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Teoría de Estructuras y Construcciones Industriales
CAPÍTULO 1. Introducción al cálculo de
estructuras
a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-6383434

CAPÍTULO 1. Introducción al cálculo de estructuras
Lección 1. Introducción
1.1. Objetivos del análisis de estructuras.
1.2. Modelización estructural.
1.3. Tipos estructurales.
1.4. Idealización de las formas resistentes.
1.5. Tipos de esfuerzos internos.
1.6. Tipos de solicitaciones exteriores.
1.7. Tipos de apoyos y reacciones.
1.8. Grados de hiperestaticidad y grados de libertad.
1.9. Hipótesis de cálculo: Teoría de primer y de segundo orden.

3
 Estructura es un elemento o conjunto de elementos diseñados con el fin de cumplir una
función y ser capaces de resistir unas determinadas solicitaciones externas.
 El objetivo principal del análisis estructural consiste en definir y calcular el modelo
estructural más adecuado para que cumpla su función de la manera más satisfactoria.
1.1. Objetivos del análisis de estructuras

- 4 -
 Diseño (modelos de
estructura, material y
solicitaciones),
 Cálculo (esfuerzos internos
y desplazamientos),
 Representación gráfica de
los resultados del cálculo
(Planos),
 Establecimiento de
condiciones constructivas
(Pliego de condiciones),
 Construcción y montaje.
En un proyecto estructural se diferencian las siguientes etapas:

- 5 -
Modelización y
predimensionamiento
de la estructura
Análisis de las cargas
Cálculo de tensiones
y deformaciones
Comprobación de
estados límites
Diseño final
Redefinición de la
estructura
Cálculo de
desplazamientos
Cálculo de
esfuerzos
se cumplen
no se cumplen

- 6 -
1.2. Modelización estructural
Variables a definir:
• Materiales,
• Tipos estructurales
• Tipos de elementos
• Tipo de nudos
• Condiciones de apoyo
• Solicitaciones externas
• Tipo de cálculo a realizar
(estático, dinámico, etc.)
• Procedimiento de cálculo

- 7 -
1.3. Tipos estructurales
Clasificación según su función estructural:
Edificios de viviendas,
oficinas y naves industriales

- 8 -
Grúas, depósitos y otros
equipamientos industriales

- 9 -
Pasarelas, puentes y losas

- 10 -
1.4. Idealización de las formas resistentes
Clasificación de estructuras: Nudos rígidos y nudos articulados.
Nudo rígido: conserva el ángulo inicial al deformarse.
Estructuras de nudos rígidos

- 11 -
Estructuras de nudos articulados (Celosías)
Nudo articulado: proporciona libertad de giro (rótula)

- 12 -
Clasificación de elementos:
 Elementos unidimensionales (elementos tipo barra)
 Elementos bidimensionales:
- Membranas,
- Placas,
- Láminas y
- Lajas.
 Elementos tridimensionales.

- 13 -
1.5. Tipos de esfuerzos internos
b)
Tirantes o cables
(Esf. Normal de tracción)
Barras biarticuladas
(Esf. Normal de tracción y compresión)
Barras de nudos rígidos
(Esf. Normal, Esf. Cortante, Momento Flector
y Momento Torsor)
Esfuerzos internos en elementos unidimensionales (barras):

- 14 -
Esfuerzos internos en elementos bidimensionales: Membranas

- 15 -
Esfuerzos internos en elementos bidimensionales: Placas

- 16 -
placa
membrana
Esfuerzos internos en elementos bidimensionales: Láminas

- 17 -
Esfuerzos internos en elementos bidimensionales: Lajas

- 18 -
Esfuerzos internos en elementos tridimensionales

- 19 -
1.6. Tipos de solicitaciones exteriores
Clasificación de cargas externas (acciones):
 Cargas de superficie y de volumen.
 Cargas estáticas y dinámicas.
 Cargas permanentes y variables.
Tipos de cargas externas (acciones):
 Cargas puntuales y distribuidas.
 Cargas térmicas.
 Desplazamientos impuestos.
 Defectos de montaje.

- 20 -
Clasificación de apoyos:
 Apoyos articulados: fijo y móvil
 Empotramientos
 Empotramientos móviles y articulados
 Apoyos elásticos: muelles lineales y curvos
1.7. Tipos de apoyos y reacciones

- 21 -

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- 22 -
Tres traslaciones (u, v, w )
Tres giros (Fx, Fy, Fz)
Sección en el espacio
(6 grados de libertad)
• Empotramiento: Restringe los 6 grados de libertad 6 Reacciones
• Articulación Fija: Restringe las 3 traslaciones 3 Reacciones

- 23 -
Dos traslaciones (u, v)
Un giro (Fz)
Sección en el plano
(3 grados de libertad)

- 24 -
• Apoyos elásticos: se asimilan a muelles lineales (impiden
parcialmente los desplazamientos) y a muelles curvos o torsionales
(impiden parcialmente los giros).
Las reacciones correspondientes son proporcionales a estos
desplazamientos, según una constante elástica (k = sm).
RH
RV
Apoyo elástico lineal Apoyo elástico curvo

- 25 -
1.8.a) Grados de hiperestaticidad (Casos con GH = GHext = R-E)
 Si GH < 0 Sistema HIPOESTÁTICO (mecanismo)
 Si GH = 0
Sistema ISOSTÁTICO (las ecuaciones de la
estática permiten determinar las reacciones)
 Si GH > 0
Sistema HIPERESTÁTICO (las ecuaciones de
la estática no permiten determinar las reacciones)

 Estructuras abiertas:
GH = GHext + GHint = r - 3 – aa
GHext = r – 3 – aa
GHint = 0
r = número de reacciones,
aa = ba - 1
 Estructuras cerradas:
GH = GHext + GHint = r + 3 cc - 3 – (aa + ac)
GHext = r – 3 - aa
GHint = 3 cc – ac
cc = número de contornos cerrados,
aa = ba - 1
ac = bc - 1
GH = 3 GH = 2
GH = 6
GHint = 3
GHext = 3
GH = 5
GHint = 2
GHext = 3
1.8.b) GH en estructuras de nudos rígidos

GH = GHext + GHint = r + b – 2n
GHext = r - 3
GHint = GH - GHext = b – 2n + 3
b = número de barras, r = número de reacciones, n = número de nudos
b = 17
r = 3
n = 10
b = 17
r = 3
n = 10
b = 18
r = 3
n = 10 A
Sm
50kN
50kN
4m 4m
3m
C
D
B
b = 5
r = 4
n = 4
d)
GH=0
GH=0
GH=GHint=1 GH=GHext=1
1.8.c) GH en estructuras de nudos articulados

- 28 -
Grados de libertad en un sistema indesplazable: En una estructura indesplazable los
giros de barras son nulos (GB = 0). Si además las barras se consideran inextensibles (AE = ∞,
por tanto las deformaciones a esfuerzo normal son nulas, e = N/AE = 0), únicamente se
considerarán los giros de nudo (GN) como grados de libertad.
A B C D
A B C D
jB jC
1.8.d) Grados de libertad: GL = GN + GB (incógnitas cinemáticas)
GL = GN = 2 (jB , jC)
Grados de libertad en sistema desplazable:
Suponiendo barras inextensibles (AE = ∞), en un
sistema desplazable se pueden considerar los giros de
nudos (GN) y de barras (GB) como grados de libertad.
CIR
A
B C
D
UB UC
VB VC
jB
jC
q q
yAB
yDC
yBC
GL = GN + GB = 3 (jB , jC , yAB)
yBC = f (yAB)
yDC = f (yAB)

- 29 -
El cálculo en teoría de primer orden implica el cumplimiento
simultáneo de las siguientes condiciones:
• Comportamiento del material elástico lineal.
• Desplazamientos y deformaciones pequeños.
Esto conduce a:
• Planteamiento del equilibrio en la estructura no deformada.
• Resolución de un sistema lineal de ecuaciones.
• Posibilidad de aplicar el principio de superposición.
1.9. Hipótesis de cálculo: Teorías de primer y de segundo orden

- 30 -
Teoría de primer orden: equilibrio en la estructura sin deformar.
1.9. Hipótesis de cálculo: Teoría de primer y de segundo orden

- 31 -
Teoría de segundo orden: equilibrio en la estructura deformada.
1.9. Hipótesis de cálculo: Teoría de primer y de segundo orden

CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS
VIRTUALES (PTV)
Xi
ui
Xi
sij eij
ui
Xi
ui
Xi
sij eij
ui
REAL VIRTUAL
1

CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV)
Lección 2. Aplicación del PTV al análisis estructural
2.1. Introducción.
2.2. Relaciones fundamentales.
2.3. Definición de trabajo virtual.
2.4. Evaluación del trabajo virtual externo e interno.
2.5. Formulación del Principio de los Trabajos Virtuales (PTV).
2.6. Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV)
2.7. Principio de los Desplazamientos Virtuales (PDV)
2
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

 Simplificaciones e hipótesis habituales en el análisis estructural:
1.- Material homogéneo e isótropo
2.- Comportamiento elástico-lineal del material: Ley de Hooke
3.- Elementos tipo barra: Medidas transversales << medida longitudinal
4.- Hipótesis de Bernoulli: Secciones planas después de la deformación
5.- Pequeños desplazamientos y deformaciones: Equilibrio en el sistema
indeformado.
Principio de superposición : cumplimiento de hipótesis 2 y 5
2.1. Introducción
- 3 -

2.2. Relaciones fundamentales en el análisis estructuras
Xi , Xi ui , ui
Fuerzas Desplazamientos
Tensiones Deformaciones
ij,j i
ij j i t
X 0 en D
n X en D
s  
s  

