El documento aborda el tema de los extremos de funciones en intervalos cerrados, destacando el teorema de Weierstrass y los pasos para determinar máximos y mínimos. También se trata la concavidad, puntos de inflexión y el criterio de la segunda derivada para identificar extremos relativos. Se incluyen ejemplos y actividades que permiten aplicar los conceptos aprendidos, así como referencias bibliográficas relevantes.

1. EXTREMOS EN INTERVALOS CERRADOS
MATEMÁTICA I - SEMANA 13
Departamento Académico de
Cursos Básicos
Equipo de Matemática I
Ciclo Académico: 2024 - I
Sesión 26

2. REFLEXIÓN DESDE LA
EXPERIENCIA

3. REFLEXIÓN DESDE LA EXPERIENCIA
¿Será lo mismo buscar un máximo o mínimo en un intervalo cerrado y
en uno abierto?

4. RESULTADO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión, el estudiante grafica funciones definidas en
intervalos cerrados usando la derivada, argumentando sus
procedimientos de manera lógica y coherente.

5. CONTENIDOS
CONTENIDOS DE LA SESIÓN
1. Extremos en intervalos cerrados
2. Concavidad
3. Punto de inflexión
4. Criterio de la segunda derivada
David Hilbert (1862 - 1943)

6. DESARROLLO DEL
TEMA

7. TEMA 01 - EXTREMOS EN INTERVALOS CERRADOS
Teorema de Weiertrass: Sea 𝑓 una función continua con dominio [𝑎, 𝑏],
entonces 𝑓 alcanza sus valores máximo y mínimo en [𝑎, 𝑏].
Pasos para calcular extremos en un intervalo cerrado:
Paso 1: Calcular los puntos críticos en ]𝑎, 𝑏[.
Paso 2: Evaluar 𝑓 en 𝑎, 𝑏 y en los puntos críticos.
Paso 3: El valor más pequeño de todos es el mínimo y más grande, es el máximo.
Ejemplo: Determine los extremos de 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
en el intervalo [−1, 2].

8. TEMA 02 - CONCAVIDAD
Concavidad: Si la gráfica de 𝑓 queda por arriba de todas sus rectas tangentes
sobre un intervalo 𝐼, se dice que es cóncava hacia arriba sobre 𝐼, y si queda
por abajo de todas sus rectas tangentes, se dice cóncava hacia abajo sobre I.
𝑓″
(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐼 𝑔″
(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐼

9. TEMA 03 - PUNTO DE INFLEXIÓN
Definición: El punto donde cambia la concavidad es conocido como punto de
inflexión, este se calcula resolviendo 𝑓″
(𝑥) = 0.

10. TEMA 04 - CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Criterio de la 2° derivada: Sea 𝑐 un punto crítico de una función continua 𝑓.
a) Si 𝑓′
(𝑐) = 0 y 𝑓″
(𝑐) > 0, entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 𝑐.
b) Si 𝑓′
(𝑐) = 0 y 𝑓″
(𝑐) < 0, entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 = 𝑐.
c) Si 𝑓′
(𝑐) = 0 y 𝑓″
(𝑐) = 0, entonces 𝑓 no tiene máximo ni mínimo relativo en 𝑥 = 𝑐,
a este tipo de punto se le conoce como punto de silla.

11. TEMA 04 - CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Ejemplo: Determine los puntos críticos y de inflexión, intervalos de crecimien-
to, concavidad, extremos relativos, luego esboce la gráfica de 𝑦 = 𝑥4
− 4𝑥3
.

12. APLIQUEMOS LO
APRENDIDO

13. APLIQUEMOS LO APRENDIDO
I. Determine los extremos de las siguientes funciones en los intervalos dados.
1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4
− 16𝑥3
+ 18𝑥2
, −1 ≤ 𝑥 ≤ 4
2. 𝑔(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 1 , −1
2 ≤ 𝑥 ≤ 4
3. ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 3𝑥2/3
, 𝑥 ∈ [−1, 3]
4. 𝑖(𝑥) =
√
4 − 𝑥2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
5. 𝑗(𝑥) =
2𝑥
𝑥2 + 1
, −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
6. 𝑘(𝑥) = 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
7. 𝑙(𝑥) = 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

14. APLIQUEMOS LO APRENDIDO
II. En las siguientes funciones; determine los puntos críticos, extremos
relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión,
intervalos de concavidad, finalmente haga un esbozo de la gráfica:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 1
2. 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
− 𝑥4
3. ℎ(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
+ 4
4. 𝑖(𝑥) = 3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 5
5. 𝑗(𝑥) =
1
𝑥2
6. 𝑘(𝑥) = 𝑥2/3
7. 𝑘(𝑥) = 𝑥 +
4
𝑥 + 1
8. 𝑙(𝑥) =
𝑥2
2 − 𝑥
9. 𝑚(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛(𝑥)
10. 𝑛(𝑥) = 𝑥2
− 9𝑙𝑛(𝑥)
11. 𝑝(𝑥) = 𝑥2
𝑒𝑥
12. 𝑛(𝑥) = 𝑒−𝑥2

15. APLIQUEMOS LO APRENDIDO
Para más ejercicios y problemas de los temas vistos en la sesión, revisar:
• Matemática en la salud (Poblete). Páginas: 88 - 93.
• Cálculo 1 (Larson, 2010). Páginas: 163 - 171, 190 - 197, 209 - 217.
• Cálculo (Stewart, 2012). Páginas: 278 - 283, 292 - 301, 310 - 325.
• Matemáticas para administración y economía (Haeussler, 2003). Páginas: 543 - 569.

16. INTEGREMOS LO
APRENDIDO

17. INTEGREMOS LO APRENDIDO
Ahora respondemos las siguientes preguntas:
a) ¿Se puede asegurar la existencia de máximo y mínimos en intervalos abiertos?
b) ¿Existen gráficas de funciones que no tienen concavidad?
c) ¿Siempre es posible calcular el punto de inflexión?

18. ACTIVIDAD
ASINCRÓNICA

19. ACTIVIDAD ASINCRÓNICA
Resuelve de forma individual el cuestionario 11 del Aula Virtual.

20. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Haeussler E., Paul R. (2003). Matemáticas para administración y economía (10𝑎
ed.). Pearson
Educación. https://goo.su/zY41x
Larson, Ron (2010). Cálculo 1: de una variable (9𝑎
ed.). McGraw Hill. https://goo.su/S5IB
Mitacc M., Toro M. (2009). Tópicos de cálculo (3𝑎
ed.). Thales. https://goo.su/WFal6Nv
Poblete, V. Matemática en la salud. Universidad de Santiago de Chile https://goo.su/DP94
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7𝑎
ed.). Cengage Learning. https://goo.su/0Lbj5T8

21. Frame Title