segundo antes de
despegar.
29. Una piedra que cae libremente pasa a las 10 h frente a un observador situado
a 300 m sobre el suelo; a las 10 h 2 s pasa frente a otro observador que está
a 200 m del suelo. Calcular: a) la altura de la que cae la piedra; b) el tiempo
que tarda en llegar al suelo; c) la velocidad con que llega al suelo.