EQUILIBRIO COMPATIBILIDAD
 
ij i,j j,i
i i u
1
u u en D
2
u u en D
e  
 

ij ijkl kl
C
s  e
COMPORTAMIENTO
Xi
Xi
D
ui
sij eij
D

u
D

t
D

 Planteamiento del problema elástico:
- 4 -

5
Xi , Xi
ui , ui
Fuerzas
Desplazamientos
Tensiones
Deformaciones
ij,j i
ij j i t
X 0 en D
n X en D
s  
s  

 
ij i,j j,i
i i u
1
u u en D
2
u u en D
e  
 

ij ijkl kl
C
s  e
COMPORTAMIENTO
Xi
Xi
D
ui
 Ecuaciones de equilibrio:
sij
eij
D

u
D

t
D

Ecuaciones de equilibrio interno. En un diferencial de volumen del sólido se
establece el equilibrio entre el estado tensional sij establecido y las fuerzas externas
por unidad de volumen Xi (X, Y, Z).
ij, j i
X 0 en D
s  
0
dz
dy
dx
Z
0
dz
dy
dx
Y
0
dz
dy
dx
X
nz
yz
xz
yz
ny
xy
xz
xy
nx

s












s












s


 Ecuaciones de equilibrio en el contorno. Asimismo, los puntos de la superficie
del sólido deben estar en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas de
superficie Xi (X, Y, Z) y las tensiones en esos puntos, siendo n la normal exterior
a la superficie.
X


s















s















s

nz
yz
xz
yz
ny
xy
xz
xy
nx
Z
Y
X



ij j i t
n X en D
s  


6
Xi , Xi ui , ui
Fuerzas
Tensiones
Deformaciones
ij,j i
ij j i t
X 0 en D
n X en D
s  
s  

 
ij i,j j,i
i i u
1
u u en D
2
u u en D
e  
 

ij ijkl kl
C
s  e
COMPORTAMIENTO
Xi
Xi
D
ui
sij
eij
D

u
D

t
D

x y x
xy xz yz
u v w
; ;
x y z
u v u w v w
; ;
y x z x z y
  
e  e  e 
  
     
        
     
• Sin embargo, para que el estado de deformaciones eij sea compatible, se
deben cumplir seis condiciones necesarias y suficientes de integrabilidad o
compatibilidad:
2
y
2
2
x
2
xy
2
xy
xz
yz
z
2
2
z
2
2
x
2
xz
2
xy
xz
yz
y
2
2
y
2
2
z
2
yz
2
xy
xz
yz
x
2
x
y
y
x
;
z
y
x
x
y
x
2
x
z
z
x
;
z
y
x
y
z
x
2
z
y
z
y
;
z
y
x
x
z
y
2
































































































e
e




e
e
e




e
e
e




e
• Conocido el campo de desplazamientos ui, se puede obtener el estado de
deformación del sólido eij:
 
ij i, j j,i
1
u u en D
2
e  
 Ecuaciones de compatibilidad
Desplazamientos

7
Xi , Xi
ui , ui
ij,j i
ij j i t
X 0 en D
n X en D
s  
s  

 
ij i,j j,i
i i u
1
u u en D
2
u u en D
e  
 

ij ijkl kl
C
s  e
COMPORTAMIENTO
Xi
Xi
D
ui
D

u
D

t
D

Leyes de Hooke generalizadas
xy
yz
xz
 
 
 
 
 
  G
;
E
1
G
;
E
1
G
;
E
1
yz
yz
ny
nx
nz
z
xz
xz
nz
nx
ny
y
xy
xy
nz
ny
nx
x


s
s

s
e


s
s

s
e


s
s

s
e















yz
yz
z
nz
xz
xz
y
ny
xy
xy
x
nx
G
;
G
2
e
G
;
G
2
e
G
;
G
2
e


e

s


e

s


e

s


















Leyes de Lamé
  
x y z
E
G
2(1 )
e
E
1 1 2


 


e e e

 
 
  


siendo:
 Ley de comportamiento. En un estado triaxial, aplicando superposición y considerando
un comportamiento isótropo del material, se pueden expresar las siguientes relaciones
tensión-deformación:
sij
eij

8
ij,j i
ij j i t
X 0 en D
n X en D
s  
s  

 
ij i,j j,i
i i u
1
u u en D
2
u u en D
e  
 

Xi
D
ui
 Planteamiento energético del problema elástico:
sij
eij
D

u
D

We  Fds 
1
2
0

 P
  dz
dy
dx
dU zx
zx
yz
yz
xy
xy
z
nz
y
ny
x
nx 





e
s
e
s
e
s 





2
1
Xi , Xi ui , ui

2.3. Definición de Trabajo Virtual
9
Xi
ui
Xi
sij eij
ui
Xi
ui
Xi
sij eij
ui
REAL VIRTUAL
 Sea un dominio D con un contorno D sometido a un estado de cargas de volumen Xi,
a unas cargas de superficie Xi y a unas restricciones en desplazamientos ui. Este campo de
cargas y restricciones exteriores provoca un campo de desplazamientos ui, unas
deformaciones eij y unas tensiones sij en equilibrio con las cargas externas.
 Adicionalmente, sea el mismo dominio sometido a un estado virtual (elegido) de cargas
de volumen Xi, y de superficie Xi y sea sij el campo de tensiones en equilibrio con dichas
fuerzas. Este campo de tensiones tendrá asociado un campo de deformaciones virtual eij
compatible con los desplazamientos provocados, ui o impedidos ui (*).
(*) También puede tratarse del sistema sometido a desplazamientos virtuales que genera un campo
de deformaciones compatible y las correspondientes tensiones virtuales en equilibrio con las fuerzas

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Existen dos posibilidades:
1.- Trabajo realizado por un estado real de cargas externas y tensiones (Xi , Xi y sij)
sobre un estado virtual (elegido) de desplazamientos y deformaciones (ui y eij).
2.- Trabajo realizado por un estado virtual (elegido) de cargas externas y tensiones
(Xi , Xi y sij) sobre un estado real de desplazamientos y deformaciones (ui y eij).
2.3. Definición de Trabajo Virtual
10
10
Te = Trabajo externo
Ti = Trabajo interno
Te = Trabajo externo
Ti = Trabajo interno

2.4. Evaluación del trabajo virtual externo e interno:
L

F
F

P

F = f()
O
A
L
'
P
F

P

F = f()
O
A

'
 Evaluación del trabajo virtual externo en barras:
Convenio de signos : Trabajo positivo = Fuerza y desplazamiento con el mismo sentido
Diferencia entre trabajo real y trabajo virtual:
Trabajo real : Trabajo virtual :
We  Fds 
1
2
0

 P 
 P
Te
- 11 -

 Evaluación del trabajo virtual interno en barras:
Convenio de signos : Trabajo positivo = Esfuerzo y desplazamiento con el mismo signo
dx
A
E
N
dx
du x 
e
 dx
A
G
V
d


 dx
I
E
M
d 
 dx
t
t
K
G
M
d 

N N
edx
dx
V V
dx
d
M M
dx
d
Mt
dx
Mt
O
d
Esfuerzos internos y desplazamientos correspondientes a cada tipo de esfuerzo
- 12 -

13
1.- Trabajo realizado por los esfuerzos internos reales sobre un sistema de
desplazamientos virtuales:
- Sistema real de esfuerzos: N, V, M, Mt
- Sistema virtual de desplazamientos: du, d, d, d



 







L
t
L
L
L
i d
M
d
M
d
V
du
N
T 






dx
t
d
dx
d
dx
d
t
K
G
M
I
E
M
A
G
V
dx
A
E
N
du





14
2.- Trabajo realizado por un sistema de esfuerzos internos virtuales sobre un
sistema real de desplazamientos:
- Sistema virtual de esfuerzos: N, V, M, Mt
-Sistema real de desplazamientos: du, d, d, d
0
o
t
0
0
t
d dx d
d dx
d dx d
N
du dx dx du
E A
V
G A
M
d
E I
M
G K
   
  
   
 e  


Ti  N du
L
  V d  M d  Mt d
L

L

L


15
Independientemente de la definición de trabajo virtual que utilicemos, el Principio de los
Trabajos Virtuales establece la igualdad entre el trabajo virtual externo y el trabajo
virtual interno:
2.3. Formulación del Principio de los Trabajos Virtuales
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV)
Te = Ti

2.5. Formulación del PTV en análisis estructural
1.- Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV)
Sistemas considerados :
- Un sistema real de desplazamientos y de deformaciones
- Un sistema virtual de fuerzas externas e internas en equilibrio
PFV = una ecuación de compatibilidad en el sistema real de
desplazamientos y de deformaciones
2.- Principio de los Desplazamientos Virtuales (PDV)
Sistemas considerados :
- Un sistema real de fuerzas externas e internas
- Un sistema virtual de desplazamientos y de deformaciones compatible
PDV = una ecuación de equilibrio en el sistema real de fuerzas externas y
fuerzas internas
16

2.5. Formulación del PTV en el análisis estructuras
PTV
PFV PDV
Aplicaciones PFV:
- Cálculo de desplazamientos (Método
de la carga unitaria)
- Obtención de ecuaciones de
compatibilidad en métodos de
compatibilidad (Método de las fuerzas)
Aplicaciones PDV:
- Cálculo de esfuerzos y reacciones en
estructuras isostáticas
- Obtención de ecuaciones de equilibrio
en métodos de equilibrio (Método de
desplazamientos: Método de ángulos de giro)
17

2.6. Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV)
18
Aplicación del PFV al cálculo de desplazamientos y giros
en secciones particulares de estructuras
 MÉTODO DE LA CARGA UNITARIA
Requisitos a satisfacer por el sistema virtual de fuerzas :
1. Encontrarse en equilibrio.
2. Las fuerzas virtuales se aplicarán en una estructura formada por una parte
o toda la estructura inicial. Esta estructura debe ser estable y contener los
puntos sobre los que se quiere determinar el desplazamiento.
3. Se aplicará una fuerza unitaria, con la localización, dirección y naturaleza
acorde con el desplazamiento buscado.
4. El PFV dará lugar a una ecuación, en la que el desplazamiento buscado
será la única incógnita.

