El documento describe las coordenadas cartesianas y cómo se utilizan para ubicar puntos en un plano. Explica que cada punto tiene dos coordenadas (abscisa y ordenada) que indican su posición relativa a los ejes x e y. También describe cómo el plano se divide en cuadrantes dependiendo de si las coordenadas son positivas o negativas, y cómo las funciones pueden representarse gráficamente mediante tablas de valores o gráficas de puntos.

1. 1. Coordenadas en el plano
Este plano es el de una ciudad.
Observa:
– La catedral está en el punto (1, 3).
– El ayuntamiento en el punto (4, 1).
– El jardín botánico en el punto (7, 2).
Para situar un punto en el plano se necesitan Eje de ordenadas
dos rectas perpendiculares que se llaman
ejes de coordenadas.
El punto de corte de los ejes se llama origen.
Cualquier punto tiene dos
coordenadas. se mide sobre el eje
• La primera
horizontal o de abscisas; se llama
O
• abscisa del punto. sobre el eje
La segunda se mide
vertical o de ordenadas; se llama Origen Eje de abscisas
ordenada del punto.

2. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)
Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se
tendrá:
Eje de ordenadas
I cuadrante
II cuadrante
Eje de abscisas
O
Origen
III cuadrante
IV cuadrante

3. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)
Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.
Y
• Los puntos del primer
cuadrante tienen abscisa y
ordenada positivas. Segundo Primer
• Los del segundo cuadrante cuadrante cuadrante
tienen abscisa negativa y (– , +) (+, +)
ordenada positiva.
• Los del tercer cuadrante O X
tienen abscisa y ordenada
negativas.
• Los del cuarto cuadrante Tercer Cuarto
tienen abscisa positiva y cuadrante cuadrante
ordenada negativa. (– , – ) (+, – )

4. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)
Cada punto del plano se designa por un par ordenado de
números que se llaman coordenadas del punto.
El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.
Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5); C(0, 5)
D (-3, -4); E (5, -5)
Las abscisas positivas están B(-2, 1) A(4, 1)
a la derecha del origen.
Las negativas, a la O
izquierda.
Las ordenadas positivas
E(5, -5)
están D(-3, -4)
por encima del origen.
Las negativas, por debajo.

5. 3. Relaciones dadas por tablas (I)
Una función puede darse mediante una
tabla.
Ejemplo: en la tabla siguiente se da la
medida de un feto (en cm) dependiendo
del tiempo de gestación (en meses).
A cada mes de gestación le corresponde una
longitud determinada.
(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2
meses,
mide 4 cm.
(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29
cm.
La longitud del feto está en función de su tiempo de
gestación.

6. 3. Relaciones dadas por tablas (II)
El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo
que el grifo esté goteando.
Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla:
A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la
variable
nivel de agua, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante
una tabla.

7. 4. Relaciones dadas por gráficas (I)
En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida
le corresponde una determinada altitud.
Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica:
Cuando llevan 100 km
recorridos es cuando
están a mayor altitud.
A la variable kilómetros recorridos se le llama variable
independiente,
y a la variable altura en metros, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una
gráfica.

8. 4. Relaciones dadas por gráficas (II)
Una función puede darse mediante una
gráfica.
Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina
de un coche según la velocidad a la que circula.
Si el coche va a 130 km/h,
consume,
aproximadamente, 8 litros
cada 100 km
El consumo mínimo se
consigue a 60 km/h:
punto (60, 4)
El consumo de gasolina depende (o está en
función) de la velocidad del coche.

9. 5. Relaciones dadas por fórmulas
Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su
área.
Lado l cm
3 cm
1 cm 2 cm
9 cm 2 l 2 cm2
4 cm2
1 cm2 S=l2
Área A cada valor del lado le corresponde un
área.
El área es función del lado: S = l 2
A la variable lado l se le llama variable
independiente,
y a la variable área, variable dependiente.

