Semana 2

1. ING. VICTOR PAREDES ATOCHE
MATEMATICA II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CENTRO DEL PERU

2. APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Una de las aplicaciones más importantes y
útiles de la derivada está en el estudio de
los valores máx. y mín. de una función.
Existen muchos problemas prácticos en los
cuales se trata de encontrar una “mejor”
manera de formularse problemas
relacionados en la determinación de los
valores máximos y mínimos de una función.

3. Valores Máximos y Mínimos de una Función
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
La función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 → 𝑅, tiene un valor máximo
absoluto en f(c) donde: 𝑐 ∈ 𝐷 𝑠𝑖 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷
La función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 → 𝑅, tiene un valor mínimo
absoluto en f(c) donde: 𝑐 ∈ 𝐷 𝑠𝑖 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷
Algunas funciones tienen
máximos o mínimos
absolutos sobre un
intervalo y otras no.
La función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
, tiene a 8,
como valor máximo absoluto y a
“0”, como valor mínimo absoluto en
el intervalo cerrado [𝟎, 𝟐] pero en
el intervalo abierto < 𝟎, 𝟐 > no
tiene máximo ni mínimo absoluto. 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y
x
f(x) = x3

4. Valores Máximos y Mínimos de una Función
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Los valores máximos o mínimos de una
función conocidos como extremos de
una función son los valores más
grandes (máximos) o más pequeños
(mínimos que toma una función en un
punto situado ya sea dentro de una
región en particular de la curva o en
el domino de la función en su
totalidad.
T: Si 𝑓 es una función continua en un
intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces 𝑓 tiene
un valor mín. absoluto y un valor máx.
absoluto en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏].
Si el intervalo no es cerrado, el
teorema no necesariamente se
cumple. Pe: si 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
es continua
en < 𝟎, 𝟏 > pero no tiene máx.
absoluto.

5. Extremos de una Función
Observando la figura se tiene que los puntos
A y D son los más saltantes de la curva desde
𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏, y el punto B es el más bajo;
luego a las ordenadas de A y D que son 𝑓(𝑎),
𝑓(𝑐), le llamaremos valores máximos absolutos,
pero los puntos F y H se denomina máximos
relativos y los puntos C, E y G se denomina
mínimos relativos.
Por lo tanto, llamaremos extremos de una
función a un valor máximo relativo o a un valor
mínimo relativo de una función.
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Consideremos una función 𝑓 continua en el
intervalo cerrado [𝑎, 𝑏].

6. Extremos de una Función
Observando la figura se tiene que los puntos
A y D son los más saltantes de la curva desde
𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏, y el punto B es el más bajo;
luego a las ordenadas de A y D que son 𝑓(𝑎),
𝑓(𝑐), le llamaremos valores máximos absolutos,
pero los puntos F y H se denomina máximos
relativos y los puntos C, E y G se denomina
mínimos relativos.
Por lo tanto, llamaremos extremos de una
función a un valor máximo relativo o a un valor
mínimo relativo de una función.
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Consideremos una función 𝑓 continua en el
intervalo cerrado [𝑎, 𝑏].

7. Extremos de una Función
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Diremos que 𝑓(𝑐) es un valor máximo
relativo de una función 𝑓 si existe un
intervalo abierto < 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 > con 𝛿 > 0,
tal que 𝑓(𝑥) está definida y 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐),
 𝑥 ∈ < 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 >
Diremos que 𝑓(𝑐) es un valor mínimo relativo
de una función 𝑓 si existe un intervalo
abierto < 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 > con 𝛿 > 0, tal que
𝑓(𝑥) está definida y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐),
 𝑥 ∈ < 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 >
x
y
c
0
f   0
f  
f (c)
a b
x
y
c
0
f  
0
f  
f (c)
a b

8. Teorema de los Valores Intermedios
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Si f es una función continua en [𝑎, 𝑏], m y M
son el mínimo y el máximo de 𝑓 en [𝑎, 𝑏] y d es
tal que: 𝒎 < 𝒅 < 𝑴.
Entonces existe: 𝑐 ∈ < 𝑎, 𝑏 > tal que: 𝑓(𝑐) = 𝑑
El teorema se anuncia para funciones continuas en el intervalo
cerrado [𝒂, 𝒃] y derivable en < 𝒂, 𝒃 > tal que 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃).