2.6. PTV: Método de la Carga unitaria
Sist. real de desplazamientos y deformaciones
dx
GA
V
V
dx
EI
M
M
T
T
T
T
L
L
VB
i
e
i
e












.
1
PFV: Ec. compatibilidad
Sist. virtual de fuerzas externas e internas
P
B
L
B
B
PL/EI
(+)
M/EI
 V/GA
P/GA P/GA
A
A
A ¿B?
EI, EA, GA
VB ?
1
B
L
B
B
L
(+)
M/EI
V/GA
1 1
A
A
A
M
V

mML
20
20

2.6. PTV: Método de la Carga unitaria
Sist. real de desplazamientos y deformaciones Sist. virtual de fuerzas externas e internas
PFV : Ecuación de compatibilidad











EI
PL
GA
PL
EI
PL
dx
GA
V
V
dx
EI
M
M
T
T
VB
L
L
VB
i
e
3
3
.
1
3
3




1
B
L
B
B
L
(+)
M/EI
 V/GA
1 1
A
A
A
M
V
∞
0
P
B
L
B
B
PL/EI
(+)
M/EI
 V/GA
P/GA P/GA
A
A
A ¿B?
EI, EA, GA
VB ?

B
A
P
L/2 L/2
C
Aplicación del PDV al cálculo de reacciones y esfuerzos internos
en estructuras isostáticas
Requisitos a cumplir por el desplazamiento virtual :
1.- Liberación de desplazamiento La estructura es un mecanismo.
2.- Desplazamiento compatible con las condiciones de contorno.
3.- Relajación en desplazamientos Restricción en el sistema de fuerzas.
- Cálculo de RA y MC
22

- Cálculo de RA = VA
B
A
P
L/2 L/2
RA
C
Sistema real de fuerzas en equilibrio
PDV : Ecuación de equilibrio
A A A
e i
e
i
T T
P
T R P R P 0 R
2 2 2
T 0

 
         

 


23
 /2
B
A C
A´
C´
Sistema virtual de desplazamientos compatible

- Cálculo de MC
PDV : Ecuación de equilibrio
Sistema real de fuerzas
Sistema virtual de desplazamientos
P
L/2 L/2
C
A B
MC MC
MC
Tracciones
Compresiones
Alargamientos
Momento real interno M C Giro virtual en C
dx

Acortamientos
dx
MC 
Te  Ti


P
 L
4
 MC 
 MC 
P L
4
24

L/2 L/2

/2   
 
2 2 4
L L
A C B
2
/
 2
/

C´

CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS
ISOSTÁTICAS DE BARRAS
Lección 3. Estructuras de nudos articulados (Celosías)
Definición. Tipologías. Estructuras isostáticas e hiperestáticas.
Cálculo de esfuerzos y desplazamientos.
Lección 4. Estructuras de nudos rígidos
Cálculo de esfuerzos, desplazamientos y giros.
1

CAPÍTULO 3. ESTRUCTURAS PLANAS DE BARRAS
Lección 3. Estructuras de nudos articulados (Celosías)
3.1. Definición.
3.2. Tipologías.
3.3. Estructuras isostáticas e hiperestáticas.
3.4. Cálculo de esfuerzos y desplazamientos.
2

Se denominan estructuras de nudos articulados aquellas estructuras
formadas por barras (en general rectas) unidas entre sí mediante
articulaciones. Bajo estas condiciones, si las fuerzas externas se aplican
en los nudos (uniones entre barras), sus elementos estarán sometidos
únicamente a esfuerzo normal (axial) positivo (tracción) o negativo
(compresión).
Hipótesis básicas de cálculo (simplificaciones):
 Las uniones articuladas entre barras se suponen perfectas y sin
rozamiento.
 Las cargas y reacciones se aplican sólo en los nudos.
 El eje de las barras se considera recto, coincidente con la línea de
unión de sus nudos (extremos de barra) y perteneciente al plano
que contiene las líneas de acción del conjunto de cargas externas
y reacciones.
3.1. Definición
- 3 -

3.2. Tipologías:

 Estructuras Simples: Se forman a partir de
un triángulo básico (3 barras y 3 nudos),
añadiendo un nuevo nudo unido al triángulo
mediante dos barras no alineadas y repitiendo el
proceso cuantas veces sea necesario.
b=3+2(n-3)= 2n-3
 Estructuras Compuestas: Se forman al unir
dos o más estructuras simples o compuestas
mediante 3 barras no concurrentes, ni paralelas,
de forma que se cumpla la condición de
estructura indeformable en el plano.
 Estructuras Complejas: Son estructuras que
no se pueden encuadrar ni como simples, ni
como compuestas.
3.3. Estructuras isostáticas e hiperestáticas
Estructuras de nudos articulados (Celosías): Leyes de formación

3.3. Estructuras isostáticas e hiperestáticas
Grado de hiperestaticidad:
GH = GHext + GHint = r + b – 2n
GHext = r - 3
GHint = GH - GHext = b–2n+3
b= número de barras, r = número de reacciones, n = número de nudos
b = 17
r = 3
n = 10
b = 17
r = 3
n = 10
b = 18
r = 3
n = 10 A
Sm
50kN
50kN
4m 4m
3m
C
D
B
b = 5
r = 4
n = 4
d)
GH=0 GH=0
GH=GHint=1 GH=GHext=1

Teoría de Estructuras
 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL MÉTODO:
1. Plantear el equilibrio total de la celosía para el cálculo de las reacciones.
2. Plantear las ecuaciones de equilibrio en cada nudo.
3.4. Estructuras isostáticas: Cálculo de esfuerzos
Método de los nudos: Si una estructura está en equilibrio, cada parte de la
misma también estará en equilibrio.
VA = 500 N
HA = 500 N
VC = 500 N
45º
Nudo B: Nudo A:
Nudo C:

 Plantear las ecuaciones de equilibrio en cada nudo
• Tener en cuenta las posibles simetrías en la estructura
• Identificar las barras que no soportan ningún tipo de esfuerzo:
(i) Dos barras con diferentes direcciones coincidentes en un nudo no cargado externamente.
(ii) Una barra no colineal a la dirección de otras dos y coincidente con ellas en un nudo sin
carga externa aplicada.
Método de los nudos: Si una estructura está en equilibrio, cada parte de la
misma también estará en equilibrio.
BC
FBA =
= FCB

Método de las secciones (Método de Ritter): Si una estructura está en
equilibrio, cada parte de la misma también está en equilibrio.
 Aislamos una parte de la estructura y planteamos el equilibrio
a a
0,866 a
A B
D
A
VA = = VB
VA =
FM2 cos60 FM3
=
=
(Tracción)
(Tracción)
(Compresión)

3.4. Estructuras isostáticas: Cálculo de desplazamientos
Método de la carga unitaria: PTV 
  i
e T
T




































barras
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
e
Tm
L
T
E
A
N
N
Tm
dx
E
A
N
N
Tm
du
N
T
F
T



0
En el caso de estructuras de nudos articulados, las únicas deformaciones que producen trabajo
interno son las deformaciones axiales (x) debidas a esfuerzos normales (N/AE) y/o cargas
térmicas constantes (0).
dx
T
dx
du 







B’
h
h
T
.T.dx
.T.dx
.T.dx
T
0 




donde  es el coeficiente de dilatación térmica del material.
L L
Tm = Trabajo muelles = Fm . Fm/Sm

Ejemplo: Calcular el desplazamiento horizontal en el nudo D
 Sistema real de desplazamientos
P/2 P/2
1
 Sistema virtual de cargas
i
barras i
i
i
i
barras
i
i
i
i
i
i
e
L
E
A
N
N
L
E
A
N
N
T
T
HD
HD









.
1
NBC = NCD = 0
NBD = -1
HB=1
NBC = NCD = + 1,188 P
NBD = - P
BC = CD = + 1,188 P/AE
BD = - P/2AE






 L
AE
P
L
AE
P
L
E
A
N
N BD
BD
BD
BD
BD
HD 2
2
)
1
(


 Sistema real de desplazamientos: i, ui
RA=P/2
Rm=P/2
 Sistema virtual de cargas: Fi, Ni
1
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
RA=1/2
Rm=1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
i
i
i
i
i
i
i
i
0
i
i
i
i L
T
.
E
A
N
L
E
A
N
u 





















 Barras:
Ni=
NAB= NBC= 1/2
NAD= NDC= -1/2
i = (D , B , C = m = Rm / Sm ) Fi=1 , RA , Rm
= =
Barras: Ni
NAB= NBC= P/2
NAD= NDC= -P/2
1
RA=1/2
Rm=1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Barras: Ni
NAB= NBC= 1/2
NAD= NDC= -1/2
Fi=1 , RA , Rm
=

 Sistema real de desplazamientos: i, ui
RA=P/2 Rm=P/2
1
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
RA=1/2 Rm=1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
 
m
m
m
m
AD
AD
AB
AB
S
P
L
T
AE
PL
S
R
R
L
AE
N
N
L
T
AE
N
N
VD
4
2
2
2
2
2
2
2 
































 


Te = 1·vD
m
m
barras
i
i
i
i
i
i
i
i ·
R
L
T
E
A
N
N
T 













 

Te = Ti
= =

ISOSTÁTICAS DE BARRAS
Lección 3. Estructuras de nudos articulados
Cálculo de esfuerzos y desplazamientos.
Cálculo de esfuerzos, desplazamientos y giros.
1

CAPÍTULO 3. ESTRUCTURAS PLANAS DE BARRAS
4.1. Definición.
4.2. Tipologías.
4.3. Estructuras isostáticas e hiperestáticas.
4.4. Cálculo de esfuerzos, desplazamientos y giros.
2

Se denominan estructuras de barras de nudos rígidos aquéllas con al
menos un nudo rígido. Las fuerzas externas se pueden aplicar en
cualquier punto de las barras, por lo que cada sección soportará, en
general, 3 tipos de esfuerzo interno:
Momento Flector: M
Esfuerzo contante: V
Esfuerzo normal: N
4.1. Definición
- 3 -
V
V
V
V

4.2. Tipologías
Estructuras Abiertas: No existe ningún
contorno cerrado por barras
Estructuras Cerradas: Al menos existe un
contorno totalmente cerrado por barras.
Estructuras Compuestas: Son estructuras de
nudos rígidos (abiertas o cerradas) unidas con
otras estructuras de nudos rígidos o articulados
A
B
C
D
E
y
M = PL
T
q
1
4
5
6
7
8 9
3
2
F
G
H
I
J
K
z
x
P
P
x x
y
y
sección A

Estructuras abiertas:
GH = GHext + GHint = r - 3 – aa
GHext = r – 3 – aa
GHint = 0
aa = ba - 1
Estructuras cerradas:
GH = GHext + GHint = r + 3 cc - 3 – (aa + ac)
GHext = r – 3 - aa
GHint = 3 cc – ac
cc = número de contornos cerrados,
aa = ba - 1
ac = bc - 1
GH = 3 GH = 2
GH = 6
GHint = 3
GHext = 3
GH = 5
GHint = 2
GHext = 3
1.8.a) GH en estructuras de nudos rígidos

