Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.

1. ESCUELA : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PONENTE: APLICACIONES DE LA DERIVADA CICLO: Ing. Diana A. Torres G. OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010 BIMESTRE: II Bimestre

5. EJEMPLO Encontrar el valor de La Derivada en los Extremos Relativos:

8. EJEMPLO Determinación de los extremos en un intervalo cerrado: Determinar los Extremos de f(x) = 3x 4 – 4x 3 en el Intervalo [-1,2]

11. EJEMPLO Ilustración del Teorema de Rolle Encontrar las dos Intersecciones en x de f(x) = x 2 – 3x + 2 y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x

12. f’(3/2)=0 Tangente Horizontal

14. EJEMPLO Determinación de una Recta Tangente Dada f(x) = 5 – (4/x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1,4) tales que:

17. EJEMPLO Intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente Determinar los Intervalos abiertos sobre los cuales f(x) es creciente o decreciente:

18. Creciente Creciente Decreciente

20. EJEMPLO Aplicación del criterio de la primera derivada. Encontrar los extremos relativos de

21. Mínimo Relativo Mínimo Relativo Máximo Relativo

24. EJEMPLO Determinar la Concavidad Determinar los Intervalos Abiertos en los cuales la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo

25. f’’(x)> 0 Cóncava hacia arriba f’’(x)> 0 Cóncava hacia arriba f’’(x)> 0 Cóncava hacia abajo

28. EJEMPLO Determinación de los Puntos de Inflexión Determinar los Puntos de Inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de f(x).

29. Puntos de Inflexión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

32. EJEMPLO Determinación del límite al Infinito Encontrar el límite:

33. EJEMPLO Determinación del límite al Infinito Encontrar el límite:

34. y = 2 es una asíntota horizontal

36. Ejemplos: Determinar cada límite

37. Análisis de la Gráfica de una Función

39. EJEMPLO Dibujo de la Gráfica de una Función racional Analizar y Dibujar la Gráfica de f(x)

40. Mínimo Relativo Asíntota Horizontal y = 2 Asíntota Vertical x = -2 Asíntota Vertical x = 2

43. EJEMPLO Determinación de la Distancia Mínima ¿Qué puntos sobre la gráfica de y = 4 – x 2 son más cercanos al punto (0,2)? (x,y) d

45. EJEMPLO Aplicación del Método de Newton Calcular tres iteraciones del Método de Newton para aproximar un 0 de f(x) = x 2 – 2 Utilizar x 1 = 1 como la estimación inicial

46. n x n f(x n ) f’(x n ) f( x n ) f’(x n ) x n - f( x n ) f’(x n ) 1 1.000000 -1.00000 2.00000 -0.50000 1.50000 2 1.500000 0.250000 3.00000 0.083333 1.416667 3 1.426667 0.006945 2.833334 0.002452 1.414216 4 1.424216

49. EJEMPLO Determinación de Diferenciales y = x 2 y = 2 sen x y = sen 2x y = 1/x