10. 6. Idea de función (I)
Consideremos otra relación dada por una y = 2x +1
fórmula: x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3)
Si
Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, Las relaciones
-1) de
Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, este tipo se
5) llaman
Observa que a cada número x le funciones.
corresponde
un único número y. En una función,
El número y depende del valor dado a x. la
O también: y está en función de x. corresponden
A x se le llama variable independiente. cia
entre las
En este caso puede tomar cualquier valor
variables
A y se le llama variable dependiente.
Toma valores que dependen de la x: y = debe ser única
2x +1

11. 7. Representación gráfica de funciones (I)
Ejemplo: La fórmula que expresa el área de un
cuadrado en función de su lado es S = l 2
Para representarla
gráficamente:
Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los pares
asociados, uniendo los puntos.
(4, 16)
(3, 9)
(2, 4)

12. 7. Representación gráfica de funciones (II)
El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de
Ejemplo: 1,50 euros y por cada foto cobran 0,35 euros.
Representa la gráfica de esta función.
Primero: formamos la tabla de Segundo: representamos los
valores pares asociados.
Variable
dependiente
(En este caso
no tiene sentido
unir los puntos:
no se revelan
fracciones de
fotos.)
Variable independiente

13. 7. Representación gráfica de funciones (III)
La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la
tabla:
Para representarla gráficamente:
representamos los pares de valores
sobre unos ejes de coordenadas y
obtenemos distintos puntos de la gráfica.
(6, 26)
(2, 11)
Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.

14. 7. Representación gráfica de funciones (IV)
Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más
1. decir, f(x) = 2x + 1.
Es
Para representarla
gráficamente:
1. Formamos la tabla de 2. Representamos los pares de
valores. valores sobre unos ejes de
coordenadas
(2, 5)
O
En este caso no se pueden unir los
puntos ya que la función está
definida únicamente para los (–3, –5)
números enteros.

15. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)
Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2
euros: forma una tabla que relacione (b) representa la gráfica de la
(a)
peso con precio. función asociada.
Multiplicando por 1,2 el Trazando los pares (1, 1,2),
número de kilos, se tiene: (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene:
La fórmula de
esta función
es:
y = 1,2x
Las funciones cuyas
gráficas son rectas
que pasan
por el origen se
llaman
funciones lineales
o de
proporcionalidad
directa

16. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II)
Vamos a representar gráficamente otras funciones
lineales.
Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d)
y = –x
y=–x y = 5x
xy xy
4 –4 1 5
–3 3 –1 –5
y = 0,2x y = 2x
xy xy
0 0 1 2
5 1 2 4

17. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III)
Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en
la etiqueta del paquete que reproducimos:
Peso en kg Precio por kg en € Total en €
0,820 5,12 4,20
Las magnitudes precio y peso son
directamente proporcionales. 7
Si x es el peso en kg, e y el 6
precio, la expresión que da el
Euros 5
precio en euros es y = 5,12x.
4 y = 5,12x
Calculamos valores,
representamos y unimos forma
los 3
Las funciones se la
puntos.mx se llaman funciones 2
y=
lineales. 1
Son rectas que pasan por el 1,5
0,5 1
origen. Peso (kg)
· m es la pendiente o
inclinación de la recta.

18. 9. Funciones afines (I).
Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x
+3; d) y = 2x – 4
y=x+1 y=x–3
xy xy
0 1 0 –3
3 4 4 1
y = 2x + 3 y = 2x – 4
xy xy
0 3 0 –4
–3 –3 3 2

19. 12. Resolución de problemas (I)
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a
razón de 5 cm por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y
tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23
cm?
1º. Hacemos la tabla Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …
Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 …
2º. Observamos que las 1 5 1 por 5
magnitudes 2 10 2 por 5
son directamente
proporcionales: x 5x x por 5
y = 5x es una
3º. La fórmula de esta función es: y = función de
5x proporcionalidad
directa.

20. 12. Resolución de problemas (II)
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a
razón de 5 cm por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y
tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23
cm?
Ya hemos visto que la función asociada es y =
23 5x
4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2,
10)...
espacio
Observa que las escalas de los ejes son
(2, 10) distintas
5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6
(1, 5) min
tiempo Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 :
4,6
5