Se plantea el equilibrio y se calculan los esfuerzos en cada sección de la estructura.
Datos: L = 3 m, q = 10 kN/m, EI, EA = GAα = ∞.
Esfuerzos Normales: N(x) = 0
Esfuerzos Cortantes: V(x)
Momentos Flectores: M(x)

Método de la carga unitaria: PTV
∑
∑ = i
e T
T
( ) ( ) ( ) θ
λ
δ
d
x
M
d
x
V
du
x
N
T
F
T
i
i
i
e
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∫
∑
∑
∑
Para simplificar el cálculo del trabajo virtual interno en barras de nudos rígidos, se hace la suposición de
AE = GAα
α
α
α ≅
≅
≅
≅ ∞, por tanto se desprecia la deformación a esfuerzo normal, ε
ε
ε
ε =
=
=
= N(x)/AE, y a esfuerzo
cortante, λ
λ
λ
λ =
=
=
= V(x)/GAα
α
α
α, frente a la deformación a flexión, κ
κ
κ
κ =
=
=
= M/EI.
En el caso de aplicar cargas térmicas a la estructura, será necesario considerar las deformaciones
correspondientes, ε
ε
ε
ε0 = α∆
α∆
α∆
α∆T y κ
κ
κ
κ0 = α
α
α
α2T/h siendo α
α
α
α el coeficiente de dilatación del material.
( ) ∫
∫
∫ 





∆
⋅
+
=






+
⋅
=
⋅
= dx
T
AE
x
N
x
N
dx
AE
x
N
x
N
du
x
N
N
Ti α
ε
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
( ) dx
GA
)
x
(
V
)
x
(
V
d
)
x
(
V
V
Ti 







⋅
=
λ
⋅
=
α
∫
∫
V
V
( ) dx
h
T
EI
x
M
x
M
dx
EI
x
M
x
M
d
x
M
M
Ti 





+
⋅
=






+
⋅
=
⋅
= ∫
∫
∫
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
α
κ
θ
~ 0
~ 0

8
Tipos de cargas térmicas:
- Incremento de temperatura constante. Produce deformación longitudinal, ε0
- Incremento térmico diferencial. Produce deformación longitudinal, ε0 y curvatura, κ0
dx
T
dx
du ⋅
∆
⋅
α
=
⋅
ε
=
B’
h
h
En sistemas isostáticos las cargas térmicas producen desplazamientos y deformaciones libres (sin
restricciones), por tanto no se generan esfuerzos internos, ni reacciones en sus elementos.
∆
∆
∆
∆T
α.∆
α.∆
α.∆
α.∆T.dx
α.∆
α.∆
α.∆
α.∆T.dx
α.∆
α.∆
α.∆
α.∆T.dx
T
∆
⋅
=α
ε0
dx
T
dx
du m ⋅
∆
⋅
α
=
⋅
ε
= dx
h
T
T s
i
d
∆
−
∆
⋅
α
=
φ
s
i T
T ∆
>
∆
2
Ti
Ts
Tm
∆
∆
∆
∆
+
+
+
+
∆
∆
∆
∆
=
=
=
=
∆
∆
∆
∆
T
Tm ∆
⋅
=
∆
⋅
= α
α
ε0
h
T
h
T
T s
i 2
0
⋅
=
∆
−
∆
⋅
= α
α
κ
T
T
2
T
T
T
T s
i
s
m
T
∆
−
∆
∆
−
∆ =
=
-
+
+ +
h
+

3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
1/L
1/L
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
1
Te=1.θΒ
Ti = = EI
6
qL
L
1
EI
2
qL
.
3
1 3
2
−
=
⋅
⋅
−
- Cálculo del giro en B.
Datos: L = 3 m, q = 10 kN/m, EI, EA = GAα = ∞
Sistema real Sistema virtual
θB = - qL3/6EI
Te = Ti
A
B
D
AB

mML
10
10

3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
1
1
L
1
L
Te=1.δVC
Ti = + =
EI
24
qL
7
L
1
EI
2
qL
.
4
1
L
1
EI
2
qL
.
3
1 3
2
2
−
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
- Cálculo del desplazamiento vertical en C.
Datos: L = 3 m, q = 10 kN/m, EI, EA = GAa = ∞
A
B
D
AB BC
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1

mML
12
12

3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
1
1
L
1
L
Te=1.δVC
Ti = + =
EI
24
qL
7
L
1
EI
2
qL
.
4
1
L
1
EI
2
qL
.
3
1 3
2
2
−
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
- Cálculo del desplazamiento vertical en C.
δVC = - 7qL3/24EI
Te = Ti
A
B
D
AB BC
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1

3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
1/L
1/L
1
1
Te=1.θCizq
Ti = +
- Cálculo del giro en C por la izquierda.
A
B
D
AB BC
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1

mML
15
15

3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
1/L
1/L
1
1
Te=1.θCizq
Ti = + = EI
3
qL
L
1
EI
2
qL
.
3
1
L
1
EI
2
qL
.
3
1 3
2
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
- Cálculo del giro en C por la izquierda.
θCizq = qL3/3EI
Te = Ti
A
B
D
AB BC
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1

17
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
1
3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
1/L
1/L
Te=1.θC
Ti = + +
2/L
2/L
Sistema real
Sistema virtual
- Cálculo del giro relativo en C.
A
B
D
AB BC CD
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
1
2
2

mML
18
18

19
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
1
3m
C
qL /2
2
qL /2
2
qL /2
2
3m
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
q =10kN/m
1/L
1/L
Te=1.θC
Ti = + + =
2/L
2/L
2
2
Sistema real
Sistema virtual
- Cálculo del giro relativo en C.
( )
EI
3
qL
2
L
1
EI
2
qL
12
1
L
EI
2
qL
1
2
3
.
12
1
L
2
EI
2
qL
.
3
1 3
2
2
2
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅ θC = 2qL3/3EI
Te = Ti
AB BC CD
3m
A
C D
B
3m
3m
3m
1
1

Leccion-5.pdf
Anónimo
3º Grado en Ingeniería Mecánica
Escuela Politécnica de Ingeniería de Gijón
Universidad de Oviedo
Reservados todos los derechos.
No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.

HIPERESTÁTICAS DE BARRAS
1
Lección 5. El Método de las Fuerzas
Introducción. Métodos de compatibilidad: Método de las fuerzas.
Determinación de sistemas base. PFV: Determinación de ecuaciones de
compatibilidad. Cálculo y representación gráfica de esfuerzos internos.
Simplificaciones por simetría y antisimetría. Cálculo de desplazamientos y
giros: Método de la carga unitaria.
Lección 6. Método de los Ángulos de Giro
Introducción. Métodos de equilibrio: Método de los ángulos de giro. Grados de
libertad. Estudio de la desplazabilidad. PDV: Determinación de ecuaciones de
equilibrio. Cálculo de rigideces. Momentos de empotramiento perfecto debidos
a distintos tipos de acciones. Simplificaciones por simetría y antisimetría.
Cálculo y representación gráfica de esfuerzos internos. Cálculo de
desplazamientos en nudos.
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
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HIPERESTÁTICAS DE BARRAS
Lección 5. El Método de las Fuerzas
5.1. Introducción.
5.2. Métodos de compatibilidad: El método de las fuerzas.
5.3. Determinación de sistemas base.
5.4. PFV: Determinación de las ecuaciones de compatibilidad.
5.5. Cálculo y representación gráfica de esfuerzos internos.
5.6. Simplificaciones por simetría y antisimetría.
5.7. Cálculo de desplazamientos y giros: Método de la carga unitaria.
2
Reservados
todos
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derechos.
No
se
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económica
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3
Aplicación del PTV a estructuras hiperestáticas
PTV
PFV PDV
Aplicaciones:
- Obtención ecuaciones de compatibilidad.
Métodos de Compatibilidad: Método de las
Fuerzas.
Aplicaciones:
- Obtención ecuaciones de equilibrio.
Métodos de Desplazamientos: Método
de los Ángulos de Giro.
5.1. Introducción
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
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económica
ni
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Queda
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4
Análisis de estructuras hiperestáticas
Estructura de nudos rígidos abierta: Viga continua con 'n' grados de hiperestaticidad
- Rigideces: Vigas: EI, AE, GAa, Apoyos elásticos: sm
- Solicitación: Cargas, Momentos, Temperatura y Asentamiento en apoyo i
1 2 i k n
...
...
p
P
M
...

5.2. Métodos de compatibilidad: El método de las fuerzas
h
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
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5
Procedimiento :
1.- Cálculo del grado de hiperestaticidad (GH = GHext = n) y elección de un sistema base
estáticamente determinado adecuado.
2.- Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos di en las n
localizaciones y direcciones de las fuerzas hiperestáticas Xi elegidas en el sistema base.
Aplicando el principio de superposición al sistema 0 (sistema base sometido a las cargas
externas iniciales) y a los sistemas n (sistema base sometido a cada una de las n fuerzas
hiperestáticas igual a 1, se puede expresar:
Punto i : 



 

k
n
k
k
i
io
i X
1
d
d
d
1 2 i k n
...
...
p
P
M
X1
X
2
X
i
X
k
X
n
...
...
...
...

h
Reservados
todos
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derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
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transformación
de
esta
obra.
Queda
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6
3.1.- Cálculo de dio (desplazamiento del punto i en la dirección de Xi en el sistema 0):
PFV : Ecuación de compatibilidad:








 
d



a







d
d



a







d

muelles
mo
i
o
i
o
i
o
i
io
muelles
mo
i
o
i
o
i
o
i
io
i
e
F
dx
)
GA
V
(
V
dx
)
EA
N
(
N
dx
)
EI
M
(
M
F
dx
)
GA
V
(
V
dx
)
EA
N
(
N
dx
)
EI
M
(
M
.
1
T
T
L
L
L
L
L
L
o
o
o
o
o
o
1 2 i k n
...
...
p
P
M
...
dio
1 2 i k n
...
... ...
1
Sistema real de desplazamientos y deformaciones Sistema virtual de fuerzas externas e internas
h
Reservados
todos
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derechos.
No
se
permite
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económica
ni
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7
3.2.- Cálculo de dik (desplazamiento del punto i en la dirección de Xi en los sistemas n):
PFV : Ecuación de compatibilidad:
1 2 i k
...
... ...
d ik
X
k
= 1
Te  Ti


