Aplicación de la derivada

1
Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

2
ContenidoContenido
Extremos de una función.
Funciones crecientes y decrecientes. Máximos
y mínimos relativos
Concavidad. Punto de inflexión
Problema 1.
Problema 2.
Actividad grupal

3
Extremos de una funciónExtremos de una función
Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a
c.
 f ( c ) es el mínimo de f en I si f (c) ≤ f ( x ) para todo x
en I.
 f ( c ) es el máximo de f en I si f (c ) ≥ f (x) para todo x
en I.

4
Punto críticoPunto crítico
Sea f definida en c. si f ´( c) = 0 o si f ´( c)
no existe, entonces c es un punto crítico
de f.

5
¿Cómo determinar los extremos de una¿Cómo determinar los extremos de una
función continua en un intervalo cerrado?función continua en un intervalo cerrado?
Para determinar los extremos de una función continua f
en un intervalo cerrado [a, b], se sigue los siguientes
pasos:
 Encontrar los puntos críticos de f en el intervalo
abierto (a, b).
 Evaluar la función f en cada punto crítico en (a, b).
 Evaluar la función f en los puntos x = a, x = b.
 El menor de estos valores de f es el mínimo. El
mayor de los mismos es el máximo.

6
Ejemplo 1Ejemplo 1
Determinar los extremos de
f (x) = 3x4
– 4x3
– 12x2
+ 5
en [-2, 4]
Solución
 Puntos críticos de f en (-2, 4)
– f ´(x) = 12x3
-12x2
– 24x
– Valores de x tales que f ´(x ) = 0
– f ´(x) = 0 ⇔ 12x3
-12x2
– 24x = 0
x = 0, x = -1, x = 2

7
– Valores de x tales que f ´(x) no existe
– Es el conjunto vacío, porque f ´(x) esta definida
para todo x.
 Los únicos puntos críticos de f son x = -1, x = 0, x = 2.
 Evaluación de f en los puntos críticos
– f(-1) = 0 , f( 0) = 5 , f(2) = -27
 Evaluación de f en x = -2 y x = 4
– f(-2) = 37 , f(4) = 325

8
Punto
terminal
izquierdo
Punto
crítico
Punto
crítico
Punto
crítico
Punto
terminal
derecho
x = -2 x = -1 x = 0 x = 2 x = 4
f (-2) = 37 f (-1) = 0 f (0) =5 f (2) = -27
Mínimo
f (4) = 325
Máximo

9
Ejemplo 2Ejemplo 2
Determinar los extremos de
f (x) = x 2/3
(6 – x)1/3
en el intervalo [-3, 7]
 Solución
 Puntos críticos de f en el intervalo (-3, 7)
– Valores de x tales que f ´(x ) = 0
– f ´(x) = 0 ⇔ 4 – x = 0 ⇔ x = 4
3/23/1
)6(
4
)´(
xx
x
xf
−
−
=

10
– f ´(x) no existe ⇔ x = 0 , x = 6
Los puntos críticos de f son x = 0, x = 4, x =
6.
Evaluación de f en los puntos críticos
– f(0) = 0 , f( 4) = 3.175 , f(6) = 0
– Evaluación de f en x = -2 y x = 7
– f(-3) = 4.327 , f(7) = -3.659

11
Punto
terminal
izquierdo
Punto
crítico
Punto crítico Punto
crítico
Punto
terminal
derecho
x = -3 x = 0 x = 4 x = 6 x = 7
f (-3) = 4.327
Máximo
f (0) = 0 f (4) =3.1750 f (2) = 0 f (7) = - 3.659
Mínimo

12
1. Puntos x para los cuales f ´´ (x ) = 0 o f
´´(x) no existe
– Valores de x tales que f´´(x ) = 0
– f ´´(x) = 0 ⇔ 3(x2
– 9) = 0
x2
= 9
de donde x = -3 y x = 3
– El conjunto de valores de x tales que f ´´(x) no está
definida es igual al conjunto vacío, porque f ´´(x)
esta definida para todo x.
Los intervalos de prueba vienen a ser
(- ∞, - 3), (-3, 3) y (3, +∞)

13
Intervalo (-∞, -3) (-3. 3) (3, + ∞)
Valor de
prueba
-4 0 4
Signo de
f ´´(x)
f ´´(-4)>0 f ´(-0)<0 f ´(4)>0
Conclusión Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia abajo
Cóncava hacia
arriba
2. El análisis del signo de f´´ (x) y la aplicación del
criterio de concavidad, se resume el siguiente cuadro

14
DefiniciónDefinición

Sea f una función continua en un intervalo
abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la
gráfica de f tiene una recta tangente en este
punto (c, f( c)), entonces ese punto es un punto
de inflexión de la gráfica de f si la concavidad
de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava
hacia abajo ( o de cóncava hacia abajo a
cóncava hacia arriba)

15
TeoremaTeorema
Si (c, f( c)) es un punto de inflexión de la
gráfica de f, entonces f´´( c) = 0 o f´´(c) no
existe.

16
¿Cómo determinar los puntos de inflexión de¿Cómo determinar los puntos de inflexión de
la gráfica de una función?la gráfica de una función?
Sea c un punto tal que f’’(c)=0 o f’’(c) no existe,
entonces
 Si f ´´ (c) cambia de negativa a positiva en c, entonces
la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).
 Si f ´´(c) cambia de positiva a negativa en c, entonces
la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).
 Si f ´´(c) es positiva o negativa a ambos lados de c,
entonces la gráfica de f no tiene un punto de inflexión
en (c, f (c) ).

17
Criterio de la segunda derivadaCriterio de la segunda derivada
y extremos relativosy extremos relativos
 Sea f una función tal que f ´( c) = 0 y la segunda
derivada de f existe en un intervalo abierto que
contiene a c.
 Si f ´´ ( c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo
en (c, f( c)).
 Si f ´´ ( c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo
en (c, f( c)).
 Si f ´´ ( c) = 0, entonces el criterio falla. (en tal
caso se puede utilizar el criterio de la primera
derivada)

18
Ejemplo 6Ejemplo 6
 La gráfica del ejemplo 5 tiene dos puntos de
inflexión: (-3, f(-3) ) y (3, f(3) ).
 Verificar.

19
Problema 1Problema 1
La tasa de operación (expresada como un porcentaje) de
las fábricas, minas y servicios en cierta región del país en
el día t del año 2007 está dada por la función.
¿En cuál de los primeros 250 días del 2007 alcanzó un
máximo la tasa de operación?
2500,
40000
1200
80)( 2
≤≤
+
+= t
t
t
tf

20
Problema 2Problema 2
 La demanda de los neumáticos Super Titán es de
1000000 por año. El costo de inicio de cada nueva
producción es de $4000y y el costo de producción
es de $20 por neumático. El costo de
almacenamiento de cada neumático durante el año
es $2. Si se supone que la demanda es uniforme
durante el año y que existe una producción
instantánea ¿Cuántos neumáticos deben fabricarse
en cada nueva producción para mantener los
costos al mínimo?

21
Actividad grupalActividad grupal
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