El documento presenta un análisis del sistema de coordenadas en el plano, donde se explica cómo ubicar puntos mediante abscisas y ordenadas. Asimismo, describe diferentes tipos de funciones y sus representaciones gráficas, tablas y fórmulas asociadas a variables independientes y dependientes. También se incluyen ejemplos que ilustran conceptos como funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad directa, así como la resolución de problemas relacionados.

1. Bienvenidas

2. 1 2
Coordenadas en el plano Sistema de coordenadas
Relación dada por tablas
3 4 Relación dada por gráficas
Relación dada por formulas
5 6 Idea de función
Representación gráfica de
variables
7 8 Función lineal
Funciones afines
9
Funciones cuadráticas
Funciones de proporcionalidad
inversa
Resolución de problemas
10
11 12
PULSE EN LOS
CONTENIDOS

3. Observa:
– La catedral está en el punto (1, 3).
– La alcaldía en el punto (4, 1).
Para situar un punto en el plano se necesitan dos
rectas perpendiculares que se llaman ejes de
coordenadas.
El punto de corte de los ejes se llama origen.
• La primera se mide sobre el eje horizontal o
de abscisas; se llama abscisa del punto.
• La segunda se mide sobre el eje vertical o
de ordenadas; se llama ordenada del punto.
Eje de ordenadas
Eje de abscisas
Origen
– El jardín botánico en el punto (7, 2).
Este plano es el de una ciudad.
Cualquier punto tiene dos coordenadas.
O
Coordenadas en el plano CONTENIDO

4. Eje de abscisas
Eje de ordenadas
I cuadrante
IV cuadrante
III
cuadrante
II cuadrante
O
Origen
Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se
tendrá:
Sistema de coordenadas

5. Primer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
Tercer
cuadrante
Segundo
cuadrante
O
Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.
(+, +)
(– , +)
(– , – ) (+, – )
• Los puntos del primer cuadrante
tienen abscisa y ordenada positivas.
• Los del segundo cuadrante tienen
abscisa negativa y ordenada
positiva.
• Los del tercer cuadrante tienen
abscisa y ordenada negativas.
• Los del cuarto cuadrante tienen
abscisa positiva y ordenada
negativa.
X
Y
Sistema de coordenadas

6. Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que
se llaman coordenadas del punto.
Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5);
D (-3, -4); E (5, -5)
El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.
Las abscisas positivas están
a la derecha del origen.
Las negativas, a la izquierda.
Las ordenadas positivas están
por encima del origen.
Las negativas, por debajo.
A(4, 1)
B(-2, 1)
C(0, 5)
D(-3, -4)
E(5, -5)
O
Sistema de coordenadas
CONTENIDO

7. Una función puede darse mediante una tabla.
Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de
un feto (en cm) dependiendo del tiempo de
gestación (en meses).
Edad
(meses)
Longitud
(cm)
2 4
3 8
4 15
6 29
7 34
8 38
9 42
A cada mes de gestación le corresponde una
longitud determinada.
(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses,
mide 4 cm.
(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm.
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
Relación dada por tablas

8. El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el
grifo esté goteando.
Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla:
Tiempo
(minutos)
Nivel de
agua (cm)
0 0
15 10
30 14
45 17
60 19
A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variable
nivel de agua, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una
tabla.
Relación dada por tablas
CONTENIDO

9. En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le
corresponde una determinada altitud.
Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica:
A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente,
y a la variable altura en metros, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una
gráfica.
Cuando llevan 100 km
recorridos es cuando
están a mayor altitud.
Relación dada por gráficas

10. Una función puede darse mediante una gráfica.
Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un
coche según la velocidad a la que circula.
Si el coche va a 130 km/h,
consume, aproximadamente,
8 litros cada 100 km
El consumo mínimo se
consigue a 60 km/h:
punto (60, 4)
El consumo de gasolina depende (o está en función)
de la velocidad del coche.
Relación dada por gráficas
CONTENIDO

11. Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su
área.
1 cm 2 cm
3 cm
l cm
1 cm2
4 cm2 9 cm2 l 2 cm2
A cada valor del lado le corresponde un área.
El área es función del lado: s = l 2
Lado
Área
s = l 2
A la variable lado l se le llama variable independiente,
y a la variable área, variable dependiente.
Relación dada por formulas
CONTENIDO

12. Consideremos otra relación dada por una
fórmula:
y = 2x +1
Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3)
Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1)
Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5)
Observa que a cada número x le corresponde
un único número y.
El número y depende del valor dado a x.
O también: y está en función de x.
A x se le llama variable independiente.
En este caso puede tomar cualquier valor
A y se le llama variable dependiente.
Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1
Las relaciones de
este tipo se llaman
funciones.
En una función,
la correspondencia
entre las variables
debe ser única
Idea de función

13. • Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la
segunda, que llamamos imagen o transformado.
• Variable independiente: la que se fija previamente.
• Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.
La fórmula f(x) = 3x2 + 1 define una función.
f(x) = 3x2 + 1
x es la variable independiente
f(x) es la variable dependiente
Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5
Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.
En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde
un solo valor de la variable dependiente.
Idea de función
CONTENIDO
el valor que toma la variable dependiente es f(5) = 3 · 52 + 1 = 76
(La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 52 + 1 es única.)