1.dik  Mi
L

Mk
EI
dx  Ni
L

Nk
EA
dx  Vi
L

Vk
GAa
dx  F i dmk
muelles

dik  Mi
L

Mk
EI
dx  Ni
L

Nk
EA
dx  Vi
L

Vk
GAa
dx  F i dmk
muelles

1 2 i k
...
... ...
1
Sistema real de desplazamientos y deformaciones Sistema virtual de fuerzas externas e internas
Reservados
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8
4.- Cálculo 'n' fuerzas hiperestáticas (incógnitas)
5.- Cálculo de los esfuerzos totales
d1  d1o  d1k
k1
n
 Xk  0
. . .
di  dio  di k
k1
n
 Xk  
. . .
dn  dno  dn k
k1
n
 Xk  0






































n
i
i
o
n
i
i
o
n
i
i
o
1
i
1
i
1
i
X
V
V
V
X
N
N
N
X
M
M
M
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
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económica
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Ejemplo 1. Dada la estructura de la figura, en la que la carga térmica actúa únicamente en el tramo
AB, determinar por el método de las fuerzas los diagramas de esfuerzos internos en las barras.
Datos: P=40kN, L=4m, EI=25·104 kNm2, AE= GAa=, Ts=10ºC, Ti=20ºC, a=10-5 ºC-1, h=0.2m,
Sm=EI/2L3
s0 X1·S1
0
1
11
10
1
' 



 X
C d
d
d
d
Ecuación de compatibilidad:
C
C’
C’
C’ X1=1
Reservados
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No
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económica
ni
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de
esta
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10
 Tipos de cargas térmicas:
- Incremento de temperatura constante. Produce deformación longitudinal, 0
- Incremento térmico diferencial. Produce deformación longitudinal, 0 y curvatura, 0
dx
T
dx
du 


a




B’
h
h
NOTA: En sistemas isostáticos las cargas térmicas producen desplazamientos y
deformaciones libres (sin restricciones), por tanto no se generan esfuerzos internos, ni
reacciones en sus elementos.
T
a.T.dx
a.T.dx
a.T.dx
T


a
0
dx
T
dx
du m 


a



 dx
h
T
T s
i
d




a


s
i T
T 


2
Ti
Ts
Tm





T
Tm 




 a
a
0
h
T
h
T
T s
i 2
0






 a
a

T
T
2
T
T
T
T s
i
s
m
T





 

-
+
+ +
h
+
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
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su
totalidad.

DEFORMACIONES
Sistema 1 (Fuerza hiperestática, X1 = 1, sobre el sistema base)
Axiales
Tang
Curvatura
Sistema 0
ESFUERZOS
B
3L
B
N1
1 1 V1
M1
V0/GAa0
Curvatura
V1/GAa0
ESFUERZOS
= 0
= 0
X1=1
=0
=0
N1/EA=0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

d10 Sistema virtual de fuerzas: S1
Sistema real de deformaciones: S0
dx
)
EI
M
(
M
F
dx
)
GA
V
(
V
dx
)
EA
N
(
N
dx
)
EI
M
(
M 0
0
1
muelles
mo
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
10
L
L
L
L



d



a







d 




Curvatura
h
L
T
2
4
EI
3
PL
14 2
3
10


a



d
0 0 ~0 0
0
= 0
= 0
B
A
L
B
A
B
A
B
A
B
A B
A
X1=1
=0
Reservados
todos
los
derechos.
No
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económica
ni
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de
esta
obra.
Queda
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su
totalidad.

d11 Sistema virtual de fuerzas: S1
Sistema real de deformaciones: S1





 d


d

a



d
muelles
1
m
1
1
1
muelles
1
m
1
1
1
1
1
1
1
11 F
dx
)
EI
M
(
M
F
dx
GA
V
(
V
dx
)
EA
N
(
N
dx
)
EI
M
(
M
L
L
L
L
0 0 ~0
C
A
C
A
C
A C
A
X1=1
X1=1
=0
N1/EA=0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
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explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
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impresión
en
su
totalidad.

Sm
EI
L
h
L
T
EI
PL
X
1
9
2
4
3
14
3
2
3
11
10
1







a
d
d
C’
0
1
11
10
1 


 X
d
d
d
ESFUERZOS TOTALES (Considerando X1 = P/5 = 8 kN):
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
P
2L, EI L, EI
A
B
h
X1
C’
=0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

5.6. Cálculo de desplazamientos y giros
Resuelta la hiperestaticidad por el método de las fuerzas, se puede aplicar el método de la carga
unitaria (PFV), utilizando la estructura del Sistema Base en el sistema virtual de fuerzas.
muelles
T
T
T
i
i
i
e
T
dx
EI
M
M
dx
GA
V
V
dx
EA
N
N
T
F
T















a
d

  i
e T
T
Sistema real de deformaciones Sistema virtual de fuerzas
¿dVB?
Axiales
Tang
Curvaturas
0 =a.Tm
VT/GAa0
MT/EI
+
0
1
1
2L
C
NT/EA=0
+ 0
N=0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

dx
EI
M
M
F
dx
k
EI
M
M
dx
GA
V
V
dx
EA
N
N
T
T
T
muelles
m
m
T
T
T
i
vB
e
L
)
(
.
)
(
)
(
)
(
1
0
0
0
0 
d


d
a






















  i
e T
T
dvB =

=
mm
m
h
L
T
EI
PL
84
.
3
00384
.
0
2
2
15
24 2
3






a
0 ~0 0
Fm= 0
MT/EI
+
0
M
¿dVB?
NT/EA=0
+ 0
0=aTm N=0
0
0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

Sist. Real de desplazamientos y
deformaciones
Sist. Virtual de cargas y esfuerzos:
¿dVC?
Axiales
Tang
Angulares
a.Tm
VT/GAa0
MT/EI
+
0






d mm
1
.
4
m
0041
.
0
EI
5
PL
2
L
2
/
EI
5
/
P
Sm
X 3
3
1
VC
Para calcular el desplazamiento en el muelle podemos aplicar el método de la carga unitaria
(PFV) en la estructura o hacer el cálculo directamente sobre el muelle (ley de Hooke):
1
Fm= 0
NT/EA=0
+ 0
0=aTm
V
N=0
M
N
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

,
,
18
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

 La deformada de una estructura de barras representa la posición final de la línea media de
las barras una vez deformadas.
 Cuando se habla de deformada “a estima” nos referimos a la representación gráfica de la
deformada en función de los datos de los que se disponen: Restricciones en los apoyos
(compatibilidad de desplazamientos), desplazamientos y giros calculados en las distintas
secciones, diagramas de deformaciones, etc.
 El diagrama de momentos flectores aporta la información necesaria para conocer la
deformación a flexión (curvaturas) en los elementos de nudos rígidos.
MT/EI + 0
dHC
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

20
EI
EI
2E
I
2EI
1
2
3 4
5
6
L
L
L/2
4EI
2EI
L
M M
p
EI
EI
2EI 2EI
1
2
3 4
5
6
L
L
P
EI
4EI
L
Estructura simétrica
Carga simétrica
Estructura simétrica
Carga antisimétrica
Esfuerzos simétricos
Esfuerzos antisimétricos
Mt
5.4. Simplificaciones por simetrías y antisimetrías
En el caso de estructuras simétricas, sometidas bien a cargas simétricas o bien
antisimétricas respecto al mismo plano de simetría que la estructura, la resolución del
sistema se puede simplificar mucho eligiendo el sistema base adecuado
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

21
a) Caso de estructura simétrica con carga simétrica: En las secciones del plano de
simetría son nulos los esfuerzos antisimétricos (esfuerzo cortante)
q
EI
EI
EI EI
A
C E
B
L
D
L
Eje de simetría
Pendiente=0
Desplazamiento horizontal =0
Desplazamiento vertical≠ 0
Estructura deformada
q
EI
A
C
L
L/2
D
ND
MD
Podemos elegir como SISTEMA BASE:
GH=GHext = 3
=X2
=X1
GH=GHext = 2
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

Pendiente ≠ 0
Desplazamiento horizontal ≠ 0
Desplazamiento vertical = 0
22
b) Caso de ESTRUCTURA SIMÉTRICA con CARGA ANTISIMÉTRICA: En las
secciones del plano de simetría son nulos los esfuerzos simétricos (esfuerzo normal
y momento flector)
VD
GH = GHext = 1 GH = 0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

23
5.4. Simplificaciones por simetrías y antisimetrías: Resumen
VE = 0, ME ≠ 0, NE ≠ 0 VE ≠ 0, ME = 0, NE = 0
ME
NE
VE
A B
C D
E
Estructura en estudio
A
C
E
A
C E
Esquema simplificado de cálculo
Carga simétrica Carga antisimétrica
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

24
Datos: AE, L. P1, P2, T, a
Sistema hiperestático interno, GHint = 1 Sistema base isostáticamente determinado
GHext=0, GH=GHint=1 Ecuación de compatibilidad:
P 1
P 2
P 1
P 2
X1 X1
1
1
A
B
A
B
C
D
C
D
1
L, EA
L, EA
EA
2EA
T T
Ejemplo 2. En la estructura de nudos articulados de la figura, determinar por el método de las
fuerzas los diagramas de esfuerzos internos en las barras y el desplazamiento vertical del nudo D.
0
1
11
1
1 

 X
o d
d
d
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

25
Sistema hiperestático interno, GHint = 1 Sistema base isostáticamente determinado
L, EA
L, EA
EA
2EA
T T
Otra propuesta de sistema base adecuado consiste en extraer la barra BC fuera de la celosía,
abriendo los nudos B y C, y aplicar X1 en esos nodos, tal como se muestra en la figura:
0
1
11
1
1 

 X
o d
d
d
1
1
P 1
P 2
P 1
P 2
X1 X1
1
1
A
B
A
B
C
D
C
D
X1
X1
X1
1
1
AE
X1
1
1
T T
B
C
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

Adoptando el primer sistema base propuesto, los sistemas S0 y S1 son los siguientes:
Sistema de carga 0 Sistema de carga 1
Sistema base : Carga externa y X1=0 Sistema base : Carga X1 = 1
P 1
P 2
1
1
1
1
X1 = 1 X1
= 1
A
B
A
B
C
D
C
D
S0 S1
T
i
barras
i
i
i
L
AE
N
N i
 








