El documento presenta una guía de ejercicios sobre el análisis estructural de vigas isostáticas mediante programación. Se muestran 6 modelos de vigas y se solicita calcular las reacciones en los vínculos, las ecuaciones de solicitación y los diagramas de cortante y momento para cada viga. No se proporciona información sobre las características de las vigas.
Se define el flujo gradualmente variado (FGV) y se plantea la ecuación general que lo gobierna.
Se presenta los doce posibles perfiles de FGV. Se hace luego referencia a los cambios de pendiente más frecuentes y los perfiles de flujo que se desarrollan.
Se pasa luego a presentar los más usuales métodos de cálculo de perfiles, prestando mayor atención a los siguientes métodos: integración gráfica o numérica; directo tramo a tramo y estándar tramo a tramo.
The double integration method produces equations for the slope and allows direct determination of the point of maximum deflection . Therefore it is a geometric method. It is the most general method for determining deflections. It can be used to solve almost any combination of load and support conditions in beams.
Se define el flujo gradualmente variado (FGV) y se plantea la ecuación general que lo gobierna.
Se presenta los doce posibles perfiles de FGV. Se hace luego referencia a los cambios de pendiente más frecuentes y los perfiles de flujo que se desarrollan.
Se pasa luego a presentar los más usuales métodos de cálculo de perfiles, prestando mayor atención a los siguientes métodos: integración gráfica o numérica; directo tramo a tramo y estándar tramo a tramo.
The double integration method produces equations for the slope and allows direct determination of the point of maximum deflection . Therefore it is a geometric method. It is the most general method for determining deflections. It can be used to solve almost any combination of load and support conditions in beams.
Se define el concepto de Energía Específica (E) y se presenta la curva de energía específica (E vs y), esencial para definir el concepto de tirante crítico e identificar las regiones asociadas a flujo subcrítico y flujo supercrítico.
Se analiza las aplicaciones prácticas más usuales de la curva de energía específica, como es el caso de presencia de gradas o de angostamiento (o ensanchamiento) de la sección de un canal.
Se analiza luego la curva de descarga (Q vs y) determinada para energía especifica constante.
Finalmente, se revisa la aplicación de la curva de descarga en la determinación del caudal (Q) y tirante (y) en un canal alimentado por un reservorio.
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuerza cortante.
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multiplicando por un factor correspondiente; Comparando luego con la demanda o carga real modificada por los factores de mayoración. La norma usada es la COVENIN 1753.
Se define el concepto de Energía Específica (E) y se presenta la curva de energía específica (E vs y), esencial para definir el concepto de tirante crítico e identificar las regiones asociadas a flujo subcrítico y flujo supercrítico.
Se analiza las aplicaciones prácticas más usuales de la curva de energía específica, como es el caso de presencia de gradas o de angostamiento (o ensanchamiento) de la sección de un canal.
Se analiza luego la curva de descarga (Q vs y) determinada para energía especifica constante.
Finalmente, se revisa la aplicación de la curva de descarga en la determinación del caudal (Q) y tirante (y) en un canal alimentado por un reservorio.
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuerza cortante.
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multiplicando por un factor correspondiente; Comparando luego con la demanda o carga real modificada por los factores de mayoración. La norma usada es la COVENIN 1753.
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Análisis estructural solución de vigas por integración [guía de ejercicios]
1. DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios
Profesor Francisco D’Amico D’Agosto
Abril 2003
2. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 1
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios 1
A continuación se muestran 6 modelos matemáticos diferentes de vigas
isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante y momento determine
para cada viga:
Reacciones en los vínculos.
Ecuaciones que describen a las características de solicitación en todas
las secciones.
Diagrama de fuerza cortante y momento flector.
No se dispone de información acerca de las características del material y de la
sección de las vigas.
3. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 2
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
4. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 3
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por simetría:
4500 4 1
2 9000
2 2
i jR R kgf
⋅
= = ⋅ = ↑
Otra forma, por equilibrio:
1 4500 4 2 4500 4
0 4 4 4 8 0
3 2 3 2
9000
4500 4
0 2 9000 0
2
9000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅
= ⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
⇒ = ↑
⋅
= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( ) ( ) 2
0 4 (primer segmento)
4500
4500 1125 4500
4
562,5 4500 9000
x
W x x x
V x W x dx x x
≤ ≤
= − = −
= = − +∫
Ri Rj
5. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 4
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 2
2
3
187,5 2250 9000
4 0
4 12000
0 4 (segundo segmento)
4500
1125
4
562,5
187,5 12000
4 9000
4 0
M x V x dx x x x
V
M mkgf
x
W x x x
V x W x dx x
M x V x dx x
V kgf
M
= = − +
=
=
≤ ≤
= − = −
= = −
= = − +
= −
=
∫
∫
∫
Diagramas de cortante y momento:
6. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 5
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
7,50 1 3000 7,5
0 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 0
2 3 2
13250
7,5
0 5000 2000 3000 13250 0
2
16000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅
= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − =
⇒ = ↑
= ⇒ − + − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
0 5 (primer segmento)
5000 3000
5000 400 5000
5
200 5000 16000
200
2500 16000
3
5 4000
5 25833,33
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
−
= − = −
= − +
= − +
= −
=
7. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 6
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
0 200 5000 16000 0
3,77
21,23 5 no es solución
3,77 28360,10
5 (fuerza puntual)
5 3000 4000 7000
5 25833,33
0 2,50 (segundo segmento)
3000 2000
3000 400 3000
2,5
20
V x x x
x m
x m m
M mkgf
x
V kgf
M mkgf
x
W x x x
V x
= ⇒ − + =
=
= >
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
−
= − = −
=
( )
( )
( )
2
3 2
0 3000 7000
200
1500 7000 25833,33
3
2,5 13250
2,5 0
x x
M x x x x
V kgf
M
− −
= − − +
= −
=
Diagramas de cortante y momento:
8. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 7
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
2 3000 2 1 3000 3 3
0 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 0
3 2 3 2 2
5937,5
3000 2 3000 3
0 1000 3 1500 5937,5 0
2 2
6062,5
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅
= ⇒ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
⇒ = ↑
⋅ ⋅
= ⇒ − − − ⋅ − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
0 2 (primer segmento)
3000
1500
2
750 6062,5
250 6062,5
2 3062,5
2 10125
2 (momento aplicado)
3062,5
750 10125 10875
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M x mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − +
=
=
=
=
= + =
Ri Rj
9. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 8
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
2
1
2
0 3 (segundo segmento)
3000
3000 1000 3000
3
500 3000 3062,5
500
1500 3062,5 10875
3
3 1437,5
3 11062,59
0 500 3000 3062,5 0
1,3
4,7 3 no es solución
(1,3) 12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
V x x x
x m
x m m
M
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + +
= −
=
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = >
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
687,42
0 1,5 (tercer segmento)
1000
1000 1437,5
500 1437,5 11062,59
1,5 2937,5
1,5 7781,34
1,5 (fuerza puntual)
1500 2937,5 4435,5
7781,34
0 1,5 (cuarto
mkgf
x
W x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M x mkgf
x
≤ ≤
= −
= − −
= − − +
= −
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
( )
( )
( )
( )
( )
2
segmento)
1000
1000 4437,5
500 4437,5 7781,34
1,5 5937,5
1,5 0
W x
V x x
M x x x
V kgf
M
= −
= − −
= − − +
= −
=
10. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 9
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Diagramas de corte y momento:
11. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 10
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
( )
1000 2,5 2100 3,5
0 2000 0
2 2
6925
2 1000 2,5 1 2100 3,5
0 2,5 2,5 1 2000 4,5 3,5 0
3 2 3 2
29908,33
V
F Ri
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅ ⋅
= ⇒ − − − =
⇒ = ↑
⋅ ⋅
= ⇒ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ =
⇒ =
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
0 2,5 (primer segmento)
1000
400
2,5
200 6925
200
6925 29908,33
3
2,5 5675
2,5 13637,55
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + −
=
= −
( )
( )
( )
0 1 (segundo segmento)
0
5675
5675 13637,55
x
W x
V x
M x x
≤ ≤
=
=
= −
Ri
Mi
12. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 11
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
1 5675
1 7962,55
V kgf
M mkgf
=
= −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 2
1 (fuerza puntual)
2000 5675 3675
7962,55
0 1 (tercer segmento)
0
3675
3675 7962,55
1 3675
1 4287,55
0 3,5 (cuarto segmento)
2100
2100 600 2100
3,5
300 2100
x
V x
M x mkgf
x
W x
V x
M x x
V kgf
M mkgf
x
W x x x
V x x x