9. Halle el posible valor de z que satisface el teorema del
valor medio para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 1; 𝑥 ∈ −1,4
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Ejemplo
Según el teorema del valor medio se tiene:
Si 𝑓(𝑥) es continua en [−1,4] y derivable en < −1, 4 > entonces
∃ 𝑧 ∈ < −1,4 >, tal que:
𝑓′(𝑧) =
𝑓(4) − 𝑓(−1)
4 − (−1)
=
9 − 4
5
= 1 , como
𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 1 ⟹ 𝑓′
𝑥
= 2𝑥 − 2
⟹ 𝑓′
𝑧
= 2𝑧 − 2 = 1 ⟹ 𝑧 =
3
2
∈< −1,4 >

10. Teorema de ROLLE
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Si f es una función continua en < 𝑎, 𝑏 >,
si 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃) entonces existe un
número z ∈< 𝑎, 𝑏 > tal que 𝑓′(𝑧) = 0
Si la derivada de la función no existe en algún
punto de < 𝒂, 𝒃 > puede ser que no haya
tangente horizontal, aunque la función sea
continua y 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃).

11. Teorema del Valor Medio
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Si 𝑓 es una función continua en el intervalo
[𝑎, 𝑏], derivable en < 𝑎, 𝑏 > ⇒ ∃ 𝑧 ∈ < 𝑎, 𝑏 >,
tal que:
𝑓′(𝑧) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Verificar si se cumple el
teorema de Rolle de la función
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 en 𝑥 ∈ −
1
2
, 2
en caso afirmativo halle el valor
posible de z.
La función 𝑓(𝑥) es continua en −
1
2
, 2 , y es
derivable en < −
1
2
, 2 > además 𝑓(−1/2) =
𝑓(2) = 0, entonces cumple con las
condiciones del teorema de ROLLE

12. Teorema del Valor Medio
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Ahora calculamos el valor de 𝑧 ∈ < −
1
2
, 2 >,
como:
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 ⟹ 𝑓′
𝑥
= 4𝑥 − 3 Para 𝑧 ∈ < −
1
2
, 2 >
𝑓′
𝑧
= 4𝑧 − 3 = 0 ⟹ 𝑧 =
3
4
∈< −
1
2
, 2 >

13. Consideremos una función 𝑓 definida en un
intervalo 𝑰, entonces 𝒇(𝒙) es creciente en el
intervalo; si para todo para todo 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 del
intervalo, se tiene que 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐) siempre
que 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Funciones Crecientes y Decrecientes
Consideremos una función 𝑓 definida en un
intervalo 𝑰, entonces 𝒇(𝒙) es decreciente en
el intervalo; si para todo para todo 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐
del intervalo, se tiene que 𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐)
siempre que 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐

14. Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Funciones Crecientes y Decrecientes
Si 𝒇 es una función continua en el intervalo cerrado
𝒂, 𝒃 y derivable en < 𝒂, 𝒃 >, entonces:
𝑆𝑖 𝑓′(𝑥) > 0, 𝑥 ∈< 𝑎, 𝑏 > ⟹ 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 < 𝒂, 𝒃 >
Si 𝒇 es una función continua en el intervalo cerrado
𝒂, 𝒃 y derivable en < 𝒂, 𝒃 >, entonces:
𝑆𝑖 𝑓′(𝑥) < 0, 𝑥 ∈< 𝑎, 𝑏 > ⟹ 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 < 𝒂, 𝒃 >

15. Valores Críticos
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Si 𝒄 está en el dominio de 𝒇 y 𝒇′(𝟎) = 𝟎 o
𝒇′(𝟎) no está definida, entonces c se
denomina valor crítico de f.
0
b
a c d e x
y
Máximos relativos: 𝑓(0) y 𝑓(𝑒)
Mínimos relativos: 𝑓(𝑏) y 𝑓(𝑐)
Valores críticos:
a, b, 0, c, d y e
Criterio de la 1ra Derivada
Sea 𝒄 un valor crítico para 𝒇(𝒙)
Un mínimo relativo si 𝒇′(𝒙) < 𝟎 a la izquierda
de “c” y 𝒇′(𝒙) > 𝟎 a la derecha de “c”
Un máximo relativo si 𝒇′(𝒙) > 𝟎 a la izquierda
de “c” y 𝒇′(𝒙) < 𝟎 a la derecha de “c”

16. Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Criterio de la 1ra Derivada
Para una función continua y derivable en
𝒙 = 𝒄 , si 𝑓(𝑐) es un extremo relativo
entonces: 𝑓′(𝑐) = 0.
Es decir, en 𝑥 = 0 , si 𝒇′(𝒄) = 𝟎 , no
necesariamente 𝒇(𝒄) es un extremo
relativo.
x
y
c
0
f   0
f  
( ) 0
f c
 =
x
y
c
0
f  
0
f  
Lo contrario no sucede.