 0
0
1
10 
d
P2
P2
P22
P2
P2
P22
P2
P2
P1 – P2
2/2
2/2
2/2
2/2
1
1
2/2
2/2
2/2
2/2
L
T
AE
P
L
AE
P
L
AE
P











 a
d 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
10


barras
i
i
L
AE
N
N i
i
1
1
11
d
L
AE
L
AE
L
AE
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
11 







d
 
AE
L
TL
AE
L
P
X
2
8
7
2
2
4
2
3
8 2
11
10
1
















a
d
d
0
1
11
1
1 0 

 X
d
d
d
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

P 1
P 2
1
1
1
1
X1 = 1 X1
= 1
A
B
A
B
C
D
C
D
S0 X1·S1
T
P2
P2
P22
P2
P2
P22
P2
P2
P1-P2
P22/4
P2(1+2/4)
P22/4
P2/2
P2/2
P22/4
P22/4
P2/2
P22/4
P22/4
P22/4
P22/4
P2(1+2/4)
P22/4
P22/4
P2(1+22)/2
P2(1+22)/2
P2/2
P22/4
P22/4
P2(1+2/4)
P2(1+2/4)
X1 = - P2 / 2
N i_TOTAL
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

P2(1+2/4)/AE P2(1+2/4)/AE
P22/4AE
P22/4AE
P2(1+22)/2AE
P2(1+22)/2
P2/2AE
P22/4AE
P22/4AE
P2(1+2/4)/2AE
P2(1+2/4)/2AE
Sistema Real de
Deformaciones y Desplazamientos
aT
Sistema Virtual de
Cargas y Esfuerzos
    TL
AE
4
L
P
2
9
4
L
T
1
L
AE
4
P
2
1
L
2
AE
2
2
2
1
P
2
L
T
AE
N
N
.
1
T
T
2
2
2
i
barras
i
i
i
i
i
e
VD
VD

a






a







d










a


d




2
2
1
1
1
1
1
Método de la carga unitaria: Cálculo dVD
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

29
Ejemplo 3. En la estructura de la figura, determinar los diagramas de esfuerzos internos en las
barras por el método de las fuerzas.
DATOS: Sm = 6EI/√5, AEAB = EI/6√5 y EI = cte., AE = GAa = ∞ en las barras de nudos rígidos.
1. Resolución de la hiperestaticidad:
Sistema base
P
Sm
AE EI
EI
EI
A
D
E
Figura 3.1
x
y
z
F
B
EI
4m
2m
2m 1m
2m
3m
P
X1
Sm
AE EI
EI
EI
A
D
E
F
C
B
EI
GH = GHext =1
d1= d10 + d11 X1 = 0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

30
P P
2P P P
P 2P
P 2P
2P
C
5 5
5 5
Sistema 0 (cargas externas, P, sobre el sistema base)
Sistema 1 (fuerza hiperestática, X1 = 1, sobre el sistema base)
M1 V1 N1
M0 V0 N0
2
2
1
1 1
1
6tm
2tm
1
5
5
5
5
X1 = 1
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

31
Cálculo de la fuerza hiperestática: Ecuación de compatibilidad
Desplazamiento horizontal en A: d1= d10 + d11 X1 = 0
Cálculo de diagramas de esfuerzos internos totales: Principio de superposición
Momento flector, M = M0 + M1 X1
Esfuerzo cortante, V = V0 + V1 X1
Esfuerzo normal, N = N0 + N1 X1
;
M
dx
EA
N
N
dx
EI
M
M 0
m
1
m
o
1
o
L
1
o
1
)
AB
(
L




d 
 







d 
 9
P
X
M
dx
EA
N
N
dx
EI
M
M 1
1
m
1
m
1
1
1
L
1
11
)
AB
(
L
2P
2P/9 16P/9
6P/9
P P
16
11
m
11P
2P
17P
P
P/9
P/9
P
5
9 5
9 5
9 5
9 5
X1 = P/9
M V N
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

32
EI
P
97
,
6
0
0
5
2
EI
9
P
6
EI
9
P
16
2
2
6
1
2
EI
P
2
2
3
1
dx
AE
N
N
M
dx
EI
M
M
TVI
1
TVE
)
AB
(
L
m
muelle
L
VD























d




PFV: TVE = TVI  

d m
EI
P
97
,
6
VD
2P/EI
2P/9EI
16P/9EI
6P/9EI
P/9AE P/9AE
Sist. deformación real:
= M / EI y  = N / AE
m = 6P/9Sm
D
A B C
E
F
Sist. virtual de fuezas:
M
2. Cálculo de desplazamiento dvD por el método de la carga unitaria
Mmuelle = 0
1t
2tm
2tm
1
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

33
m=6P/9Sm=
dB=P/9AE
dD=6,97P/2EI
P
16
9EI
11
m
5
5
Punto de inflexión
2P/EI
2P/9EI
16P/9EI
6P/9EI
P/9AE P/9AE
m = 6P/9Sm
k = M/EI
 = N/AE
3. Cálculo de la deformada (elástica) a estima de la estructura
Sistema real de deformaciones y
desplazamientos
Deformada a estima
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

Leccion-6.pdf
Anónimo
3º Grado en Ingeniería Mecánica
Escuela Politécnica de Ingeniería de Gijón
Universidad de Oviedo
Reservados todos los derechos.
No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad.

CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS DE BARRAS
Lección 6. El Método de los Ángulos de Giro
6.1. Introducción.
6.2. Métodos de equilibrio: Métodos de desplazamientos (MAG).
6.3. Grados de libertad. Estudio de la desplazabilidad.
6.4. Ecuaciones fundamentales del método de ángulos de giro.
6.5. Cálculo de rigideces.
6.6. Momentos de empotramiento perfecto.
6.7. Simplificaciones por simetría y antisimetría.
6.8. Cálculo y representación gráfica de esfuerzos internos.
6.9. Cálculo de desplazamientos en nudos.
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

2
Análisis de estructuras hiperestáticas
PTV
PFV PDV
Aplicaciones:
- Obtención ecuaciones de compatibilidad
en Métodos de Compatibilidad (Método
de las Fuerzas)
Aplicaciones:
- Obtención ecuaciones de equilibrio
en Métodos de Equilibrio (Método de
Desplazamientos: Método de Ángulos de Giro)
6.1. Introducción
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

3
6.2. Métodos de equilibrio: Método de los desplazamientos
Definiciones:
- Bajo un estado de carga dado, la deformada de
una estructura es única y queda definida por
determinados desplazamientos (desplazamientos
lineales y giros) en un número de puntos (nudos) de
la estructura.
- Estos desplazamientos se denominan grados de
libertad de la estructura (GL) y son las incógnitas
cinemáticas consideradas en el método de los
desplazamientos.
Etapas del método de los desplazamientos:
1. Se determina el grado de indeterminación
cinemática o grados de libertad de la
estructura.
2. Se expresan los esfuerzos internos en función
de las incógnitas cinemáticas.
3. Se plantean las ecuaciones de equilibrio de los
esfuerzos internos.
4. Se obtienen las incógnitas cinemáticas.
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

4
 El método de ángulos de giro es un caso particular del método de los
desplazamientos en el que se adoptan ciertas simplificaciones:
1. Se desprecia la influencia de las deformaciones debidas al esfuerzo normal
(AE = ∞), por tanto las barras mantienen su longitud inicial, y se desprecia la
influencia de las deformaciones debidas al esfuerzo cortante (GAa = ∞).
2. Se consideran desplazamientos pequeños (Teoría de 1er. orden).
CONSECUENCIAS:
 En el método de los ángulos de giro, el grado de indeterminación cinemática
(grados de libertad) de una estructura es igual al número de giros de nudos
(GN=ji) y de giros independientes de barras (GB=yij) GL = GN + GB.
 Para determinar estas incógnitas, se dispone de una ecuación de equilibrio de
momentos por nudo (SMi=0), es decir, tantas como incógnitas ji y de una
ecuación de equilibrio por cada grado de desplazabilidad independiente de la
estructura (PDV), es decir, tantas como incógnitas yij.
6.2. Métodos de equilibrio: Método de los desplazamientos
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

5
SISTEMAS INDESPLAZABLES:
GB = 0
SISTEMAS DESPLAZABLES:
1 Grado de desplazabilidad
A
B
C
GL = GN + GB = 2
GB = 0
GN = 2 (jB , jC)
a
L
L
GL = GN + GB = 1
GB = 0
GN = 1 (jB)
A
B
C
a
L
L
GL = GN + GB = 3
GB = 1 (yAB)
GN = 2 (jB , jC)
C
A
B
a
L
L
yBC = yCB = DV/L = Dcosa/L
A
B C C’
B’
yAB = yBA
=D/L
dHC = DH
dHB = DH
DV
D
a
1 Grado de desplazabilidad 1 Incógnita GB
Relación geométrica: yBC = f (yAB) = - yAB cosa
a
6.3. Grados de libertad. Estudio de la Desplazabilidad
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

6
SISTEMAS DESPLAZABLES:
2 Grados de desplazabilidad yI
BC = yI
CB = D1V/L = D1cosa/L
A
B
C C’
B’
yI
AB=yI
BA=D1/L
dHC = D1H
dHB = D1H
D1V
D1
a
1er. Grado desplazabilidad: yI
BC = f (yI
AB) = - yI
AB cosa
a
A
B C
D2
yII
BC = yII
CB = D2/L
C’
2do. Grado desplazabilidad: yII
BC = D2/L
GL = GN + GB = 4
GN = 2 (jB , jC)
GB = 2 (yI
AB , yII
BC)
C
A
B
sm
L
L
a
6.3. Grados de libertad. Estudio de la Desplazabilidad
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

7
L
p
B
A
jA
yAB =yBA jB
B’
A’
u
u
D
yBA
EI
6.4. Ecuaciones fundamentales del método de ángulos de giro
0
BA
BA
BA
BA
BA
BA
0
AB
AB
AB
AB
AB
AB
M
)
(
M
)
(
M
)
(
M
M
M
)
(
M
)
(
M
)
(
M
M
A
B
B
A

y

j

j
=

y

j

j
=
M
M j j   Q Q
CONVENIO
SIGNOS
POSITIVOS
DEFORMACIÓN DE UNA BARRA DE NUDOS RÍGIDOS
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