=
= − + =
= −
≤ ≤
=
=
= −
=
= −
≤ ≤
= − = −
= − +
( )
( )
( )
3 2
3675
100 1050 3675 4287,55
3,5 0
3,5 0
M x x x x
V
M
= − + −
=
=
Diagramas de corte y momento:
13. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 12
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
6000 7
0 0
2
21000
2 6000 7
0 250 300 350 7 0
3 2
98900
V
F Ri
Ri kgf
Mi Mi
Mi mkgf
⋅
= ⇒ − =
⇒ = ↑
⋅
= ⇒ − + + + + ⋅ ⋅ =
⇒ =
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
0 2 (primer segmento)
1714,29
857,14
2
428,57 21000
142,86 21000 98900
2 19285,72
2 58042,88
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + −
=
= −
( )
( )
2 (momento aplicado)
19285,72
58042,88 250 57792,88
x
V x kgf
M x mkgf
=
=
= − + = −
Ri
Mi
14. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 13
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
0 2 (segundo segmento)
1714,29
1714,29 857,14 1714,29
2
428,57 1714,29 19285,72
142,86 857,15 19285,72 57792,88
2 14142,86
2 23792,87
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= − − = − −
= − − +
= − − + −
=
= −
( )
( )
2 (momento aplicado)
14142,86
23792,87 300 23492,87
x
V x kgf
M x mkgf
=
=
= − + = −
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
0 3 (tercer segmento)
2571,43
3428,57 857,14 3428,57
3
428,57 3428,57 14142,86
142,86 1714,29 14142,86 23492,87
3 0
3 350,12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V
M mkgf
≤ ≤
= − − = − −
= − − +
= − − + −
=
= −
( )
( )
3 (momento aplicado)
0
350,12 350 0,12 0
x
V x
M x mkgf
=
=
= − + = − ≈
Diagramas de corte y momento:
15. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 14
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Cálculo de las reacciones:
Por equilibrio:
1,5 3 7500 1000 6 7500 12 9 1000
56250
0 7500 15 56250 0
56250
izq der
V
Mi Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
= ⇒ − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + +
⇒ = ↑
= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑ ∑
∑
Cálculo de las características de solicitación:
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 3 (primer segmento)
7500
7500
3750
3 22500
3 33750
x
W x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
( )
( )
3 (momento aplicado + reacción)
22500 56250 33750
33750 1000 32750
x
V x kgf
M x mkgf
=
= − + =
= − + = −
Ri Rj
16. Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 15
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 9 (segundo segmento)
7500
7500 33750
3750 33750 32750
0 7500 33750 0 4,5
4,5 43187,50
9 33750
9 32750
9 (momento aplicado + reacción)
33750 56250 22500
x
W x
V x x
M x x x
V x x x m
M mkgf
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= ⇒ − + = ⇒ =
=
= −
= −
=
= − + =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
32750 1000 33750
0 3 (tercer segmento)
7500
7500 22500
3750 22500 33750
3 0
0 0
x mkgf
x
W x
V x x
M x x x
V
M
= − − = −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
=
=
Diagramas de corte y momento:
17. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 16
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios 2
A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación
y deformación determine para cada viga:
Ecuación general de la carga.
Ecuación general de la fuerza cortante.
Ecuación general del momento flector.
Ecuación general de la deformada (elástica).
Momento flector máximo y distancia a la cual se encuentra.
Deformación máxima y distancia a la cual ocurre.
Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx = 9600
cm4
en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2
.
18. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 17
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
19. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 18
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj
Mj
20. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 19
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
4500
4500
8
4500
4500
16
4500
2250
48
4500 2250
192 3 2
0 0 0
4500 2250
960 12 6 2
0 0 0
8 0
8 0
0 288000 32 8
0 6
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= − + −
= − 14400 85,3 32
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
12600
14400
4500 8
0 12600 0 5400
2
V
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
F Rj Rj kgf
+ −
=
=
⋅
= ⇒ − + = ⇒ =∑
21. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 20
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]2
1 8
0 14400 8 4500 8 5400 0 9600
3 2
Ecuación general de la carga:
562,50 4500 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
281,25 4500 12600 0,8
Ecuación general del moment
Mi M j M j mkgf
W x x x
V x x x x
= ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
∑
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
3 2
4 3 2
5 4 3 2
o flector:
93,75 2250 12600 14400 0,8
23,44 750 6300 14400 0,8
Ecuación general de la deformada:
4,69 187,5 2100 7200 0,8
Máximo momento flector:
0 281
xx
xx
M x x x x x
EI x x x x x x
EI x x x x x x
V x
θ
δ
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒
( )
( )
( )
( )
2
1
2
4 3 2
1
2
3
,25 4500 12600 0
3,62
12,38 8 no es solución
3,62 6174,41
0 14400