17. Hallar los valores máximos y mínimos relativos de la función
𝑥5
− 5𝑥3
− 20𝑥 − 2 = 0
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Ejemplo
Primero calculamos los números críticos, es decir: 𝑓′(𝑥) = 0
𝑓′(𝑥) = 5𝑥4 − 15𝑥3 − 20 ⟹ 𝑥2 − 4 𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 Números críticos
𝑓′(𝑥) = 5(𝑥 + 2) 𝑥 − 2 𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2
Para 𝒙 = −𝟐: 𝑠𝑖 𝑥 < −2, 𝒇′(𝒙) > 𝟎+
. −𝟐 < 𝒙 < 𝟐, 𝒇′(𝒙) < 𝟎− ⇒ es un Máx.
relativo 𝒇(−𝟐) = 𝟒𝟔
Para 𝒙 = 𝟐: 𝑠𝑖 𝑥 > 2, −𝟐 < 𝒙 < 𝟐, 𝒇′
𝒙
< 𝟎−, 𝒇′
𝒙
> 𝟎− ⇒ es un Mín.
relativo 𝒇(𝟐) = −𝟓𝟎

18. Criterio de la Segunda Derivada
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Suponga que existe 𝑓′′(𝑥) en algún intervalo abierto
que contiene a c y que 𝑓′ 𝑐 = 0 ⇒
Si 𝑓(𝑥)
′′
> 0, ⇒ 𝑓(𝑐) es un valor
mínimo relativo
Si 𝑓(𝑥)
′′
< 0, ⇒ 𝑓(𝑐) es un valor
máximo relativo
Hallar los máximos y mínimos de 𝑓(𝑥) = 𝑥5
− 5𝑥3
− 20𝑥 − 2 , mediante el
criterio de la segunda derivada
1ro, hallar los números críticos: 𝑓′(𝑥) = 5𝑥4
− 15𝑥2
− 20 = 0 ⟹
𝑥2 − 4 𝑥2 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = ±2, son los números críticos, ahora
calculamos la segunda derivada. 𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3
− 30𝑥
𝑓(−2)
′′
= −100 < 0, ⇒ ∃ un máx. relativo en 𝑓(−2) = 46 𝑓(2)
′′
= 100 > 0, ⇒ ∃ un mín. relativo en 𝑓(2) = −50

19. Concavidad y Puntos de Inflexión
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Se tiene que:
- Si la primera derivada 𝑓´ es creciente,
⇒ su derivada 𝑓´´ es +.
- Si la primera derivada 𝑓´ es
decreciente, ⇒ su derivada 𝑓´´ es -.
Criterio de concavidad
- Si 𝒇′′(𝒙) > 𝟎 en < 𝑎, 𝑏 >, entonces 𝒇
es cóncava hacia arriba en < 𝑎, 𝑏 >.
- 𝒇′′(𝒙) < 𝟎 en < 𝑎, 𝑏 >, entonces 𝒇 es
cóncava hacia arriba en < 𝑎, 𝑏 >.
Las pendientes de
las rectas tang.
aumentan
Las pendientes de
las rectas tang.
disminuyen
Gráf. cóncavo hacia
arriba: El gráfico está
encima de cada recta
tang.
Gráf. cóncavo hacia abajo:
El gráfico está debajo de
cada recta tang.

20. Concavidad y Puntos de Inflexión
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Un número c en el
dominio de 𝑓 donde
𝒇′′(𝒄) = 𝟎 o no existe
se llama valor crítico
de 2do. orden y;
𝒇(𝒄) se llama punto
crítico de 2do. orden.
El punto de inflexion es el punto en
donde cambia la concavidad de la
gráfica de una función.
Puntos de inflexión
Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia abajo

21. Concavidad y Puntos de Inflexión –
Interpretación geométrica
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Determinar los intervalos en donde
la función:
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒
− 𝟏𝟎𝒙𝟑
− 𝟏𝟐𝒙𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗
es cóncava hacia abajo y cóncava
hacia abajo
𝒇′(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙+10
𝒇′′(𝒙) = 𝟑𝟔𝒙𝟐
− 𝟔𝟎𝒙 − 𝟐𝟒
𝒇′′(𝒙) = 𝟎 ⇒ 𝟑𝟔𝒙𝟐 −𝟔𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎
𝟑𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −
𝟏
𝟑
, 𝒙 = 𝟐
❖ Para 𝑥 < −
1
3
, 𝑓′′(𝑥) > 0 ⇒ 𝑓(𝑥) es
cóncava hacia arriba en < −∞, −
1
3
>
❖ Para −
1
3
< 𝑥 < 2, 𝑓′′
𝑥
< 0 ⇒ 𝑓(𝑥) es
cóncava hacia abajo en < −
1
3
, 2 >

22. Ejercicios
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche
Construir la gráfica determinando los puntos críticos, puntos
de discontinuidad, los extremos relativos, los intervalos de
crecimiento y decrecimiento, los puntos de inflexión y la
dirección de su concavidad de la gráfica.
𝟏. 𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
𝟐. 𝒇(𝒙) =
𝟔𝒙𝟐−𝒙𝟒
𝟗
3. 𝒇(𝒙) =
(𝒙𝟐−𝟓)𝟑
𝟏𝟐𝟓

23. Gracias
Matemática II - Ing. Victor Paredes Atoche