8
M
M j j   Q Q
CONVENIO
SIGNOS
POSITIVOS
DEFORMACIÓN DE UNA BARRA DE NUDOS RÍGIDOS
MAB = MAB (jA) + MAB (jB) + MAB (yAB) + M0
AB
MBA = MBA (jB) + MBA (jA) + MBA (yBA) + M0
BA
MAB (jA) y MBA (jA)
Momentos de
extremo de barra
debidos al giro en A
Momentos de
extremo de barra
debidos al giro en B
MAB (jB) y MBA (jB)
Momentos de extremo
de barra debidos al
giro de la barra AB
MAB (yAB) y MBA (yBA)
Momentos de
empotramiento perfecto
debidos a cargas externas
M0
AB y M0
BA
L
p
B
A
jA
yAB = yBA jB
B’
A’
u
u
D
yBA
EI
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

9
0
0
0
0
.
)
1
(
.
)
1
(
.
)
1
(
.
)
1
(
.
)
1
(
.
)
1
(
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
M
t
s
M
M
M
M
M
M
t
s
M
M
M
M
M
A
B
A
A
B
B
B
A
B
B
A
A



=

=

=

=
=



=

=

=

=
=
y

j
j
y
y
j
j
j
j
y

j
j
y
y
j
j
j
j
L
p
B
A
jA
yAB = yBA jB
B’
A’
u
u
D
yBA
EI
siendo: sAB = sBA = Rigidez directa, tAB = tBA = Rigidez cruzada,
AB = BA = Rigidez traslacional
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

10
6.5. Cálculo de rigideces. Tabla resumen
A B
EI, L
A B
EI, L
TIPO DE BARRA
Barra biempotrada
Barra empotrada-articulada
Rigidez
directa
Rigidez
cruzada
Rigidez
traslacional
-
0 -
sAB = sBA tAB = tBA
nAB = nBA =
- (sAB + tAB )
sBA tBA
nBA = - (sBA + tBA)
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

11
sAB = Rigidez directa en A (MAB para jA=1)
EI
3
L
L
L
EI
L
3
1
EI
2
L
L
L
EI
1
2
1
3
11
2
10
=


=
d

=



=
d
Resolución hiperestaticidad: Método de las fuerzas
Sistema Base
L
2
3
11
10
X1 =
d
d

=
MAB = M = 1 jA = qA
jA=1
sAB = MAB = 1/qA
A B
EI, L
A
B
M=1
X1
A
B
M=1 A
B
X1 =1
A B
1
A
B
1L
1
Sistema 0 Sistema 1
M0 M1
1
sAB=MAB
A
B
jA=1
L, EI
A
B
M = 1
L, EI
6.5. Cálculo de rigideces. Barra biempotrada
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

12
Sistema Real Sistema Virtual
Cálculo qA: Método carga unitaria
A
B
jA=qA
M=1
L
EI
s
EI
L
T
T
EI
L
L
EI
L
EI
T
T
A
AB
A
i
e
i
A
e
4
1
4
4
1
2
3
2
1
1
1
.
1
:
PFV
=
=

=

=





=



=
=
q
q
q
sAB = Rigidez directa en A (MAB para jA=1)
A B
EI, L
1
A
B
A
B
1 1
M=1
A
B
X1=3/2L
A
B
1
A
B
3/2
+
A
B
1
1/2
=
1
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

13
Por simetría  sBA= sAB= 4EI/L
Por simetría  tBA= tAB= 2EI/L
tBA = Rigidez cruzada en B (MBA para jA=1)
sBA = Rigidez directa en B (MBA para jB=1)
tAB = Rigidez cruzada en A (MAB para jB=1)
A B
EI, L
A
tBA=MBA
B
jA=1
sAB=MAB
A partir del diagrama de
momentos totales de la
viga AB, se deduce:
A
sBA=MBA
B
tAB=MAB
jB=1
A
sBA=MBA
B
tAB=MAB
jB=1
A B
tBA=sAB/2
sAB
L
EI
2
t
L
EI
4
s AB
AB =

= tBA=
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

14
nAB = nBA= Rigidez traslacional en A o en B (MAB o MBA cuando yAB=1)
MAB (yAB=1) = 0 + MAB (jA= -1) + MAB (jB= -1)
- sAB - tAB
nAB = nBA = - (sAB + tAB) = - 4EI/L -2EI/L = - 6EI/L
MAB = sAB.jA + tAB.jB + nAB.yAB + M0
AB
MBA = sBA.jB + tBA.jA + nBA.yBA + M0
AB
MAB = 4EI/L.jA + 2EI/L.jB - 6EI/L.yAB + M0
AB
Ecuaciones fundamentales para una barra biempotrada:
MBA = 4EI/L.jB + 2EI/L.jA - 6EI/L.yBA + M0
BA
A B
EI, L
B’
jA = -1
jB = -1
= + +
B’
A
B’
A
yAB=yBA=1
A
nAB=MAB
nBA=MBA
A B
yAB=yBA=1
D
B’
=
=
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

15
A B
EI, L
MAB = sAB.jA + tAB.jB + nAB.yAB + M0
AB = 0
MBA = sBA.jB + tBA.jA + nBA.yAB + M0
BA
sAB = Rigidez directa en A (MAB cuando jA=1) = 0
sBA = Rigidez directa en B (MBA cuando jB=1)
tBA = Rigidez cruzada en B (MBA cuando jA=1) = 0
tAB = Rigidez cruzada en A (MAB cuando jB=1) = 0
nAB= Rigidez traslacional en A (MAB cuando yBA=1) = 0
con:
0 0 0 0
nBA= Rigidez traslacional en B (MBA cuando yBA=1)
A
B
0
A
B
yAB = yBA
jB
jA
6.5. Cálculo de rigideces. Barra empotrada-articulada
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

16
A B
EI, L
sBA = Rigidez directa en B (MBA cuando jB = 1)
sBA=MBA
A
B
jB=1 A B
qB
MBA=M=1
Sistema Real Sistema Virtual
MBA=M=1 jB=qB
jB=1
sBA= MBA= 1/qB
EI
3
L
L
1
EI
1
3
1
T
.
1
T
i
B
e
=

=
q
=
L
EI
3
1
s
EI
3
L
B
BA
B =
q
=

=
q
PFV:
1
A
M=1
A B A
1
A
1
A B
B B
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

17
A B
EI, L
nBA= Rigidez traslacional en B (momento en B cuando yAB=1)
MBA (yBA=1) = 0 + MBA (jA= -1) + MBA (jB= -1)
- tBA = 0 - sBA
vBA = - (sBA + tBA) = - sBA = - 3EI/L
Ecuación fundamentales para una barra empotrada-articulada:
jA= -1
jB= -1
A
B’
A
B’
A
B’
= + +
yAB=yAB=1
yAB=yAB=1
nBA= MBA
B
A
D
B’
=
=
MBA= sBA.jB + tBA.jA + nBA.yAB + M0
BA MBA = 3EI/L.jB - 3EI/L.yAB + M0
BA
MAB= 0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

18
q
L
L/2
P
L/2
a
P
b
a b
c
L
q1
q2
L
q
L
q
q
a b
M
a b
h
8
PL
M
M B
A =
=
2
P
R
R B
A =
=
2
2
B
2
2
A
L
Pba
M
L
Pab
M =
=
   
b
2
L
L
Pa
R
a
2
L
L
Pb
R 3
2
B
3
2
A 
=

=
12
qL
M
M
2
B
A =
=
2
qL
R
R B
A =
=







=







=
L
a
3
2
L
Ma
M
2
L
b
3
L
Mb
M B
A
3
B
3
A
L
Mab
6
R
L
Mab
6
R =

=
 
h
T
2
EI
M
M B
A
a

=
=
0
R
R B
A =
=
MA
MB
RA
RB
 
 
b
a
12
ac
3
Lc
L
12
qc
M
ab
12
bc
3
Lc
L
12
qc
M
2
2
2
2
B
2
2
2
2
A


=


=
 
 
2
1
2
B
2
1
2
A
q
3
q
2
60
L
M
q
2
q
3
60
L
M

=

=
20
qL
M
30
qL
M
2
B
2
A =
=
20
qL
7
R
20
qL
3
R B
A =
=
96
qL
5
M
M
2
B
A =
=
4
qL
R
R B
A =
=









=









=
2
2
3
3
B
2
2
3
3
A
La
a
L
a
2
3
L
L
30
q
M
La
3
7
a
L
a
L
L
20
q
M
+T
-T
6.6. Momentos de empotramiento perfecto
para barra biempotrada
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

19
q
L
L/2
P
L/2
a
P
b
a b
c
L
q1
q2
L
q
L
q
q
a b
M
a b
h
16
PL
3
MB =
16
P
11
R
;
16
P
5
R B
A =
=
 
2
2
2
B a
L
L
2
Pa
M 
=
   
2
2
3
B
3
2
A a
L
3
L
2
Pa
R
b
2
a
3
L
2
Pb
R 
=

=
8
qL
M
2
B =
8
qL
5
R
;
8
qL
3
R B
A =
=
 
2
2
2
B L
a
3
L
2
M
M 
=
 
2
2
3
B
A a
L
L
2
M
3
R
R 
=

=
h
T
EI
3
MB
a

=
hL
T
EI
3
R
R B
A
a
=

=










=
b
4
c
b
a
2
L
2
qabc
M
2
2
B
 
2
1
2
B q
8
q
7
120
L
M 
=
15
qL
M
2
B =
10
qL
4
R
10
qL
R B
A =
=
64
qL
5
M
2
B =
64
qL
21
R
;
64
qL
11
R B
A =
=
  
2
2
B a
3
L
7
L
120
a
L
q
M 

=
MB
RA
RB
+T
-T
L
M
L
qac
R
L
M
L
qbc
R B
B
B
A 
=

=
 
 
2
1
B
2
1
A
q
48
q
27
120
L
R
q
12
q
33
120
L
R

=

=
   
L
M
6
a
L
q
R
;
L
M
6
b
L
q
R B
B
B
A 

=


=
para barra empotrada-articulada
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