0 14400 para 0
Máxima deformación:
0 23,44 750 6300 14400 0
0 empotramiento
3,8
x x
x m
x m m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
x x x x x
x
x m
x
θ
− + =
⇒ =
⇒ = >
=
= −
⇒ = = − =
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒
( )
4
8 empotramiento
20,19 8 no es solución
3,8 1,2 para 3,8
m
x m m
cm x mδ δ
=
⇒ = >
⇒ = = − =
22. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 21
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
1
1
4 3 2
2
2
2000
2000
1000
333,3
2
0 0 0
83,3
6 2
0 0 0
8 0
8 0
170666,6 32 8
341333,3 85,3 32
resolviendo el si
xx
xx
W x
V x x Ri
M x x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= −
stema de ecuaciones resulta:
8000
10666,67
por simetría 8000
Ri kgf
Mi mkgf
Rj kgf
=
=
=
Ri
Mi
Rj
Mj
23. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 22
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) 2
por simetría: 10666,67
Ecuación general de la carga:
2000 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
2000 8000 0,8
Ecuación general del momento flector:
1000 8000 10166,67
M j mkgf
W x x
V x x x
M x x x
=
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4 3 2
0,8
Ecuación general de la deformada:
83,33 1333,33 5333,33 0,8
Máximo momento flector:
0 2000 8000 0
4
4 5333,33
0 10666,67
8 10666,67
0 8 10666,67
xx
x
EI x x x x x
V x x
x m
M mkgf
M mkgf
M mkgf
M M M mkgf
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
=
= −
=
⇒ = = = −
( )
( )
3 2
1
2
3
para 0 y 8
Máxima deformación:
0 333,33 4000 10666,67 0
0 empotramiento
4
8 empotramiento
4 1,06 para 4
x x
x x x x
x
x m
x m
cm x m
θ
δ δ
= =
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒ = = − =
24. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 23
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
400 5000
200 5000
200
2500
3
200 2500
12 3 2
0 0 0
200 2500
60 12 6 2
0 0 0
7,5 0
7,5 0
298828,13 28,13 7,5
580078
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
,12 70,31 28,13
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
15363,19
17778,44
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
= −
=
=
Ri
Mi
Rj
Mj
25. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 24
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
2
3 2
Ecuación general de la carga:
400 5000 0;7,5
Ecuación general de la fuerza cortante:
200 5000 15363,19 0;7,5
Ecuación general del momento flector:
66,67 2500 15363,19 17778,44
W x x x
V x x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )
5 4 3 2
2
1
2
0;7,5
Ecuación general de la deformada:
3,33 208,33 2560,53 8889,22 0;7,5
Máximo momento flector:
0 200 5000 15363,19 0
3,59
21,41 7,5 no es solución
3,59 8239,88
xx
x
EI x x x x x x
V x x x
x m
x m m
M m
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = >
=
( )
( )
( ) 4 3 2
1
2
3
4
0 17778,44
0 17778,44 para 0
Máxima deformación:
0 16,67 833,33 7681,60 17778,44 0
0 empotramiento
3,66
7,5 empotramiento
38,83 7,5 no es solución
kgf
M mkgf
M M mkgf x
x x x x x
x
x m
x m
x m m
θ
δ
= −
⇒ = = − =
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒ = >
⇒ = ( )3,66 1,43 para 3,66cm x mδ = − =
26. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 25
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4 2
1
1
5 3 2
2
2
6000
7
6000
14
6000
42
6000
168 2
0 0 0
6000
840 6 2
0 0 0
7 0
7 0
49000 7
120050 57,16 24,5
resolviendo e
xx
xx
W x x
V x x Ri
M x x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x C
x x C
x M x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= −
l sistema de ecuaciones resulta:
9450
17150
Ri kgf
Mi mkgf
=
=
Ri
Mi
Rj
27. Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 26
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
2
3
Ecuación general de la carga:
6000
0,7
7
Ecuación general de la fuerza cortante:
6000
9450 0,7
14
Ecuación general del momento flector:
6000
9450 17150 0,7
42
Ecuación general
W x x x
V x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
( ) [ ]
( )
( )
( )
( )
5 3 2
2
1
2
de la deformada:
6000 9450 17150
0,7
840 6 2
Máximo momento flector:
6000
0 9450 0
14
4,7
4,7 0 no es solución
4,7 12433,18
0 17150
0 17150 para 0
Máxi
xxEI x x x x x
V x x
x m
x m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
δ = − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = − <
=
= −
⇒ = = − =
( )
( )
4 2
1
2
3
4
ma deformación:
0 35,71 4725 17150 0
0 empotramiento
4,18
8,83 7 no es solución
13,01 0 no es solución
4,18 2,18 para 4,18
x x x x
x
x m
x m m
x m
cm x m
θ
δ δ
= ⇒ − + − =
⇒ =
⇒ =
⇒ = >
⇒ = − <
⇒ = = − =
28. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 27
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Solución de Vigas por Integración
Guía de Ejercicios 3
A continuación se muestran 4 modelos matemáticos diferentes de vigas
hiperestáticas y 6 de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga,
cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:
La rotación en las secciones I, J, A y B.
El desplazamiento vertical en las secciones I, J, A y B.
Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx =
10000 cm4
en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2
.
29. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 28
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
30. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 29
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
3 2
2
2
Tramo (I-J) 0 5
0
(1)
2
0 0 0
(2)
6 2
0 0 0
condiciones en la frontera:
5
5 5
25
5 5
2
xx
xx
xx
x
W x
V x Ri
M x Rix Mi
Ri
EI x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x C
x x C
V Ri
M Ri Mi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤ ≤
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= −
= − +
= − +
( )
( )
( ) 2
Articulación J (condiciones en la frontera)
5
Voladizo (J-A) 0 2
1000
(3) 1000
(4) 500 5
Vj Ri Rj
Mj Ri Mi
x
W x
V x x Ri Rj
M x x Rix Rjx Ri Mi
= − +
= − +
≤ ≤
= −
= − − +
= − − + − +
Ri
Mi
Rj
31. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 30
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 2
3
4 3 3 2 2
3 4
4
3 3
500
(5) 5
3 2 2
500 5
(6)
12 6 6 2 2
0 0 0
con (1) y (5): 5 0
25 25
5 5 0 (I)
2 2
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizo
xx xx
Ri Rj
EI x x x x Rix Mix C
Ri Rj Mi
EI x x x x Rix x C x C
x x C
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θ θ
δ
= − − + − + +
= − − + − + + +
= ⇒ = ⇒ =
=
− + = ⇒ − + − =
=
( )
( )
125 25
0 0 (II)
6 2
de (3) 2 0 2000 0 2000 (III)
de (4) 2 0 2000 7 2 0 7 2 2000 (IV)
formando sistema con I, II, III y IV:
25
0 5 1
2
125 25
0 0
6 2
1 1 0 0
7 2 1 0
Ri Mi
V Ri Rj Ri Rj
M Ri Rj Mi Ri Rj Mi
⇒ − + =
= ⇒ − − + = ⇒ − + =
= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =
− −
−
−
−
( )
( )
2
3 3
6000
26000
2000 1000
2000 2500
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
Nodo B: de ec
Ri Ri kgf
Rj Rj kgf
Mi Mi mkgf
C C kgfm
θ
δ
=
= ⋅ = =
= −
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
3
uación (1) 2,5 2,976 10
de ecuación (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 1,190 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (5) 2 1,82
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − ⋅
=
= −
( )
3
3
5 10
de ecuación (6) 2 3,333 10
rad
mδ
−
−
⋅
= − ⋅
32. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 31
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
3 2
2
2
Tramo (I-J) 0 5
0
(1)
2
0 0 0
(2)
6 2
0 0 0
condiciones en la frontera:
5
5 5
25
5 5
2
xx
xx
xx
x
W x
V x Ri
M x Rix Mi
Ri
EI x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x C
x x C
V Ri
M Ri Mi
EI Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
≤ ≤
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= −
= − +
= − +
( )
( )
( )
2
3
Articulación J (condiciones en la frontera)
5
Voladizo (J-A) 0 2
500
(3) 250
250
(4) 5
3
Vj Ri Rj
Mj Ri Mi
x
W x x
V x x Ri Rj
M x x Rix Rjx Ri Mi
= − +
= − +
≤ ≤
= −
= − − +
= − − + − +
Ri
Mi
Rj
33. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 32
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
4 2 2
3
5 3 3 2 2
3 4
4
3 3
250
(5) 5
12 2 2
250 5
(6)
60 6 6 2 2
0 0 0
con (1) y (5): 5 0
25 25
5 5 0 (I)
2 2
de (2) 5
xx
xx
tramo voladizo
xx xx
Ri Rj
EI x x x x Rix Mix C
Ri Rj Mi
EI x x x x Rix x C x C
x x C
EI EI
Ri Mi C Ri Mi C
θ
δ
δ
θ θ
δ
= − − + − + +
= − − + − + + +
= ⇒ = ⇒ =
=
− + = ⇒ − + − =
( )
( )
125 25
0 0 (II)
6 2
de (3) 2 0 1000 0 1000 (III)
2000 2000
de (4) 2 0 7 2 0 7 2 (IV)
3 3
formando sistema con I, II, III y IV:
25
0 5 1
2
125 25
0 0
6 2
1 1 0 0
7 2 1 0
Ri Mi
V Ri Rj Ri Rj
M Ri Rj Mi Ri Rj Mi
= ⇒ − + =
= ⇒ − − + = ⇒ − + =
= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =
− −
−
−
−
( )
( )
2
3 3
0 400
0 1400
1000
666,67
2000
1666,67
3
Nodo I: de ecuación (1) 0 0
de ecuación (2) 0 0
No
Ri Ri kgf
Rj Rj kgf
Mi Mi mkgf
C C kgfm
θ
δ
= = ⋅ = = = −
=
=
( )
( )
( )
( )
4
4
4
do B: de ecuación (1) 2,5 1,984 10
de ecuación (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de ecuación (5) 0 7,937 10
de ecuación (6) 0 0
Nodo A: de ecuación (
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − ⋅
=
( )
( )
3
3
5) 2 1,270 10
de ecuación (6) 2 2,286 10
rad
m
θ
δ
−
−
= − ⋅
= − ⋅
34. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 33
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
2
Por simetría: 1000
Voladizo izquierdo 0 1
1000
1000
500
condiciones en la frontera:
1 1000
1 500
Articulación I condiciones en la frontera:
1000 1000 0
500
Tr
Ri Rj kgf
x
W x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
Vi
Mi mkgf
