Este documento resume los criterios de la primera y segunda derivada para determinar valores extremos y puntos de inflexión de funciones. Explica que los puntos críticos son donde la primera derivada es cero o no existe, y que usando la primera y segunda derivada en esos puntos se puede identificar máximos y mínimos locales. También define concavidad, puntos de inflexión y provee estrategias para encontrar extremos en un intervalo. Proporciona ejemplos resueltos para ilustrar los conceptos.

1. Criterio de la primera y segunda
derivada
APLICACIONES DEL CÁLCULO Y
ESTADÍSTICA

2. Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos
Criterio de la primera derivada, intervalos
de monotonía y valores extremos
Tema

3. 1. c1, c2, c4, c7 y c8 son puntos críticos
porque f ´(c) = 0
2. c3, c5 y c6 son puntos críticos porque f
´(c) no existe
Cuando f ´(c) = 0 , la recta tangente en x=c
es horizontal.
Cuando f ´(c) no existe , la recta tangente
es vertical o la curva es puntiaguda en x=c.
Punto crítico
• El punto crítico de una función f es un número c en el
dominio de f tal que: f ´(c) = 0 o f ´(c) no existe.
Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos

4. Solución
El hecho que x=0 y x=3 sean los puntos críticos no
quiere decir que necesariamente esos puntos
serán los extremos de la función.
Ello sólo quiere decir que probablemente en esos
puntos halla extremos relativos.
Los criterios de la1ra o 2da derivada van a indicar
finalmente si son extremos o no.
Sólo los puntos críticos son los posibles extremos
relativos.
Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos
Ejemplo 1:

5. Extremos relativos y absolutos de una función
Sea f(x) función definida en un intervalo I que contiene al punto crítico c, decimos que:
Ejemplo:
De la grafica indicar cuales de los puntos son máximos y mínimos relativos o absolutos (si los hay)
(A) Es un mínimo absoluto, porque es el menor de todos los valores.
(B y E) Son máximos relativos, porque son mayores sólo respecto a su entorno.
(D y F) Son mínimos relativos, porque son menores sólo respecto a su entorno.
(G) Es un máximo absoluto, porque es el mayor de todos los valores.
Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos

6. Criterio de la 1ra derivada
Si c es un número crítico de una función continua f.
c
Máximo local
c
c
c
Sin extremo
Mínimo local
Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos

7. Ejemplo 2:
Solución
Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos
Encontrar los extremos locales de la siguiente función
f(x) = 2x2 – x4

8. Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos
Determinación de extremos
en un intervalo cerrado
Estrategias para la determinación de extremos en un intervalo cerrado.
Para determinar los extremos de una función continua ƒ en un
intervalo cerrado [a, b], se siguen estos pasos.
1. Se encuentran los puntos críticos de ƒ en (a, b).
1. Se evalúa ƒ en cada punto crítico en (a, b).
1. Se evalúa ƒ en cada punto extremo de [a, b].
1. El más pequeño de estos valores es el mínimo.
El más grande es el máximo.
• Los extremos relativos de una
función sólo pueden ocurrir en los
puntos críticos de la función.
Sabiendo lo anterior, se pueden
utilizar las siguientes estrategias
para determinar los extremos en un
intervalo cerrado.

9. v
Ejemplo 3:
Solución
Criterio de la primera derivada, intervalos de monotonía y valores extremos

10. Tema
Criterio de la segunda derivada para la
optimización de una función
Criterio de la segunda derivada, optimización de la función

11. Criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f ’(c) = 0 y la f ’’ existe en un intervalo abierto que contiene a c.
1. Si f ’’(c) > 0 ; entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
2. Si f ’’(c) < 0; entonces f tiene un máximo relativo en (c; f(c)).
Criterio de la segunda derivada, optimización de la función

12. Ejemplo 4:
Determine los extremos relativos (locales) y absolutos
(globales) de la función f(x):
Solución
Criterio de la segunda derivada, optimización de la función

13. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Intervalos de concavidad y
puntos de inflexión
Tema

14. A
B
g
a b
A
B
f
a b
a b
A
B
a b
En los gráficos I y II , ambas curvas son
crecientes, aunque se observa que la
gráfica I crece a una velocidad cada vez
más creciente, en tanto que la
velocidad de crecimiento en II es cada
vez menor.
En la gráfica III se puede observar
ambos tipos de crecimiento. El punto
donde se juntan ambas curvas es el
PUNTO DE INFLEXIÓN.
I II
IV V
III
VI
En los gráficos IV y V , ambas curvas son
decrecientes, aunque se observa que la
gráfica V decrece a una velocidad cada
vez más creciente, en tanto que la
velocidad de decrecimiento en IV es
cada vez menor.
En la gráfica VI se puede observar
ambos tipos de decrecimiento. El punto
donde se juntan ambas curvas es el
PUNTO DE INFLEXIÓN.
Concavidad y punto de inflexión
Intervalos de concavidad y puntos de inflexión

15. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Prueba de concavidad
Punto de inflexión
Un punto P de una curva se llama
punto de inflexión si en él la curva
tiene recta tangente única y pasa de
cóncava hacia arriba a cóncava hacia
abajo y viceversa. Si (c,f(c)) es un
punto de inflexión , entonces f “(c)=0
o no existe en x=c.
a) Si f′′(x) > 0 para toda x en I,
entonces la gráfica de f es cóncava
hacia arriba en I.
b) Si f′′(x) < 0 para toda x en I,
entonces la gráfica de f es cóncava
hacia abajo en I.

16. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Solución:
Ejemplo 5:
Determina los puntos de inflexión y analiza la concavidad de la
gráfica de f(x) = x4 – 4x3

17. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Solución:
Ejemplo 6:
Dada la función f(x) = 3x – x3
Determinar los intervalos en que la
función crece, decrece es cóncava
hacia abajo, máximos y mínimos
relativos y puntos de inflexión.