20
A
B
C
L, EI
L, EI
b
DT(-)
CASO DE CARGA TÉRMICA CONSTANTE (DT = cte)
CASO DE CARGA TÉRMICA DIFERENCIAL (DT lineal): ver tabla caso
M0
AB = M0
BA = nAB.0
AB = - 6EI/L .(- D/L) = (6EI/L). (D/L)
M0
BC = M0
CB = nBC.0
BC = - 6EI/L .(DV/L) = - (6EI/L). (DV/L)
A
B C
D
B’
0
AB = D/L
0
BC = DV/L
. .
b
DL=DH
DV
M0
AB
M0
CB
M0
BC
M0
BA
 
 
h
T
EI
M
h
T
EI
M
BA
AB
2
2
0
0
a
a
=

=
-T h
T
EI
MBA
a
3
0
=
h
+T
A B
h
+T
-T
A
B
h T
T
+
-
6.6. Momentos de empotramiento perfecto para carga térmica
D
DH= DLBC
DV
DLBC = a DT L
DH=DLBC= D senb
DV= D cosb
DL (acortamiento) =
= DLBC = a DT L
 
h
T
2
EI
M
M B
A
a

=
=
Tabla:
h
T
EI
3
MB
a

=
Tabla:
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

21
A
B C
L, EI
L, EI
b
D
 CASO DE ASENTAMIENTO
M0
BC = nBC.0
BC = - 3EI/L .(-D/L) = (3EI/L).(D/L)
 CASO DE DESPLAZAMIENTO IMPUESTO HORIZONTAL
A
B
C
b
C’
D
0
BC = D/L
M0
BC
A
B C
L, EI
L, EI
b
D
A
B
C’
DBA
B’
0
AB = DBA/L
0
BC = DBC/L
. .
b
D
DBC
M0
AB
M0
CB
M0
BC
M0
BA
D
C
M0
AB = M0
BA = nAB.0
AB = - 6EI/L .(- DBA/L) = (6EI/L).(DBA/L)
M0
BC = M0
CB = nBC.0
BC = - 6EI/L .(DBC/L) = - (6EI/L).(DBC/L)
DBA
D
DBC
D
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

22
I) EQUILIBRIO DE MOMENTOS POR CADA NUDO CON GIRO INCÓGNITA (jk).
Mki = Momentos internos aplicados en el nudo k
M = Momento externo aplicado en el nudo k
A) En el caso de la resolución de una estructura desplazable por el método de ángulos de
giro, se plantean dos tipos de ecuaciones de equilibrio:
i
Mk1
1
n
Mk1 Mki Mki
Mkn
Mkn
M
k
II) EQUILIBRIO MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL PTV (PDV) POR CADA GRADO DE
DESPLAZABILIDAD INDEPENDIENTE (GIRO DE BARRA INCÓGNITA, yki).
Equilibrio de momentos en el nudo k:
SMk = 0 SMk externos + SMk internos = 0
M + SMki= 0
B) En el caso de la resolución de una estructura indesplazable por el método de ángulos de giro,
es suficiente plantear el equilibrio de momentos en los nudos con giro incógnita (jk).
6.7. Planteamiento ecuaciones de equilibrio
PDV: Te = Ti
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

23
 En estructuras simétricas, se pueden aplicar simplificaciones para reducir el número de incógnitas
cinemáticas cuando las cargas presentan simetría o antisimetría:
= +
P
Q M
P/2
Q/2 M/2
P/2
M/2
Q/2
P/2
Q/2 M/2
P/2
M/2 Q/2
CASO SIMÉTRICO
CASO ANTISIMÉTRICO +
CASO GENERAL =
6.8. Simplificaciones de simetrías y antisimetrías
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

24
 La simetría en estructura y carga puede dar lugar a sistemas indesplazables, como los que
muestran en los ejemplos:
jB = - jC
yAB = yBC = yCD = 0
jB = - jC = jF = - jG
yAB = yCD = yFE = yGH = 0
yBC = yCF = yFG = 0
jB = jC
yAB = yCD
SIMETRÍA DE CARGAS ANTISIMETRÍA DE CARGAS
P P
A D
B C
A D
B
C
E H
F
G
6.8. Simplificaciones de simetrías y antisimetrías
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

25
EJEMPLO DE APLICACIÓN
- Longitudes de las barras: LAB = LCD, LBC
- Rigideces de las barras : EI, AE = ∞, GAa = ∞
- Cargas externas : WV y WH
A) Determinación de los grados de libertad e incógnitas a considerar en la estructura:
4 grados de libertad = 3 giros de nudos: jB, jC y jD y 1 giro de barra (1 grado de
desplazabilidad): yAB = yDC = D / LAB
3 incógnitas cinemáticas = 2 giros de nudos y 1 giro de barra: jB, jC, y yAB
D
A
B C
l
WV
WH
h
jC
yAB
jB
D
A
B’ C’
D D
jD
yDC (= yAB)
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

MCB
MAB
MBA
D
A
B C
MBC
MCD
WV
WH
jA=0 jD≠0
26
B) Expresiones de las ecuaciones fundamentales del método de ángulos de giro: Ecuaciones
de los momentos de extremo de barra en función de las 3 incógnitas cinemáticas consideradas
(jB , jC y yAB):
MAB = 4EI/LAB.jA + 2EI/LAB.jB - 6EI/LAB.yAB + M0
AB
MBA = 4EI/LAB.jB + 2EI/LAB.jA - 6EI/LAB.yAB + M0
BA
MBC = 4EI/LBC.jB + 2EI/LBC.jC - 6EI/LBC.yBC + M0
BC
MCB = 4EI/LBC.jC + 2EI/LBC.jB - 6EI/LBC.yCB + M0
CB
MCD = 3EI/LCD.jC + 0.jD - 3EI/LCB.yAB + M0
CD
MDC = 0
0
0
BA
BA
BA
BA
BA
BA
AB
AB
AB
AB
AB
AB
M
t
s
M
M
t
s
M
A
B
B
A



=



=
y

j
j
y

j
j
0
0
0 0
0
0
0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

27
B) Expresiones de las ecuaciones fundamentales del método de ángulos de giro:
Ecuaciones de los momentos de extremo de barra en función de las 3 incógnitas
cinemáticas consideradas (jB , jC y yAB)
MCB
MAB
MBA
D
A
B C
MBC
MCD
WV
WH


















y

j
=

j

j
=

j

j
=
y

j
=
y

j
=
o
CD
o
o
AB
AB
CD
CD
C
CD
CD
CB
B
CB
C
CB
CB
BC
C
BC
B
BC
BC
BA
B
BA
BA
AB
B
AB
AB
M
L
EI
3
L
EI
3
M
M
L
EI
2
L
EI
4
M
M
L
EI
2
L
EI
4
M
L
EI
6
L
EI
4
M
L
EI
6
L
EI
2
M
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

28
C) Planteamiento de las ecuaciones de equilibrio necesarias para la resolución del
sistema: 3 incógnitas 3 ecuaciones de equilibrio.
C.1.) Planteamiento de 2 ecuaciones de equilibrio de momentos en los 2 nudos con giros
incógnita: jB y jC



=


=
=


=


0
M
M
0
M
0
M
M
0
M
CD
CB
C
BC
BA
B
MCB
MAB
MBA
D
A
B C
MBC
MCD
WV
WH
MDC = 0
MBC
B
MBA
MCB
C
MCD
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

29
C.2.) Planteamiento del PTV (PDV) 1 Ecuación de equilibrio por grado de desplazabilidad
independiente (giro de barra incógnita): yAB = yDC = D / LAB
0
h
W
M
M
M
M
M
M
T
h
W
T
T
T
H
CD
BA
AB
CD
BA
AB
H
i
e
i
e
=








=

=
=

PDV
Relación entre giros virtuales de barras:
AB = BA = CD = DC = 
BA
D D
h
h CD
DC
AB
A
B B’ C C’
D
WH
WV
MBA
MBC
MAB
MCD
MCB
MDC=0
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

30
D) Sistema de ecuaciones de equilibrio para la obtención de las 3 incógnitas cinemáticas
consideradas: jB y jC y yAB = yDC
E) Cálculo de los momentos de extremo de barra en función de las incógnitas:
MAB, MBA = MBC y MCB = MCD
F) Cálculo de los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos
normales en las barras y desplazamientos en nudos.





=




=


=
=


=


0
h
W
M
M
M
PDV
0
M
M
0
M
0
M
M
0
M
H
CD
BA
AB
CD
CB
C
BC
BA
B
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

31
6.9. Cálculo de desplazamientos en nudos
- SOLICITACIÓN: P, MB y MC
Nudo B: jB , dHB = yAB.LAB = D , dVB = 0
Nudo C: jC , dHC = yCD.LCD , = D dVC = 0
yAB
yBC=0
yCD=yAB
Incógnitas: 3 (yAB = yCD , jB , jC)
 Una vez determinadas las incógnitas, ji y yij, teniendo en cuenta el tipo de
solicitación, el cálculo de los desplazamientos en los nudos es inmediato:
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

32







=
=

=

=

=
B
B
BC
BC
B
AB
B
AB
BA
B
AB
BA
EI
L
EI
M
EI
PL
L
EI
M
L
EI
M
j
j
j
j
j
2
4
8
4
8
4
4 0
6.4. Cálculo y representación gráfica de esfuerzos internos
Ejemplo de aplicación en un sistema indesplazable (GB = 0)
 Incógnita a considerar: jB Planteamiento ecuación de equilibrio: SMB=0
 Ecuación de equilibrio:
 Momentos de extremo de barra:
C
A
P = 4kN
L = 8m
B
MAB
MBA
MBC
MCB
L = 8m L = 8m
rad
EI
M
M
M
B
BC
BA
B
3
32
0
0
=

=


=

j
kNm
EI
EI
L
EI
M
kNm
M
EI
M
kNm
EI
EI
M
kNm
EI
EI
M
L
EI
M
B
BC
CB
BA
B
BC
BA
AB
B
AB
AB
66
.
2
3
32
4
2
33
.
5
2
33
.
5
8
3
32
4
33
.
9
8
3
32
8
2 0
=






=
=
=

=
=

=







=
=







=

=
j
j
j
Reservados
todos
los
derechos.
No
se
permite
la
explotación
económica
ni
la
transformación
de
esta
obra.
Queda
permitida
la
impresión
en
su
totalidad.

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