= =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
= − + =
= −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1 2
2
2 2
1 1
amo (I-J) 0 5
0
0
500
(1) 500
(2) 250
0 0 0
5 0 250 5 5 1250
xx
xx
x
W x
V x Vi
M x
EI x x C
EI x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
=
= =
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =
Ri Rj
35. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 34
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 5,952 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 7,440 10
Nodo J: de (1) 5 5,952 10
de (2) 5 0
Articu
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
=
=
= ⋅
= − ⋅
=
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
3
4 3 2
3 4
lación J condiciones en la frontera
1000
500
Voladizo derecho 0 1
1000
1000 1000
500 1000 500
500
(3) 500 500
3
500 500
(4) 250
12 3
xx
xx
Vj kgf
Mj mkgf
x
W x
V x x
M x x x
EI x x x x C
EI x x x x C x C
x
θ
δ
=
= −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= − + − + +
= ( )
( ) ( )
( )
( )
4
3
2
3
4
4
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
500 5 1250
1250
Nodo A: de (3) 1 6,746 10
de (4) 1 6,548 10
tramo voladizo derecho
xx xx
x C
EI EI
C
C kgfm
rad
m
δ
θ θ
θ
δ
−
−
⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + =
⇒ = −
= − ⋅
= − ⋅
36. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 35
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
Por simetría: 500
Voladizo izquierdo 0 1
1000 1000
500 1000
500
500
3
condiciones en la frontera:
1 500
1 333,33
Articulación I condiciones en la frontera:
500 500
Ri Rj kgf
x
W x x
V x x x
M x x x
V kgf
M mkgf
Vi
= =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
= − + =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1 2
2
2 2
1 1
0
333,33
Tramo (I-J) 0 5
0
0
333,33
(1) 333,33
(2) 166,67
0 0 0
5 0 166,67 5 5 833,33
xx
xx
Mi mkgf
x
W x
V x Vi
M x
EI x x C
EI x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
= −
≤ ≤
=
= =
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =
Ri Rj
37. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 36
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
4
Nodo I: de (1) 0 3,968 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 0
de (2) 2,5 4,960 10
Nodo J: de (1) 5 3,968 10
de (2) 5 0
Articu
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= ⋅
=
=
= ⋅
= − ⋅
=
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4 2
3
5 3
lación J condiciones en la frontera
500
333,33
Voladizo derecho 0 1
1000
500 500
500
500 333,33
3
500
(3) 250 333,33
12
500 500
(4) 166,6
60 3
xx
xx
Vj kgf
Mj mkgf
x
W x x
V x x
M x x x
EI x x x x C
EI x x x
θ
δ
=
= −
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= − + −
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3 4
4
3
2
3
4
4
7
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
333,33 5 833,33
833,33
Nodo A: de (3) 1 4,563 10
de (4) 1 4,405 10
tramo voladizo derecho
xx xx
x C x C
x x C
EI EI
C
C kgfm
rad
m
δ
θ θ
θ
δ
−
−
+ +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + =
⇒ = −
= − ⋅
= − ⋅
38. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 37
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
5 2
0 1000 5 5 1666,67
2 3
5
0 1000 1666,67 0 833,33
2
Voladizo izquierdo 0 1
0
0
0
Articulación I condiciones en la frontera
833,33
0
Tramo
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
F Ri Ri kgf
x
W x
V x
M x
Vi kgf
Mi
=
= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ =
= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =
≤ ≤
=
=
=
=
=
∑ ∑
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
4 2
1
5 3
1 2
2
5 3 2
1 1
0 5
200
100 833,33
100
833,33
3
5 1666,67
5 0
(1) 8,33 416,67
(2) 1,67 138,89
0 0 0
5 0 1,67 5 138,89 5 5 0 2430,56
xx
xx
x
W x x
V x x
M x x x
V kgf
M
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
x x C C kgfm
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= −
=
= − + +
= − + + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⋅ + = ⇒ = −
Ri Rj
39. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 38
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
3
5
3
3
Nodo I: de (1) 0 1,157 10
de (2) 0 0
Nodo B: de (1) 2,5 7,234 10
de (2) 2,5 1,938 10
Nodo J: de (1) 5 1,323 10
de (2
rad
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
−
= − ⋅
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
4 2
3 3
) 5 0
Voladizo derecho 0 1