14. La fórmula que expresa el área de un
cuadrado en función de su lado es s = l 2
Para representarla
gráficamente:
Primero: formamos la tabla de valores
Lado: l Área: l 2
0 0
1 1
1,5 2,25
2 4
2,5 6,25
3 9
4 16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
Segundo: representamos los pares
asociados, uniendo los puntos.
Ejemplo:
(2, 4)
(3, 9)
(4, 16)
Representación gráfica de
variables

15. El precio del banderazo de un taxi es de 1,50 pesos y por cada
kilómetro recorrido cobran 0,35. Representa la gráfica de esta
función.
Primero: formamos la tabla de valores
Km pesos
0 1,50
1 1,85
2 2,20
3 2,55
4 2,90
5 3,25
6 3,60
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
pesos
kilometros
Segundo: representamos los
pares asociados.
Variable
dependiente
Variable independiente
Representación gráfica de
variables
𝑓 𝑥 = 1,50 + 0,35𝑥

16. Una planta de frijol ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla:
Para representarla gráficamente:
representamos los pares de valores sobre
unos ejes de coordenadas y obtenemos
distintos puntos de la gráfica.
Tiempo
(meses)
Longitud
(cm)
0 2
1 6
2 11
3 17
4 21
5 24
6 26
7 27
8 28 0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (meses)
Longitud
(cm)
(2, 11)
(6, 26)
Uniendo los puntos se obtiene la gráfica.
Representación gráfica de
VARIABLES

17. Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.
Para representarla
gráficamente:
x y = f(x)
–3 –5
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
2 5
En este caso no se pueden unir los
puntos ya que la función está definida
únicamente para los números enteros.
Es decir, f(x) = 2x + 1.
1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores
sobre unos ejes de coordenadas
(2, 5)
O
(–3, –5)
Representación gráfica de
variables
CONTENIDO

18. Vamos a representar gráficamente otras funciones.
5
1
y = 5x
–5
–1
2
1
y = 2x
4
2
– 4
4
y = – x
3
–3
0
0
y = 0,2x
1
5
x y
x y
x y
x y
Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x
Representación gráfica de variables

19. Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del
paquete que reproducimos:
Peso en kg Precio por kg en $. Total en $.
0,820 5,12 4,20
Las magnitudes precio y peso son
directamente proporcionales.
Si x es el peso en kg, e y el precio, la
expresión que da el precio en euros
es y = 5,12x.
0,5 1 1,5
7
6
5
4
3
2
1
Calculamos valores, representamos y
unimos los puntos.
y = 5,12x
Peso (kg)
Pesos
Representación gráfica de variables
CONTENIDO

20. Representa las siguientes funciones:
a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4
–3
0
y = x – 3
1
4
–4
0
y = 2x – 4
2
3
1
0
y = x + 1
4
3
3
0
y = 2x + 3
–3
–3
x y
x y
x y
x y
Representación gráfica de variables

21. Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la
temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente
la función:
t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m)
d t
0 15
150 16,5
600 21
1050 25,5
… …
400 800 1200
18
12
6
O
24
Temperatura
(ºC)
Profundidad (m)
t = 0,01d + 15
Representación gráfica de variables
CONTENIDO

22. 0
20
40
60
80
100
0 19
0 5 10 15 20
Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuánto
valdrá su área?
Representamos los pares
obtenidos:
Formamos la tabla de valores:
(al área le llamamos y)
x y
1 19
3 51
8 96
10 100
12 96
14 84
17 51
19 19
2x + 2h = 40
x
h
x + h = 20
A = xh = x(20 – x) A = 20x – x2
Perímetro:
Área:
h = 20 – x
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20
Unimos los puntos y se obtiene la gráfica.
Representación gráfica de variables

23. Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm
por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función.
3º. La fórmula de esta función es: y = 5x
(c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?
Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …
Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 …
1º. Hacemos la tabla
2º. Observamos que las magnitudes
son directamente proporcionales:
5
1
10
2
5x
x
1 por 5
2 por 5
x por 5
y = 5x es una función de
proporcionalidad directa.
Resolución de problemas

24. 0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
tiempo
espacio
(2, 10)
(1, 5)
23
4,6
4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)...
5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 min
Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5
Observa que las escalas de los ejes son
distintas
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm
por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?
Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x
Resolución de problemas
CONTENIDO