0
1666,67 1666,67 0
0
(3)
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
8,33 5 416,67 5 2430,56 2777,78
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C C
δ
θ
δ
δ
θ θ
=
≤ ≤
=
= − + =
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒ =
( )
( )
2
3
3
Nodo A: de (3) 0 1,323 10
de (4) 1 1,323 10
kgfm
rad
m
θ
δ
−
−
= ⋅
= ⋅
40. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 39
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri
Mi
Rj
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
1
1
4 3 2
2
2
Tramo 0 5
1000
(1) 1000
(2) 500
500
(3)
3 2
0 0 0
500
(4)
12 6 2
0 0 0
de (4): 5 0 26041,67 20,83 12,5 0
xx
xx
x
W x
V x x Ri
M x x Rix Mi
Ri
EI x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x C
x x C
x x Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ − + − =
( )
( )
(I)
de (2): 5 0 12500 5 0 (II)
formando sistema con ecuaciones I y II:
312520,83 12,5 26041,67
5 1 12500 3125
condiciones en la frontera:
5 5000 3125 1
x M x Ri Mi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
V
= ⇒ = ⇒ − + − =
= −
⋅ = ⇒ − =
= − + = −
( )
875
5 12500 5 3125 3125 0
0 1000 5 3125 0 1875V
kgf
M
F Rj Rj kgf
= − + ⋅ − =
= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =∑
41. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 40
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
3
Articulación J condiciones en la frontera:
1875 1875 0
0
Voladizo 0 2
0
0
0
(5)
(6)
0 0 0
con (3) y (5): 5 0
500 3
5
3
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
θ
δ
δ
θ θ
= − + =
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ − ⋅ +
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3
4
3
125
5 3125 5 2604,16
2
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 3,100 10
de (4): 2,5 1,550 10
Nodo J: de (3): 5 1,240 10
C C kgfm
rad
m
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
⋅ − ⋅ = ⇒ =
=
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
3
3
3
de (4): 5 0
Nodo A: de (5): 2 1,240 10
de (6): 2 2,480 10
rad
rad
m
δ
θ
δ
−
−
−
=
= ⋅
= ⋅
42. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 41
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Mi
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
Tramo 0 5
200 1000
(1) 100 1000
(2) 33,3 500
(3) 8,3 166,6
2
0 0 0
(4) 1,6 41,6
6 2
0 0 0
de (4): 5
xx
xx
x
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
Ri
EI x x x x Mix C
x x C
Ri Mi
EI x x x x x C
x x C
x x
θ
θ
δ
δ
δ
≤ ≤
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒
( )
0 20833,3 20,83 12,5 0 (I)
de (2): 5 0 8333,3 5 0 (II)
formando sistema con ecuaciones I y II:
200020,83 12,5 20833,3
5 1 1666,678333,3
cond
Ri Mi
x M x Ri Mi
Ri Ri kgf
Mi Mi mkgf
= ⇒ − + − =
= ⇒ = ⇒ − + − =
= −
⋅ = ⇒ − =
( )
( )
iciones en la frontera:
5 2500 2000 500
5 8333,3 5 2000 1666,67 0
0 2500 2000 0 500V
V kgf
M
F Rj Rj kgf
= − + = −
= − + ⋅ − =
= ⇒ − + + = ⇒ =∑
43. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 42
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
3
Articulación J condiciones en la frontera:
500 500 0
0
Voladizo 0 2
0
0
0
(5)
(6)
0 0 0
con (3) y (5): 5 0
1041,6
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kg
θ
δ
δ
θ θ
= − + =
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ =
( )
( )
( )
( )
( )
2
5
4
4
Nodo I: de (3): 0 0
de (4): 0 0
Nodo B: de (3): 2,5 9,301 10
de (4): 2,5 6,975 10
Nodo J: de (3): 5 4,960 10
de (4):
fm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
=
=
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
4
4
5 0
Nodo A: de (5): 2 4,960 10
de (6): 2 9,921 10
rad
m
δ
θ
δ
−
−
=
= ⋅
= ⋅
44. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 43
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
1 1
1 1000 5 33,3
3 2
1
0 1000 33,3 0 533,3
2
Voladizo izquierdo 0 1
1000
500
166,6
condiciones en la frontera:
1 500
1 166,6
Art
izquierda derecha
V
Mi Mi
Rj Rj kgf
F Ri Ri kgf
x
W x x
V x x
M x x
V kgf
M mkgf
=
− ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =
= ⇒ − ⋅ − + = ⇒ =
≤ ≤
= −
= −
= −
= −
= −
∑ ∑
∑
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
3 2
1 2
2
iculación I condiciones en la frontera:
500 533,3 33,3
166,6
Tramo 0 5
0
33,3
33,3 166,6
(1) 16,6 166,6
(2) 5,5 83,3
0 0 0
xx
xx
Vi kgf
Mi mkgf
x
W x
V x
M x x
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
θ
δ
δ
= − + =
= −
≤ ≤
=
=
= −
= − +
= − + +
= ⇒ = ⇒ =
45. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 44
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2
1 15 0 5,5 5 83,3 5 5 0 277,7
condiciones en la frontera:
5 33,3
5 0
Articulación J condiciones en la frontera:
33,3 33,3 0
0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(3) xx
x x C C kgfm
V kgf
M
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x
δ
θ
= ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
=
=
= − =
=
≤ ≤
=
=
=
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3
3 4
4
2
3
4
5
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
138,8
Nodo I de(1): 0 1,323 10
de(2): 0 0
Nodo B de(1): 2,5 1,653 10
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kgfm
rad
rad
δ
δ
θ θ
θ
δ
θ
−
−
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ = −
= ⋅
=
= − ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
4
5
5
5
de(2): 2,5 1,241 10
Nodo J de(1): 5 6,614 10
de(2): 5 0
Nodo A de(3): 1 6,614 10
de(4): 1 6,614 10
m
rad
rad
m
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
−
= ⋅
= − ⋅
=
= ⋅
= − ⋅
46. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 45
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
1
4 3
1 2
2
2
1
Por simetría: 2500
Tramo 0 5
1000
1000 2500
500 2500
(1) 166,6 1250
(2) 41,6 416,6
0 0 0
5 0 5208,3
Nodo I de (1
xx
xx
Ri Rj kgf
x
W x
V x x
M x x x
EI x x x C
EI x x x C x C
x x C
x x C kgfm
θ
δ
δ
δ
= =
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= − + +
= − + + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
): 0 2,480 10
de (2): 0 0
Nodo B de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 3,875 10
Nodo J de (1): 5 2,480 10
de (2): 5 0
condiciones en la f
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
δ
−
−
−
= − ⋅
=
=
= − ⋅
= ⋅
=
( )
( )
rontera:
5 2500
5 0
V kgf
M
= −
=
47. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 46
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 4
4
4
Articulación J condiciones en la frontera:
2500 2500 0
0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(3)
(4)
0 0 0
con (1) y (3): 5 0
xx
xx
tramo voladizo derecho
xx xx
Vj
Mj
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C
θ
δ
δ
θ θ
= − + =
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒
( )
( )
2
3
3
5208,3
Nodo A de (3): 1 2,480 10
de (4): 1 2,480 10
kgfm
rad
m
θ
δ
−
−
=
= ⋅
= ⋅
48. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 47
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Ri Rj
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
4 3 2
1
5 4 3
Por simetría: 1250
Tramo-segmento (I-B) 0 2,5
400 1000
(1) 200 1000 1250
(2) 66,6 500 1250
(3) 16,6 166,6 625
(4) 3,3 41,6 208,3
xx
xx
Ri Rj kgf
x
W x x
V x x x
M x x x x
EI x x x x C
EI x x x x C
θ
δ
= =
≤ ≤
= −
= − +
= − +
= − + +
= − + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
2
2
3
4
3
5
0 0 0
de (1): 2,5 0
de (2): 2,5 1041,6
Tramo-segmento (B-J) 0 2,5
400
(5) 200
(6) 66,6 1041,6
(7) 16,6 1041,6
(8) 3,3 520,83
xx
xx
x C
x x C
V
M mkgf
x
W x x
V x x
M x x
EI x x x C
EI x x x
δ
θ
δ
+
= ⇒ = ⇒ =
=
=
≤ ≤
= −
= −
= − +
= − + +
= − +
( ) ( )
( ) ( )
2
3 4
( ) ( )
4 3 2
1 3
( ) ( )
5 4 3
1 4
con (3) y (7): 2,5 0
16,6 2,5 166,6 2,5 625 2,5 (I)
con (4) y (8): 2,5 0
3,3 2,5 41,6 2,5 208,3 2,5 2,5 (II)
I B B J
xx xx
I B B J
xx xx
C x C
EI EI
C C
EI EI
C C
θ θ
δ δ
− −
− −
+ +
=
⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
=
⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
49. Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 48
Guía de Ejercicios
PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
( )
5 2
2
1 1
3 3
4
de (8): 2,5 0
3,3 2,5 520,83 2,5 2,5 3 4 0 (III)
formando sistema con I, II y III:
1 1 0 1953,125 1953,125
2,5 0 1 1953,125 0
0 2,5 1 2929,6875
xxEI
C C
C C kgfm
C C
C C
δ =
⇒ − ⋅ + ⋅ + + =
− − = −
− ⋅ = − ⇒ =
−
( )
( )
( )
( )
( )
2
4
4
3
4
2929,6875
Nodo I de (3): 0 9,301 10
de (4): 0 0
Nodo B de (3): 2,5 0
de (4): 2,5 1,395 10
Nodo J de (7): 2,5 9,301 10
kgfm
rad
m
rad
θ
δ
θ
δ
θ
−
−
−
= −
= − ⋅
=
=
= − ⋅
= ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
5
5 6
6
( )
2
5
de (8): 2,5 0
Voladizo derecho 0 1
0
0
0
(9)
(10)
0 0 0
con (7) y (9): 2,5 0
1953,125
Nodo A de (9): 1 9,301 10
xx
xx
B J voladizo derecho
xx xx
x
W x
V x
M x
EI x C
EI x C x C
x x C
EI EI
C kgfm
δ
θ
δ
δ
θ θ
θ
−
=
≤ ≤
=
=
=
=
= +
= ⇒ = ⇒ =
=
⇒ =
= ⋅
( )
4
4
de (10): 1 9,301 10
rad
mδ
−
−
= ⋅